第08講空間向量基本定理7種常見考法歸類

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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L通過對空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會用空間向量的基底表示空間任一向量,

能用正交分解及坐標(biāo)形式表示空間向量.

2.結(jié)合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關(guān)問題.

||磨基礎(chǔ)知識1

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知識點(diǎn)1空間向量基本定理

1.定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,

z)，使得p=xa+功+zc.其中也c｝叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做基向量.如果p=xa+yb+zc,

則稱xa+yZ>+2c為p在基底｛a,b,c｝下的分解式.

注：(1)對于基底｛a,b,c｝應(yīng)明確以下三點(diǎn)：

①空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底.基底選定后，空間的所有向

量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達(dá)式也有可能不同.

②基底中的三個(gè)向量a,方,c都不是0.這是因?yàn)?與任意向量共線，與任意兩個(gè)向量共面.由

于零向量與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)不共線的非零向量共面，所以若三個(gè)向量不共

面，就說明它們都不是零向量.

③空間中的一個(gè)基底是由不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的，是一個(gè)向量組，基向量是指基底中的

某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.

(2)空間向量基本定理的推論

設(shè)。，A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間內(nèi)任意一點(diǎn)P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,?

z),使得為聲

推論表明：可以根據(jù)空間向量基本定理確定空間任一點(diǎn)的位置.

2.空間向量的正交分解

(1)單位正交基底：空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1,常用｛i,

4｝表不.

(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量訪均可以分解為三個(gè)向量

xi,yj,zk,使a=xi+W+zk.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空

間向量正交分解.

易錯(cuò)辨析：

(1)構(gòu)成基底的三個(gè)向量中，可以有零向量嗎？不可以.

(2)在四棱錐。-A3CD中，巧了可表示為為不+z斤斤且唯一，這種說法

對嗎？對.

知識點(diǎn)2證明平行、共面問題

1.對于空間任意兩個(gè)向量處雙厚0),的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使a=M.

2.如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量a,8共面的充要條件是存在唯一的有

序?qū)崝?shù)對(x,y),使。=刈+9.

3.直線平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題.

圉解題策略

---------------------iiiiiiiiuiiiuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiinii-----------------------

1、判斷基底的方法

(1)判斷一組向量能否作為空間的一個(gè)基底，實(shí)質(zhì)是判斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面,

就可以作為一個(gè)基底.如果從正面難以入手，可用反證法或利用一些常見的幾何圖形進(jìn)行判

斷.

(2)判斷基底時(shí)，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同

一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷.

2、用基底表示向量的策略

(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量

數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行.

⑵若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他

向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求.

3、證明平行、共面問題的思路

（1）利用向量共線的充要條件來證明點(diǎn)共線或直線平行.要證兩直線平行，可構(gòu)造與兩直

線分別平行的向量，只要證明這兩個(gè)向量滿足。=勸即可.

（2）利用空間向量基本定理證明點(diǎn)線共面或線面平行.

IQ考點(diǎn)剖析

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考點(diǎn)一：空間向量基本定理基底的判斷

例L【多選】（2023春?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期中）設(shè)舊石斗構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

下列說法正確的是（）

A.a,b,"兩兩不共線，但兩兩共面

B.對空間任一向量方，總存在有序?qū)崝?shù)組（％y,z）,使得方=x￡+yB+z2

C.Z,a+Z能構(gòu)成空間另一個(gè)基底

D.若x￡+y石+zG=0,則實(shí)數(shù)X,y,Z全為零

【答案】ABD

【分析】根據(jù)空間向量基本定理一一判斷即可.

【詳解】因?yàn)椋?。，瓦可?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以Z,b,"兩兩不共線，但兩兩共面，故A正

確；

對空間任一向量,，總存在有序?qū)崝?shù)組（xjz）,使得萬=xZ+yB+zd,故B正確；

因?yàn)椋?今+僅+司=2￡,所以人々二,共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤;

根據(jù)空間向量基本定理可知，若云+yB+zZ=G,則實(shí)數(shù)盯九z全為零，故D正確；

故選：ABD

變式1.（2023?全國?高三對口高考）已知｛商，瓦可為空間的一個(gè)基底，則下列各選項(xiàng)能構(gòu)成基

底的是（）

A.a9a-2b,a+bB.a+b,a-b,c

C.2a+2b,a+b,2cD.a+c,b+c,a+b+2c

【答案】B

【分析】利用基底的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)?》=3萬-2（萬+5）,所以a,a-2瓦彳+方是共面向量，不能構(gòu)成基底，A不正確；

因?yàn)閆+及￡-反"不是共面向量，所以可以構(gòu)成基底，B正確；

因?yàn)?萬+2B與日+石平行，所以2苕+2瓦/+5,2C不能構(gòu)成基底，C不正確；

因?yàn)椤?日+5+1=萬+5+2不，所以日+得5+口萬+5+2d■共面，不能構(gòu)成基底，D不正確.

故選：B.

變式2.【多選】（2022.高二課時(shí)練習(xí)）若加，反可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的

是（）

A.b+c9b9b-cB.a,0+5,a—b

C?a+b,a—b,cD.&+/?,Q+Z?+C,C

【答案】ABD

【分析】利用共面向量定理逐項(xiàng)分析判斷作答.

【詳解】，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

對于A,（b+c）+[b-c^=2b,因此5+e,b,B-e共面,A正確;

對于B,（a+b）+（a-b）=2a,因此加a+b,”5共面，B正確；

對于C,假定日+5,a-b,共面，則存在九〃eR使得

乙=2（日+5）+〃0—5）=（；1+〃）6+（彳一〃）5,而扇5忑不共面，貝解得2=〃=0,

[4一4=0

于是"=6,%氏己共面，與口反不不共面矛盾，因此4+方，a-b,不能共面，C錯(cuò)誤；

對于D,（a+b）+c=a+b+c,因此a+5,a+b+c,共面，D正確.

故選：ABD

變式3.【多選】（2023秋?山西晉中?高二統(tǒng)考期末）｛商，瓦可是空間的一個(gè)基底，與,+5、a+c

構(gòu)成基底的一個(gè)向量可以是（）

A.b-\-cB.b—cC.bD.c

【答案】ACD

【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷即可.

【詳解】由于石-"0+5-佃+司，故5V與江+5、日+K共面，無法構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B

錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?及可是空間的一個(gè)基底，由于不存在實(shí)數(shù)對x、y,使得5+忑=乖+5）+丫（萬+e）,

x+y=0

若成立則"1,顯然方程組無解，故萬+方、a+i與B+百可以作為空間的一個(gè)基底，故A正

J=1

確，同理可得C、D正確；

故選：ACD

變式4.（2023秋?云南大理?高二統(tǒng)考期末）若何最可是空間的一個(gè)基底，且向量

｛9=4+團(tuán)+￡礪=冢-2最+2晟歷=雨+3區(qū)+圖不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則人（）

A.-B.-C.--D.-

3244

【答案】D

【分析】由題意可知，向量次、OB.前共面，則存在實(shí)數(shù)X、,使得就=x〃+y赤，根據(jù)

空間向量的基本定理可得出關(guān)于"八七的方程組，即可解得％的值.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?=4+62+63,OB=ex-2e2+2e3,OC=%q+3e2+2ej不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

所以麗、OB,反共面，故存在實(shí)數(shù)x、y使得反=尤刀+y麗,

k=x+y

因?yàn)椋?,￡回是空間的一個(gè)基底,則，x-2y=3解得卜=-：

x+2y=2

故選：D.

變式5.（2023秋?河北邯鄲?高二統(tǒng)考期末）已知SAL平面ABC,AB1AC,SA=AB=\,BC=有,

則空間的一個(gè)單位正交基底可以為（）

B.{AB,AC,A5}

【答案】A

【分析】根據(jù)正交基地的定義可知，三個(gè)向量兩兩互相垂直，且模長為L

【詳解】因?yàn)镾AL平面ABC,AB.AC都在面ABC內(nèi)，

所以SA_LAB,SAYAC.

因?yàn)锳S人AC,AB=\,BC=j5,所以AC=2,又SA=1,

所以空間的一個(gè)單位正交基底可以為［荏］正,旃;.

故選：A

考點(diǎn)二：用基底表示空間向量

例2.（2023秋?浙江麗水?高二統(tǒng)考期末）在平行六面體ABC。-A4GA中，AC,3。相

交于0,又為OG的中點(diǎn)，設(shè)四=d,AD=b,離=1,貝1］或=（）

A1口-，B.-a--b+-c

442442

C.--a--b+-cD.--a+-b--c

一4，42442

【答案】C

【分析】由空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形計(jì)算即可.

-1一1一

CL---bH---C?

42

故選：C

變式1.（2023春?高二單元測試）在平行六面體ABCD-AgC.中，〃為AG與5a的交點(diǎn),

若麗=￡,~AD=b,AA^=c,則下列向量中與麗相等的向量是（）

11——11--11——

A.—a+—b+cB.——a+—b+cC.——a——b+cD.—a——b+c

22222222

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量基本定理結(jié)合空間向量運(yùn)算求解作答.

【詳解】在平行六面體ABCD-ABCQ中，”為AG與皿的交點(diǎn)，

BM—BA+/L4|+=—AB+AA^H—(44+ADJ——a+CH—ad—b——QH—bc

22

故選：B

變式2.（2023春?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中）在正四面體A-PBC中，過點(diǎn)A作平面PBC的垂線,

___.O___

垂足為。點(diǎn)，點(diǎn)/滿足碩，則的'=（）

A.-PA--PB+-PCB.-PA+-PB+-PC

444444

C.-PA+-PB+-PCD.-PA--PB+-PC

444444

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題知，在正四面體A-P8C中，

因?yàn)锳QL平面尸3C,

所以。是APBC的中心，

連接PQ,則而=gxg（而+京），

所以兩=胡+說=區(qū)+—也

4

-PA+|x（AP+P2）=FA-1pA+|p2

^PA+1^L（PB+PC\^LPA+-PB+-PC.

4432、>444

A

故選：B

變式3.（2023春?江蘇鹽城?高二鹽城中學(xué)?？计谥校┰谒拿骟wO-ABC中，PA=2OP,。是

3C的中點(diǎn)，且般為PQ的中點(diǎn)，若蘇=7OB=b,OC=~c，則礪=（）

11-111-1

A.—a+—b+—cB.—a+—b+—c

644622

_1—1—1—1—1—1―

C.-a+—b-\■—cD.—a+—b+—c

322344

【答案】A

【分析】利用基底2友2表示赤，麗，再利用向量線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?麗=而，所以不=；礪，

因?yàn)?。是BC的中點(diǎn)，所以詼=：（礪+而），

因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，^VXOM=^-（OP+OQ）=^-OP+^-OQ=^OA+^-（OB+OC）=|a+^+yC,

22264644

故選：A.

變式4.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，M,N分別是四面體。43c的邊。4,3C的中點(diǎn)，E

是MN的三等分點(diǎn)，且第=［用向量次，彷，3表示加為（）

NM3

o

B

__.i__,__?__,___i—1—?1—.

A.OE=-OA+OB+OCB.OE=-(DA+-OB+-OC

6333

—?1—?1—?1—.—.1—.1—.1—.

C.OE=-OA+-OB+-OCD.OE=-OA+-OB+-OC

663633

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形可得

【詳解】因?yàn)槠鳌端约?3元

___1____2__?

-ON=3(OE-ON),§,\]OE=-OM+-ON,

^OM=^OA,ON=^(OB+OC),

—.1—?1-.1?

所以O(shè)E=—OA+—03+—OC.

633

故選：D

O

B

變式5.(2023春?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中)如圖，在平行六面體MCD-ABCQ中，P是CA的

中點(diǎn)，點(diǎn)。在CA上，且CQ:OA=4：1,設(shè)前4,AD=b,AA^=c.則()

?°

BC

3-33-—.JJ7-

A.QP=——a-\--b-r\--cB.QP=一—b---c

101010101010

3-33-—?1一1一1一

C.QP=——a-\--br---cD.QP=一〃+—b+一c

101010101010

【答案】C

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)镻是C4的中點(diǎn)，

所以行=；西+/）=g（麗+南+砌=：（￡+5+合，

又因?yàn)辄c(diǎn)。在室上，且CQ：OA=4：I,

所以醺=麗+陽=隨+2而=尊+2而-招）=|■數(shù)+?河

1―.—.4—■1-1-4-

=-（AB+AD）+-AAl=-a+-b+-c,

^一一\>X,QP=AP-AQ-=-1{a一+b一+一c）--1a一--1b一--4c一=—3a—+—3b—-—3c—,

故選：C.

變式6.（2023春?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期中）在正四面體ABCD中，。為△BCD的重心，記而力,

AC=b,AD=c.若Q而，CM=2MD,則兩=.（用￡,b,2表示）

【答案】一f_a+gl+[c

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】依題意，。為asc。的重心，貝I]前=|xgx（而+而）=；（居+而），

所以麗=礪_而=冠+兩

=AC+|CD-|（AB+BO）

=—AC?+-2C—D?——2A—B?——2B—O?

333

=AC+|（AD-AC）-|AB-|；（反+咧

=AC+1AD_1AC--AB--BC--BD

33399

=AC+1AD_1AC--AB-^（AC-AB}--（AD-AB}

3339、,9、7

AC+-AD--AC--AB--AC+-AB--AD+-AB

=3339999

故答案為：-gQ+gB+gc

A

c

變式7.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))如圖，空間四邊形。4HC中,G、H分別是AABC、△O3C的

重心，。為5C的中點(diǎn)，設(shè)OA=o，OB=b7OC=c，試用試用基底｛z,及工｝表示向量相和麗.

o

B

【答案]OG=^｝a+b+c),GH=-^a

【分析】由已知得而=：(荏+衣)，AG=^AD,可得而=方

+AG;

__o__-

由。8=3。?？傻肎”=GA+AO+O”可得答案.

【詳解】由已知得無-E=OC-OA=c-a,

因?yàn)镚是AABC的重心，。為BC的中點(diǎn)，

所以=荏+呵=g(B+]-2q，AG=^AD=^x^(b+c-2a)=g僅+12可，

所以O(shè)G=OA+AG=a+g(-2a+B+c)=g(a+B+c)；

又因?yàn)椤笆恰?3C的重心，

所以麗=g歷=其值+呵小+4,

GH=GA.+A,O+OH=-+2a)-Q+§(/?+c)=-§a.

考點(diǎn)三：利用空間向量基本定理求參數(shù)

注1例3.（2022秋.廣東陽江.高二陽江市陽東區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎忮FO-ABC,

點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且成+必礪:（m,HER）則如〃的值可能為（）

A.m=l,n=B.m=—,n=1C.m=--,n=-1D.m=—,n=-1

2222

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件，建立關(guān)系即可判斷作答.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，而=；礪+小礪+〃能，則加+礪+機(jī)屈+”正,

于是；+租+"=1,即租+〃=g,顯然選項(xiàng)BCD都不滿足，A選項(xiàng)滿足.

故選：A

變式1.（2023?全國?高三對口高考）已知正方體AB。-4月GA中，側(cè)面CCQ。的中心是P,

^AP^AD+mAB+nAA^,則”?=,n=

【答案】1/0.51/0.5

【分析】用在，麗'表示出方，從而得出加，〃的值.

［詳解］^^-AP=AD+DP=AD+^（DC+DD^）=AD+^AB+^AA^,

所以機(jī)=；,?=|）

故答案為：，，

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知84BC,8耳為三條不共面的線段，若

布=耘5+2y沅+3z咨那么x+y+z=（）

6

【答案】B

【分析】直接利用共面向量的基本定理求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)向量加法法則可得：AC^AB+BC+CQ,

gpAq=AB+BC-qC,

因?yàn)殡u二xX§+2y配+3z*,

所以x=l,2y=1,3z=-l,

所以x=l,y=1,z=_；,所以x+y+z=l+；-：=[.

23236

故選：B.

變式3.（2023春?江蘇常州?高二常州市北郊高級中學(xué)?？计谥校┮阎匦蜛BCD,P為平面ABCD

12—

外一點(diǎn)，PA_L平面A3CD,點(diǎn)M,N滿足兩=]用，PN=-PD.若麗=*羽+丫而+zX?,則

x+y+z=（）

A.」B.1C.D.-1

226

【答案】A

【分析】利用空間向量基本定理表示出旃，即可求解.

【詳解】矩形ABCD中，AC=AB+AD,^^PC=PA+AC=PA+AB+AD=-AP+AB+AD.

因?yàn)榧?（無，所以加=?_Q+而+碼.

因?yàn)槎?布-京麗=g而，所以兩=g（而-麗）.

所以麗=而_兩=：（蒞一福卜*麗+通+碼=_；亞一:麗+：而.

匚匚…111f1Wii

^JT^x=--,y=--,z=~,所CC以HI無+y+z=+--]+y=~^-

故選：A

變式4.（2023秋?山東聊城?高二統(tǒng)考期末）已知四棱錐尸-ABCD的底面A5CD是平行四邊形,

^PD=xPA+yPB+zPC,則孫z=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算及空間向量基本定理得答案.

【詳解】因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，所以

PD=PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB,

又而=xPA+y而+z定,由空間向量基本定理可得，x=l,y=-l,z=l,故邙=-1.

故答案為：-L

變式5.（2022秋.吉林延邊.高二校考期末）已知正方體ABCO-ABC2,點(diǎn)￡是卜.底面AG的

中心，^AE^A\+xAB+yAD,則x-2y等于（）

A.2B.-1C.—D.—

23

【答案】C

【分析】利用空間向量基本定理，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征求解作答.

【詳解】正方體ABC。-ABCR,點(diǎn)E是上底面AG的中心，如圖，

則赤=麗+“=羽+:福'=福+;（麗'+麗*苞+2荏布,

麗，麗，而不共面，^AE=A^+xAB+yAD,于是得尤=丁=：,

所以x-2y=-g.

故選：C

例4.（2023春?安徽池州?高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知｛）石可是空間的

一組基底，其中荏=213B,AC=a-c,AD=2b+Ac.^A,B,C,。四點(diǎn)共面，則九=（）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)對(x，y),使得通=x/+y而，結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算和

相等向量的概念計(jì)算，即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)對(x，y),使得通=+y力，

即la-3b=x(a-c)+)(26+Ac],

則2a—3b=xa+2yb+(Ay—x)c,

34

則x=2,y=--,%=o,解得;l=一

故選：D.

變式1.(2023秋?河北唐山?高二統(tǒng)考期末)正四面體中，若M是棱CO的中點(diǎn)，Q=4而乙

—AB?+B—P?=-1A—C?+-1A——D?,貝.

66

【答案】I

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算得到加=白工+3而，證明出共線定理的推論，由三

oZo/L

點(diǎn)共線，得到5+5=1,求出

oXoX3

—?1___.1___.

【詳解】因?yàn)檠?而=麗，所以"十c+f,

OO

rr.1―.1—..1—.1―.

WAAM=-AC+-AD,AM=——AC+——AD,

666262

下面證明：已知?dú)v;無方+y前，若AS,C三點(diǎn)共線，則x+y=l,

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以存在非零實(shí)數(shù)乙使得題=/蔗，

§.\]OB-OA=t(OC-OA],整理得礪=/1+(1-/)3?,

故尤=1T,y=t,所以尤+y=l,

因?yàn)槿c(diǎn)共線，

故士+&=1，解得：幾=；.

6Z623

故答案為：I

考點(diǎn)四：用向量法證明平行、共面問題

］例5.（2023秋?廣西河池?高二統(tǒng)考期末）已知ABC三點(diǎn)不共線，對平面A3C外的任一

點(diǎn)。，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（）

A.OM=2OA+-OB-OC

3

B.OM=iOA-iOB-2.OC

―-1―.1―.1―.

c.OM^-OA+-OB+-OC

243

___2_.9__.1__.

D.OM=-OA+-OB——OC

333

【答案】D

【分析】OM=xOA+yOB+zOC,分析出當(dāng)跖AB,C共面時(shí)，x+y+z=l,從而分析四個(gè)選項(xiàng)，得

到正確答案.

【詳解】當(dāng)跖AB,C共面時(shí)，不妨設(shè)麗'=2荏+〃蔗，

變形得至麗一次=2（而一網(wǎng)+〃函一網(wǎng),

貝1）麗=4麗_（2+〃_1）函+〃前，

設(shè)OM=xOA+yOB+zOC,若點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C共面，

貝。%+y+z=—A—4+1+4+〃=1,

只有選項(xiàng)D中g(shù)+g+=l符合題意.

故選：D.

變式1.（2022.高二單元測試）對于任意空間四邊形A3CD,E,R分別是A3,CD的中點(diǎn).

⑴試證：而與而，礪共面；

（2）AD=a,AB=b>AC=c,試用基底｛，,b,力表示向量屏

【答案】（1）證明見解析

（2）BF=1（a+c-2&）.

【分析】（1）連接AC,取AC的中點(diǎn)P,連接PE,PF,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可

得〃平面PER,3C〃平面PER,從而可得向量而與前，而共面；

（2）直接利用向量的加減法運(yùn)算得答案.

A

E.

【詳解】（1）

證明：如圖，連接AC,取AC的中點(diǎn)P,連接PE,PF.

,：P,F分別為AC,CD的中點(diǎn),：.AD//PF.

又,.?PRu平面PER,ADC平面PER

.?.A。〃平面PEF.

同理可證，BC〃平面PEE

?'.向量而與前，與5共面.

(2)解：BF=^(BC+BD)=^^AC-AB+AD-AB)

=^(AC+AD-2AB)=^a+c-2b).

變式2.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體ABC。-A4CQ中，。為人。上一點(diǎn)，且麗=］而,

3。與AC交于點(diǎn)”.求證：GOM三點(diǎn)共線.

【答案】證明見解析.

【分析】取空間的基底，利用空間向量基本定理探求西，痂的關(guān)系，即可推理作答.

【詳解】在正方體ABCD-4月￡。中，令加二6仞二反色=。，

___2__.

Afl=~\C,3。與AC交于點(diǎn)即點(diǎn)/是AC的中點(diǎn)，

]]

=^^MO=MC+W=-AC+-C\=-AC+-(AAl-AC)=-AC+-AAl

232363

1_..I.1一1一1一

=-(AB+AD)+-AA=-a+-b+-c,

63l663

MCl=MC+CC[=^AC+A^=^（AB+AD）+A^=^a+^b+c,

因止匕西=3痂，^MCJ/MO,而直線MG與直線MO有公共點(diǎn)聞,

所以G，O,M三點(diǎn)共線.

變式3.（2023春?廣東?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四面體。43c中，BM=^BC,MN=^NO,

3_

AP=-AN,用向量弧礪，詼表示而，則而=.若麗=2赤，且尸Q//平面A3C,則

實(shí)數(shù)2=.

1__.1__.1__k3

【答案】產(chǎn)+產(chǎn)+W武”75

【分析】運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則，將歷用基底瓦，礪，花表示出來，延長OP與AM

交于D,當(dāng)PQ//BO時(shí)，PQH平面ABC.

由條件可知：

OP=OA+AP=WL+-^=OA+-(ON-OA\=-OA+-ON

44、>44

=-OA+-x-OM=-OA+-x-OB+OCU-OA+-OB+-OC；

443422、’444’

延長。尸與AM交于￡),連接5。，則當(dāng)PQ//BO時(shí)，QPQU平面A3C,

BDu平面ABC,，加〃平面ABC；

令OD=juOP,AD=mAM,則有AD=OO—OA=—OA=++,

AD=mAM=^m(^AB+AC^=^m(0B—0A+0C-OA^=—mOA+^mOB+^mOC,

根據(jù)向量基底表示法的唯一性，有：14],解得加=g,〃=g

I24"

,PQ//BD,^OPQ~OBDO,O^=—OP=3-,

1___.1____、1____k2

故答案為：-OA+-OB+-OC,-

變式4.（2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考二模）如圖，E、F、G分別是正方體ABCD-A4GD1的棱A。、

A3、CD的中點(diǎn)，H是AG上的點(diǎn)，GJ//平面所”.若43=6，則4/=1.

【答案】1

【分析】設(shè)加=九蒲*,其中0W2W1,將瓦?、兩、定■用基底｛亞西甌｝表示，分析可知區(qū)'、

EF.麗共面，則存在%〃eR,使得說=加麗+"鑿，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)

于加、〃、4的方程組，解出入的值，即可得出的長度.

【詳解】設(shè)屈=2離，其中0W/W1,W=AF-AE=^AB-^AD,

麗=麗_荏=彳（旃+而+麗）一;而=2通+,_￡|而+彳甌，

GCX=W+CCX=^AB+A\,

因?yàn)镚G〃平面EE”，則明\前、麗■共面，顯然反而不共線,

所以，存在機(jī)、"R,使得聞=機(jī)赤+〃南\

gpAAB+

11

—m+—

22

110

—m+—n=Z

22

因?yàn)椋ＩW，麗｝為空間中的一組基底，所以，＜—J機(jī)二丸_；，角星得2=；，

n=A.

因止匕，AH=-AC=^AB=1.

33

故答案為：1.

變式5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱柱ABCO-4耳?！龅牡酌?4G2為平行四

邊形，E為棱AB的中點(diǎn)，AF=1AD,而=2鬲，AG與平面跖G交于點(diǎn)“，則槳=

5八5

【分析】設(shè)麗=九弱*,其中用血、AD＞豆表示向量砒"、GE＞GF,利用共面向

量的基本定理可知存在加、nwR使得碗=mGS+w聲,由空間向量基本定理可得出關(guān)于機(jī)、n、

力的方程組，即可解得實(shí)數(shù)X的方程組，即可解得實(shí)數(shù)2的值.

【詳解】^AM=XACV=A.(AB+AD+A^)=A,AB+AAD+,其中。<4<1,

，

GM=AW-AG=2AB+2AD+2A41-14^=245+2AD+^2

GE=AE-AG=-AB--AA^,GF=AF-AG=-AD-^AA^,

因?yàn)镋、尸、G、M四點(diǎn)共線，則向量的、GE.曲共面，

由共面向量定理可知，存在"?、neRGM=mGE+nGF,

艮|]九通+%而+福=m-AD--

]/l_gj3

1—?1—?2z、一?

=-mAB+-nAD-—[m+n)AAi

—m=A.

2

2

所以，解得4=奈

7

故答案為：

考點(diǎn)五：用基底法求空間向量的數(shù)量積

例6.(2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中)如圖，在平行六面

體ABCD-4耳￡，中，E,R分別為棱AA,CD的中點(diǎn)，記前=2,BA=b,BBx=c,滿足

(2)計(jì)算配.麗.

【答案】⑴庵

(2)1

【分析】(1)根據(jù)空間向量對應(yīng)線段的位置關(guān)系，用麗，甌,竟表示出近；

(2)應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律得反.而=；前?麗+而?甌-g肥?死，結(jié)合已知即可求數(shù)量

積.

【詳解］(1)笆=而+四+*=g福+函-；阮=

(2)BCFE=BC\-BA+BBl--BC\=-BCBA+BCBBX--BCBC

2

=||BC||R4|COS|+|BC||M|COS^-1|BC|=0+3-2=1.

變式1.(2023春?福建漳州?高二漳州三中校考階段練習(xí))已知空間四邊形ABCD的每條邊和

對角線的長都等于1,點(diǎn)E,R分別是3C,AD的中點(diǎn)，則題.方的值為.

【答案】-:/-0.5

【分析】BC,BD,麗兩兩成60。角，模都為1,以這三個(gè)向量為基底，進(jìn)行向量數(shù)量積運(yùn)算.

A

BEC

根據(jù)題意ABC。為正四面體，

BC,BD,麗兩兩成60。角，麗炭=麗?麗=南?麗=匚

^AE=BE-BA=^BC-BA,

CF=BF-BC=-BA+-BD-BC,

22

所以荏.市=Q■配-麗）[g麗+3麗_呵

1111111111

=—X——I——X----------------------X——I——=

4242222222

故答案為：

變式2.（2023春?江蘇淮安?高二?？茧A段練習(xí)）如圖,在空間四邊形中，2前=友,

點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，設(shè)6=2,彷=及反=2.

4>

B

⑴試用向量％區(qū)）表示向量瓦；

(2)若OA=OC=4,OB=3,/AOC=ZBOC=ZAOB=60。，^OE.AC的值.

【答案】⑴礪+9+

ZJo

【分析】(1)由點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，可得怎=g(次+而)，^OD=OB+^BC=OB+^(OC-OB),

代入前面的式子化簡可得結(jié)果；

(2)由(1)可知礪=由于正=歷一函="一3,再利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已

知條件可求得結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)E為A。的中點(diǎn)，所以礪=：(礪+而)=g西+g礪，

,___.1___.

因?yàn)?而=覺，所以BDqBC,

__kki_____,i__.__2_____?1__k

^\^OD=OB+-BC=OB+-(OC-OB)=-OB+~OC,

.i.i(2—.1-A1—>1―.i,1一1一1一

所以。石=—OA+--OB+-OC\=-OA+-OB+-OC=-a+-b+-c.

八22(33J2362361

,,1—1一1一

(2)由(1)得0E=4a+Y+K，

236

0OA=0C=4,OB=3,ZAOC=ZBOC=ZAOB=60°,AC=OC-OA=c-a,

1-11-

所以O(shè)E-AC—a+—br+—c

236

1一一「211一7「21--

=-a-c——a+—b'C——ab+—c——a-c

1—1-211一71一2

=-a-c——a+—rb'C——a-b+—c

1IO111o

=—x4x4cos60°——x42+—x3x4cos60°——x3x4cos600+—x42

=—x4x4x----8+—xl6

考點(diǎn)六：用向量法解決立體幾何的垂直、夾角問題

例7.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平行六面體

ABCD-^QD,中，43=AD="，且NBAD=ZA.AD=ZA.AB=60。，則ZQAB的余弦值是.

【答案】將三R

【分析】利用空間向量基本定理，得至U相■=；?+礪+高，求出忸同，AQAB,再由向量夾角

公式求NGAB的余弦值.

【詳解】由題設(shè)，可得如下示意圖,

AQ=AD+AB+CCl=AD+AB+A^,

設(shè)|荏卜a,則|布|=|麗卜a,XZBAD=Z^AD=Z^AB=60°,

所以荏?茄=:/,AD-A\=-a2,

所以以|阿卜國+南+閾

=J（AB+AZ）+A^）2

I222____,____,

=^AB~++AD"+AA；'+2AB-AD+2AB-AA^+2AD-AA^

I77o_lo_lo_lo

=AIa+ci+ci+2x—a+2x—a+2x—a

V222

=^[ba.

2222

ACl-AB=^AD+AB+A^-AB=~a+a+^a=2a,

所以cosZCtAB=cos（AQ,AB）=邙；普=-^―=造

山么、/|阿網(wǎng)46axa3

故答案為：好.

3

變式L（2023春?甘肅金昌?高二永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行六面體

ABCD-ABCQ中，AB=2,AD=2,蝴=2,ZBA^=ZDA^=60°,ZBAD^90°,則BG與所

成角的余弦值為（）

A.一立B.3C.--D.正

6644

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和向量的數(shù)量積的定義即可求解.

【詳解】設(shè)荏二￡,AD=b,=c9

因?yàn)橄蛄坎还裁?，故舊,瓦外可構(gòu)成空間的一組基底，

結(jié)合卜卜2,慟=2,卜|=2,ZBAA^=ZDAA[=60°,ZBAD=9Q0,

i__i

所以￡.B=0,a-c=2x2x-=2,b-c=2x2x-=2,

貝Bq=b+c,——a—Z?+c,

可得南?克=e+斗卜￡。+@=工％-7"-片_5.2+35+7

=0—2—4+4=-2,

^b2+2b'C+c2=14+2x2+4=2A，

―2—2——————

c+b+c+2a'b-2a-c-2b-c

=J4+4+4+0—4—4=2,

所以cos（西，小）=生罵=一-=-3

所以\1丹/|西網(wǎng)26x26，

又因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是105,

所以BG與CA所成角的余弦值為由.

6

故選：B.

變式2.【多選】（2023春?河南洛陽?高二洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在三棱錐A-3CD

中，AB,AC,而兩兩夾角均為（且福卜|衣|通=1，若G,Af分別為線段AD,BC

的中點(diǎn)，則（）

A.阿卜羊B.\MG\=^

C.異面直線AC與。3所成角的正弦值為叵D.異面直線AC與所成角的正弦值為3

66

【答案】BC

【分析】根據(jù)空間向量對應(yīng)線段的位置及數(shù)量關(guān)系，用荏，衣,而表示出礪，應(yīng)用數(shù)量積的

運(yùn)算律求向量的模長，根據(jù)向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算律求異面直線夾角.

D

不妨設(shè)方=日,標(biāo)=反=則|a|=|B|=l,|c|=2,^ab=^,b-c-a-c-l,

MG=AG-AM^-Al5--(AB+AC)^-(c-a-b),

222

所以|MG|=g^(c-a-b)2=；+a+b-2