第09講空間向量及其運算的坐標表示10種常見考法歸類

學宅目標彳

理解和掌握空間向量的坐標表示及意義，會用向量的坐標表達空間向量的相關(guān)運算.會求空

間向量的夾角、長度以及有關(guān)平行、垂直的證明.

||鑿基礎(chǔ)知識^

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知識點1空間直角坐標系

1.空間直角坐標系

(1)空間直角坐標系：在空間選定一點。和一個單位正交基底｛i,j,k｝,以。為原點，分

別以i,左的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們

都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系。町2

(2)相關(guān)概念：。叫做原點，i,j,女都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標

平面，分別稱為。町平面、。戶平面、05平面，它們把空間分成八個部分.

注意點：

(1)基向量：\i\=\j\=\k\=l,i-j=i-k=j-k=0.

(2)畫空間直角坐標系。孫z時，一般使NxOy=135。(或45。)，ZyOz=90°.

(3)建立的坐標系均為右手直角坐標系.在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正

方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標

系.

2.空間一點的坐標'向量的坐標

(1)空間點的坐標

在空間直角坐標系Oxyz中，i,j,左為坐標向量，對空間任意一點A,對應(yīng)一個向量溫，

且點A的位置由向量況唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,j,z),

使況=xi+W+法.在單位正交基底｛i,身下與向量以對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點

A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x,y,z),其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱

坐標，z叫做點A的豎坐標.

注：空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標特點

點的位置X軸上y軸上z軸上

坐標的形式(x,0,0)(0,j,0)(0,0,z)

點的位置。孫平面內(nèi)。戶平面內(nèi)平面內(nèi)

坐標的形式(X,j,0)(0,y,z)(x,0,z)

(2)空間點的對稱問題

①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律,

才能準確求解.

②對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結(jié)論.

(3)空間向量的坐標

向量的坐標：在空間直角坐標系。xyz中，給定向量作況=。，由空間向量基本定理，

存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,j,z),使a=xi+j:/+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐

標系。盯z中的坐標，可簡記作a=(x,y,z).

知識點2空間向量的坐標運算

1.空間向量的坐標運算法則

設(shè)向量a=(ai,?2??3),b=(bi,歷，仇),4WR,那么

向量運算向量表示坐標表示

加法a+b(ai+bi,ai+bn的+。3)

減法a—b(ai-bi,ai—bi,的一方3)

數(shù)乘la義。2,義。3)

數(shù)量積a?b。川1+。2岳+。3岳

注意點：

(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致.

(2)設(shè)4(X1,山,Zl),5(*2,J2,Z2),則助=(*2—Xl,J2—Jl,Z2-Z1).即一個空間向量的坐標

等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.

(3)運用公式可以簡化運算：(a±〃)2=a2±2a.)+方2；(a+妙5一方)=(/2—比

⑷向量線性運算的結(jié)果仍是向量，用坐標表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量.

2.空間向量相關(guān)結(jié)論的坐標表示

設(shè)a=(ai,a?,a3),b=(bi,bi,b3),則有

(1)平行關(guān)系：當厚0時，a//b<^a=Xb<^a\=kbi,(12=油2,。3=勸3(2e對；

(2)垂直關(guān)系：a_Lb<^a-b=Odi岳+a2b2+a3b3=0.

(3)|a|=\[a-a=74彳+=+/.

a?b的歷+。2岳+。313

(4)cos<a,b)=麗=而用洋薪麗西

注意點：

⑴要證明aA-b,就是證明a-b=O；要證明a//b,就是證明a=2A(厚0).

(2)a=(xi,ji,zi),b=(x2,72,Z2),若a〃b,貝(1*2=)2=%2成立的條件是工M22邦.

3.空間兩點間的距離公式

在空間直角坐標系中，設(shè)P1(X1,yi,Nl),P1(X1,J2,Z2).

(1)P1P2^=(X2—X1,J2—Jl,Z2—Z1).

2-22

(2)P1P2=|P\P1'I=^/X2—XI+J2Ji+Z2-zi.

(3)若。(0,0,0),P(x,y,z),則I分尸由^+[2+22.

注：空間兩點間的距離公式推導過程

如圖，建立空間直角坐標系。町石

設(shè)P1(X1,yi,Z1),尸2(*2,)2,Z2)是空間中任意兩點，TiP^=Op2—OPl=(X2—Xl,J2~Jl,Z2

—Zl),

于是I右再1=4再耳?石耳=J(%2—%)2+(為一X)2+(7-Z2)2

所以尸1尸2=|尸1尸29J(V-FA+(%-V)2+(Z]-Z2＞，

222

因此，空間中已知兩點A(xi,yi,zi),b(X2,y2,Z2),則AB=\Ai\=^(x2-^)+(y2-yj+(z1-z2).

*圈解題策略I

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1.建立空間直角坐標系時，要考慮如何建系才能使點的坐標簡單、便于計算，一般是要

使盡量多的點落在坐標軸上.充分利用幾何圖形的對稱性.

2.求某點M的坐標的方法

作MAT垂直于平面Oxy,垂足為M',求AT的橫坐標x,縱坐標y,即點M的橫坐標x,

縱坐標y,再求M點在z軸上射影的豎坐標z,即為M點的豎坐標z,于是得到M點的坐標(x,

7，z).

3.空間向量坐標運算的規(guī)律及注意點

(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定.

已知空間點的坐標、A(X1,J1,Z1),5(*2,)2,0)向量NN的坐標等于終點坐標減起點坐

標.即AB>=(X2—X1,J2—JoZ2—Z1).

(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算.

(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標.

4.解決空間向量垂直、平行問題的有關(guān)思路

(1)若有關(guān)向量已知時，通常需要設(shè)出向量的坐標.例如，設(shè)向量a=(x,y,z).

(2)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件，在有關(guān)平行的問

題中，通常需要引入?yún)?shù).例如，已知a〃兒則引入?yún)?shù)九有。=M，再轉(zhuǎn)化為方程組求解；

已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值,則利用平行、垂直的充要條件,將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，

列方程(組)求解.

(3)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求出相關(guān)向

量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明.

5.利用向量數(shù)量積的坐標公式求異面直線所成角的步驟

（1）根據(jù)幾何圖形的特點建立適當?shù)目臻g直角坐標系；

⑵利用已知條件寫出有關(guān)點的坐標，進而獲得相關(guān)向量的坐標；

（3）利用向量數(shù)量積的坐標公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線

所成的角.

6.利用向量坐標求空間中線段的長度的一般步驟

（1）建立適當?shù)目臻g直角坐標系；

（2）求出線段端點的坐標；

（3）利用兩點間的距離公式求出線段的長.

Q考點剖析

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考點一：空間中點的坐標表示

例1.（2023秋?北京西城?高二北師大二附中校考期中）已知點A（4,-l,2）,B（2,-3,0）,

點c滿足衣=函，則點C的坐標是

【答案】（3,-2,1）

【分析】直接代入空間向量的坐標公式列方程計算即可.

【詳解】設(shè)c（”z）,

貝1衣=(x-4,y+l,z-2),CB=(2-x,-3-y,-z)

由題可得

x-4=2-xx=3

y+l=-3-y,解得＜y=-2

z—2=-zZ=1

即點c的坐標是（3,-2,1）.

故答案為：（3,-2,1）.

變式1.（2022.高二課時練習）若△ABC頂點入（2,-5,3）,且麗=（4,1,2）,BC=（3-2,5）,則點C

坐標是.

【答案】（9,-6,10）

【分析】根據(jù)向量的坐標表示有在=（%-%?-%，ZB-ZQ、BC^{xc-xB,yc-yB,zc-zB）,即可

求C坐標.

【詳解】由4（2,-5,3）,AB=（XB-2,yB+5,zB-3）=（4,1,2）,可得:磯6,-4,5）,

又反=（3,-2,5）,同理可得：C（9,-6.10）.

故答案為：（9,F10）

變式2.（2022.全國.高二專題練習）平行六面體ABCD-4B|G〃中，AC=（1,2,3）,G（-1,2,4）,則

點A的坐標為（）

A.（0,4,7）B.（-2,0,1）C.（2,0,-1）D.（2,0,1）

【答案】B

【分析】利用空間向量的坐標表示，即得.

【詳解】設(shè)AG，*）,

VAC=（1,2,3）,q（-1,2,4）,又前=R,

/.（l,2,3）=（-l-x,2-y,4-z）,

解得x=-2,y=0,z=l,即A（—2,0,l）.

故選：B.

變式3.（2023?全國?高二專題練習）已知點M（L0,2）,N（-l,l,0）,MN=2MP,則點尸的坐標為

【答案】［o,1,lp（0,0.5,1）

【分析】先求出向量麗的坐標，設(shè)點P（x,y,z）,得出麗的坐標，根據(jù)條件得出方程組可得答

案.

【詳解】點”（1，。，2）,N（-l,I,0）,則麗=（-2,1,-2）

設(shè)點尸（x，%z）,貝U嬌=（x-l,y,z—2）

2x—2=—2(x=0

由麗=2祈？，貝葉2丁=1，即卜=5

2z-4=-2lz=1

所以點尸的坐標為［o，g，i

故答案為：［o，：，i

變式4.（2023春?高二課時練習）若4（3,2,4）、8（1,2,-8）,點C在線段A3上，且盥=；,則

點C的坐標是—

【答案】《,2,-4

【分析】設(shè)點C的坐標為（x,y,z）,由題意可得尼=|通，即可得到方程組，解得即可求得c的

坐標.

【詳解】解：???點4（324）、8（1,2,-8）,C為線段鉆上一點，且點=|，

―.2--

以AC=§AB,AB=(—2,0,—12)

設(shè)點C的坐標為(x,y,z),則XS=(x-3,y-2,z-4),

x-3=--

3

2

貝lj(x—3,y—2,z—4)=g(—2,0,—12),即＜y—2=0

z—4=—8

5

x=—

3

即C(|,2,~4

解得,y=2，

z=-4

故答案為：||，2,-

變式5.（2023?高三課時練習）若ABCD為平行四邊形，且已知點A（4,l,3）、川2,-5,1）、C（-3,7,-5）,

則頂點。的坐標為

【答案】（T13,-3）

【分析】設(shè)。（苞/2，然后利用荏=況求解即可.

【詳解】設(shè)仇％y，z),因為四邊形ABCD為平行四邊形,

所以9=配，所以(-2,-6,-2)=(-3-x,7-y,-5-z),

-3-x=-2元=-1

所以，7-y=-6所以y=13,即。（一1,13,-3）.

-5-z=-2z=-3

故答案為：(T13,-3).

考點二：空間點的對稱問題

例2.(2023春?高二課時練習)在空間直角坐標系中，點(-2,L4)關(guān)于X軸對稱的點坐標

是()

A.(-2,1,^)B.(2,1,-4)C.(-2,-1,-4)D.(2,-1,4)

【答案】C

【分析】利用空間直角坐標系對稱點的特征即可求解.

【詳解】在空間直角坐標系中，點(-2,1,4)關(guān)于x軸對稱的點坐標為(-2,-1,-4).

故選：C.

變式1.(2023?全國?高二專題練習)已知點監(jiān)，也分別與點加(1，-2,3)關(guān)于x軸和z軸對稱，

則而跖=()

A.(-2,0,6)B,(2,0,-6)C.(0,4,-6)D.(0,-4,6)

【答案】A

【分析】在空間直角坐標系中，求出點W-2,3)關(guān)于x軸和z軸對稱的坐標，再利用向量的坐

標表示即可得解.

【詳解】依題意，點MQ，-2,3)關(guān)于x軸對稱點必(1,2,-3),關(guān)于z軸對稱點心(-1,2,3),

所以兩；=(—2,0,6).

故選：A

變式2.(2023春?江蘇常州?高二校聯(lián)考階段練習)已知點4(123)關(guān)于電平面的對稱點為8,

而點8關(guān)于X軸的對稱點為c,則|明=()

A.2MB.2V13C.2V15D.8

【答案】B

IUUUI

【分析】由對稱性分別求出3、C,則有起，即可求得舊4

【詳解】由題意3=。,2,-3),則C=(L-2,3),

故配=(O,<6),|BC|=716+36=2713.

故選：B

變式3.(2023秋?河北石家莊?高二石家莊市第十七中學?？茧A段練習)在空間直角坐標系。孫z

中，P是坐標平面X?！穬?nèi)一動點，“(4,2,2),0(7,5,4),當|加|+盧。|最小時P的坐標為

【答案】(5,3,0)

【分析】先利用對稱找出尸的位置，再結(jié)合三角形相似以及空間向量的運算即可求解

【詳解】過點M作平面垂線加4,垂足為A,延長到N,使得MA=A/V,

過點。作平面X0V垂線A?,垂足為8,

則4(4,2,0),N(4,2,-2),3(7,5,0),

因為M與N關(guān)于平面xOy對稱，

所以\PM\+\PQ\=\PN\+\PQ\習Ng,

所以當|2叫+|尸0最小時點P是連接NQ與平面xOy的交點，

連接A8,易知M,A,N,8,Q,尸共面，且AAVP與尸相似，

,jAPAN21

明以而一的一1一］，

所以Q而，

設(shè)尸(x,y,0),則1?=(%-4?-2,0)，!而=#7-4,5-2,0)=(1,1,0),

所以x-4=l,y-2=l,解得x=5,y=3,

所以P的坐標為(5,3,0),

故答案為：(5,3,0)

考點三：空間向量的坐標表示

0^例3.(2023春?高二課時練習)已知點A(3,8,-5),3(-2,0,8),則向量存的坐標為..

【答案】(-5,-8,13)

【分析】利用向量的坐標運算求解.

【詳解】AB=(-2,0,8)-(3,8,-5)=(-5,-8,13).

故答案為：(-5,-8,13)

變式1.(2023春?高二課時練習)已知”，耳是空間的一個單位正交基底，向量B=用

坐標形式可表示為.

【答案】(-5,0,2)

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標表示直接寫出作答.

【詳解】因為｛訪，可是空間的一個單位正交基底,則有石=-5?+2月=(-5,0,2).

所以向量1=-57+2左用坐標形式表示為(-5,0,2).

故答案為：(-5,0,2)

變式2.(2022秋?廣東廣州?高二校聯(lián)考期末)如圖，正方體耳G的棱長為2,EwB,B,

且切=2E瓦，貝1］礪=()

A.（2,2,1）B.（2,2,2）c.（2,24D.（2,2,g]

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件求得玩.

24

【詳解】依題意，EB=2EB},所以硬=§義2=葭

所以在=（2,2,g]

故選：D

變式3.（2023?全國?高二專題練習）已知空間直角坐標系中，點A（-M,2）,3（-3,0,4）,若口=6,

工與屈同向，則向量"的坐標為.

【答案】《-2,4）

【分析】求出而坐標，根據(jù)給條件表示出"坐標，利用向量模的坐標表示計算作答.

【詳解】因4T1,2）,5（-3,0,4）,則荏=（-2,-1,2）,

因2與而同向，則設(shè)；/罰=（-2九-九2為”>0）,因此，|c|=7（-22）2+（-2）2+（22）2=32,

于是得32=6,解得4=2,則"=（-4,-2,4）,

所以向量工的坐標為UK）.

故答案為：《-2,4）

變式4.【多選】（2022秋.黑龍江大慶.高二大慶二中?？茧A段練習）已知四邊形ABCD的頂點

分別是A（3,T2）,C（-l,l,-3）,D（3,-5,3）,那么以下說話中正確的是（）

A.AB=（-2,3-3）B.麗=（T,6,-6）

C.AC的中點坐標為（-2,0,-1）D.四邊形A5CD是一個梯形

【答案】AD

【分析】根據(jù)向量的坐標運算判斷A,B,C,通過判斷濟，麗的關(guān)系，判斷四邊形ABCD的

形狀，由此判斷D.

【詳解】設(shè)點。為坐標原點，因為A(3,T,2),5(1,2,-1),C(-l,l,-3),D(3,-5,3),

所以函=(3,-1,2),08=(1,2.-1),OC=(-l,l,-3),礪=(3,-5,3),

所以刀=礪-函=(-2,3,-3),A正確；

所以而=歷-云=(4,-6,6),B錯誤；

設(shè)AC的中點為點E,則詼=詆+荏=西+*=(3,一1,2)+12,1,一|||o,-1,

所以點E的坐標為枷，-共，C錯誤；

因為:W=(-2,3,-3),CD=(4-6,6),所以說=一2而，所以AB//CD,AB=^CD,所以四邊形ABCD

是一個梯形，D正確；

故選：AD.

考點四：空間向量的坐標運算

例4.(2022秋?北京豐臺?高二統(tǒng)考期末)已知日=(1,0,-1),心(2,1,1),則%-彼=.

【答案】(0,-1,-3)

【分析】以向量的代數(shù)運算律解之即可.

【詳解】由。=(1,。,-1),6=(2,1,1)

可得2Z-B=2(1,0,-1)-(2,1.1)=(2,0,-2)-(2,1,1)=(0,-1,-3)

故答案為：QT-3)

變式1.(2023?全國?高二專題練習)向量商=(1,1,0),&=(0,1,1),2=(1,0,1),2=(1,0,-1)中，共

面的三個向量是()

A.a,b,cB.b,c,dC.c,d,aD.d,a,b

【答案】D

【分析】根據(jù)向量共面滿足的坐標關(guān)系，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】A：若再如共面,貝(妨+滓,即(l,l,O)=(O,x,x)+(y,共y),

即y=l,x=l,x+y=O,顯然不存在蒼，滿足題意，故氏品不共面；

同理，B,C中的三個向量也不共面；

D：若,5共面,^\d=xa+yb,即(l,O,-l)=(x,x,O)+(O,y,y),

即x=l,x+y=O,y=-l,故存在x=l,y=-l滿足題意,則3,包5共面.

故選：D.

變式2.(2023秋?湖北?高二統(tǒng)考期末)已知向量”(2,0,2),&=(0,2-1),"(3,4,〃?)，若向量

a,b,己共面，則實數(shù)加的值為.

【答案】1

【分析】依題意可得存在實數(shù)x,y使得e=點+防，從得到方程組，解得即可.

【詳解】解：因為向量b,乙共面，所以存在實數(shù)x,y使得八坨+防，

'3

2%=3x~2

BP(3,4,m)=(2x,2y,2x-y),所以＜2y=4,解得，y=2.

m=2x-ym=l

故答案為：1

變式3.(2023秋?北京豐臺?高二北京市第十二中學校考期末)在空間直角坐標系中，已知三

點。(0,0,0),4(1,2,1),3(1,-1,0),若點C在平面Q4S內(nèi)，則點C的坐標可能是()

A.(-1-1,3)B.(3,0,1)C.(1,1,2)D.(1,-1,2)

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的運算可得函=(121),OB=d,-l,0),由西，礪不共線，結(jié)合向量基本定

理可得歷=2西+〃而=(2+〃,24-〃，㈤，求得。點坐標為(九+〃,24-刈")，代入驗算即可得解.

【詳解】由西=(1,2,1),05=(1-1,0),

顯然礪，而不共線，

根據(jù)向量基本定理可得反=AOA+pOB=(X+〃,24-〃,2),

故C點坐標為(幾+"，2"〃,㈤，

經(jīng)驗算只有B選項符合條件，

止匕時A=1,//=2,

故選：B

變式4.【多選】(2023秋?遼寧葫蘆島?高二統(tǒng)考期末)已知在空間直角坐標系中，。為坐標

原點,且點1,0,2),8(-1,1,1),C(3,1,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.|AB|=3B.(AB+AC)BC=-1

C.AB1ACD.^OP^OA+\OB+^-OC,則P,A,B,C四點共

236

面

【答案】BD

UUUULUUULU

【分析】由條件求AB,AC,BC,根據(jù)向量的模的個數(shù)，數(shù)量積運算公式，數(shù)量積的性質(zhì)，向量

共面定理依次判斷各選項.

【詳解】因為竟(L0,2),8(—1,1,1),C(3,1,2),

所以荏=(-2,1,-1),恁=(2,1,0),南=(4,0,1),

所以|通|=>/4+1+1=逸,A錯誤；

(AB+AC)-BC=0x4+2x0+(-l)xl=-l,B正確；

AB-AC=(-2)x2+lxl+(-l)xO=-3,所以荏，而不垂直，C錯誤；

因為無=［況+=礪+，玄，所以6歷=3況+2礪+交，

236

^^X3OA-3OP+2OB-2OP+OC-OP=6,

所以3麗+2麗+正=6,即正=-3百-2而，

所以定，可，而共面，

所以P,A,B,C四點共面，D正確；

故選：BD.

變式5.(2023春?重慶?高一重慶一中?？计谥?下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基

底的是()

A.a=(l,O,O),5=(O,l,O),c=(O,O,l)

B.5=(1,l,O),&=(l,O,l),c=(0,1,1)

C.a=(l,l,2),^=(l,l,0),c=(l,0,1)

D.a=(l,l,l),^=(l,o,l),c=(1,2,1)

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項即可.

【詳解】對于A,設(shè)(1,0,0)=40,1,0)+〃(。，。，1)，無解，即2瓦1不共面，故可以作為空間向量一

個基底，故A錯誤；

對于B,設(shè)。,1,0)=處1,0,1)+〃(0,1,1),無解，即1石忑不共面，故可以作為空間向量一個基底，

故B錯誤；

對于C,設(shè)(1,1,2)=〃1,1,0)+〃(1,0,1),無解，即日出忑不共面，故可以作為空間向量一個基底，

故C錯誤；

對于D,設(shè)(1,1,1)=41,0,1)+〃(1,2,1),解得所以4,5忑共面，故不可以作為空間向量一

個基底，故D正確.

故選：D

變式6.(2022.高二課時練習)在AABC中，若布=(2,-2,0),AC=(4,2,-1),則"RC是()

A.頂角為銳角的等腰三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.頂角為鈍角的等腰三角形

【答案】A

【分析】利用空間向量的坐標運算計算就的坐標，由模長公式分別計算|而|,|就|而|的值，

可得|向|=|就|,再計算再.屈>0可判斷-C為銳角，進而可得正確答案.

【詳解】BC=AC-AB=(4,2,-1)-(2,-2,0)=(2,4,-1),

|AB|=V4+4+0=272,JAC|=716+4+1=721,|fic|=74+16+1=A/21,

所以國=同=內(nèi),

因為互=-XT=(-4,-2,1),CB=-BC=(-2,-4,l),

因為百?麗=(T)x(—2)+(—2)x(T)+lxl=17>0,

所以/C為銳角，

所以AABC是頂角為銳角的等腰三角形，

故選：A.

考點五：空間向量的平行問題

例5.例022?高二課時練習)若Z=(2x,l,3)4=(1,-2弘9),且2與1共線,求x,y的值.

13

【答案】

62

【分析】先判斷XH0,然后根據(jù)題意可得到比例式，求得答案.

【詳解】Z=(2x/,3),B=(l,-2y,9),且真與［共線,

當x=0時，顯然Z=(2x,1,3),B=(1,-2%9)不共線,

2x13

故go,則由題意得：T=^T=O，

口口13

即.

o2

變式1.(2023春?高二課時練習)已知向量Z=(l,2,l),>=(3,2,2),且儲+&//0-2田，則實數(shù)

k的值為()

A.--B.—

1212

C--D-

」22

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量線性運算的坐標表示，結(jié)合向量共線條件列式計算作答.

【詳解】向量2=(1,21),5=(3,2,2),則歷+后=(4+3,2左+2,左+2)4—2]=(—5,—2,—3),

因為(Ki+B)//(12分,則胃=#=句[,解得人=-4，

一〉—2—J2

所以實數(shù)上的值為-;.

故選：C

變式2.【多選】(2023秋?湖南衡陽?高二衡陽市田家炳實驗中學?？计谥?與向量￡=(2,3,6)共

線的單位向量是()

A.I777)B.1777)C.<71747^；D.(1—-7碧7

【答案】AC

,a

【分析】根據(jù)單位向量的概念，求出與向量Z共線的單位向量土口即可

【詳解】因為向量2=（236）,所以同=@+32+6=7,

所以與向量2=（2,3,6）共線的單位向量為

故選：AC

變式3.（2023秋?吉林長春?高二長春市第二實驗中學校考階段練習）已知空間兩點42,1,1）,

8（3,2,1）,下列選項中的：與藍共線的是（）

A.0=（1,0,1）B.a=（2，1,1）C.a=（2）-2,°）D.a=（2）2,。）

【答案】D

【分析】由題得G=（l，1,。），再利用空間向量共線定理判斷得解.

【詳解】解：由點42,1,1）,8（3,2,1）,

所以e=（1，1，。），

對于A,〃=（1，0,1）,不滿足：=幾7^，所以方與藍不共線；

對于B,?=（2，1,1）,不滿足［=幾凝，所以商與上不共線；

對于C,1（2，-2,0）,不滿足）=2低，所以,與幾不共線；

對于D,；=（2,2,0）,滿足］=26，所以：與矗共線.

故選：D

變式4.（2022秋?廣東江門?高二江門市第二中學校考期中）已知空間直角坐標系中，點A（T,1,2）,

3（-3,0,4）,若『=6,且"與m反向共線，貝隆=.

【答案】（4,2,Y）

【分析】根據(jù)向量"與前反向共線，設(shè)Z=X麗=（-24-42團"<0,利用/|=6列方程求得X,即

得答案.

【詳解】由A(-U,2),8(-3,0,4),可得血=(-2,-1,2),

由于"與句反向共線,設(shè)"=4通=-2九-"),2<0,

由=6可得?一2儲②+(-好+(2X)2=6,解得2=-2,2=2(舍去)，

故c=(4,2,-4),

故答案為：(4,2,Y)

變式5.(2022秋?福建泉州?高二福建省永春第一中學?？计谀?在空間直角坐標系Oxyz中,

4(2,1』),5(/7,0,5),C(0,c,4),若四邊形QRC為平行四邊形,則b+c=.

【答案】1

【分析】由四邊形。4BC為平行四邊形，可得雙=回，再根據(jù)向量的坐標運算求解即可.

【詳解】解：6=(2,1,1),CB=(b-c,l),

因為四邊形Q4BC為平行四邊形，

所以函=函，

所以2=6,l=-c,

則b+c-1.

故答案為：L

考點六：利用坐標運算解決數(shù)量積問題

小7|例6.(2022.全國.高二專題練習)若A(2,-4,-1),8(-1,5,1),C(3,-4,1),則4.心=()

A.-11B.3C.4D.15

【答案】C

【分析】先求出國國的坐標表示，再利用向量數(shù)量積的坐標表示計算即可

【詳解】由已知,CA=(2—3,—4—(-4),-1—1)=(—1,0,—2),

CB=(-1-3,5-(-4),1-1)=(-4,9,0),

C4-C§=4+0+0=4.

故選：C.

變式1.(2022.高二單元測試)若向量￡=(2,1,-2),5=(6,-3,2),則7(￡+2石)=.

【答案】19

【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算，求得Z+2行的坐標，再根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標表示求得

答案.

【詳解】Va=(2,l.-2),g=(6,-3,2),/.5+2^=(2,1,-2)+2(6,-3,2)=(14-5,2),

70+2))=(2」,一2).04,—5,2)=19,

故答案為：19

變式2(2023秋?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末)已知向量1(1,1,x),7(-223),若式-五石=1,則》=

()

A.-3B.3C.-1D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算可得力d=(4,(),2x.3),結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標表示計

算即可求解.

【詳解】由題意知，2Z-石=(4,0,2尤-3)

由(2a-b)-b=\,得4x(—2)+0x2+(2x—3)x3=1,

解得x=3.

故選：B.

變式3.(2022秋?江蘇徐州?高二?？茧A段練習)在AABC中，A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5).

⑴求頂點反C的坐標；

⑵求日.反\

【答案】(1)8(6,-4,5),C(9,-6,10)

(2)C4,BC=-58

【分析】根據(jù)向量的坐標表示求出民。的坐標，利用向量數(shù)量積的坐標運算可求得而.而.

【詳解】(1)設(shè)B(XB，yB,zB),AB=(xB—xA,yB—yA,zB—zA)=(xB—2,yB+5,—3)=(4,1,2),

Xg—2=4xg—6

<%+5=1/%-4,B(6,-4,5).

—3=2=5

設(shè)C(xc,yc,zc),BC=(xc—xB,yc—yB,zc—zB)=(xc—6,yc+4,zc—5)=(3,—2,5),

xc-6=3fxc=9

yc+4=-2,=-6,C(9,-6,10).

ZQ—5=5ZQ—10

(2)C4=(-7,1,-7),BC=(3,-2,5),

.-.CA-BC=-21-2-35=-58.

考點七：空間向量的垂直問題

例7.(2023秋?高二課時練習)已知1(1,0,-1)方=(1,-1,0),單位向量％滿足7，之2,5,

則n=.

【答案】修，[J或卜字-%邛]

IY—Z=0

【分析】設(shè)向量心(x,y,z),其中Y+y2+z2=l,由石，原石，5,得到方程組".進而求得

[x-y=0

x，y，z的值，即可求解.

【詳解】設(shè)向量”=(x,y,z),其中Y+V+z'i,

因為Z=(l,0,-1)石=(1,-1,0)且萬，可得:"一八，即z=x,y=z,

=0

將z=x,y=z代入J+y+z?=i,

用泰日有66前出班6

倚%=？"，'=石*=《~或工=_飛~°=_7/=一號，

所以向量■的坐標為仁號山或

故答案為:惇考書或昌K]

變式1.(2023春?江蘇鹽城?高二鹽城中學?？计谥?已知向量。=(2,1,2)石=(-2,x,l)忑=(4,3,2),

若分，他+3，則x的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)題中條件，求出a+守的坐標，再由向量垂直的坐標表示列出方程求解，即可得出

結(jié)果.

【詳解】因為巾=(2因2)石=(—2,蒼1),1=(4,3,2),

所以花+乙=(6,4,4),

又伍+可，所以-12+4」+4=0,解得x=2.

故選：D.

變式2.(2022秋.廣東陽江.高二陽江市陽東區(qū)第一中學?？计谥?已知向量￡=(2,-1,1),

&=(-1,1.x),若&與方垂直，則忖+2同=.

【答案】5V2

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直關(guān)系求出X,再結(jié)合向量的坐標運算及模的運算計算作

答.

【詳解】向量。=(2,-1,1)與B=(-l/,x)垂直，則有2x(-1)+(-l)xl+x=。，解得彳=3,

于是M+25=(2,-1,1)+2(-1,1,3)=(0,1,7),

所以1+2同=JO?+F+72=5夜.

故答案為：572

變式3.(2022秋?河南?高二校聯(lián)考階段練習)已知空間有三點A(2,0,-1),3(0,4,1),C(5,2,4),

若直線AB上存在一點滿足"，加，則點”的坐標為.

【答案】。20)

【分析】設(shè)麗=2通，根據(jù)空間向量的坐標表示求得點"的坐標，再根據(jù)制，招，可得數(shù)

量積為0,從而可求出2,即可得解.

【詳解】解：設(shè)麗=2南，

由荏=(-2,4,2),^AM=AAB=(-2A,42,22),

故〃(2-2幾4424_1),則由=(_2幾_3,44_2,2；1_5),

因為"±AB,

所以成.通=-2(-2X-3)+4(44-2)+2(2/l-5)=0,解得彳=g,

所以"(1,2,0).

故答案為：0,2,0).

變式4.(2022秋.山東濟寧.高二統(tǒng)考期中)已知空間中三點A(-2,0,2),B(-l,1,2),C(-3,0,4),

設(shè)荏=￡,AC=b.

⑴求向量Z與向量B的坐標；

⑵若心+B與啟-2B互相垂直，求實數(shù)上的值.

【答案】(1)￡=(1,1,0),5=(-1,0,2);

⑵左=2或左=-1

【分析】(1)根據(jù)空間向量坐標表示公式進行求解即可；

(2)根據(jù)空間向量垂直的坐標表示公式進行求解即可.

【詳解】(1)￡=(1,1,0),b=(-l,0,2);

(2)Vka+b=(k—l,k,2),ka—2b=(k+2,k,—4),

且左a+B與左a+B互相垂直，

A(k-1,k,2)?伏+2,k,—4)=2/+左—10=0

解得％=2或%=

變式5.(2023?全國?高二專題練習)在空間直角坐標系中，若三點A。,Ta),3(2,a,0),C(l,?,-2)

滿足(市-2衣)，肥，則實數(shù)a的值為().

A.-B.1C.D.--

222

【答案】C

【分析】先求出麗/，起的坐標，再由(福-2次)，前，^^AB-2AC\BC=O,解方程可求出

實數(shù)a的值

【詳解】因為A(1,T。)，3(2,a,0),C(l,a,-2),

所以羽=(l,“+l,-a),AC=(0,a+1,-2-a),BC=(-l,0,-2),

AB-2AC=(1,6/+1,-a)-2(0,a+1,-2-a)=(1,-a-1,a+4),

因為例-2lS)_L肥，所以例-2碼.前=0,

0

所以-l+0-2(a+4)=0,解得°=

故選：C

變式6.(2023秋?河南南陽?高二南陽中學校考階段練習)已知長方體ABCD-A?CD中，AB=3,

BC=4,A4'=5,BP=ABC'^若A'P^BC'則2=()

1B竺C"D竺

A■2425C，41,34

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，如圖，建立空間直角坐標系，因為鉆=3,BC=4,AA/^5,

4(0,0,5),￡(0,3,5),C'(4,3,5),B(0,3,0),

所以比=(4,0,5),小尸=/3+而=小3+/1說，=(0,3,-5)+2(4,0,5)=(4/1,3,5/1-5),

因為A'PJ_3C',

4425

所以A；p/=16X+25X-25=0，解得“=而

故選：C.

考點八：利用坐標運算解決夾角問題

例8.(2023?全國?高三對口高考)已知向量4=。,2,3)石=(-2,-4,-6),同=內(nèi)，若但+5"=7,

則①忑〉=.

【答案】120°

【分析】設(shè)八(x，y，z),依題意可得下:二再根據(jù)向量夾角公式即可求解.

【詳解】設(shè)忑=(%%2),：向量商=(1,2,3),5=(-2,-4,-6),同=后,,+孫不=7,

222

y/x+y+z=A/14八a-cx+2y+3z1

.,.〃+/?=(—1,—2,—3),設(shè)Z與"的夾角為e,cos0=m=mm=^

-x-2y-3z=7

v0o<6><180°,;.0=l2ff.

故答案為：120。.

變式1.(2023春?重慶北修?高二西南大學附中校考階段練習)已知2=(x,0,3),B=(l,2,-l),C=(l,z,l),

aLb,aIIc,則7與5+E的夾角為()

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的平行、垂直關(guān)系求x，z,再根據(jù)空間向量的坐標運算求夾角.

【詳解】??七45,Axxl+0x2+3x(-l)=x-3=0,解得x=3,即5=(3,0,3).

X'.'a//c,注意到則m/leR,使得/=(34,0,34),

f32=1A--1.、

，z=0，解得3，故c=(l,01).

1[z=0

/.i+c=(2,2,0),|^|=V32+02+32=3A/2,|^+C|=V22+22+02=2^,L(^+C)=3X2+0X2+3X0=6,

r(Ir\

/rrr\(i'\D+c\61/rrr\

C0T'b+cr花同==P又3"c”[(M,

/,^a,b+c^=^.

故選：B.

變式2.（2023春?江蘇?高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習）若向量方=（1,Z1）,B=（2,-1,-2）,且

商與石夾角的余弦值為正，則彳等于（）

6

A.-72B.72C.一6,或亞D.2

【答案】A

【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.

【詳解】因為商=。,41解=（2,-1,-2）,

=2-A-2=-A.,同=也+彳2,忖=：4+1+4=3,

又商與石夾角的余弦值為骼，d'b=同忖85（萬,5）,

所以一彳=,2+八3><且,解得分=2,

6

注意到々>。，即4<0,所以彳=-五.

故選：A.

禰￥19.（2023春?高二課時練習）若￡=（2,-1,4））=（-1,.2）,若Z與石的夾角是銳角，則f

的值的取值范圍為.

【答案】（9,-1。）

【分析】根據(jù)空間向量￡與石的夾角是銳角可得且Z與石不同向共線，結(jié)合數(shù)量積的坐標

表示計算即可求解.

【詳解】因為￡與石的夾角是銳角，所以7B>o,

即_2T-8>0,解得/<-10,

若￡與后的夾角為0。，則存在2，使￡=",

2=—A

即（2,-1,4）=彳（-1/,-2）,所以-1=幼，解得公;.

4=-22

故/的取值范圍是（/，T0）.

故答案為：（f,-io）.

變式1.（20