第05講統(tǒng)計與概率14種常見考法歸類

《學(xué)考目標(biāo)￥

1.了解簡單隨機抽樣的含義，掌握兩種簡單的抽樣方法：抽簽法和隨機數(shù)法；了解分層隨

機抽樣，掌握各層樣本量比例分配的方法.在簡單的實際情境中，能根據(jù)實際問題的特點，設(shè)

計恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.

2.理解統(tǒng)計圖表的含義，能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化

描述，體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性.

3.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨

勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.

4.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），理解離散程度

參數(shù)的統(tǒng)計含義.

5.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律.

6.結(jié)合實例，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.

7.理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系.了解隨機事件的并、

交與互斥的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.

8.理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.

9.理解概率的性質(zhì)，掌握隨機事件概率的運算法則.

10.結(jié)合實例，會用頻率估計概率.

n.在具體情境中，結(jié)合古典概型，了解兩個事件相互獨立的概念，能計算兩個相互獨立

事件的概率.

［函基礎(chǔ)知識^

---------------------lllllllllllllllllllllllilllllllllllllllll-----------------------

1.隨機抽樣

（1）簡單隨機抽樣

①定義：一般地，設(shè)一個總體含有N（N為正整數(shù)）個個體，從中逐個抽取〃

個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，

我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未

進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣.

放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣；

②常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法.

（2）分層隨機抽樣

①定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于

一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一

起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.在分層隨機抽樣中，

如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配；

②分層隨機抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層隨機

抽樣.

2.常用統(tǒng)計圖表

（1）頻率分布直方圖

①縱軸表示慧’即小長方形的高=糯;

頻率

②小長方形的面積=組距X=頻率;

組距

③各小長方形的面積的總和等于1.

（2）頻率分布表的畫法

第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距=堆；

組距

第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；

第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.

（3）條形圖、折線圖及扇形圖

①條形圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸（橫軸上的數(shù)字）表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單

位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個樣本（或某個范圍內(nèi)的樣本）的數(shù)量多少畫出長短不同的等

寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為條

形圖；

②折線圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示一定

的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點，然后把各點用線段順次連接，得到一條折線,

用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為折線圖;

③扇形圖：用一個圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個扇形的大小

反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為扇形

圖.

3.總體百分位數(shù)的估計

（1）百分位數(shù)

\定義意義

百

一組數(shù)據(jù)的第2百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中反映該組數(shù)中小

分

至少有2%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100—0）%的于或等于該百分位數(shù)

位

數(shù)據(jù)大于或等于這個值的分布特點

數(shù)

（2）求一組〃個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；

第2步：計算，=〃Xp%；

第3步：若，不是整數(shù)，而大于，的比鄰整數(shù)為）,則第2百分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù)；若，?是

整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第，?項與第C/+D項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

4.總體集中趨勢的估計

（1）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個

數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個數(shù)據(jù)XI,X2,…，Xn

-1

的平均數(shù)X=—（X］+々H---1-X）.

nn

提醒（1）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受少數(shù)極端值影響；（2）眾數(shù)體現(xiàn)

了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，一組數(shù)據(jù)可能有〃個眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)；（3）與中位數(shù)、眾

數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)的更多信息，對樣本數(shù)據(jù)中的少數(shù)極端值更加敏感.

5.總體離散程度的估計

（1）假設(shè)一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,…，無,的平均數(shù)為總則：

①標(biāo)準(zhǔn)差

S=j［（Xl&）2+3㈤2+…+（3）2］；

②方差

2-2-2

S=-\_(XI%)+(X2%)2+???+(xn—%)].

n

(2)分層隨機抽樣的均值與方差

分層隨機抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數(shù)為行，樣本方差為S2.

以分兩層抽樣的情況為例.假設(shè)第一層有機個數(shù)據(jù)分別為XI,X2,…，X”平均數(shù)為您方

差為寸；第二層有〃個數(shù)據(jù),分別為yi,…，yn,平均數(shù)為歹，方差為4.則元=工￡如s"=

mi=l

1m1n1n

2

(x;-x)2,歹=工2卅^2=-Z(y—歹).

11n

mi?L芻;--1

①則訪=*-元

②$2=/^｛加應(yīng)+(%—iv)2]+〃避+(y—iv)2]｝.

6.隨機事件

(1)事件的相關(guān)概念

/必然事件一定發(fā)生)

[｛確定事件小.露件

事—4不可能事件件誓一定不發(fā)生)

4隨機事件內(nèi)笨(可能發(fā)生也可能不發(fā)生)

(2)概率和頻率

①在相同的條件S下重復(fù)〃次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱〃次試驗中事件A出

現(xiàn)的次數(shù)3為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例%(A)=皆為事件A出現(xiàn)的頻率；

②對于給定的隨機事件A,由于事件A發(fā)生的頻率或(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概

率P(A),因此可以用頻率%(A)來估計概率尸(A).

7.事件的關(guān)系和運算

(1)兩個事件的關(guān)系和運算

事件的關(guān)系和運算含義符號表示

包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致3發(fā)生AQB

相等關(guān)系B^A且A^BA=B

并事件(和事件)A與3至少有一個發(fā)生AU3或A+3

交事件(積事件)A與3同時發(fā)生AAB或AB

互斥事件A與3不能同時發(fā)生AHB=00

AHB=0,

互為對立事件A與3有且僅有一個發(fā)生

AU"。

(2)概率的幾個基本性質(zhì)

①概率的取值范圍：0<P(A)<1；

②必然事件的概率尸(。)=1;

③不可能事件的概率P(0)=0.

(3)互斥事件的概率加法公式：如果事件A與事件3互斥，那么P(AUB)=P(A)+

P(B)；

(4)對立事件的概率：如果事件A與事件3互為對立事件，那么P(B)=1-P(A)或

P(A)=1~P(B).

8.古典概型

(1)古典概型的特征

(2)古典概型的概率公式

>/.、事件A包含的樣本點的個數(shù)

有限樣本空間中樣本點的總數(shù)'

9.相互獨立事件

(1)事件相互獨立：在一個隨機試驗中兩個事件A,3是否發(fā)生互不影響，則稱事件A

與事件5相互獨立，當(dāng)對于〃個事件Ai,A2,…，A”，如果其中任意一個事件發(fā)生的概率不

受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱〃個事件Ai,A2,…，4相互獨立；

(2)獨立事件的概率公式

①若事件A,3相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)；

②若事件Ai,A2,…，4相互獨立，則P(A1A2…A”)=P(Ai)P(A2)…P(4).

提醒P(AB)=P(A)P(3)只有在事件A,3相互獨立時，公式才成立，

才曲解題策略|

---------------------lllliillillllllllllllllllllllllllllllllll-----------------------

1.簡單隨機抽樣需滿足：(1)被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；(2)逐個抽?。?3)

是不放回抽取；(4)是等可能抽取.

2.簡單隨機抽樣常用抽簽法(適用于總體中個體數(shù)較少的情況)、隨機數(shù)法(適用于個體

數(shù)較多的情況).

3.分層隨機抽樣問題的類型及解題思路

(1)求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算；

(2)已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層隨機抽樣就是按比例抽樣，

列比例式進行計算；

(3)分層隨機抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中，抽樣比=金上當(dāng)=

總樣本量

各層樣本數(shù)量

各層個體數(shù)量.

(4)在分層隨機抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均值為x,第二層的樣本量為〃，

平均值為》則樣本的平均值為藝土血.

m+n

4.頻率分布直方圖的相關(guān)結(jié)論

(1)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1；

(2)頻率分布直方圖中縱軸表示W(wǎng)士，故每組樣本的頻率為組距義？士，即矩形的面

組距組距

積;

(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率X總數(shù).

5.頻率分布直方圖中的常見結(jié)論

(D眾數(shù)的估計值為最高矩形底邊的中點對應(yīng)的橫坐標(biāo)；

(2)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫

坐標(biāo)之和；

(3)中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

6.平均數(shù)、方差的公式推廣

若數(shù)據(jù)xi,xi,…，X"的平均數(shù)為后方差為§2,那么mxi+a,mxi+a,mx3+a,mxn

~\-a的平均數(shù)是mx-\-a,方差為m2s2.

7.總體百分位數(shù)的估計需要注意的三個問題

(1)總體百分位數(shù)估計的基礎(chǔ)是樣本百分位數(shù)的計算，因此計算準(zhǔn)確是關(guān)鍵；

(2)由于樣本量比較少，因此對總體的估計可能存在誤差，因此對總體百分位數(shù)的估計

一般是估計值而非精確值.

(3)確定要求的2％分位數(shù)所在分組［A,B),由頻率分布表或頻率分布直方圖可知，樣

本中小于A的頻率為a,小于3的頻率為0,所以p%分位數(shù)=A+組距X等.

8.求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法

(1)眾數(shù)：由定義知，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即為眾數(shù)，若有兩個或幾個數(shù)據(jù)

出現(xiàn)的次數(shù)最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)

據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)；

(2)中位數(shù)：若一組數(shù)據(jù)為奇數(shù)個，按照從小到大(或從大到小)的順序排列，位于中

間位置的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若一組數(shù)據(jù)為偶數(shù)個，按照從小到大(或從大到小)的

順序排列，位于中間位置的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

(3)平均數(shù)：利用元求解.

ni=l

9.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的應(yīng)用

(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的情況.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離

散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.

10.計算分層隨機抽樣的方差的步驟

(1)確定禮y,s，，sf；

(2)確定通

(3)應(yīng)用公式d=小1+(x-7J)2]+3[s：+(歹一石)2],計算K

m+nm+n

11.事件關(guān)系判斷的策略

(1)判斷事件的互斥、對立關(guān)系時一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥

事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.

反之互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；對立事件是特殊的互斥事件，

特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生；

(2)判斷事件的交、并關(guān)系時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的

試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必栗時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析.也可類比集合的關(guān)系和運

用Venn圖分析事件.

12.用頻率估計概率

(1)頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值,

通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計

值.

(2)利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐

步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.

13.古典概型的概率求解步驟

(1)求出所有樣本點的個數(shù)〃；

(2)求出事件A包含的所有樣本點的個數(shù)機；

(3)代入公式P(A)=竺求解.

n

14.求樣本空間中樣本點個數(shù)的方法

(1)枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題；

(2)樹狀圖法：適用于需要分步完成的試驗結(jié)果.樹狀圖在解決求樣本點總數(shù)和事件A

包含的樣本點個數(shù)的問題時直觀、方便，但畫樹狀圖時要注意按照一定的順序確定分枝，避免

造成遺漏或重復(fù)；

15.互斥事件概率的兩種求法

(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解

概率；

(2)若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件時分類太多，而其對立面

的分類較少，可考慮先求其對立事件的概率，即運用“正難則反”的思想.常用此方法求“至

少”“至多”型事件的概率.

16.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的策略

（1）列出題中涉及的各個事件，并用適當(dāng)?shù)姆柋硎荆?/p>

（2）厘清事件之間的關(guān)系（兩個事件是互斥還是對立，或者是相互獨立），列出關(guān)系式;

（3）根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進行計算；

（4）當(dāng)直接計算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，

再求出符合條件的事件的概率.

l|Q考點剖析

------------------llllllllillllllllllllllllllllllllllllllll-----------------------

考點一：簡單隨機抽樣

例1.【多選】（2022秋.高一單元測試）對于簡單隨機抽樣，下列說法正確的是（）

A.它要求被抽取樣本的總體的個體數(shù)有限

B.它是從總體中逐個進行抽取的，在實踐中操作起來也比較方便

C.它是一種有放回的抽樣

D.它是一種等可能抽樣，在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的機會相等，從而保證了這種

抽樣方法的公平性

變式1.（2023春?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期中）利用簡單隨機抽樣的方法，從〃個個體（”>14）中

抽取14個個體，若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為（，則在整個抽樣過程中，

每個個體被抽到的可能性為.

變式2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）下列抽樣中適合用抽簽法的是（）

A.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗

B.從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗

C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱50件）產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗

D.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進行質(zhì)量檢驗

、［例2.（2023?高一單元測試）總體由編號為01,02,-,19,20的20個個體組成，利用下面的

隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始從左到右依

次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

變式1.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）欲利用隨機數(shù)表從00,01,02,L,59這些編號中抽

取一個容量為6的樣本，抽取方法是從下面的隨機數(shù)表的第1行第H列開始向右讀取，每次

讀取兩位，直到取足樣本，則第4個被抽取的樣本的編號為.

63016378591695556719981950717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

變式2.【多選】（2022秋.高一單元測試）已知下表為隨機數(shù)表的一部分，將其按每5個數(shù)

字編為一組:

080151772745318223742111578253

772147740243236002104552164237

291486625236936872037662113990

685141422546427567889629778822

已知甲班有60位同學(xué)，編號為01~60號，現(xiàn)在利用上面隨機數(shù)表的某一個數(shù)為起點，以簡單

隨機抽樣的方法在甲班中抽取4位同學(xué)，由于樣本容量小于99,所以只用隨機數(shù)表中每組數(shù)

字的后兩位，得到下列四組數(shù)據(jù)，則抽到的4位同學(xué)的編號可能是（）

A.15,27,18,53B.27,02,25,52

C.14,25,27,22D.15,27,18,74

考點二：分層隨機抽樣

例3.（2023?高一單元測試）簡單隨機抽樣，分層抽樣之間的共同點是（）

A.都是從總體中逐個抽取

B.將總體分成幾個部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取

C.抽樣過程中每個個體被抽到的概率是相等的

D.將總體分成幾層，然后分層按照比例抽取

變式L【多選】（2023春?湖南長沙?高一雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三

種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)

監(jiān)部門用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，則（）

A.在每一種型號的轎車中可采用抽簽法抽取

B.抽樣比為擊

C.三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛

D.這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

變式2.【多選】（2023秋?江西南昌?高一統(tǒng)考期末）某市有大、中、小型商店共1500家，且

這三種類型的商店的數(shù)量之比為1:5:9,現(xiàn)在要調(diào)查該市商店的每日零售額情況，從中隨機抽

取60家商店，則下列選項正確的有（）

A.1500家商店是總體

B.樣本容量為60

C.大、中、小型商店分別抽取4、20、36家

D.被抽取的60家商店的零售額情況是所抽取的一個樣本

變式3.（2023春?陜西西安?高一西安市黃河中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）光明社區(qū)老年合唱隊中，

6070歲的有30人，71~75歲的有15人,76歲及以上的有10人.若用分層抽樣的方法抽取〃位

老人參加某項活動，已知從71?75歲的老人中抽取了3人，則〃的值為.

變式4.（2023春?北京順義?高一牛欄山一中?？茧A段練習(xí)）當(dāng)前，國家正分批修建經(jīng)濟適用

房以解決低收入家庭住房緊張的問題.已知甲、乙、丙三個社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、

270戶、180戶.若第一批經(jīng)濟適用房中有90套住房用于解決這三個社區(qū)中90戶低收入家庭

的住房問題，先采用分層隨機抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應(yīng)從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的

戶數(shù)為.

變式5.（2023春?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期中）在新冠肺炎疫情期間，大多數(shù)學(xué)生都在家進行

網(wǎng)上上課，某校高一，高二，高三共有學(xué)生6000名，為了了解同學(xué)們對某授課軟件的意見，

計劃采用分層抽樣的方法從這6000名學(xué)生中抽取一個容量60的樣本，若從高一，高二，高三

抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則該校高二年級的人數(shù)為（）

A.1000B.1500C.2000D.1000

變式6.（2023春?河北邯鄲?高一大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校高一、高二、高三三

個年級共有學(xué)生3500人，其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的兩倍，高二學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人

數(shù)多300,現(xiàn)在按工的比例分配分層隨機抽樣的方法抽取樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為

例4.（2022春.廣東江門.高一江門市第一中學(xué)校考期中）高一某班級有男生35人，女

生15人，用分層抽樣的方法從全班學(xué)生中抽取一個容量為10的樣本，抽出的男生平均體重為

70kg,抽出的女生平均體重為50kg,估計該班的平均體重是（）

A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg

變式1.（2023春?江西南昌?高一南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校高一年級有300名

男生，200名女生，通過分層隨機抽樣的方法調(diào)查數(shù)學(xué)考試成績，抽取總樣本量為50,男生平

均成績?yōu)?20分，女生平均成績?yōu)镠0分，那么可以推測高一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績約為（）

A.110分B.115分C.116分D.120分

變式2.（2023春?寧夏?高一六盤山高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校有男教師160人，女教師140

人，為了調(diào)查教師的運動量的平均值（通過微信步數(shù)），按性別比例分配進行分層隨機抽樣，通

過對樣本的計算，得出男教師平均微信步數(shù)為12500步，女教師平均微信步數(shù)為8600步，則

該校教師平均微信步數(shù)為（）

A.12500B.10680

C.8600D.10550

考點三：扇形（餅狀）圖

[\例5.【多選】（2023春?陜西西安?高一西安市黃河中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）對某地區(qū)2023

年的學(xué)生人數(shù)進行了統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖.在初中生中，九年級學(xué)生人數(shù)最

多，八年級學(xué)生人數(shù)最少，七年級學(xué)生人數(shù)約為L2萬，則（）

A.該地區(qū)2023年的學(xué)生人數(shù)約為15萬

B.該地區(qū)2023年高中生的人數(shù)比八年級學(xué)生人數(shù)的2倍還多

C.該地區(qū)2023年小學(xué)生的人數(shù)比初中生、高中生和大學(xué)生的人數(shù)之和還多

D.該地區(qū)2023年九年級的學(xué)生人數(shù)在初中生人數(shù)中的占比約為34.7%

變式1.（2022春.貴州黔東南.高一統(tǒng)考期末）獨角獸企業(yè)被視為新經(jīng)濟發(fā)展的一個重要風(fēng)向

標(biāo)，2021年中國獨角獸企業(yè)行業(yè)分布廣泛，覆布圖（圖中的數(shù)字表示各行業(yè)獨角獸企業(yè)的數(shù)

量），其中“北上廣”三地的獨角獸企業(yè)數(shù)量的總占比為70%.則下列說法正確的是（）

A.房產(chǎn)居家和消費行業(yè)的獨角獸企業(yè)數(shù)量的總占比不足10%

B.人工智能，汽車交通以及智能硬件行業(yè)的獨角獸企業(yè)數(shù)量的總占比超過50%

C.“北上廣”三地的獨角獸企業(yè)共有170家

D.電子商務(wù)行業(yè)的獨角獸企業(yè)數(shù)量最多

變式2.（2022春.云南昆明.高一統(tǒng)考期末）南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學(xué)和護士教育創(chuàng)始

人南丁格爾（FlorenceNightingale182291。）設(shè)計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑

長短表示數(shù)量大小.某機構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成

南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯誤的是（）

A.2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加

B.2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多

C.2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍

D.2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增

變式3.（2022.高一單元測試）新高考方案規(guī)定，普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合

格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績將計入高考總成績，即“選擇考”成績根據(jù)學(xué)

生考試時的原始卷面分?jǐn)?shù)，由高到低進行排序，評定為4B、C、D、E五個等級.某試點高中

2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2016年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選

擇考”的水平情況，統(tǒng)計了該校2016年和2018年“選擇考”成績等級結(jié)果，得到如下圖表：針對

該?！斑x擇考”情況，2018年與2016年比較，下列說法正確的是（）

2016年該?！斑x擇考”等級統(tǒng)計2018年該校“選擇考”等級統(tǒng)計

，■Z等級28%

）■5等級32%

■C等級30%

。等級8%

W■E等級2%

A.獲得A等級的人數(shù)減少了

B.獲得8等級的人數(shù)增加了1.5倍

C.獲得。等級的人數(shù)減少了一半

D.獲得E等級的人數(shù)相同

考點四：條形圖與折線圖

］例6.（2022春.吉林長春.高一長春外國語學(xué)校?？计谀┠硨W(xué)校為了解高三年級學(xué)生

在線學(xué)習(xí)情況，統(tǒng)計了2021年2月18日-27日（共10天）他們在線學(xué)習(xí)人數(shù)及其增長比例

數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的條形圖與折線圖的組合圖.

根據(jù)組合圖判斷，下列結(jié)論正確的是（）

A.前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差大于后5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差

B.前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長比例的極差大于后5天的在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長比例的極差

C.這10天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長比例在逐日增大

D.這10天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)在逐日增加

變式1.（2023春?江西吉安?高一江西省泰和中學(xué)校考期末）某家庭2020年收入的各種用途占

比統(tǒng)計如圖1所示，2021年收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖2所示.已知2021年的“旅行”費用

比2020年增加了500元，則該家庭2021年的“衣食住”費用比2020年增加了（）

A百分比

圖2

A.2000元B.2500元C.3000元D.3500元

變式2.（2022秋.北京豐臺.高一統(tǒng)考期末）網(wǎng)上一家電子產(chǎn)品店，今年1-4月的電子產(chǎn)品銷

售總額如圖1,其中某一款平板電腦的銷售額占當(dāng)月電子產(chǎn)品銷售總額的百分比如圖2.

A.從1月到4月，電子產(chǎn)品銷售總額為290萬元

B.該款平板電腦4月份的銷售額比3月份有所下降

C.今年1-4月中，該款平板電腦售額最低的是3月

D.該款平板電腦2至4月的銷售額占當(dāng)月電子產(chǎn)品銷售總額的百分比與1月份相比都下降了

變式3.（2022春.廣西河池.高一統(tǒng)考期末）某保險公司推出了5個險種：甲，一年期短險；

乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險.現(xiàn)對5個險種參?？蛻?/p>

進行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計圖：

用樣本估計總體，以下四個選項錯誤的是（）

A.30~41周歲參保人數(shù)最多

B.隨著年齡的增長，人均參保費用越來越多

C.54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%

D.定期壽險最受參保人青睞

考點五：頻率分布直方圖

例7.（2021秋.高一單元測試）某校對高一新生進行體能測試（滿分100分），高一（1）

班有40名同學(xué)成績恰在［60,90］內(nèi)，繪成頻率分布直方圖（如圖所示），從［60,70）中任抽2人

的測試成績，恰有一人的成績在［60,65）內(nèi)的概率是（)

D

1515c1-I

變式1.（2021春?陜西渭南?高一?？计谀┠辰逃龣C構(gòu)為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出

情況，抽出了一個容量為〃的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在［40,50］元的同學(xué)

C.1000D.100

變式2.（2021秋.高一單元測試）為落實《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達標(biāo)測試工作，全面提

升學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某校高二年級體育組教師在高二年級隨機抽取100名男生，測試了立

定跳遠項目，依據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率直方圖.已知立定跳遠195cm及以上成績?yōu)?/p>

合格，255cm以上成績?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估計全校1000名男生中立定跳遠項目合格的

男生有（）

C.970名D.800名

變式3.（2023春?天津南開?高一天津二十五中?？茧A段練習(xí)）某校舉行知識競賽，對全校參

賽的1000名學(xué)生的得分情況進行了統(tǒng)計，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,

［90,100］分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法不亞項的是（）

B.得分在［80,100］的人數(shù)為400

C.這組數(shù)據(jù)的極差為50D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為77

變式4.（2022春.天津和平.高一耀華中學(xué)?？计谀┠持袑W(xué)全體學(xué)生參加了數(shù)學(xué)競賽，隨機

抽取了400名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進行適當(dāng)

畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）

A.直方圖中x的值為0.035

B.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間［70,80）的學(xué)生數(shù)為30人

C估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?3分

D.估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為95分

考點六：總體百分位數(shù)的估計

［、例8.（2023春?河南?高一校聯(lián)考期末）有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56,62,63,63,65,

66,68,69,71,74,76,76,77,78,79,79,82,85,87,88,95,98,則其25%分位數(shù)

與75%分位數(shù)的和為（）

A.144B.145C.148D.153

變式1.（2022春.云南.高一統(tǒng)考期末）棉花的纖維長度是衡量棉花質(zhì)量的重要指標(biāo).在一批棉

花中隨機抽測20根棉花的纖維長度（單位：mm）,按從小到大排序結(jié)果如下：

8286113115140143146170175195

202206233236238255260263264265

請你估計這批棉花的第5百分位數(shù)是（）

A.84B.86C.99.5D.115

變式2.（2023春?湖南長沙?高一長沙市明德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)如下：

56,62,63,63,65,66,68,69,71,74,76,76,77,78,79,79,82,85,87,88,95,

98

則其25%分位數(shù)、中位數(shù)與75%分位數(shù)分別為（）

A.65,76,82B.66,74,82C.66,76,79D.66,76,82

［、1例9.（2023春?江蘇蘇州?高一?？茧A段練習(xí)）下圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次體能素質(zhì)測

試中的成績畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的80%分位數(shù)為（）

A.75B.77.5C.78D.78.5

變式1.（2023春?山西太原?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）少年強則國強，少年智則國智.黨和政府

一直重視青少年的健康成長，出臺了一系列政策和行動計劃，提高學(xué)生身體素質(zhì).為了加強對

學(xué)生的營養(yǎng)健康監(jiān)測，某校在3000名學(xué)生中，抽查了100名學(xué)生的體重數(shù)據(jù)情況.根據(jù)所得

數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示,則下列結(jié)論正確的是（）

A.樣本的眾數(shù)為65B.樣本的第80百分位數(shù)為72.5

C.樣本的平均值為67.5D.該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為1000人

[A]例10.（2023春?江西南昌?高一校考期中）為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持

每日測溫報告，以下是高三一班，二班各10名同學(xué)的體溫記錄（從低到高）：

高三一班：36.1,36.2,m,36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0（單位：℃）,

高三二班:36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,",37.1（單位：℃）

若這兩組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則”-機為（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

變式1.（2022春.廣東潮州.高一統(tǒng)考期末）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,4,x,

7,8（其中XW7）,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù):倍，則該組數(shù)據(jù)的方差和60%分位數(shù)分別是

（）

A.y,5B.5,5C.y,6D.5,6

變式2.（2023秋?山東東營?高一統(tǒng)考期末）十名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：

15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設(shè)其中位數(shù)為a,眾數(shù)為0,第一四分位數(shù)為c,

則a,b,c大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

考點七：總體集中趨勢的估計

|例11.（2023春?四川廣元?高一廣元中學(xué)校考期中）某班有男生20名，女生30名.一

次數(shù)學(xué)考試（所有學(xué)生均參加了考試），男生數(shù)學(xué)成績平均為92,女生數(shù)學(xué)成績平均分為97,

則該班數(shù)學(xué)成績平均分為（）

A.94B.94.5C.95D.95.5

變式1.（2023秋?廣西桂林?高一統(tǒng)考期末）《數(shù)術(shù)記遺》記述了積算（即籌算）、珠算、計

數(shù)等共14種算法.某研究學(xué)習(xí)小組共7人，他們搜集整理這14種算法的相關(guān)資料所花費的時

間分別為83,84,80,69,82,81,81（單位:min）.則這組時間數(shù)據(jù)的（）

A.極差為14B.方差為22C.平均數(shù)為80D.中位數(shù)為80

[\例12.（2022?高一單元測試）某滑冰館統(tǒng)計了2021年11月1日到30日某小區(qū)居民在

該滑冰館的鍛煉天數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確

的是（）

A.該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)在區(qū)間（25,30]內(nèi)的最少

B.估計該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的中位數(shù)為16

C.估計該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的平均值大于14

D.估計該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)超過15天的概率為0.456

變式1.（2023?高一單元測試）某校舉辦了迎新年知識競賽，隨機選取了100人的成績整理后

畫出的頻率分布直方圖如下，則根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論不正確的是（）

頻率

組距

0405060708090100成績/分

A.該校約有一半學(xué)生成績高于70分B.該校不及格人數(shù)比例估計為25%

C.估計該校學(xué)生成績的中位數(shù)為70分D.估計該校學(xué)生的平均成績超過了70分

變式2.(2022秋.遼寧鐵嶺.高一昌圖縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí))為了調(diào)查某市市民對出

行的滿意程度，研究人員隨機抽取了1000名市民進行調(diào)查，并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計

成如圖所示的頻率分布直方圖，其中。=劭.

頻率

0.035

0.027

a

0.008

b

O5060708090100芬數(shù)

⑴求，、b的值；

(2)求被調(diào)查的市民的滿意程度的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；

⑶若按照分層抽樣從[50,60),[60,70)中隨機抽取8人，應(yīng)如何抽??？

變式3.(2023春?福建三明?高一永安市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí))2021年3月18日，位于孝

感市孝南區(qū)長興工業(yè)園內(nèi)的湖北福益康醫(yī)療科技有限公司正式落地投產(chǎn)，這是孝感市第一家獲

批的具有省級醫(yī)療器械生產(chǎn)許可證資質(zhì)的企業(yè)，也是我市首家“一次性使用醫(yī)用口罩、醫(yī)用外

科口罩,，生產(chǎn)企業(yè).在加大生產(chǎn)的同時，該公司狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)

質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：[40,50),[50,60),

[60,70),[90,100],得到如下頻率分布直方圖.

（1）求出直方圖中m的值；

⑵利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)（同

一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01）;

⑶現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利

用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，其中一等品和二等品分別有

多少個.

[V]例13.（2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一鐵路一中?？计谀┠嘲嗉売?0名學(xué)生，其中

有30名男生和20名女生隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績，五名

男生的成績分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93下列說

法一定正確的是（）

A.這種抽樣方法是一種分層隨機抽樣

B.這五名男生成績的中位數(shù)大于這五名女生成績的中位數(shù)

C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差

D.該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)

變式1.（2023?高一單元測試）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從使用該產(chǎn)品的用戶中

隨機調(diào)查了100個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到如圖所示的用戶滿意度評分的頻率

分布直方圖.若用戶滿意度評分的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別為。，,G則（）

O405060708090100滿意度評分

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

變式2.（2021春.吉林白山.高一統(tǒng)考期末）某校舉行校園歌手大賽，6位評委對某選手的評

分分別為9.2,9.5,8.8,9.9,8.9,9.5,設(shè)該選手得分的平均數(shù)為x,中位數(shù)為》眾數(shù)為z,

則（）

A.x<y<zB.x<y=zc.y<無<zD.x<z<y

考點八：總體離散程度的估計

住口例14.（2021秋?高一單元測試）某公司生產(chǎn)的飲水機過濾器濾芯在2020年12月份的

第一周的日生產(chǎn)量（單位：萬件）如下表:

日期12.112.212.312.412.512.612.7

日生產(chǎn)量/萬件1.100.801.201.100.801.100.90

則該公司這一周的日生產(chǎn)量的方差為（精確到0.01）（）

A.0.02B.0.01C.0.03D.0.04

變式1.（2023春?湖北武漢?高一武漢市第4^一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在高三某次模擬考試中,

甲、乙兩個班級的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下表，則兩個班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的方差為（）.

班級人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差

甲40705

乙60808

A.6.5B.13

C.30.8D.31.8

變式2.（2023春?安徽?高一安徽省潁上第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）小明在整理數(shù)據(jù)時得到了

該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為20,方差為28,后來發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將11記錄為21,

另一個錯將29記錄為19.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為"方差

為則（）

A.x>20,52<28B.二<20,52>28C.x=20,s2<28D.x=20,52>28

例15.（2023春?遼寧大連?高一大連市一0三中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過簡單隨機抽樣獲

得的樣本數(shù)據(jù)為石，無2,…，斗，且數(shù)據(jù)占,3,…,X,的平均數(shù)為總方差為則下列說法正確的是

()

A.若數(shù)據(jù)孫孫—方差$2=0,則所有的數(shù)據(jù)=都為0

B.若數(shù)據(jù)為，%,,當(dāng)，的平均數(shù)為h=3,則y=2x,+l?=l,2,,〃）的平均數(shù)為6

C.若數(shù)據(jù)占，％，…，無”,的方差為d=3,則％=2%+1?=1,2,,〃）的方差為12

D.若數(shù)據(jù)%的25%分位數(shù)為90,則可以估計總體中有至少有75%的數(shù)據(jù)不大于90

變式1.（2023春?陜西西安?高一西安市黃河中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)小馬，，匕的

平均數(shù)為元，標(biāo)準(zhǔn)差為S,則數(shù)據(jù)3%T3x「l,,3為一1的平均數(shù)和方差分別為（）

A.3TT,3s-lB.3只3sC.3^-1,9?D.3T-1,9s?T

變式2.（2022春.陜西渭南.高一統(tǒng)考期末）已知甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)高一入學(xué)時年

齡的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)均為16,方差為0.8,則三年后，下列判斷錯誤的是（）

A.這五位同學(xué)年齡的平均數(shù)變?yōu)?9B.這五位同學(xué)年齡的方差變?yōu)?.8

C.這五位同學(xué)年齡的眾數(shù)變?yōu)?9D.這五位同學(xué)年齡的中位數(shù)變?yōu)?9

考點九：隨機事件關(guān)系的判斷

△I例16.（2023春?河南洛陽?高一洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某飲料

生產(chǎn)企業(yè)推出了一種有一定幾率中獎的新飲料.甲、乙兩名同學(xué)都購買了這種飲

料，設(shè)事件A為“甲、乙都中獎”，則與A互為對立事件的是（）

A.甲、乙恰有一人中獎B.甲、乙都沒中獎

C.甲、乙至少有一人中獎D.甲、乙至多有一人中獎

變式1.（2022春.河南省直轄縣級單位.高一濟源高中?？计谀┐鼉?nèi)分別有紅、白、黑球3,2,1個，

從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（）

A.至少有一個白球；都是白球B.至少有一個白球；至少有一個紅球

C.恰有一個白球；一個白球一個黑球D.至少有一個白球；紅、黑球各一個

變式2.（2021春.陜西渭南.高一統(tǒng)考期末）從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中隨機抽取三

件產(chǎn)品，設(shè)事件A="三件產(chǎn)品全不是次品"，事件3="三件產(chǎn)品全是次品”，事件C="三件產(chǎn)品

有次品，但不全是次品”，則下列結(jié)論中不亞琥的是（）

A.A與C互斥B.3與C互斥

C.A、B、C兩兩互斥D.A與3對立

變式3.（2023?高一單元測試）某人射擊一次，成績記錄環(huán)數(shù)均為整數(shù).設(shè)事件A：“中靶”;

事件8：“擊中環(huán)數(shù)大于5”；事件C：“擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”；事件。：“擊中環(huán)數(shù)大于0

且小于6”.則正確的關(guān)系是（）

A.A與。為對立事件B.A與。為互斥事件C.8與C為對立事件D.B

與C為互斥事件

變式4.（2023秋?遼寧?高一校聯(lián)考期末）從高一（男、女生人數(shù)相同，人數(shù)很多）抽三名學(xué)生

參加數(shù)學(xué)競賽，記事件A為“三名學(xué)生都是女生”，事件8為“三名學(xué)生都是男生"，事件C為“三

名學(xué)生至少有一名是男生”，事件。為“三名學(xué)生不都是女生”，則以下錯誤的是（）

A.P（A）=（B.尸（C）WP（0

C.事件A與事件3互斥D.事件A與事件C對立

考點十：用頻率估計概率

、:例17.（2023?高一單元測試）將一枚硬幣擲10次，正面向上出現(xiàn)了6次，若用A表示

正面向上這一事件，則人（）

A.發(fā)生的概率為:B.發(fā)生的概率接近：

C.在這十次試驗中發(fā)生的頻率為（D.在這十次試驗中發(fā)生的頻率為6

變式1.（2023?高一單元測試）某人從水庫中打了一網(wǎng)魚共1000條，作上記號再放回水庫中，

數(shù)日后又從水庫中打了一網(wǎng)魚共”條，其中上條有記號，由此估計水庫中共有魚的條數(shù)為（）

1000口1000M

BC.1000/7無法估計

A.~k~--D.

變式2.（2023?高一單元測試）一批瓶裝純凈水，每瓶標(biāo)注的凈含量是550向，現(xiàn)從中隨機抽

取10瓶，測得各瓶的凈含量為（單位