高中數(shù)學人教A版必修第一冊第二章綜合檢測卷（培優(yōu)B卷）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.

1.下列命題為真命題的是（）

A.若a>6>0,貝?。荨?。2>慶2B.若c>d,則—d

C.若a>5>0,c<0,則工>，D.若則

ab

【答案】C

【分析】利用特值法和作差法依次判斷選項即可得到答案.

【詳解】對選項A,若a>6>0,c=0,貝!］碇2=A2,故人錯誤；

對選項B,若a=4,Z?=3,c=3,d=2,滿足c>d,

則〃_c=Z?—d=l,故B錯誤.

“、小岳Cccbc-acc(b-a\

對選項C,__-=——=7.

ababa7b

因為a>A>0,c<0,所以仍>0,c僅一。)>0,則必二0>o,即￡>￡,

故c正確.

對選項D,因為<7<6<o,所以d-"=(a+b)(a-b)>0,故片>〃.

所以廿一"=。)<0,所以〃<如，故D錯誤.

故選：C

2.已知。>0/>0,加=&+而,N=貝1J()

A.M>NB.M=NC.M<ND.不能確定

【答案】A

【分析】先利用作差法比較加2與N2,再由于大于零，從而可比較出的大小.

【詳解】因為a>O,b>O,M=&+N=Ja+b,

所以加2_鑄=(&+可+7=2荷>0,

所以”>解，

因為M,N大于零，

所以M>N,

故選：A.

3.已知命題p:*eR,f+(。-l)x+l<0,若命題p是假命題，則。的取值范圍為()

A.l<a<3B.-l<a<3C.-l<a<3D.0<a<2

【答案】B

【分析】由命題p是假命題，可知其否定為真命題，由此結合判別式列不等式，解得答案.

【詳解】由題意:命題pHxeR,x2+(a_l)x+i<0是假命題,

其否定：。：VxeR,尤2+(“-1)尤+120為真命題，

BPA=(a-l)2-4<0,解得-LWaW3,

故選：B

21

4.若%>0,y>。，且-+―=1,x+2y>加2+7加恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是()

xy

A.-8<m<1B.根<一8或勿>1

C.m<一1或相>8D.-l<m<8

【答案】A

【分析】先由基本不等式求出x+2y的最小值，進而列出關于用的一元二次不等式，可求解.

21

【詳解】因為：+；；="

%y

由基本不等得x+2y=(―H■-1(^+2^)=—+—+4>2/—?—+4=8

y)%yN*y

當且僅當竺=2時，等號成立，所以x+2y的最小值為8

xy

2

由題可知，m+7m<(x+2y)n.n=8即加2+7加一8<0,解得-8<m<1,

故選：A

5.下列不等式中正確的是()

,1三的最小值為

A.xH—--21B.2

x2+l

空2

C.XT—之2D.

xyjab

【答案】A

【分析】利用基本不等式及取特殊值逐項分析即可.

【詳解】由士=(、+】)+三一?西一1=1,

當且僅當/+1=47=工=。時取等號，故A正確，

X+1

+4Vx+4，尤+4V&+4

當且僅當==1無解，故取不到最小值2,

+4

故選項B錯誤；

當x>0時，X+』Q=2,當且僅當尤=1時取等號，

當xvO時，x+-=-(-x)+f-—

V2#-。一2,

X[_<x)

當且僅當產(chǎn)-1時取等號，故C不正確；

取。=一1,/?=一2時，竿搟22不成立，故D不正確.

7ab

故選：A.

6.若。>0,)>0,且a+Z?=l,則下列說法正確的是()

12、3

A.—+----->—+B.

ab+12

_7

C.---b>2石-2D.2Q9+b>—

a+18

【答案】A

【分析】由基本不等式可判斷A、B、C；因為2a2+6=2a2+(l_4)=2(a_(j+；,再由二次函數(shù)

的性質可判斷D.

>3+20

【詳解】對于A：

__2-「

故A正確;

對于B：回a+bW小2(/+〃),0a2+Z?2>|,故B錯誤;

對于C：—--b=---=—+(a+l)-2>2^-2,

<3+1a+1'7a+1'7

當且僅當。=百-1時取等號，故C錯誤;

對于D：2a2+b=2a2+(l-a)=2^a-^故D錯誤.

故選：A.

7.方程/+辦_2=0在區(qū)間［1,5］上有根，則實數(shù)。的取值范圍為()

23「231

A.(—■—,+°°)B.(1,+°°)C.__4D.(―°o,-］

【答案】C

【分析】由于方程Y+依-2=0有解，4=分+8>0,設它的兩個解分別為由,X2,則X〃X2=-2<0,

故方程Y+依一2=0在區(qū)間［1,5］上有唯一解.

設於)=d+分一2,則有加加5尸0,即(a-D(5a+23)40,

23

解得：

故選C.

點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

⑴直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍;

⑵分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；

⑶數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合

求解.

8.已知實數(shù)轉0＞，且2+4=1，則工-丫的最小值是（）

x+zi—y

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，將所求式子進行整理變形，再利用基本不等式即可求解.

【詳解】3?！钡仁秸?乙=1恒成立，*尹3++2+1“++占

由于所以1—y>0,2+x>0,

11(^+2+l-y)=2+^^+^1>2+2.￡±13=4,

x+21—yl—yx+2

當且僅當》+2=1-y時，即x=O,y=-l時取等號.

.\x-y+3>4,:.x-y>l,故光一V的最小值為1.

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.已知aeR,關于％的不等式必11＞。的解集可能是（）

x-a

A.(⑷B.(-oo,l)D(a,+oo)

C.(-^?,a)u(l,-H?)D.0

【答案】BCD

【分析】分。<。，a=0,0<a<l,a=l,a>l,利用一兀二次不等式的解法求解.

【詳解】當“<。時，不等式等價于（x-D（x-a）<0,解得a<x<l；

當。=0時，不等式的解集是0；

當0<°<1時,不等式等價于解得X>1或x<a；

當。=1時，不等式等價于（*_丁>（）,解得於1；

當時，不等式等價于（%-l）（x-a）>0,解得x>a或x<l.

故選：BCD

10.下列說法正確的是（）

A.關于x的方程告=7的解集中只含有一個元素，則左=-1

x—1X-X

B.若x<0,則函數(shù)y=X+，有最大值，無最小值.

X

C.函數(shù)>=十二的最小值為2

Vx+2

D.若>be2貝!Ja>b

【答案】BD

【分析】取左=0驗證可判斷A,注意增根；利用基本不等式可判斷B；由基本不等式等號成立

條件可判斷C；由不等式的性質可判斷D.

【詳解】由方程上7可知XR0且cl,方程可化簡為無2+2x4=。，

x-1X-X

當上=0時，解得x=-2或x=0（舍去），所以此時原方程的解集中只有一個元素-2,故A錯誤；

若x<0,則y=-［（—尤）+（-工）］V-2J（-尤）?（二）=一2,當且僅當尸-1時等號成立，故B正確；

xVx

y-￥+3_x：+2+l一/22廣］>2

yee際，

因為乒^=/=一1無實數(shù)解可知，所以不等式取不到等號，故C錯誤；

若ac?>be?,則，>o,即3>0,所以/乂二〉》/*所以〃>/?,故D正確.

ccc

故選：BD

11.已知不等式加+b%+c>0的解集為{%|帆<%<〃},其中〃>相>。，則以下選項正確的有（）

A.a<0

B.b>0

C.c/+法+々>0的解集為卜

[\nmJ

D.c^+fov+o>。的解集為，[無<，或無

[|nmJ

【答案】ABC

【分析】根據(jù)二次不等式的解法，結合二次函數(shù)的性質，可得各參數(shù)的與零的大小關系，再結

合韋達定理，可得選項中二次方程的解，可得答案.

【詳解】；不等式依2+法+。>0的解集為故A正確；

-：n>m>Q,f（x）=ax2+bx+c,.'.-^>0,即6>0,故B正確；

由上所述，易知〃。）<。，c<0,

_bQ

由題意可得相，”為一元二次方程加+foc+c=0,則"?+〃=一，mn=~,

aa

力

11a11m+nbart11?oA…

貝!j-----=一，-+—=----二一一，即J——為方程ex+ZZX+Q=0的斛，

nmcnmmncnm

則可知不等式C/+法+。>。的解集為故c正確，D錯誤.

[\nmJ

故選：ABC.

12.已知。>。力>。，且a+1=l,則（）

b

A.1+b的最小值為4B.4+占的最小值為:

ab4

C.!的最大值為:D.〃的最小值為0-1

b42

【答案】ACD

【分析】結合已知等式，運用基本不等式、配方法逐一判斷即可.

_j_

【詳解】—+/?=|—+/?Y?+—|=1+1+?/?+—>2+2./?/??—=4,當且僅當而=i,即“=5’時取等

[a八切y

aababb=2

號，則A正確;

1

a=—

即當且僅當必=1,即，2’時取等號，則B錯誤;

6=2

一匕__仕_12L當：=；,即6=2時，r=；,則C正確;

b~b~b1~[b2j4b2⑴a4

A八r—[=1_V2

=>一*=￡一1$：一1=&一1,當且僅當2時取等號，則D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若正實數(shù)x,y滿足x+2y=4,則^+3]]+3卜勺最小值是

【答案】25

【分析】利用整體代入法化簡式子，再利用基本不等式即可求出最小值.

【詳解】因為正實數(shù)x,y滿足x+2y=4,

[MUI三+“詈++"?仕+皿7+割”7+2町分

當且僅當生=曳且無+2y=4,即x=2y=2時，等號成立，

yx

所以、+31；+3]的最小值是25.

故答案為：25.

14.已知函數(shù)y=-f+3x-a與y=x+l的圖像上存在關于x軸對稱的點，則a的取值范圍是

【答案】a<5

【分析】根據(jù)題意，點（加㈤關于無軸對稱點為即對于任意的點（〃W）在y=上，

則點（根,-〃）在y=x+l上，列出方程即可得到結果.

【詳解】設點（〃?，"）在函數(shù)y=-無2+3x-a上，則”=—m2+3m—a

則點（加，一力）在函數(shù)〉=x+l上，gp-n=m+l

所以—G"+l）=—>+3〃z-a,化簡可得;a?-4〃z+a-1=0

gpA=（-4）2-4x（a-l）>0,解得a<5

故答案為：a<5

15.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費

用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則乂=噸.

【答案】20

【詳解】該公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買處次，運費為4萬

X

元/次，一年的總存儲費用為4x萬元,一年的總運費與總存儲費用之和為（必-4+4x）萬元，%4

XX

+4x2160,當咽=4x,即x=20噸時，一年的總運費與總存儲費用之和最小.

X

點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中

“正"（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定"（不等式的另一邊必須為定值）、"等"（等號取得的條件）的

條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.

16.不等式產(chǎn)-〃20對所有的aw[T，l]都成立，則t的取值范圍是.

【答案】（f,T]U{0}U[i,+8）

【解析】看作關于。的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)恒成立問題列出不等式組，求得r的范圍.

【詳解】設〃由/㈤2。

團用一即仁；；解得—1或』或止1，

故答案為：(―,_i]U{O}UU，+?>).

【點睛】本題主要考查一次不等式恒成立問題，意在考查學生的數(shù)學運算的學科素養(yǎng)，屬基礎

題.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.比較大小：

(1)已知x>5,比較x3+5x與5x?+x的大小.

(2)比較色和1的大小.

4+Q

4/7

【答案】(1)X3+5X>5X2+X；(2)-^4<1.

【分析】⑴利用作差法比較，分解因式判斷正負即可；

⑵利用作差法比較，通分整理判斷正負即可.

【詳解】解：(1)取>5

0X3+5X-(5X2+X)=X3+4X-5X2=X(X2-5x+4)=x[x(x-5)+4]>0

0X3+5X>5X2+X.

2

(2)4_1=4?-4-fl=_

4+(r4+a4+a

【點睛】本題考查了作差法比較大小，屬于基礎題.

18.已知命題。:不等式q2-5a-3N3恒成立；命題/不等式f+6+2<0有解，若。是真命題，4

是假命題，求。的取值范圍.

【答案】卜2也一1]

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法、一元二次不等式無解可分別求得。為真和4為假時a的

范圍，取交集即可得到結果.

【詳解】若。為真命題，則/一5a-620恒成立，解得：aW-1或/6；

若夕為假命題，則Y+冰+2<0無解，.'.A=a2-8<0,解得：-2A/2<a<242

綜上所述：若〃是真命題，是假命題，則。的取值范圍為

19.已知關于x的不等式蘇-2工+。>0（。*。）.

（1）若不等式的解集為R，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若不等式的解集為。，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）（L-）；（2）（-?,-1].

【解析】在。力0時，利用二次函數(shù)的性質求解.

【詳解】（1）因為原不等式解集為我，

則\=4-4/<0，解得"1，

回。的取值范圍是（1，內(nèi)）.

（2）因為原不等式的解集為4,

則《二…，解得

回實數(shù)。的取值范圍為（-叫T].

【點睛】方法點睛：本題考查一元二次不等式的解集問題，解題關鍵是掌握三個二次之間的關

系，一般解一元二次不等式，我們都是把二次項系數(shù)化為正數(shù)，然后求解，而在二次項系數(shù)含

有參數(shù)時，可以結合二次函數(shù)的圖象與性質研究不等式的解，如依2+云+°>0恒成立，對應二

次函數(shù)圖象在X軸上方，不等式以2+法+c>0解集為空集，則對應二次函數(shù)圖象在X軸下方，這

樣可由二次函數(shù)性質完成求解.

20.某企業(yè)為響應國家節(jié)水號召，決定對污水進行凈化再利用，以降低自來水的使用量.經(jīng)測

算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設備.這種凈水設備的購置費（單位：萬元）

與設備的占地面積x（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為02預計安裝后該企業(yè)每年需繳納

的水費C（單位：萬元）與設備占地面積X之間的函數(shù)關系為c（尤”秦（x>0）.將該企業(yè)的凈

水設備購置費與安裝后4年需繳水費之和合計為y（單位：萬元）.

（1）要使y不超過7.2萬元，求設備占地面積X的取值范圍；

⑵設備占地面積x為多少時，y的值最??？

【答案】⑴[11，20]；⑵設備占地面積為15m2時，y的值最小.

【分析】（1）由題意解不等式0.2X+?<7.2,即可求得；

（2）利用基本不等式即可求解.

【詳解】（1）由題意得了=0.2尤+2（x>0）.

犬+5、7

要滿足題意，則》<7.2,

即0.2%+——W7.2,解得：ll<x<20.

x+5

即設備占地面積X的取值范圍為[11,20].

八。80x+580>lx+580-,/771-7

（2）y=0.2x+----=----+------122J----x------1=2o716-1=7,

x+55x+5V5x+5

當且僅當W=2=尤=15時等號成立.

5x+5

所以設備占地面積為15m2時，>的值最小.

21.已知a,b為正實數(shù)，且工+；=2次.

（1）求+"的最小值；

（2）若（4-6）*436）3,求ab的值.

【答案】（1）1;（2）1.

【分析】（1）根據(jù)，+[=2應和/+/22仍可得結果；

abVab

（2）由，+