專題06等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1、掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

2、進(jìn)一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實(shí)數(shù)的大小.

知識(shí)點(diǎn)一：不等式的概念

在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“力“之”“W”

連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式.

自然語(yǔ)言大于小于大于或等小于或等至多至少不少于不多于

于于

符號(hào)語(yǔ)言><><<>><

知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)6大小的比較

1、如果a—〃是正數(shù)，那么a>b；如果a—b等于0,那么a=b；如果a—〃是負(fù)數(shù)，那么a<b,反過(guò)

來(lái)也對(duì).

2、作差法比大?。篅a-b>0<^>a>b；②a-b=0oa=b；?a-b<0<^a<b

3、不等式性質(zhì)

性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變

性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變

性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變

知識(shí)點(diǎn)三：不等式/+匕222ab的探究

一般地，\/a,b^R,有儲(chǔ)+/7222a人，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

知識(shí)點(diǎn)四：不等式的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對(duì)稱性a>b=b<aO（等價(jià)于）

傳遞性a>b,b>c=Q>cn（推出）

可加性a>b<^a+c>b+c=（等價(jià)于

a>b]注意C的符號(hào)（涉及分類討

可乘性>=>ac>be

c>0j論的思想）

a>b

ac<be

c<OJ

a>b\

同向可加性a+c>b+dn

c>d\

同向同正可乘性>^ac>bdn

C>6?>OJ

可乘方性a>b>0na">bn(neN,n>2)a,6同為正數(shù)

5、區(qū)間的概念

5.1區(qū)間的概念

設(shè)〃是實(shí)數(shù)，且a<b,滿足aWxWZ?的實(shí)數(shù)x的全體，叫做閉區(qū)間，

記作[區(qū)川，BP，[?,b]=[x\a<x<b}Q如圖：a,。叫做區(qū)間的端點(diǎn).在數(shù)軸上表示一個(gè)區(qū)間時(shí)，若

區(qū)間包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示；若區(qū)間不包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用空心點(diǎn)表示.

I]_J___L-.I1

"bxabxtib飛abx

。WxWba<x<ba<x￡baWx<b

{r|a<x<b}a<x^b\國(guó)

1??句(?.b)(a，汕(??b)

閉區(qū)間開(kāi)區(qū)間半開(kāi)半閉區(qū)間半開(kāi)半閉區(qū)間

集合{x\a<x<b]{x|a<x<b]{x\a<x<b]{x\a<x<b]

區(qū)間[a,b](a,b)(a,b][a,6)

5.2含有無(wú)窮大的表示

全體實(shí)數(shù)也可用區(qū)間表示為(-8,+8),符號(hào)“+8”讀作“正無(wú)窮大”，“口”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，即

R=(-CO,+8)。

1.

Xaxaxa

*2axWax>ax<a

{x|xWa]{rix>a}{A1AT<a}

|tf.+o>)(-??tf](a.E))(y.a)

集合{x\x>a}{x\x<a}{x\x>a}{x\x<a}

區(qū)間[a,+co)(-00,a](a,+oo)(—oo,a)

/------[HHHK.

（對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)J

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)一：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小

角度L由不等式性質(zhì)比較數(shù)（式）的大小

典型例題

例題1.（24-25高一下?貴州遵義?階段練習(xí)）已知a>b>c,則下列不等式一定成立的是（）

A.a-\-b>cB.ab>c1C.------>-------D.ab>ac

a-ba-c

例題2.(24-25高一上,湖南益陽(yáng)?期末)已知a>Z?>0,c>d>0,貝()

A.a+d>b+cB.a-d>c—b

C.ac2>be2D.ad>bc

精練

1.（24-25高一上?上海?期末）若。<6<0下列不等式中：①：<1;②同誹|:③^^與；@-<7,成

bbaab

立的有（）個(gè)

A.1B.2C.3D.4

2.（多選）（24-25高一上?新疆昌吉?期末）已知a>b>0>c>d,下列說(shuō)法正確的是（）

cd

A.ac>bcB.a3>b3C.a—c>b—dD.—>—

ab

3.（多選）（24-25高一上?山東臨沂?期末）若貝IJ（）

八-11ba.bb+1

A.ac>bcB.—<—C.—<—D,—>------

ababaa+1

角度2:利用作差法比較大小

典型例題

例題1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若a=（x+l）（x+3）,。=2（尤+2丫，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>bB.a<bC.a>bD.?,6大小不確定

例題2.（24-25高一上,海南?？?階段練習(xí)）若x<y<0,設(shè)M=（/+力（了_丫）m=，一力口+田，則

M,N的大小關(guān)系是.

精練

1.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知尸="+3〃+3,Q=a+1,則尸與。的大小關(guān)系為（）

A.P<QB.八。C.P>QD.P<Q

2.（24-25高一上?四川南充?階段練習(xí)）設(shè)M=2a（a-2）,N=（。+1）（。-3）,貝！1河，N的大小關(guān)系為（）

K.M>NB.M<NC.M<ND.無(wú)法確定

3.（24-25高一上?遼寧?期末）已知a,b均為正實(shí)數(shù)，若/=/+/,雙=/"必2,則（）

K.M<NB.M<NC.M>ND.M>N

角度3：利用作商法比較大小

典型例題

例題1.（多選）（23-24高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)〃，b,c,下列選項(xiàng)正確的是（）

A*mia+bi

A.a>b,貝！!”〉>bB.若a>/?>0,則a>y[ab>b

2

.fb

C.若一>—貝!Ia〉0,b<0D?若a>b>0,c>0,貝（I----->—

ab9a+ca

例題2.（2024高一?上海?專題練習(xí)）P=/+a+l,Q=——,（aeR）,則P,。的大小關(guān)系為_(kāi)_____

a-a+1

精練

1.（23-24高一,江蘇?假期作業(yè)）已知讓1,試比較M=GTT-，^[1N=&-&^T的大小.

2.（230高一下?黑龍江鶴崗?期末）設(shè)。>人。，比較累與卯的大小

3.（23-24高一上?河北石家莊?期中）（1）設(shè)。>6>0,比較與佇1的大??；

a2+b2a+b

（2）已知a>>>0,c<d<0,e<0求證:>—--.

9a-cb-d

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

典型例題

例題1.（24-25高一上?海南省直轄縣級(jí)單位?期中）已知a>b>l,d<c<—2.

（1）求證：（。一1）（6-1）（。+2）（4+2）>。；

（2）求證:ac+bd>bc+ad.

例題2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)。，6,c滿足a+°+c=0.

（1）若a<b<0,求證：---<；

a-cb-c

⑵若〃<0,b<0,abc=1,求C的最小值.

精練

1.（24-25高一上?河北石家莊?階段練習(xí)）⑴比較小+4/+1與2（x+2y-l）的大小；

（2）已知匕>0,c<d<0,e<0,求證：---->----

a-cb-a

2.（24-25高一上?甘肅蘭州?期中）⑴比較。+3）（〃-5）與（0+2）（0-4）的大??；

（2）已知。>6>0,c<0,求證：￡>$.

ab

_「Z7

3.（2024高一上?全國(guó)?專題練習(xí)）已知b>a>0,c>d>0,求證---->----

c+ad+b

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)三：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

典型例題

例題1.（24-25高一上■廣東河源■階段練習(xí)）已知-l<x+y<4,2<x-y<3,

（1）求x的取值范圍

⑵求3x+2y的取值范圍

Y

例題2,（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）如果30<%<42,16<y<24,分別求％+y,x-2y及一的取值范圍.

y

精練

1.（24-25高一上?廣東廣州?階段練習(xí)）⑴設(shè)。力為實(shí)數(shù)，比較與2a-26-2的值的大??；

（2）已知lWa+Z?W4,-l<a-b<2,求4。一2〃的取值范圍；

（3）已知正數(shù)。涉滿足2"=2a+b,求a+2Z>的最小值.

2.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知-14尤+”2,-2<x-y<l,求x-2y的取值范圍.

3.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知一1<%<4,2<j<3.

（D求的取值范圍；

（2）求3x+2），的取值范圍.

/------[HHHK-

（基礎(chǔ)通關(guān)J

一、單選題

1.（24-25高一上?重慶,期中）已知P:x+y>2,孫>1；4：*>1,y>l,貝！是。的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.就不充分又不必要條件

2.（24-25高一上,北京?期中）若a,b,c為非零實(shí)數(shù)，且b>C,則（）

A.a+b>cB.ab>c2C.a+b>2c

abc

3.（24-25高一上?江蘇南通?階段練習(xí)）若a>6>0,則下列不等式一定成立的是（)

_bb+1>b,a-2a+ba

A.—>------B.a+->b+-C.a—>b—D--------->-

aa+1baba+2bb

4.（24-25高一上?云南昭通?期中）下列命題為真命題的是（）

A.若貝！|a<6B.若。<匕，貝（I/</

ab

D?若a>b>0,貝112Vq

C.若a>6>0,貝!lsfa<&1

ab

5.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知0<x<5,-l<y<l,貝！|x-2y的取值范圍是（)

A.(2,3)B.(-2,3)

C.(2,7)D.(-2,7)

6.（24-25高一上?廣東陽(yáng)江?期末）已知1<。<2,0<6<3,則2a-6的取值范圍為（)

A.(1,2)B.(2,7)C.(-1,7)D.(-1,4)

7.（24-25高一上?四川瀘州?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足--l<4^-><5,貝!|6x-3y的

取值范圍是（）

A.[-9,3]B.[-7,26]

C.[4,15]D.[1,15]

8.（24-25高一上?湖南郴州?期末）已知實(shí)數(shù)。力滿足l<a<3,-l<b<2,則2a-6的取值范圍是（）

A.(0,4)B.(3,4)C.(3,7)D.(0,7)

二、多選題

9.（24-25高一上?廣