2025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學

本試卷共12頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

L集合舷={x|2x-l>5},N={l,2,3},則（）

A.{1,2,3}B.{2,3}C.{3}D.0

【答案】D

【解析】

【分析】先求出集合加，再根據(jù)集合的交集運算即可解出.

【詳解】因為M={x|2x—1>5}={X|X>3},所以〃cN=0,

故選：D.

2已知復數(shù)z滿足i.z+2=2i,則|z|=（）

A.72B.2A/2C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】先求出復數(shù)z,再根據(jù)復數(shù)模的公式即可求出.

【詳解】由i-z+2=2i可得，z=*a=2+2i,所以目=萬萬=2&,

故選：B.

3.雙曲線必―4F=4的離心率為（）

A.BB.立C.-D.^5

224

【答案】B

【解析】

【分析】先將雙曲線方程化成標準方程，求出即可求出離心率.

【詳解】由/一4丁2=4得，—-/=1,所以42=4/2=1,02=〃2+。2=5,

4

即a=2,c=J?,所以e=￡=@,

a2

故選：B.

4.為得到函數(shù)y=9、圖象，只需把函數(shù)＞=3乂的圖象上的所有點()

A.橫坐標變成原來1■倍，縱坐標不變B.橫坐標變成原來的2倍，縱坐標不變

C.縱坐標變成原來的,倍，橫坐標不變D.縱坐標變成原來的3倍，橫坐標不變

3

【答案】A

【解析】

【分析】由y=9'=3?工，根據(jù)平移法則即可解出.

【詳解】因為y=9'=32",所以將函數(shù)＞=3工的圖象上所有點的橫坐標變成原來的g倍，縱坐標不變，即

可得到函數(shù)y=9'的圖象，

故選：A.

5.己知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，q=-2,若%,劣，4成等比數(shù)列，貝Mo=()

A.-20B.-18C.16D.18

【答案】C

【解析】

【分析】由等比中項的性質結合等差數(shù)列的基本量運算即可求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛4｝的公差為4(dwO),

因為%,%，4成等比數(shù)列，且%=-2,

所以片=/4，即(—2+38)2=(—2+21)(—2+5d),解得d=2或d=O(舍去)，

所以。10=q+9d——2+9x2=16.

故選：C.

6.已知a>0,b>0,貝。()

111

A.?2+Z?2>2abB.—+->—

abab

112

C.a+b>y[abD.-+-<^=

ab7ab

【答案】C

【解析】

【分析】由基本不等式結合特例即可判斷.

22

【詳解】對于A,當時，a+b^2ab，故A錯誤;

，

,i,_1_I1=c2+4“=6V___1___2c—l

對于BD,取0=7/此時。b~11-_ab，

24-x-

24

112r-2

—I—=2+4=6>—j=4v2=?——

ab11yjab故BD錯誤;

\2X4

對于C,由基本不等式可得a+622J法〉J法，故C正確.

故選：C.

7.已知函數(shù)/(%)的定義域為D,則“函數(shù)/(%)的值域為R”是“對任意MeR,存在不使得

〃(%0)|>“'的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由函數(shù)值域的概念結合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.

【詳解】若函數(shù)/(x)的值域為R,則對任意MeR,一定存在西€。，使得=+

取/=%，則|/(/)|=M+I>M，充分性成立；

取/(x)=2',D=R,則對任意MwR,一定存在玉e。，使得/(%)=眼|+1，

取則+但此時函數(shù)/(x)的值域為(0,+8),必要性不成立；

所以“函數(shù)/(x)的值域為R”是“對任意VcR,存在x°e。，使得|/伍)|>的充分不必要條件.

故選：A.

71

8.設函數(shù)/（%）=5皿5；）+85（8）（。>0）,若/（X+兀）=/（%）恒成立，且/（X）在0,—上存在零點,

_4_

則0的最小值為（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點即可求解.

【詳解】函數(shù)/'（x）=sin（0x）+cos（（yx）=0sin（6yx+'^）（o>O）,

4

設函數(shù)/（%）的最小正周期為T,由/（%+兀）=/（%）可得上T=7r,（keN*）,

所以T=?=巴,（左eN*）,即0=2左，（左GN*）；

CDk

JT兀71兀兀g兀

又函數(shù)/⑴在0,-上存在零點，且當XC0,-時,0X+一￡一，----1—

4444

所以理+二之兀，即。23；

44

綜上，。的最小值為4.

故選：C.

9.在一定條件下，某人工智能大語言模型訓練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間T=Alog2N（單位：小時），

其中左為常數(shù).在此條件下，已知訓練數(shù)據(jù)量N從1。6個單位增加到1.024x1（）9個單位時，訓練時間增加20

小時；當訓練數(shù)據(jù)量N從1.024x109個單位增加到4.096x1（）9個單位時，訓練時間增加（單位：小時）（）

A.2B.4C.20D.40

【答案】B

【解析】

【分析】由題給條件列出不同訓練數(shù)據(jù)量時所需的時間，結合對數(shù)的運算性質即可求解.

【詳解】設當N取1。6個單位、1.024x109個單位、4.096x109個單位時所需時間分別為4ZZ，

6

由題意，Ti=^log210=6^1og210,

9106

T2=Z:log2（1.024X10）=左log2（2xl0）=Jl（10+61og210）,

9126

T3=fclog2(4.096X10)=^log2(2xlO)=Z;(12+61og210),

因為(一工=A:(10+61og210)-6A:log210=10Z:=20,所以左=2,

所以4—7；=^(12+61og210)-^(10+61og210)=2左=4,

所以當訓練數(shù)據(jù)量N從1.024x109個單位增加到4.096x109個單位時，訓練時間增加4小時.

故選：B.

10.已知平面直角坐標系xOy中，|34|=|礪|=0,IA31=2,設C(3,4),則12c4+A3I的取值范圍是

()

A.[6,14]B,[6,12]C.[8,14]D,[8,12]

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)通=彷-礪，求出〈，萬，礪〉，進而可以用向量函，礪表示出2力4+通，即可解出.

【詳解】因為|。41=|081=0,\AB\=2,

由荏=礪—兩平方可得，OAOB=0>所以〈礪，礪〉=].

22

2CA+AB=2(OA-OC^+OB-OA=OA+OB-2OC,|oc|=A/3+4=5,

所以，|2CA+AB|2=OA2+OB2+4OC2-4(OA+OB)OC

=2+2+4x25-4(況+網(wǎng).反=104-4(函+網(wǎng)

又次+麗)?反目麗+礪八反|==10,即—10K(西+礪)?反K10,

所以RG5+而je[64,144],BP|2C4+AB|?8,12],

故選：D.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.拋物線y2=2px(p>0)的頂點到焦點的距離為3,則P=.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質可求2的值.

【詳解】因為拋物線的頂點到焦距的距離為"，故3=3,故。=6,

22

故答案：6.

12.已知（1—2x）4=。0—2。1%+4。2%2—8。3%3+16。4/，則/=；。1+。2+。3+4=.

【答案】①.115

【解析】

【分析】利用賦值法可求小，利用換元法結合賦值法可求+。2+。3+。4的值.

【詳解】令x=0,則4=1,

34

又（1—2x）4=a0-2al1+4。2尤2-8tz3x+16?4x，

故（1-2x）=/+<?］（-2x）+a,（—2x）+%（—2x）+4（-2無），

令/■=-2x,則（1+/）=a。+qt+a。/?+名產(chǎn)+應/，

令f=1,貝！|旬+q+%+/+%=2，,故%+出+%+。4=15

故答案為：L15.

13.已知C,〃6［0,2兀］,且sin（。+，）=sin（。一，），cos（a+，）wcos（。-，），寫出滿足條件的一組a=

，B=?

TTTT

【答案】①.一（答案不唯一）②.一（答案不唯一）

26

【解析】

【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)的關系可得角的等量關系，從而可得滿足條件的一組解.

【詳解】因為sin（e+/?）=sin（?-/7）,cos（。+/?）wcos（a-尸），

所以。+/7,a-分的終邊關于y軸，且不與y軸重合，

兀

故￡/+/7+。一/=兀+2E,左eZ且。+/彳5+阮,/62,

兀

即a=—+左兀,左￡Z,

2

JTJT

故取a=—,/=—可滿足題設要求；

26

ITJT

故答案為：---（答案不唯一）

26

14.某科技興趣小組通過3D打印機的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中A2CDEP是一個平行多

邊形，平面ARF_L平面ABC,平面TCD_L平面ABC,AB±BC,AB//RS//EF//CD,

AF//ST//BC//ED,若AB=BC=8,AF=CD=4,AR=RF=TC=TD=之,則該多面體的體積為

2

【答案】60

【解析】

【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱ARF-BHT和四棱錐5-后結合體積公式可求幾何

體的體積.

【詳解】先證明一個結論：如果平面平面7,平面萬，平面7,平面。口尸=/，貝打,人

證明：設cc7=a,，口/=人，在平面7取一點0,。魚a,O史b,

在平面/內過。作直線加，使得作直線〃，使得

因為平面a_L平面7,mu/,故加_|_。，而/u。，故m

同理〃_U,而〃?n〃=Qwu/,故/_L/.

下面回歸問題.

連接3E,因為人3_1_3。且AF7/BC,故同理5CLCD,EFVED,

而A3=5C=8,AF=CD=4,故直角梯形ABEF與直角梯形CBED全等，

故ZBEF=ZBED=45。,

在直角梯形MEF中，過B作RT_L￡F,垂足為T,

則四邊形ABTF為矩形，且ABTE為以ZBTE為直角的等腰直角三角形，

故EF=打+1￡=AB+3T=AB+AF=12,

平面R4尸，平面AB￡F，平面R4廠門平面A3石尸=A尸，AF±AB,

ABu平面AB￡F，故W平面R4尸，

取他的中點為助的中點為U,C。的中點為V,連接

則MU〃RS,同理可證HM_L平面ABEF,而RMu平面HMUS,

故平面RMUS_L平面ABEF，同理平面VUSJ_平面ABEF,

而平面HMUSn平面V^=SU,故SUJ_平面ABEF,

散RMHSU,故四邊形HMUS為平行四邊形，故MU=RS=；(8+12)=10.

在平面中過8作卸露/4?,交于H,連接HT.

則四邊形A3HR為平行四邊形，豆RHHAB,RH=AB,板RHIIFT、RH=FT,

故四邊形RF7H為平行四邊形，

而5//，的,57，4民37門5//=537,3//匚平面BHT，

故AB_L平面BHT，故平面ARF7/平面BHT，

而AR=BH,RF=HT,AF=BT,故八ARF=八RHT,

故幾何體ARF-BHT為直棱柱，

而S/RF=gx4xJg1—4=3，故VARF-BHT=8x3=24'

因為AB〃EF,故石戶，平面AR廠,

而竹匚平面尺翊，故平面平面RSEF,

在平面AH歹中過A作AGLRF,垂足為G,同理可證AGL平面RS￡E,

11911?15

而QAGXRF=3,故AG=M,故Vg-WESngXwXQQ+勺XinG,

由對稱性可得幾何體的體積為2X(24+6)=60,

故答案為：60.

15.關于定義域為R的函數(shù)/(%),以下說法正確的有.

①存在在R上單調遞增的函數(shù)/(x)使得/(x)+f(2x)=-x恒成立;

②存在在R上單調遞減的函數(shù)/(%)使得/(%)+f(2x)=-x恒成立;

③使得/(%)+/(-%)=cos%恒成立的函數(shù)/(%)存在且有無窮多個;

④使得/(%)-/(-%)=cosx恒成立的函數(shù)/(%)存在且有無窮多個.

【答案】②③

【解析】

【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構造函數(shù)并驗證后可判斷②③的正誤.

【詳解】對于①，若存在R上的增函數(shù)〃尤)，滿足/(x)+〃2x)=—x,

則“O)+/(2xO)=-O即/(0)=0,

故x>0時，/(4x)>/(2x)>/(x)>0,故/(4x)+/(2x)>/(%)+/(2幻,

故—2x>—x即x<0,矛盾，故①錯誤；

對于②，取/(x)=—該函數(shù)為R上的減函數(shù)且/(x)+/(2x)=-x,

故該函數(shù)符合，故②正確；

對于③，取/(x)=；c

osx+tnx,meR,

此時/(x)+/(—%)=COSX,由%eR可得/(%)有無窮多個,

故③正確;

對于④，若存在了(尤)，使得/⑴一/(一力=COSX,

令x=0,則0=cos0,但cos0=l,矛盾，

故滿足/(%)—/(—x)=cosX的函數(shù)不存在，故④錯誤.

故答案為：②③

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在VABC中，cosA=-—,?sinC=4\/2.

3

(1)求C；

(2)在以下三個條件中選擇一個作為已知，使得VA5C存在，求8C的高.

①。=6；②6sinC=^Z；③VABC面積為10點.

【答案】(1)6(2)答案見解析

【解析】

【分析】（1）由平方關系、正弦定理即可求解;

（2）若選①，可得AC都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理、平方關系求得，sin5cos5,進一步由

AD=csinB求得高，并說明此時三角形ABC存在即可；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得6,再

根據(jù)余弦定理可求得。，由此可說明三角形ABC存在，且可由等面積法求解AO.

【小問1詳解】

因為cosA=—§,Ae（0,兀），所以sinA=Jl—cos?4=2"'^,

由正弦定理有asinC=csinA=2也。=46~,解得c=6；

3

【小問2詳解】

如圖所示，若VABC存在，則設其5c邊上的高為AD,

若選①，a=6,因為c=6,所以C=A,因為cosA=—,<0,這表明此時三角形ABC有兩個鈍角,

3

而這是不可能的，所以此時三角形ABC不存在，故3。邊上的高也不存在；

若選②，Z?sinC=I。0，由正弦定理有6sinC=csin5=6sin3=，解得sinB=’母，

339

AD=csin5=6x￡L也1

93

cosA=-l,sinA^

而cosNDAB=sinB,sinZDAB=cosB,

33

所以cosACAD=cos(ZG4B一/BAD),sinZCAD=71-cos2ZCAD可以唯一確定，

所以此時CA,CD也可以唯一確定,

這表明此時三角形ABC是存在的，且邊上的高AO=”也

3

若選③，VAfiC的面積是10匹，則S，ABc=g6csinA=gbx6x寺=10版，

解得/?=5,由余弦定理可得a=揚+。2一2"CCOSA=/25+36—2?5?6（—；］=9可以唯一確定，

進一步由余弦定理可得cosB,cosC也可以唯一確定，即5c可以唯一確定，

這表明此時三角形ABC是存在的，且5C邊上的高滿足：^BC=1a-AD=|AD=10V2,即

S20血

9

17.四棱錐P—ABCD中，“1CD與VABC為等腰直角三角形，ZADC=90°,ABAC=90°,E為BC

的中點.

（1）f為的中點，G為PE的中點，證明：/G//面以&

（2）若24上面ABC。，PA=AC,求AB與面尸C￡）所成角的正弦值.

【答案】（D證明過程見解析

⑵昱

3

【解析】

【分析】（1）取出的中點N,PB的中點連接印、MN,只需證明FG〃肱V即可；

（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出直線的方向向量與面PC。的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可

求解.

【小問1詳解】

取用的中點N,尸3的中點連接尸N、MN,

-.?AACD與NABC為等腰直角三角形ZADC=90°,ABAC=90°

不妨設AD-CD=2,:.AC=AB=2后

.-.BC=4,,?,￡>/分別為8C、尸。的中點，.,.MV=LA￡>=1,3E=2,

2

QZZMC=45°,ZACB=45°

:.AD//BC,

:.FN//GM,

：.四邊形尸GMV為平行四邊形，

:.FG//MN,

?.?FGa面叢8,肱Vu面B4B,，F(xiàn)G〃面

【小問2詳解】

?.?Q4,面A8CZ),.?.以A為原點，AC、AB,AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標

設AD=CD=2,則A(0,0,0),8(0,20,0),C(2夜,0,0)。(&,—0),P(0,0,2五)

UUW.—UUL1,—LUUUA—.—

AB=(0,2V2,0),DC=(A/2,V2,0),CP=(-272,0,272)

設面PCD的一個法向量為n=(x,y,z)

DCn=0(岳+岳=0

〈,,,<

CPn=0?-2y/2x+2s/2z=Q

取1=1,.二y~—1,z=1,.二〃二(1,—1,1)

設AB與面PCD成的角為。

UUULr

uunIABn|0xl+2V2x(-l)+0xl|272V3

則sin0=|cos〈AB,nr)|='uum

|AB-nr|2A/2-712+(-1)2+122V2V33

即AB與平面PCD成角的正弦值為B

3

18.有一道選擇題考查了一個知識點，甲、乙兩校各隨機抽取100人，甲校有80人答對，乙校有75人答對,

用頻率估計概率.

（1）從甲校隨機抽取1人，求這個人做對該題目的概率.

（2）從甲、乙兩校各隨機抽取1人，設X為做對的人數(shù)，求恰有1人做對的概率以及X的數(shù)學期望.

（3）若甲校同學掌握這個知識點則有100%的概率做對該題目，乙校同學掌握這個知識點則有85%的概

率做對該題目，未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個，設甲校學生掌握該知識點的概

率為B，乙校學生掌握該知識點的概率為。2,試比較Pi與P2的大?。ńY論不要求證明）

4

【答案】（1）j

（2）0.35,E（X）=L55

（3）p1<p2

【解析】

【分析】（1）用頻率估計概率后可得從甲校隨機抽取1人做對該題目的概率；

（2）利用獨立事件可求恰有1人做對的概率及X的分布列，從而可求其期望；

（3）根據(jù)題設可得關于的方程，求出其解后可得它們的大小關系.

【小問1詳解】

用頻率估計概率，從甲校隨機抽取1人，做對題目的概率為

1005

【小問2詳解】

設A為“從甲校抽取1人做對"，則P（A）=0.8,則P（Z）=0.2,

設8為“從乙校抽取1人做對”，則P（5）=Q75,貝iJP（Z）=0.25,

設C為“恰有1人做對"，故P（C）=P（通）+尸（矽）=「0尸（萬）+P（Z）P⑻=0.35,

而X可取0』,2,

p（X=0）=P（AB）=0.05,尸（X=l）=0.35,P（X=2）=0.8x0.75=0.6,

故X的分布列如下表：

X012

P0.050.350.6

故￡（X）=1x0.35+2x0.6=1.55.

【小問3詳解】

設。為“甲校掌握該知識的學生”，

因為甲校掌握這個知識點則有100%的概率做對該題目，

未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個,

故尸(0)+；(l_P(D))=0.8即^+|X(1-A)=0.8,故。1=「

同理有0.85,2+工義(1—02)=0.75,故P2=W,

故B＜夕2.

丫22萬

19.已知E：—+與=1的離心率為在，橢圓上的點到兩焦點距離之和為4,

/〃2

（1）求橢圓方程；

（2）設。為原點，加（天,%）（王）H0）為橢圓上一點，直線升x+2%丁-4=0與直線y=2,y=-2交

5.\OA\

于A,B.4M與△（?磁的面積為H，S,,比較在與扁的大小.

（JD

【答案】(1)—+^=1

42

OB\

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出a，c,再根據(jù)風仇c的關系求出6,即可得到橢圓方程；

OAV\AM\

（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點A,3坐標，即可求出不，再根據(jù)心=1高，即可得出它們的大小關

OBS2\BM\

系.

法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關系得到NAOM=N5OM,再根據(jù)三角形的面積公式即可

解出.

【小問1詳解】

由橢圓可知，2a=4,所以a=2,又e=￡=走，所以c=&,b2=a--c2=2,

a2

故橢圓方程為工+匕=1;

42

【小問2詳解】

x0x+2y0y-4=0

聯(lián)立《X2y2，消去X得,

—+—=1

I42

整理得，（2%：+4北）丁-16%y+16-4x；=0①,

22

又迎+迎=1,所以2片+4尤=8,16-4焉=8y,

42

故①式可化簡為8y2一16%>+8*=0,即（y_yo『=O,所以y=%,

所以直線與工+2%丁-4=0與橢圓相切，”為切點.

SOA\

設A（%馬,％），易知，當石=%時，由對稱性可知，麗

易知工=叫4

故設x2<x0<xlt

S2BM\x2-x0

聯(lián)立尸：2叱4=。，解得寸土也入2,

聯(lián)立產(chǎn)+；為I=°,解得.出,％=一2,

[y=-2%

"4九%

所以1L=AZ^=X°4.

S2x0-x2Xo.4±fA/-4%—4

2尤-4%=2-%

—2y：—4%2+%

"(if)+4_2y：_收—4%+4

2-%

,4(1+%J+4-2*Jy；+4%+42+%

故1OA

S2OB

s

法二：不妨設人（%,%）,8（%2，%），易知，當石=々時，由對稱性可知，

\OB\

故設％<玉)<石，

聯(lián)立產(chǎn)：2%y—4=0,解得寸二》一,

[y=2%

xc.x+2yny-4=04+4yn八

聯(lián)立，解得々=———,y2=-2,

[y=-2x0

川左=21=2/=_^0_k=逗=_2.=____k=及

4M

0為4―4%2—2%'OB々4+4為2+2%'°%'

22

又工+&=1,所以年+2$=4,

42

%一

所以tanZAOM=①=2-2%%

l+k0A-k0M]+_/_xA

'2-2%%

=_片+2y；-2yo=_4-2%=2

%(%-2)%(%-2)%'

%?一

tanNB0M=%。"-%_x。2+2%=x；+2y：+2%=4+2%_2

1+k()M，MB]+九*—%(%+2)/(%+2)x0

/I2+2%,

則tanZAOM-tan/BOM,即ZAOM=/BOM,

Sl\OA\\OM\sinZAOM\OA\

S2\OB\\OM\sinZBOM\OB\'

20.函數(shù)/(x)的定義域為(-l,+oo)"(0)=0"'(x)=螞3，4為A(a,7(a))(awO)處的切線.

1+x

(1)/'(X)的最大值；

(2)-l<a<0,除點A外，曲線y=/(x)均在丸上方;

(3)若。>0時，直線“過A且與4垂直，4，右分別于x軸的交點為百與馬，求的取值范

圍.

【答案】(1)-

e

2-l

(2)證明見解析(3)e

e~+1

【解析】

【分析】(1)利用導數(shù)判斷其單調性，即可求出最大值；

(2)求出直線4的方程，再構造函數(shù)九(尤)，只需證明其最小值(或者下確界)大于零即可；

2Q—x—x

(3)求出直線4的方程，即可由題意得到項,々的表示，從而用字母。表示出———從而求出范圍?

X2~不

【小問1詳解】

設g(x)=/'(x)，g，(x)=占°")Tn(l+x)=l—ln(l+x),

，，(1+x)2(1+x)2

由g'(x)=O可得x=e—l,當時，g'(x)〉O,g(x)單調遞增,

當xe(e—L+8)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減,

所以/'(X)的最大值為r(e-l)=-.

e

【小問2詳解】

因為r(q)=ln(l+a),所以直線《的方程為yJ(l+a)(1),即

1Ia1Ia

y=lnf(x-a)+/(a)，

設/z(x)=，(x)—+/⑷,丸’(力-1,：：。)=尸(同一/(以),

由(1)可知，/'(X)在上單調遞增,而一i<a<0,

所以，當一l<x<a時，/i,(x)<0,/z(x)單調遞減，

當0>%〉a時，//(x)>0,人(力單調遞增,且/'(a)</'(O)=O,

而當無20時，-(力=叭1+力20,所以總有可￡)單調遞增

故丸(％)2/，(。)，從而命題得證；

【小問3詳解】

由/，⑺=InQ+x)可設(⑺=(1+x)十°,又/⑼=o,所以c=o,即/⑺=42(1+%),

1+%22

因為直線4的方程為y=皿1+〃％_q)+皿(1+@,易知。w0,

1+a''2

2

所以直線,2的方程為尸一京%、ln(l+(2)

X—〃)H----------

'2

(1+。)叩+。)

%—CI---------------，

(l+〃)ln(l+a)In3(1+Q)

所以2a-西-犬2=22(l+a)=(l+a『—In'(1+a)

%-%In3(1+a)(l+a)ln(l+a)In?(l+a)+(l+a)~

2(l+a)+一

In2(1+tz)

1--------2-

(1+a)1—g2(a)2/、19zx1

=---\—---rr^=-1+；---由(1)知，當龍＞0時，^(x)e(0,-]，所以g2(〃)￡(o,],

ln，(l+a)l+g，(a)1+g(^)')e'e

(1+4+

?12a-x.-x0

所以——~~~-G』).

馬.再

21.A={l,2,3,4,5,6,7,8},M={(x.,y.)|尤”A,%eA},從M中選出〃個有序數(shù)對構成一列：

/、/、/X/、"+|-xJ=3lx.,,-X.=4

(七,…相鄰兩項(乙,%),(%+1，￥+1)滿足：?或稱為左歹!K

舊+1一用=4|X+「K=3

(1)若左列的第一項為(3,3),求第二項.

(2)若7為左列，且滿足，為奇數(shù)時,七w{l,2,7,8}：，為偶數(shù)時，玉@{3,4,5,6}；判斷：(3,2)與

(4,4)