專題02勾股定理

（考題猜想，n種高頻易錯重難點(diǎn)89題專項(xiàng)訓(xùn)練）

駁型大泰合

驗(yàn)理大通關(guān)

題型一：利用勾股定理求線段長（高頻）

1.（24-25八年級上?江蘇常州?期中）如圖，A￡>是VABC的角平分線，產(chǎn)分別是和AACD的

高，^AE=12,DF=5,則AT>=.

2.（23-24八年級下?貴州六盤水,期中）如圖，在VABC中，AB=AC=6,P是BC邊上除BC點(diǎn)外的任

意一點(diǎn)，則Ap2+p8-pc=

A

3.（24-25八年級上,天津?yàn)I海新?期中）如圖，三角形紙片A3C中，ZBC4=90°,在AC上取一點(diǎn)E,以

仍為折痕進(jìn)行翻折，使AB的一部分與重合，A與BC延長線上的點(diǎn)O重合，若ZA=30。，AC=6,

則DE的長度為cm.

4.（24-25八年級上?廣東深圳?期末）如圖，在中，NC=90。,ZBAC的平分線交2C于點(diǎn)點(diǎn)E

是45邊的中點(diǎn)，BD=BE,連接。E,若DE=4,則A￡>=.

5.（24-25八年級上?浙江寧波?期中）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以點(diǎn)2為圓心，適當(dāng)長為半徑作

弧，分別交8C,54于點(diǎn)。，E,再分別以點(diǎn)O,E為圓心，大于;。E的長為半徑作弧，兩弧在-ABC的

內(nèi)部相交于點(diǎn)P,作射線3尸交AC于點(diǎn)R已知C5=3,AF=5,則BC的長為.

C

AEB

6.(24-25八年級上?陜西?期中)如圖，某斜拉橋的主梁垂直橋面,于點(diǎn)￡),在主梁上的點(diǎn)A拉兩條斜拉索

AB,AC,經(jīng)測量，AB=13m,AC=20m,5c=21m,求主梁上的點(diǎn)A到橋面/的高度A。.

7.(24-25八年級上?寧夏中衛(wèi)?期中)如圖，在RtAABC中，NC=90°,AC=8,在1中，DE是43邊

上的高，￡>￡=12,5AS￡=60,求2C的長.

8.(24-25八年級上?福建漳州?期中)【背景介紹】如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼

成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于02,另一種是等于四個直角

1919

三角形與一個小正方形的面積之和，-abx4+(b-a)-,從而得到等式4x4+(6-a)-,化簡便得結(jié)

論4+62=02.這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”.

圖1圖2圖3

請你用“雙求法”解決下面兩個問題：

(1)如圖2,在RQABC中，/ACB=90。，CD是A3邊上的高，AC=3,BC=4,求CD的長度；

(2)如圖3,在AABC中，AD是8C邊上的高，AB=15,AC=13,BC=14,設(shè)求x的值;

題型二：勾股定理與等腰三角形（高頻）

9.（23-24八年級上?浙江杭州?期中）如圖，AB=BC=CD=DE=a,點(diǎn)AC、E共線.若AC=6,

CE=8,CD1.BC,則。=.

10.（23-24八年級下?貴州六盤水?期中）如圖，在VABC中，AB=AC=6,尸是邊上除BC點(diǎn)外的任

意一點(diǎn)，則A尸2+P8-PC=.

11.（24-25八年級上?廣東清遠(yuǎn)?期中）在等腰三角形43c中，AB=AC=10cm,BC=12cm,則BC邊上

的高是cm.

12.（24-25八年級上?陜西西安?期中）如圖在VABC中，CA=BC,AB=16,AC=10,點(diǎn)。是A3邊上的

一個動點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于直線CD對稱，連接CE,DE,AE,當(dāng)VADE是直角三角形時，求AD的長

為.

C

13.（24-25八年級上?陜西?期中）如圖，在等腰AABO中，AO=AB=5,OB=6.

⑴點(diǎn)A的坐標(biāo)是;

⑵若點(diǎn)p在y軸上，且A04P為等腰三角形，求滿足條件的所有點(diǎn)尸的坐標(biāo).

14.（24-25八年級上?吉林長春?期中）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)P從點(diǎn)、A

出發(fā)，沿射線AC以每秒4個單位長度的速度運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為f秒。＞0）.

備用圖

（1）AP的長為—；（用含f的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)小CP的面積是12時，求/的值；

⑶若點(diǎn)尸在/ABC的角平分線上，求f的值；

⑷在整個運(yùn)動中，直接寫出AAB尸是等腰三角形時t的值.

15.（24-25八年級上?江蘇泰州?期中）（1）VABC是等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，以BE為邊作等邊

△BEF,如圖1.求證：

@CF=AE；

②4CB=60。；

圖1圖2

（2）VA2C是邊長為2的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點(diǎn)，以BE為邊作等邊ABEF,如圖2,在

點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，則BF的最小值為.

16.（24-25八年級上?江蘇南京?期中）如圖，VABC中，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm,若動點(diǎn)M從

點(diǎn)C出發(fā)，沿著VABC的三條邊順時針走一圈回到C點(diǎn)，且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為f秒.

⑴當(dāng)f=_時，3M平分/ABC；

（2）求f為何值時，ABOW為等腰三角形？

⑶另有一點(diǎn)N,從點(diǎn)C開始，沿著VABC的三條邊逆時針走方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm,若M、N兩點(diǎn)

同時出發(fā)，當(dāng)M、N中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動.當(dāng)］=_s時，直線把VABC的周長分

成相等的兩部分？

題型三：勾股定理的逆定理（高頻）

17.（24-25八年級上?山西晉中?期中）已知VABC的2A,—3和NC的對邊分別是a,。和c,那么下列

四個條件中能獨(dú)立推出VABC是直角三角形的有（）個

①ZA:ZB:NC=3:4:5；②a:b:c=2:2:4；（3）（a+b）（a-b）=c2；@ZC=ZB-ZA.

A.4B.3C.2D.1

18.（24-25八年級上?江蘇泰州?期中）如圖是2x3的網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1,A、B、C、。是小正

方形的頂點(diǎn)，則NCED的值為.

AB

19.(24-25八年級上?陜西西安?期中)如圖，在VABC中，點(diǎn)。在邊8C上，已知AC=13,CD=5,

AD=12,點(diǎn)E在AD上，^.ZEBD^ZCAD.

⑴試說明：ADJ.BC；

(2)若BE=AC,求A3的長.

20.(22-23八年級上?浙江溫州?期中)已知：如圖，AD,8尸分別是VABC的高線與角平分線,BF與AD

交于點(diǎn)E,AB=3,AC=4,BC=5.

⑴請判斷VABC的類型，并說明理由.

(2)已知AF=1.5,求DE的長度.

21.（24-25八年級上?山西晉中?期中）如圖，正方形網(wǎng)格的每個小方格邊長均為1,的頂點(diǎn)在格點(diǎn)

上.

⑴填空：AB=,BC=,AC=.

⑵/ABC是直角嗎？請說明理由.

⑶請建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并寫出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo).

22.（24-25八年級上?廣東梅州?期中）如圖1,這是某超市的兒童玩具購物車，圖2是它的簡化平面示意

圖，測得支架AC=24cm,3C=18cm,兩輪中心之間的距離AB=30cm.

⑴求點(diǎn)C到A3的距離；

（2）如圖2,小康建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使得A8所在的直線為x軸，點(diǎn)。在，軸上，請求A,B,C

三點(diǎn)的坐標(biāo).

題型四：勾股定理的證明方法（難點(diǎn)）

23.（24-25八年級上?江蘇揚(yáng)州?期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個全等的直角三角形.

圖1

⑴弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為以較短的直角邊為b,斜

邊長為c,結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理；

（2）如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓線的周長為80,OC=5,求該

飛鏢狀圖案的面積；

⑶如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD,正方形正方形MNKT

的面積分別為H、S?、S3,若5]+邑+$3=27,求S2.

24.（24-25八年級上?江蘇連云港?期中）如圖，ACLBC,DBLBC,垂足分別為C,B,點(diǎn)E在BC

上，連接OE,交48于點(diǎn)/，AC=EB,AB=DE.

⑴判斷：AB與DE的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）連接AD,AE,若BC=a,AC=b,AB=c,通過用不同方法計算四邊形ACBD的面積（即“算兩次"思

想），驗(yàn)證勾股定理.

25.（24-25八年級上?貴州畢節(jié)?期中）兩個全等的直角三角形按如圖1所示的方式擺放，連接AD,NABC

的三邊長分別為b,c（a>b）,四邊形ACFD的面積可以表示為:（。+6）（。+6）或2x飆+產(chǎn),從而

（1）將△。砂從圖1的位置開始沿BC向左移動，直到點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時停止（如圖2）,此時A8與DE相交

于點(diǎn)0,連接AD,AE,請利用圖2證明勾股定理;

⑵在圖2的基礎(chǔ)上，若四邊形AEBD的面積為200,AC=12,求BC的長.

26.（24-25八年級上?河南平頂山?期中）同學(xué)們學(xué)習(xí)了勾股定理，課后查閱資料發(fā)現(xiàn)有很多方法證明勾股

定理.中國古代最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是東漢末至三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽，他用數(shù)形結(jié)合形式創(chuàng)

制了"趙爽弦圖J如圖1,由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形，其

中直角三角形的兩直角邊長為a,b[b>a>0）,斜邊長為J

⑴在圖1中，若c=15,6=12,則小正方形的邊長為；

（2）探索：某同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖2,點(diǎn)8是正方形ACDE邊8上一點(diǎn)，連接

得到直角三角形ACB,三邊分別為“，b,c,將ZkACB裁剪拼接至△但位置，如圖3所示，該同學(xué)用

圖2、圖3的面積不變證明了勾股定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程；（提示：連接叱）

⑶拓展：若圖1中較短的直角邊長為5,將這四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖

4所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車"，若以為邊的正方形面積為61,則這個風(fēng)車的外圍周長是.

27.（24-25八年級上?江蘇鹽城?期中）中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具

有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展.現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖所示"弦圖RtaABC中，

ZACB=90°,若AC=b,BC=a,請你利用這個圖形解決下列問題：

B

⑴試說明：a2+b2=c2;

⑵如果大正方形的面積是15,小正方形的面積是4,求（0+6）2的值.

28.（24-25八年級上?遼寧沈陽?期中）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為

較小的直角邊長都為6,斜邊長都為。），大正方形的面積可以表示為C2,也可以表示為

4義；仍+伍-6）一，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為。，b,斜邊長為。，則

a2+b2—c2■

圖①

【結(jié)論探究】

⑴圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法"，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理；

【結(jié)論應(yīng)用】

⑵如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點(diǎn)A,B,AB=AC,由于某種

原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點(diǎn)”（A,H,B在同一

條直線上），并新修一條路CH,且測得C"=0.8千米，HB=0.6千米，求新路比原路C4

少多少千米？

【問題拓展】

(3)AABC中，AC=10,BC=17,AB=21,CHA.AB,垂足為請直接寫出C”的值.

29.(22-23八年級上?山西運(yùn)城?期中)綜合與實(shí)踐

【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力.如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三

角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于C2,另一種是等于四

11

個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即不。以4+e-4)9-,從而得到等式/=54X4+優(yōu)-a)9-,化

簡便得結(jié)論4+62=02.這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為"雙求

法".

【方法運(yùn)用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鷲，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，

向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形VA3C和34如圖2放置，其三邊

長分別為a，b,c,ZBAC^ZDEA^9Q°,顯然5CLAD.

(1)請用a,b,。分別表示出四邊形ABDC,梯形AEDC,△￡?/)的面積，再探究這三個圖形面積之間

的關(guān)系，證明勾股定理4+62=,2.

【方法遷移】(2)請利用"雙求法"解決下面的問題：如圖3,小正方形邊長為2,連接小正方形的三個頂

點(diǎn)，可得VA3C,直接寫出A3邊上的高為.

(3)如圖4,在VABC中，AD是BC邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,設(shè)B￡)=x,求x的值.

題型五：利用勾股定理證明線段平方關(guān)系（難點(diǎn)）

30.（24-25八年級上?江蘇蘇州?期中）如圖，中，ZA=90°.

⑵在圖2中尺規(guī)作圖：在線段AC上找一點(diǎn)P,使得P。2一%2="2,畫出點(diǎn)p的位置并說明理由.

31.（23-24八年級上?廣東深圳?期中）（1）如圖1,四邊形ABC￡>的對角線AC人3。于點(diǎn)0.判斷

92+g2與AB2+C￡>2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

N

⑵如圖2,分別以RtZVLBC的直角邊和斜邊AC為邊向外作正方形和正方形ACEN,連接

BN,CM,交點(diǎn)為0.

①判斷CM,3N的關(guān)系，并說明理由.

②連接MN.若AB=4,BC=6,請直接寫出跖V的長.

32.（22-23八年級下?安徽蚌埠?期中）課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五老師給出一

組數(shù)讓學(xué)生觀察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇

數(shù)，且從3起就沒有間斷過，于是老師提出以下問題讓學(xué)生解決.

⑴請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11,,;

（2）若第一個數(shù)用字母”為奇數(shù)，且a23）表示，那么后兩個數(shù)用含。的代數(shù)式分別怎么表示？聰明的

32-152-172—1

小明發(fā)現(xiàn)每組第二個數(shù)有這樣的規(guī)律：4=—,12=—,24=—,則用含。的代數(shù)式表示每

222

組第二個數(shù)和第三個數(shù)分別為,；

⑶用所學(xué)知識證明（2）中你所發(fā)現(xiàn)的這類用字母。表示的勾股數(shù)的規(guī)律.

33.（22-23八年級下?湖北武漢?期中）已知VA3C是等腰直角三角形，動點(diǎn)P在斜邊所在的直線上，以

PC為直角邊在PC右側(cè)作等腰Rt△尸C。，ZPCQ=9Q°.探究并解決下列問題：

⑴如圖1,若點(diǎn)P在線段上，求證：PBLBQ.

⑵如圖2,若點(diǎn)尸在線段48的延長線上，其它條件不變，畫出圖形，猜想上「，pB?,PC?之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明；

PA1PC

⑶若動點(diǎn)P滿足差=5,直接寫出2的值為.

34.（22-23八年級下?四川成都?期中）已知VABC是等邊三角形.

圖3

（D如圖1,△由宏也是等邊二角形.點(diǎn)A、B、E二點(diǎn)不共線，求證：AD=CE；

(2)如圖2,點(diǎn)。是VABC外一點(diǎn)，且/8DC=30。，請證明結(jié)論ZM?=+。產(chǎn)；

（3汝口圖3,點(diǎn)。是等邊三角形VABC外一點(diǎn)，若ZM=13,DB=5叵DC=7.試求/BDC的度數(shù).

35.（21-22八年級上?陜西西安?期中）如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，動點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線

上，以尸C為直角邊作等腰直角APC。，其中SPC2=90。，探究并解決下列問題：

（1）如圖1,若點(diǎn)P在線段上時，猜想必2,PB?,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系」

（2）如圖2,若點(diǎn)尸在AB的延長線上，在（1）中所猜想的必2,PB2,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系仍然成

立，請利用圖2進(jìn)行證明；

PA0PC

（3）若動點(diǎn)P滿足塞=?,求A］的值（請利用圖3進(jìn)行探求）.

36.(21-22八年級上?廣東深圳?期中)已知朋BC中，AB^AC.

(1)如圖1,在朋。E中，AD=AE,點(diǎn)。在線段BC上，&DAE=aBAC=90。，連接CE,請寫出：①8。

和CE之間的位置和數(shù)量關(guān)系為、_；

②BD、CO和AE之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖2,在0ADE中，AD=AE,連接BE、CE,若I3ZME=[3BAC=6O。，C￡0A。于點(diǎn)F,A￡=4,AC

=幣,求線段BE的長；

(3)如圖3,點(diǎn)。是等邊EABC外一點(diǎn)，財。C=75。，若CD=3,AD=6,則2D的長為請簡要寫出

解答過程.

D

A

BC

圖3

題型六：勾股定理與垂美四邊形（易錯）

37.（22-23八年級下糊北鄂州?期中）對角線互相垂直的四邊形叫做"垂美"四邊形，現(xiàn)有如圖所示的"垂美"

四邊形ABC￡>,對角線AC,50交于0,若AB=6,CD=8,貝"。2+抬②=.

38.（22-23八年級下?湖北孝感?期中）新定義：對角線互相垂直的四邊形叫做"垂美四邊形

⑴如圖1,已知四邊形A2CD是垂美四邊形.

①若AC=3A/6,BD=472,則它的面積為；

AB=c,BC=d,CD=a,DA=b,探究a、b、c、d的數(shù)量關(guān)系.

（2）如圖2,已知￡>、E分別是VABC中邊3C、AC的中點(diǎn)，ADLBE,AC=6,BC=8,請運(yùn)用②中的結(jié)

論，直接寫出AB的長為.

39.（23-24八年級上?遼寧本溪?期中）我們定義對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

如圖點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知BE=EC,AE=ED,ZBEC=ZAED=90°,對角線AC與8。交

于。點(diǎn)，BD與EC交于點(diǎn)F,AC與ED交于點(diǎn)G.

C

⑴判斷四邊形A2CD_______垂美四邊形（請在橫線上填寫是或者不是）；

⑵求證：AB2+CD2=BC2+AD2；

⑶若3E=4,AE=6,AB=9,則CO的長為.

40.（22-23八年級下?福建廈門?期中）在學(xué)習(xí)了平行四邊形章節(jié)后，小明根據(jù)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，試著創(chuàng)造了

一個新的特殊四邊形，規(guī)定：對角線互相垂直的四邊形稱為"垂美四邊形”如圖1所示.

（1）【概念理解】證明：有三條邊相等的垂美四邊形是菱形；（寫出已知、求證）

（2）【性質(zhì)探索】若記垂美四邊形ABC。面積為S,試直接寫出S與AC、80之間的關(guān)系；

（3）【性質(zhì)應(yīng)用】根據(jù)不完全統(tǒng)計，勾股定理的證明有400多種方法，小明為了證明勾股定理，嘗試用兩個

全等的直角三角形（RtaABC烏RtzXBED）如圖2擺放，其中8、C、E在一條直線上，若假設(shè)直角三

角形三邊長為X,y,Z,即8C=ED=尤，AB=BE=y,AC=BD=z,試?yán)?2)中結(jié)論證明勾股定

理.

41.(22-23八年級下?河南新鄉(xiāng)?期中)小明學(xué)習(xí)了平行四邊形后，對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)

了這樣一類特殊的四邊形：兩條對角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形.

圖1圖2

⑴【理解定義】在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形"中，一定是垂美四邊形的是

(2)【探究性質(zhì)】如圖1,在垂美四邊形A2CD中，對角線AC,相交于點(diǎn)。，猜想

AB2,BC2,CD?,AD?之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

⑶【綜合運(yùn)用】如圖2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,分別以8C,AB為腰向外側(cè)作等

腰Rt^ABD和等腰RtaCBE,且/鉆。=NCBE=90。，連接DE.

①圖中哪個四邊形是垂美四邊形？并證明你的結(jié)論.

②求OE的長(直接寫出答案).

42.（22-23八年級下?重慶渝北?期中）【知識感知】（1）如圖1,四邊形ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)O,我

們把這種對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

在我們學(xué)過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，屬于垂美四邊形的是;（只填

序號）

【性質(zhì)探究】（2）如圖1,試探究垂美四邊形A3。的四條邊AB,CD,BC,AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？寫出你的猜想，并給出證明；

【性質(zhì)應(yīng)用】（3）如圖2,分別以RSAC3的直角邊AC和斜邊為邊向外作正方形ACFG和正方形

ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=106，AB=5y/21,求GE的長.

BG

圖1圖2

題型七：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（重點(diǎn)）

43.（24-25八年級上?河南鄭州?期中）與危險相伴，與烈火為伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者一

—中國消防員.云梯消防車是常見的消防器械，云梯最多能伸長到30米，消防車高3米，如圖，某棟樓

發(fā)生火災(zāi)，在這棟樓的8處有一老人需要救援，救人時消防車上的云梯伸長至最長，此時消防車的位置A

與樓房的距離為24米.

（1）求B處與地面的距離.

（2）完成3處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在B處的上方6米的。處有一小孩沒有及時撤離，為了能成功地救出小

孩，則消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？

44.（23-24八年級上.遼寧沈陽?階段練習(xí)）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿A3的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗

桿頂端A的繩子垂到地面多出一段的長度為3米，小明同學(xué)將繩子拉直，繩子末端落在點(diǎn)C處，到旗桿底

部8的距離為9米.

（D求旗桿的高度;

（2）小明在C處，用手拉住繩子的末端，后退至觀賽臺的2米高的臺階上，此時繩子剛好拉直，繩子末端落

在點(diǎn)E處，問小明需要后退幾米（即C。的長）？

45.（23-24八年級下?新疆喀什?期中）如圖，一只小鳥旋停在空中A點(diǎn)，A點(diǎn)到地面的高度AB=8米，A

點(diǎn)到地面C點(diǎn)（3,C兩點(diǎn)處于同一水平面）的距離AC=10米.

⑴求出的長度;

（2）若小鳥豎直下降到達(dá)。點(diǎn)（。點(diǎn)在線段45上），此時小鳥到地面C點(diǎn)的距離與下降的距離相同，求小

鳥下降的距離.

46.（24-25八年級上?河南平頂山?期中）如圖，一棵垂直于地面且高度為12nl的大樹被大風(fēng)吹折，折斷處

A與地面的距離AC=4.5m,樹尖B恰好碰到地面.在大樹倒下的方向上的點(diǎn)O處停著一輛小轎車，

CD=6.5m,樹枝落地時是否會砸著小轎車并說明理由.

47.（23-24八年級下.天津河西?期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題.有一個水池，水

面是一個邊長為10尺（AS=10尺）的正方形，在水池正中央有一根蘆葦（點(diǎn)尸是A3的中點(diǎn)），它高出水

面1尺（MP=1尺）.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面（MN=BN）,

求水的深度PN.

48.（24-25八年級上?廣東梅州?期中）如圖，甲乙兩船同時從A港出發(fā)，甲船沿北偏東35。的方向，航速是

12海里/時，2小時后，兩船同時到達(dá)了目的地.若C、3兩島的距離為30海里，問乙船的航速是多少？

49.（24-25八年級上?四川成都?期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰擴(kuò)灌工程之

一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之稱.現(xiàn)為擴(kuò)建開挖某段干渠，如圖，

欲從干渠某處A向C地、。地、B地分流（點(diǎn)C,D,8位于同一條直線上），修三條筆直的支渠AC,

AD,AB,且ACLBC；再從。地修了一條筆直的水渠與支渠AB在點(diǎn)〃處連接，且水渠?！ê椭?/p>

渠互相垂直，已知4c=6km,AB-10km,BD=5km.

（1）求支渠AD的長度.（結(jié)果保留根號）

（2）若修水渠DH每千米的費(fèi)用是0.7萬元，那么修完水渠?！毙枰嗌偃f元?

50.(24-25八年級上?江西吉安?期末)某賓館裝修，需在一段樓梯臺階上鋪上一塊地毯，將樓梯臺階完全

蓋住.樓梯臺階剖面圖如圖，已知NC=90。，AC=3m,AB=5m.

⑴求BC的長；

(2)若已知樓梯寬2.8m,需要購買m2的地毯才能鋪滿所有臺階.

51.(24-25八年級上?寧夏銀川?期中)如圖，一輛小汽車在一條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到

路對面車速檢測儀A處的正前方120米的C處，過了8秒，小汽車到達(dá)3處，此時測得小汽車與車速檢測

儀間的距離為200米.

小汽車小汽車

B'-------------------7C

檢測儀

(1)求8C的長；

(2)“中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時，這輛小

汽車在2C段是否超速行駛？請說明理由(參考數(shù)據(jù)：lm/s=3.6km/h)

52.（24-25八年級上?江蘇連云港?期中）如圖，經(jīng)過A村和8村（將A,8村看成直線/上的點(diǎn)）的筆直公路

/旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在C處進(jìn)行爆破.已知C處與A村的距離為300米，C處與8村的距離

為400米，且ACJ_8C.

（1）求A,8兩村之間的距離；

（2）為了安全起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，在進(jìn)行爆破時，公路AB段是否有危險而需

要封鎖？如果需要，請計算需要封鎖的路段長度；如果不需要，請說明理由.

53.（24-25八年級上?山東棗莊?階段練習(xí)）如圖，鐵路上A、。兩點(diǎn)相距25km,B,C為兩村莊，ABLAD

于A,8，40于0,已知AB=15km,CD=10km,現(xiàn)在要在鐵路45上建一個土特產(chǎn)品收購站P,使得

B、C兩村到尸站的距離相等，則P站應(yīng)建在距點(diǎn)A多少千米處？

C

B

54.(24-25八年級上廣東梅州.期中)如圖,已知圓柱底面的周長為12,圓柱的高為8,在圓柱的側(cè)面

上，過點(diǎn)A,C嵌有一圈長度最短的金屬絲.

圖②

A'

BB'

(2)如圖②，若將金屬絲從點(diǎn)8繞四圈到達(dá)點(diǎn)A,則所需金屬絲最短長度是多少？

(3)現(xiàn)有一個長、寬、高分別為5dm、4dm、3dm的無蓋長方體木箱(如圖3,

AB=5dm,JBC=4dm,AE=3dm).現(xiàn)在箱外的點(diǎn)A處有一只蜘蛛，箱內(nèi)的點(diǎn)C處有一只小蟲正在午睡，保

持不動.請你為蜘蛛設(shè)計一種捕蟲方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小蟲.(木板的厚度忽略不計)

圖3

55.(22-23八年級上?江蘇無錫?期中)勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力.千百年來，人們對它的

證明趨之若鷲，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證

法.證法如下：把兩個全等的直角三角形如圖1放置(RtaABC/RtAZME),NDAE=NB=90。，點(diǎn)、E

在落在邊AB上，止匕時ACLOE,設(shè)Rt^ABC中，BC=a,AC=b,AB^c,用。、6、。分別表示出梯

形ABCD、四邊形AEC。、AEBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，可證明勾股定理.

(1)請根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系，證明勾股定理；

(2)如圖2,某平原上有一條鐵路/,在鐵路的同側(cè)有兩個小鎮(zhèn)C、。且相距3辰千米，它們到鐵路的距離

分別是2千米和5千米，現(xiàn)要在鐵路上修建一個站點(diǎn)P和站點(diǎn)到兩鎮(zhèn)的公路，為使總造價最低，請在圖上

確定P的位置，并求出兩條公路的總長；

(3)借助上面的思考過程，求代數(shù)式&+4『+25-4rz的最大值.

題型八：勾股定理與全等三角形（難點(diǎn)）

56.（2024秋?岱岳區(qū)期中）如圖，在中，ZC=90°,4。平分/BAC交BC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作

DEA.AB于點(diǎn)E.

（1）求證：AADC^AADE.

（2）若CD=3,BD=5,求BE的長.

57.（2023春?天長市校級期中）如圖，在AABC中，ZACB=90°,。為邊AB的中點(diǎn)，E,尸分別為邊AC,

BC上的點(diǎn)，J1LAE=AD,BF=BD.

(1)ZEDF=

(2)若DE=0,DF=2,線段AB的長為

C

ADB

58.(2024秋?景德鎮(zhèn)期中)如圖，在一條筆直的公路/旁邊有A,2兩個村莊，A村莊到公路/的距離AC=

5km,B村莊到公路/的距離12歷w,現(xiàn)要在C。之間建一個加油站E,使得A,B兩村莊到加油站E

的距離相等.

(1)若試說明：ABDE咨AECA；

(2)若C,。兩點(diǎn)間的距離為17fcm,求C,E兩點(diǎn)間的距離.

B

\4

\J

DEC

59.(2024春?蚌山區(qū)校級期中)如圖，△ABC與△QBE都是等邊三角形，DA.DB、0c三邊長是一組勾股

數(shù)，且DC邊最長.

(1)求證：DE2+CE2=CD2；

(2)求/AD8的度數(shù).

E

60.(2024秋?舟山期中)如圖，在RtZ\A3c中，ZACB=90°,AC=CB,。在BC邊上，P,Q是射線AD

上兩點(diǎn)，且CP=CQ,ZPCQ=90°.

(1)求證：AP=BQ；

(2)若CP=1,BP=V6.

①求AP的長；

②求△ABC的面積.

61.(2024秋?海曙區(qū)校級期中)已知在△ABC中，NC43的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)

于M,ON_LAC的延長線于N.

(1)證明：BM=CN.

(2)當(dāng)/BAC=70°時，求/DCB的度數(shù)；

(3)若AB=8,AC=4,DE=3,貝!]4￡＞產(chǎn)-3C2的值為

A

62.（2024秋?新沂市期中）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,△ABC中,

若AB=12,AC=8,求2c邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E,使連接BE.請根據(jù)小明

的方法思考:

（1）由已知和作圖能得到△ADCgZXEDB,依據(jù)是

A.SSS

B.ASA

C.AAS

D.SAS

（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是.

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和

所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.

【初步運(yùn)用】

（3）如圖2,AD是△ABC的中線，BE交AC于E,交于F,KAE=EF.若EF=3,EC=2AE,求

線段BF的長.

【靈活運(yùn)用】

(4)如圖3,在△A2C中，ZA=90°,D為BC中點(diǎn),DE±DF,DE交AB于點(diǎn)E,D廠交AC于點(diǎn)R

連接EF,試猜想線段BE,CF,EF三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

63.(2024秋?三水區(qū)校級期中)【方法儲備】如圖1,在△ABC中，CM為△ABC的中線，若AC=2,BC=

4,求CM的取值范圍.中線倍長法：如圖2,延長CM至點(diǎn)，使得MD=CM,連結(jié)8。，可證明，由全

等得到2O=AC=2,從而在△BCD中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可以確定CD的范圍，進(jìn)一步即可求得CM的

范圍.

(1)在上述過程中，證明△ACM且的依據(jù)是,CM的范圍為

(2)【思考探究】如圖3,在△ABC中，ZACB=90°,M為A3中點(diǎn)，D,E分別為AC,3c上的點(diǎn)，

連結(jié)A?,ME,DE,ZDME=90°,若BE=1,AD=2,求。￡的長；

(3)【拓展延伸】如圖4,C為線段上一點(diǎn)，AOBC,分別以AC,BC為斜邊向上作等腰Rt^ACZ)

和等腰Rt/XCBE,M為AB中點(diǎn)，連結(jié)DM,EM,DE.

①求證：為等腰直角三角形；

②若將圖4中的等腰Rt^CBE繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)至圖5的位置(A,B,C不在同一條直線上)，連結(jié)43,M為

AB中點(diǎn)，且。，E在AB同側(cè)，連結(jié)。M,EM.若AO=5,EB=3,DM=2<2,請直接寫出4M的面

積.

DD

E

AMCBAC

圖4圖5

題型九：勾股定理與折疊問題（易錯）

64.（24-25八年級上?河南鄭州?期中）小明在幫妹妹完成手工作業(yè)的時候發(fā)現(xiàn)了其中的數(shù)學(xué)問題，如圖,

在VA3C中，ABAC=9Q°,AB=4,AC=8,沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)。處，再次

折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，折痕交AC于點(diǎn)￡,則AE的長度為（）

C.6D.7

65.（23-24八年級上?廣東深圳?期中）如圖，在VA2C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,P為斜邊A3

上的一動點(diǎn)（不包含A,3兩端點(diǎn)）,以CP為對稱軸將翻折得到AACP,連結(jié)3A.當(dāng)HPLAB

時，3A的長為.

66.（23-24八年級上?四川成都?期中）如圖，在中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,分別在

AB,AC邊上取點(diǎn)E,F,將下沿直線所翻折得到AgEF,使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)4恰好落在CB延長

線上，當(dāng)NE4'3=60。時，AE的長為,當(dāng)A產(chǎn)，AC時，AF的長為

67.（22-23八年級上,河南鄭州?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形ABC。的邊OC、分別在x

軸、,軸上，AB=6,點(diǎn)E在邊BC上，將長方形A3C0沿AE折疊，若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)/恰好是邊OC的三

68.（24-25八年級上?浙江寧波?期中）如圖，在長方形ABC。中，ZCDB=30°,AD=4,點(diǎn)E為線段CD

的中點(diǎn)，動點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，沿Cf3—A的方向在CB和曲上運(yùn)動，將長方形沿班'折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)

點(diǎn)為C',當(dāng)點(diǎn)C'恰好落在長方形的對角線上時（不與長方形頂點(diǎn)重合），點(diǎn)廠運(yùn)動的距離為.

69.（24-25八年級上?江蘇連云港?期中）如圖，把長方形紙片ABCD沿跖折疊后，點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C

(2)判斷△形尸的形狀，并說明理由；

(3)若AB=6,AD=16,求的面積.

70.(24-25八年級上?陜西咸陽?期中)長方形ABC。在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖，已知點(diǎn)3的坐標(biāo)為

(15,9),將△ABD沿直線折疊，點(diǎn)A恰好落在邊OC上的點(diǎn)E處.

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為：

(2)求CE和AD的長；

⑶求四邊形DOES的面積.

71.(24-25八年級上?河南鄭州?期中)學(xué)完了勾股定理相關(guān)知識，王老師帶領(lǐng)大家研究長方形紙片的折疊

問題.大家知道，長方形的對邊相等，對邊平行，四個角都是直角，即長方形A3CD中，

ZA=ZABC=ZC=ZADC=90°,AB=CD,AD=BC,AD//BC,AB//CD.

A'

請你運(yùn)用所學(xué)知識，解決下面的問題:

圖2

(1)如圖1,長方形紙片A2CD中，AB=5,AD=12,將紙片折疊，使A8落在對角線AC上，折痕為AE

(點(diǎn)E在邊BC上)，點(diǎn)2落在點(diǎn)B處，求CE的長度；

(2)如圖2,有一張長方形紙片ABCD,AB=6,AD=13,尸為AD邊上一點(diǎn)，AF=3,E為BC上一

點(diǎn).將紙片折疊，折痕為EF,使點(diǎn)8恰好落在線段EO上的點(diǎn)3'處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處.求線段B力的長

度.

72.(22-23八年級上,遼寧沈陽?期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)人(-5,4)ABJ.X軸于點(diǎn)3,

AC_Ly軸于點(diǎn)C,點(diǎn)￡)是＞軸正半軸上動點(diǎn),連接CE,將ABOD折疊得到△BED,點(diǎn)。與點(diǎn)E對應(yīng)，折

痕為80.

⑴填空：ZA=。，,AC=.

(2)如圖2,ABDE1的邊BE與DE分別與AC交于點(diǎn)尸，G,EG=CG.

①求證：FC=ED-

②求OD的長.

⑶連接CE,當(dāng)ACDE是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形時，直接寫出點(diǎn)￡）坐標(biāo).

73.（23-24八年級上?江蘇蘇州?期中）如圖1,已知長方形ABC。，AB=4,BC=5,點(diǎn)P是射線BC上的動

點(diǎn)，連接AP,44。尸是由AAB尸沿AP翻折所得到的圖形.

⑵當(dāng)直線PQ經(jīng)過點(diǎn)。時，求3P的長；

（3）如圖2,點(diǎn)/是DC的中點(diǎn)，連接MP、MQ.

①"。的最小值為;

②當(dāng)APMQ是以尸河為腰的等腰三角形時，請直接寫出3尸的長.

題型十：勾股定理與網(wǎng)格問題（重難點(diǎn)）

74.（24-25八年級上?浙江寧波?期中）圖1、圖2、圖3都在邊長都為1的正方形構(gòu)成的5x5網(wǎng)格，點(diǎn)A、

8均在格點(diǎn)上，請用無刻度的直尺完成下列作圖.

：：；：：：：：i\\\\B

圖1圖2圖3

⑴在圖1中作出一個等腰VABC,點(diǎn)C在格點(diǎn)上.

⑵在圖2中作出一個面積為5的直角△ABD,點(diǎn)。在格點(diǎn)上.

⑶在圖3中作出線段AB的垂直平分線ER,保留作圖痕跡.

75.（24-25八年級上?江蘇揚(yáng)州?期中）小正方形網(wǎng)格中，三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的三角形叫做格點(diǎn)三角

形.設(shè)每個小正方形邊長為L如下圖，格點(diǎn)VABC,

圖1圖2圖3

⑴圖中格點(diǎn)VA5C的面積是；

⑵按要求畫圖：

①在圖1中畫一個與VA5C全等且有一條公共邊2C的格點(diǎn)三角形；

②在圖2中畫一個與VABC全等且只有唯一公共點(diǎn)A的格點(diǎn)三角形；

③在圖3中畫一個面積為5的格點(diǎn)直角三角形且直角邊為網(wǎng)格圖中的斜格點(diǎn)線段.

76.（24-25八年級上?江蘇泰州?期中）【背景介紹】

如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理.思路是大正方形的面

積有兩種求法，一種是等于o',另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即

11

4x-ab+（b-a9y,從而得至IJ等式。2=4、5。6+僅-。）9,化簡便得結(jié)論/+廿=c?.這里用兩種求法來表示

同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”.

圖2