1.指數(shù)冪、對數(shù)式的運(yùn)算、求值、化簡、證明等問題主要依據(jù)指數(shù)冪、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，在進(jìn)行指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算時還要注意相互間的轉(zhuǎn)化.2.指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及圖象特點是這部分知識的重點，而底數(shù)a的不同取值對函數(shù)的圖象及性質(zhì)的影響則是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)兩個區(qū)間取值時函數(shù)的單調(diào)性及圖象特點.3.應(yīng)用指數(shù)函數(shù)y＝ax和對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象和性質(zhì)時，若底數(shù)含有字母，要特別注意對底數(shù)a＞1和0＜a＜1兩種情況的討論.4.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的主要區(qū)別：冪函數(shù)的底數(shù)為自變量，指數(shù)函數(shù)的指數(shù)為自變量.因此，當(dāng)遇到一個有關(guān)冪的形式的問題時，就要看變量所在的位置從而決定是用冪函數(shù)知識解決，還是用指數(shù)函數(shù)知識去解決.5.理解冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).在理解冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)時，要對冪指數(shù)α分兩種情況進(jìn)行討論，即分α＞0和α＜0兩種情況.6.比較幾個數(shù)的大小是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的常見題型，在具體比較時，可以首先將它們與零比較，分出正數(shù)、負(fù)數(shù)；再將正數(shù)與1比，分出大于1還是小于1；然后在各類中兩兩相比較.7.求含有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間時，首先要考慮指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來確定其單調(diào)區(qū)間，要注意單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集.其次要結(jié)合函數(shù)的圖象，觀察確定其最值或單調(diào)區(qū)間.8.函數(shù)圖象是高考考查的重點內(nèi)容，在歷年高考中都有涉及.考查形式有知式選圖、知圖造式、圖象變換以及用圖象解題.函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合有時起到事半功倍的效果.9.解決函數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵在于理解題意，提高閱讀能力.一方面要加強(qiáng)對常見函數(shù)模型的理解，弄清其產(chǎn)生的實際背景，把數(shù)學(xué)問題生活化；另一方面，要不斷拓寬知識面.求解函數(shù)應(yīng)用問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：題型一有關(guān)指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算問題指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算是兩個重要的知識點，不僅是本章考查的重要題型，也是高考的必考內(nèi)容.指數(shù)式的運(yùn)算首先要注意化簡順序，一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)，根式化為指數(shù)式；其次若出現(xiàn)分式，則要注意把分子、分母因式分解以達(dá)到約分的目的.對數(shù)運(yùn)算首先要注意公式應(yīng)用過程中范圍的變化，前后要等價；其次要熟練地運(yùn)用對數(shù)的三個運(yùn)算性質(zhì)，并根據(jù)具體問題合理利用對數(shù)恒等式和換底公式等.換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的公式，一定要掌握并靈活運(yùn)用.例1(1)化簡eq\f(a－8ab,4b＋2\r(3,ab)＋a)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2\r(3,\f(b,a))))×eq\r(3,ab)(2)計算：2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－25.解(1)原式＝eq\f(a(a－8b),(2b)2＋2ab＋(a)2)×eq\f(a,a－2b)×ab＝eq\f(a(a－8b),a－8b)×a×ab＝aeq\r(3,b).(2)原式＝log34－log3eq\f(32,9)＋log38－5＝log3(4×eq\f(9,32)×8)－5＝log39－9＝2－9＝－7.跟蹤演練1(1)求eq\f(lg8＋lg125－lg2－lg5,log54·log25)＋5＋16的值.(2)已知x＞1，且x＋x－1＝6，求x－x解(1)eq\f(lg8＋lg125－lg2－lg5,log54·log25)＋5＋16＝eq\f(3lg2＋3lg5－lg2－lg5,2log52·log25)＋2＋(24)＝eq\f(3－1,2)＋2＋8＝11.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x))2＝x＋x－1－2＝6－2＝4，又x＞1，∴x－x＞0，∴x－x＝2.題型二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的前提和基礎(chǔ)，它較形象直觀地反映了函數(shù)的一切性質(zhì).教材對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對函數(shù)的性質(zhì)的研究也正好體現(xiàn)了由圖象到性質(zhì)，由具體到抽象的過程，突出了函數(shù)圖象在研究相應(yīng)函數(shù)性質(zhì)時的作用.例2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)的值域.解(1)先作出當(dāng)x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，再作出f(x)在x∈(－∞，0)時的圖象.(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為[0，＋∞)，值域為(0,1].跟蹤演練2(1)函數(shù)f(x)＝lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點個數(shù)為()A.0B.1C.2D.3(2)函數(shù)y＝eq\f(x3,3x－1)的圖象大致是()答案(1)C(2)C解析(1)作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)＝lnx與g(x)＝(x－2)2的圖象(如圖).由圖可得兩個函數(shù)的圖象有2個交點.(2)由3x－1≠0得x≠0，∴函數(shù)y＝eq\f(x3,3x－1)的定義域為{x|x≠0}，可排除選項A；當(dāng)x＝－1時，y＝eq\f((－1)3,\f(1,3)－1)＝eq\f(3,2)＞0，可排除選項B；當(dāng)x＝2時，y＝1，當(dāng)x＝4時，y＝eq\f(64,80)，但從選項D的函數(shù)圖象可以看出函數(shù)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，兩者矛盾，可排除選項D.故選C.題型三比較大小比較幾個數(shù)的大小問題是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的重要應(yīng)用，其基本方法是：將需要比較大小的幾個數(shù)視為某類函數(shù)的函數(shù)值，其主要方法可分以下三種：(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性(如根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性)，利用單調(diào)性的定義求解；(2)采用中間量的方法(實際上也要用到函數(shù)的單調(diào)性)，常用的中間量如0,1，－1等；(3)采用數(shù)形結(jié)合的方法，通過函數(shù)的圖象解決.例3設(shè)a＝log3，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.2，c＝2，則()A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.b＜a＜c答案A解析a＝log3＜0,0＜b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.2＜1，c＝2＞1，故有a＜b＜c.跟蹤演練3(1)下列不等式成立的是()A.log32＜log23＜log25 B.log32＜log25＜log23C.log23＜log32＜log25 D.log23＜log25＜log32(2)已知0＜a＜1，x＝logaeq\r(2)＋logaeq\r(3)，y＝eq\f(1,2)loga5，z＝logaeq\r(21)－logaeq\r(3)，則()A.x＞y＞z B.z＞y＞xC.y＞x＞z D.z＞x＞y答案(1)A(2)C解析(1)由于log31＜log32＜log33，log22＜log23＜log25，即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，所以log32＜log23＜log25.故選A.(2)依題意，得x＝logaeq\r(6)，y＝logaeq\r(5)，z＝logaeq\r(7).又0＜a＜1，eq\r(5)＜eq\r(6)＜eq\r(7)，因此有l(wèi)ogaeq\r(5)＞logaeq\r(6)＞logaeq\r(7)，即y＞x＞z.故選C.題型四分類討論思想本章常見分類討論思想的應(yīng)用如下表：問題討論標(biāo)準(zhǔn)分類情況比較af(x)與ag(x)的大小a與1的大小關(guān)系(1)a＞1時，若f(x)＞g(x)，則af(x)＞ag(x)；(2)0＜a＜1時，若f(x)＞g(x)，則af(x)＜ag(x)解不等式af(x)＞ag(x)a與1的大小關(guān)系(1)a＞1時，f(x)＞g(x)；(2)0＜a＜1時，f(x)＜g(x)比較logax1與logax2的大小a與1的大小關(guān)系(1)a＞1時，若x1＞x2＞0，則logax1＞logax2；(2)0＜a＜1時，若x1＞x2＞0，則logax1＜logax2解不等式logaf(x)＞logag(x)a與1的大小關(guān)系(1)a＞1時，f(x)＞g(x)＞0；(2)0＜a＜1時，0＜f(x)＜g(x)例4已知偶函數(shù)f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，求不等式f(logax)＞0(a＞0，且a≠1)的解集.解∵f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0.故若f(logax)＞0，則有l(wèi)ogax＞eq\f(1,2)或logax＜－eq\f(1,2).①當(dāng)a＞1時，由logax＞eq\f(1,2)或logax＜－eq\f(1,2)，得x＞eq\r(a)或0＜x＜eq\f(\r(a),a).②當(dāng)0＜a＜1時，由logax＞eq\f(1,2)或logax＜－eq\f(1,2)，得0＜x＜eq\r(a)或x＞eq\f(\r(a),a).綜上可知，當(dāng)a＞1時，f(logax)＞0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(a),a)))∪(eq\r(a)，＋∞)；當(dāng)0＜a＜1時，f(logax)＞0的解集為(0，eq\r(a))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a),a)，＋∞)).跟蹤演練4已知函數(shù)y＝ax2－3x＋3在x∈[1,3]時有最小值eq\f(1,8)，求a的值.解令t＝x2－3x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(3,4)，當(dāng)x∈[1,3]時，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，3)).①若a＞1時，則ymin＝a＝eq\f(1,8)，解得a＝eq\f(1,16)，與a＞1矛盾.②若0＜a＜1，則ymin＝a3＝eq\f(1