專題02集合間的基本關系

1、理解集合之間的包含與相等的含義;

能識別給定集合的子集，了解空集含義

能進行自然語言、圖形語言（Venn圖）、符號語言間的轉換

/--------------[HHHK.

（新知速通J

1、子集、空集與Venn圖

1.1子集的定義：

一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個元素都是集合3中的元素，我們就說這兩個集合有

包含關系，稱集合A為集合3的子集，記作（或3①A）,讀作“A包含于B”（或“3包含

A”）。

1.2Venn圖：

在數(shù)學中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖形稱為Ve/w圖。則上述集合A和集合5的

包含關系，可以用如下Me〃〃圖表示：

要點說明：

①子集的定義可以理解為：若任意的xeA,都有xeB,則A。5.這可以作為證明A口3的方法；

②規(guī)定：空集是任何集合的子集；

③任何一個集合是它本身的子集，記作ANA；

④包含關系具有傳遞性，即若AGB,且BJC,則ACC；

⑤集合A是集合33的子集不熊理解為集合A是由集合3中的“部分元素”組成的，因為集合A可能

是空集，也可能是集合3.

⑥注意符號“e”與“7"的區(qū)別："口”只用于集合與集合之間，如{0}口N,而不能寫成{0}eN；“e”

只能用于元素與集合之間，如0@N,而不能寫成0JN.

2、集合的相等

如果集合A是集合3的子集（A0B）,且集合3是集合A的子集（B0A）,此時，集合A與集合3

中的元素是一樣的，因此，集合A與集合3相等，記作A=5。

要點說明：

①若且則4=5；反之，如果A=5,則A0B且這就給出了我們證明兩個

集合全等的方法，即預證A=5,只需證A。B且3。A都成立即可;

②兩集合相等，則所含元素完全相同，與元素順序無關；

③要判斷兩個集合是否相等，對于元素比較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來，看兩個集合的元

素是否完全相同；若是無限集，應依據(jù)“互為子集”從兩個方向入手進行判斷。

④同一個集合，可以有不同的表示方法，這也是定義兩個集合相等的意義所在;

⑤集合中的關系與實數(shù)中的結論類比

實數(shù)集合

包含兩層含義：a-b,或〃</?ANB包含兩層含義：A=B,或AU3

若aNb,且。</?,則〃=b若A2B,且ACB,則A=B

若aNb,b>c9則aNc若A3B,B3C,則A3C

3、真子集

真子集（propersubset）：如果集合A。3,但存在元素%e6,S.x^A,我們稱集合A是集合8的真

子集，記作AU8（或.讀作“A真包含于3”或“3真包含A”.

要點說明：

理解真子集的定義要注意一下幾點：

①空集是任何非空集合的真子集；

②對于集合A,B,C,如果AU3,BUC,那么AUC；

③若則A與5有兩種可能的關系：即AU3或A=5；

4、空集

我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0;

要點說明：

空集的性質：

①空集只有一個子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即AW0；

③空集是任何非空集合的真子集，即若則0UA,反之也成立。

④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是無限集；

對點集訓一：判斷集合子集（真子集）個數(shù)

典型例題

例題1.（24-25高一上?廣東梅州?期末）設集合M={。,）},N={1,2,3},則滿足M=N的集合河有（

種情況

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】列舉集合N含有兩個元素的子集，可得結果.

【詳解】因為集合N含有兩個元素的子集有：{1,2},{1,3},{2,3}共3個，

所以集合M有3中情況.

故選：C

例2.（24-25高一上?廣東廣州?階段練習）集合4=5€4/42}的真子集個數(shù)為.

【答案】7

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】根據(jù)A={-1,0」},即可根據(jù)公式求解真子集的個數(shù).

【詳解】A={xeZ|X2<2}={-1,0,1},

故真子集的個數(shù)為23-1=7,

故答案為：7

精練

1.（24-25高三上?吉林長春?期末）滿足{0}=加={-1,0,1}的集合M的個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】B

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】利用子集的定義列舉出符合題意的集合，求解即可.

【詳解】因為{0}="={-1,。,1},所以陷={。},M={O,1},

M={0,—1},={-1,0,1},共4個，故B正確.

故選：B

2.（24-25高一上?天津南開?階段練習）已知集合M={x|?>l,xeN*},則M的非空子集的個數(shù)是

【答案】15

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】利用列舉法表示集合M,進而求出其非空子集個數(shù).

【詳解】依題意，M={1,2,3,4},所以M的非空子集的個數(shù)是2。1=15.

故答案為：15

3.（24-25高一上廣東江門?期中）集合A={0,20,27}的非空子集的個數(shù)為.

【答案】7

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】利用集合中的元素個數(shù)即可求得對應集合的子集個數(shù)，再去除空集即可得出結果.

【詳解】易知集合中有3個元素，根據(jù)元素個數(shù)與子集個數(shù)之間的關系可得，集合的非空子集的個數(shù)為

23-1=7個

故答案為：7.

對點集訓二：求集合子集（真子集）

典型例題

例1.（多選）（23-24高一上?山西太原?階段練習）已知集合M滿足{1,2仁加是{1,2,3,4},則這樣的集

合M可能為（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,4}D.{1,2,3,4}

【答案】ABC

【知識點】求集合的子集（真子集）

【分析】根據(jù)子集和真子集的概念進行求解.

【詳解】因為{1,2}三為1{L2,3,4},故洋={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4},

ABC正確，D錯誤.

故選：ABC

例2.（23-24高一下,全國?課堂例題）（1）寫出集合⑴的子集和真子集.

（2）寫出集合{〃，耳的所有子集和真子集.

（3）寫出集合4={6,7,8}的所有子集和真子集.

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析

【知識點】求集合的子集（真子集）

【分析】根據(jù)子集與真子集的定義求解即可.

【詳解】⑴子集：0,⑴；真子集：0；

（2）子集：0,{a},,{a,b};真子集:0,{a},;

（3）子集：0,{6},{7},{8},{6,7},{7,8},{6,8},{6,7,8}；

真子集：0,{6},{7},{8},{6,7},{7,8},{6,8}.

精練

1.（多選）（23-24高一上?江蘇南京?期中）下列各個選項中，滿足{小2_2》-3=0}=?{-1,0,1,3}的集

合A有（）

A.{-1,3}B.{-1,1}C.{-1,0,3}D.{-1,0,1,3}

【答案】AC

【知識點】求集合的子集（真子集）

【分析】先化簡集合，利用子集的含義可得答案.

【詳解】因為2尤-3=（》-3）（尤+1）=0,即有{T,3}=4${-1,0,1,3},

所以A中定有-1和3,故排除B,又因為A是{-1,0,1,3}的真子集，故排除D.

故選：AC.

2.（24-25高一上?上海?課堂例題）已知集合“滿足：{l,2}u"=l,2,3,4,5},寫出集合M所有可能的情

況：_______

【答案】{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}

【知識點】求集合的子集（真子集）

【分析】利用集合間的包含關系求解，按集合M的元素個數(shù)由少到多進行列舉.

【詳解】解:{1,2}uM口{1,2,3,4,5},

，1,2都在集合M中，且3,4,5中有1個或2個在集合M中或3個都在集合M中，

，集合M所有可能情況為：

{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

故答案為：{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

3.（24-25高一上,廣西桂林?階段練習）（1）寫出集合{1}的子集和真子集.

（2）寫出集合{〃,6}的所有子集和真子集.

【答案】（1）子集：{1},0;真子集：0.

⑵子集：{a},,{a,b},0;真子集:M，H，0.

【知識點】求集合的子集（真子集）

【分析】根據(jù)題意，由子集與真子集的定義，即可得到結果.

【詳解】⑴集合{1}的子集：{1},0；集合律的真子集。.

（2）集合{a,耳的子集:{a},,{a,b},0;

集合{4肉的真子集：{a},,0.

對點集訓三：判斷集合的包含關系

典型例題

例1.（24-25高一上?重慶?期中）下列各式正確的是（）

A.-l={x|x<2}B.{0}w{x|x<2}

C.Oe0D.0c{O}

【答案】D

【知識點】判斷元素與集合的關系、判斷兩個集合的包含關系

【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關系逐項判斷即可.

【詳解】對于A選項，-le（x|x<2）,A錯;

對于B選項，{0}={x|x<2},B錯；

對于C選項，0比0,C錯；

對于D選項，。={0},D對.

故選：D.

例2.（多選）（24-25高一上?安徽合肥?期末）若集合A={xeN|2x+10>3x},則下列結論正確的是（）

A.2V2gAB.8=AC.{4}eAD.{0}cA

【答案】AD

【知識點】判斷元素與集合的關系、判斷兩個集合的包含關系

【分析】求得集合4={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},可得結論.

【詳解】A={xeN|2x+10>3無}={xeN|x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

所以2后eA,{0}cA,故AD正確；

所以8eA,{4}cA,故BC錯誤.

故選：AD.

精練

1.（2025高三下?全國?專題練習）若集合A={尤屈？},“=4&,則下面結論中正確的是（）

A.B.acAC.{a}eAD.a^A

【答案】D

【知識點】判斷元素與集合的關系、判斷兩個集合的包含關系

【分析】根據(jù)給定集合及元素的特征，結合元素、集合的關系判斷得解.

【詳解】由a=4應，得。是無理數(shù)，由A={xeN|xW72025）,得集合A是不超過45的自然數(shù)形成的集合,

因此集合{研不包含于集合A,D正確，A錯誤，由元素、集合間關系知BC錯誤.

故選：D

2.（24-25高一上?陜西西安?階段練習）下列選項錯誤的是（）

A.{l}c{0,1,2}B.{1,-3}={-3,1}

C.{0,1,2}C{1,0,2}D.0e{O}

【答案】D

【知識點】判斷兩個集合的包含關系、判斷兩個集合是否相等、空集的概念以及判斷

【分析】利用集合與集合的關系逐項判斷即可.

【詳解】對于A,集合{1}中的元素在集合{0,1,2}中，{1}={0,1,2},A正確；

對于B,集合{L-3}與集合{-3,1}中的元素相同,{1,-3}={-3,1},B正確;

對于C,集合{0」,2}中的元素都在集合{1,0,2}中，{0,1,2}={1,0,2},C正確；

對于D,集合{0}中的元素不是空集，0e{O}不正確，D錯誤.

故選：D

3.（多選）（24-25高一上?陜西寶雞?階段練習）下列說法正確的是（）

A.3,4,5}B.{3}e{1,2,3,4,5}

C.{2,4}c{1,2,3,4,5}D.。冬{1,2,3,4,5}

【答案】ACD

【知識點】判斷元素與集合的關系、判斷兩個集合的包含關系、空集的概念以及判斷

【分析】利用元素與集合、集合與集合的關系逐項判斷即得.

【詳解】對于A,le{l,2,3,4,5},A正確；

對于B,{3}c{1,2,3,4,5},B錯誤;

對于C,{2,4}G{1,2,3,4,5},C正確；

對于D,0C{1,2,3,4,5},D正確.

故選:ACD

對點集訓四：根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

典型例題

例1.（24-25高二上?重慶?階段練習）設集合A={1,3,/},B={l,?+2},且BgA,貝!|a=（）

A.1B.2C.l或2D.-1或2

【答案】B

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)、集合元素互異性的應用

【分析】利用集合間的包含關系列出方程，求解檢驗即得.

【詳解】由題意，{1,0+2}={1,3,/},貝IJ有a+2=3或a+2=/,解得a=±1或。=2,

顯然當”=±1時，集合&={1,3,/}中的元素出現(xiàn)重復，與集合元素的互異性矛盾，

而a=2時，8={L4},A={1,3,4},滿足BqA.

故選：B.

例2.（24-25高一上?廣東東莞?期末）設集合A=3-2<x<l},B={x\x<a-}},滿足A=則實數(shù)

的取值范圍是（）

A.{a\al1}B.{a\a>-1}C.{a|a>2）D.{a|a<2}

【答案】C

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【詳解】利用集合包含關系得不等關系，從而求解.

【解答】,,,AcB,A={x|-2<x<1},B-{x\x<a-l],

由題意如圖：

_________1______kJ_>21,解得a22.

-21a-\x

故選：c.

精練

1.（2025?廣西柳州?三模）已知集合4=31<》<3},3={x|x<a},若4a3,則實數(shù)。的取值范圍是（

A.（^?,3）B.（-<?,3]C.（3,+oo）D.[3,+co）

【答案】D

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【分析】利用集合間的包含關系求解.

【詳解】因為A={無<3},8={無卜<。},且4=3,

所以a23,所以實數(shù)〃的取值范圍是[3,討），

故選:D.

2.（24-25高三下?河南周口?開學考試）已知集合4={0,|那，B={l,a+l,a-l},若AgB,貝（

A.1B.-1C.10D.1^-1

【答案】D

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【分析】由A=3得。+1=0或。-1=0求出值，并根據(jù)集合元素互異性檢驗得解.

【詳解】因為A=當a+l=O,即a=—1時，A={0,1},B={l,0,-2},符合題意;

當a—l=0,即a=l時，A={0.1},B={1,2,0},符合題意.

綜上，。=1或—1.

故選：D.

3.（24-25高一上?上海?期末）已知集合&={-2,2},B=[-2,-1,a+3],且4=3,則實數(shù)"的值為

【答案】-1

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【分析】由集合包含關系得到a+3=2即可求解；

【詳解】由題意可知。+3=2,

解得：a=-l,

故答案為：-1

對點集訓五：判斷兩個集合是否相等

典型例題

例1.（24-25高一上?安徽阜陽?期中）下列集合中表示同一集合的是（）

A.M={（3,2）},N={（2,3）}

B.M={4,5},N={5,4}

C.M={（x,y）|x+y=l},N={y|x+y=l}

D.M={1,2},TV={（1,2））

【答案】B

【知識點】判斷兩個集合是否相等

【分析】根據(jù)集合相等的概念逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，M'N;

對于B選項，M=N;

對于C選項，M為點集，N為數(shù)集，則V，N;

對于D選項，河為數(shù)集，N為點集，則ATN.

故選：B.

例2.（多選）（23-24高一上?重慶云陽?階段練習）下列集合中，與集合{-1,1}相等的是（）

A.[-1,1]B.{x|x2=1}C.{（x,y）k=T,y=l}D.卜=

【答案】BD

【知識點】列舉法表示集合、判斷兩個集合是否相等

【分析】根據(jù)集合的性質得到AC錯誤，BD正確.

【詳解】A選項，［-1』上｛-1』｝,A錯誤；

B選項，卜*=1｝=｛L-1｝,B正確；

C選項，｛（x,y）|x=T,y=l｝=｛（-l,l）｝"-I』｝,C錯誤；

D選項，只有當x=l和x=T時，y=故卜eZ|y=-，yeZ卜｛1,一1｝,D正確.

故選：BD

精練

1.（24-25高一上,廣東汕頭?階段練習）下列集合中表示同一集合的是（）

A.M=｛（3,2）｝,N=｛（2,3）｝B.M=｛2,3｝,N=｛（2,3）｝

C.M=｛（尤,y）|x+y=1｝,N=｛Vx+y=l｝D.M=｛2,3｝,N-｛3,2｝

【答案】D

【知識點】判斷兩個集合是否相等

【分析】根據(jù)集合相等的概念逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，M=｛（3,2）｝,N=｛（2,3）｝,則叱N;

對于B選項，M=｛2,3｝,N=｛（2,3）｝,貝1］叱N;

對于C選項，川=｛（尤,'）歸+丫=1｝為點集，N=｛Vx+y=l｝為數(shù)集，則ATN;

對于D選項，加=｛2,3｝,N=｛3,2｝,則"=乂

故選：D.

2.（多選）（24-25高一上?廣東陽江?期中）下列各組中M,N表示不同集合的是（）

A.M=｛4,-3］,N=｛（4,-3）｝

B.M=｛（3,2）｝,N=｛（2,3）｝

C.A/=｛y|y=x_2,元22｝,N=｛（x,y）|y=尤-2,彳22｝

D.M=｛y|y=2左+1,4eZ｝,N=｛y|y=2左一1,上eZ｝

【答案】ABC

【知識點】判斷兩個集合是否相等

【分析】由兩集合相等定義可判斷集合是否相同.

【詳解】A選項，M為數(shù)集，N為點集,則兩集合不同，故A正確；

B選項，M為點集，N為數(shù)集，則兩集合不同，故B正確；

C選項，河為數(shù)集，N表示射線y=X—29X>2上的點，則兩集合不同，故C正確；

D選項，兩集合均表示全體奇數(shù)，故兩集合相同，故D錯誤.

故選:ABC

3.(24-25高一上?全國?課堂例題)4={尤［。+1)。+2)=0},8={-1,-2},集合4與3有什么關系？

【答案】相等

【知識點】判斷兩個集合是否相等

【分析】求出集合A,進行判斷即可.

【詳解】因為A=同(*+l)(x+2)=0}={-1,-2},B={-1,-2),

所以A=8.

對點集訓六：根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)

典型例題

例1.(24-25高三上?湖南長沙?期末)已知集合4={0』,2},B={0,l,2a},若A=8,貝！|a=()

A.一1或2B.一1或1C.-1D.1

【答案】D

【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)

【分析】由集合相等即可求得結果.

【詳解】集合A={0,l,2},B={0,l,2a},

因為A=3,所以2a=2,

解得a=l,

故選：D.

例2.(24-25高一上?重慶?期中)已知數(shù)集4={。+1,。,—2},8={4,2,-2},若A=3,貝心=.

【答案】1

【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)

【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論即可.

【詳解】易知2eA,所以a+l=2或4=2,

若a+l=2,即。=1,此時A={2』,-2},B={l,2,-2},符合題意；

若a=2,此時』={3,2,-2},3={4,2,-2},A^B,舍;

綜上,a=l.

故答案為：1

精練

1.(24-25高二上?浙江杭州?期末)設集合A={0,a},8={“-2,3a-4},若3=A,貝！|。=()

4

A.2B.1C.-D.-2

3

【答案】A

【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)

【分析】利用集合相等列式求值并驗證得解.

4

【詳解】集合4={0,。},3=伍-2,3。一4},由8=4,得。一2=0或3?！?=0,解得4=2或。=§,

當a=2時，8={0,2}=A,符合題意；

42

當〃時，3={0，-不符合題意，

所以。=2.

故選：A

2.（23-24高一上?山東泰安?階段練習）已知集合4={0,1,〃},3={1,0,2。+3},若A=B,則。等于（）

A.一1或3B.0或一1C.3D.-1

【答案】C

【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)

【分析】利用集合相等的定義，即可得到集合里面的元素完全相等即可求得.

【詳解】因為4={0,1,"},3={1,0,2。+3},若4=5,則4=2°+3,解得：。=3或。=一1,又因為集合

元素的互異性，aw-1即a=3

故選：C

3.（24-25高一上?上海?期中）1.若集合{。,4={尤|Y—12x+32=0},則a+6的值為

【答案】12

【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)

【分析】根據(jù)集合相等的表示及二次方程求解元素即可.

【詳解】因為{a,6}={x|/—12x+32=o},

所以集合可表示為{4,8},所以4+6=12.

故答案為：12.

對點集訓七：空集

典型例題

例1.（2025高三下,全國,專題練習）已知集合4={{0},0},下列選項中為A的元素的是（）

①{0}②{{0}}③0?{{0},0}

A.①②B.0（3）C.②③D.②④

【答案】B

【知識點】判斷元素與集合的關系、空集的概念以及判斷

【分析】由集合A即可直接判斷；

【詳解】集合A有兩個元素：{0}和。.

故選：B

例2.（24-25高一上?上海浦東新?期中）關于x的不等式限x+3）＜x+機解集為空集，則實數(shù),"的值為.

【答案】1

【知識點】空集的概念以及判斷

【分析】不等式化為（祖-1口＜-2機，然后對系數(shù)進行分類討論可得.

【詳解】"?（x+3）＜x+，w可化為（in-l）x＜—2m,

若m=1,不等式為0＜-2,不成立，不等式解集為空集，

若加＞1,不等式的解為X＜-R,

m-1

若加＜1,不等式的解為x＞-1，

m-1

綜上,m=l,

故答案為:1.

精練

1.（23-24高一上?重慶,期中）下列關于0與0說法不正確的是（）

A.020B.0e{0}

C.{0}=0D.{0}30

【答案】C

【知識點】判斷元素與集合的關系、判斷兩個集合的包含關系、空集的概念以及判斷、空集的性質及應用

【分析】根據(jù)。的定義與性質結合元素與集合的關系逐項分析判斷.

【詳解】因為。是不含任何元素的集合，故A正確，C不正確；

對于選項B:0G{0},故B正確；

對于選項D:因為0是任何集合的子集，所以{0}衛(wèi)0,故D正確；

故選：C.

2.（多選）（24-25高一上?山西大同?階段練習）下列說法正確的是（）

A.0e{O}B.0e{0}C.0c{0,1,2}D.（1,2）={1,2}

【答案】BC

【知識點】判斷兩個集合的包含關系、空集的性質及應用、判斷元素與集合的關系、判斷兩個集合是否相

等

【分析】運用元素與集合的關系，集合與集合關系，結合空集概念解題即可

【詳解】因為。不是｛0｝中的元素，故0e｛O｝錯誤；

元素與集合之間的關系是屬于關系，則0e｛0｝正確；

空集是沒有元素的集合.空集是任何集合子集，則0=｛0,1,2｝正確；

集合相等是元素一樣，則（1,2）=｛1,2｝錯誤.

故選:BC.

3.（24-25高一上?上海長寧?開學考試）若不等式（。-2卜>。+3的解集為0,則”的取值集合為

【答案】｛2｝

【知識點】空集的概念以及判斷

【分析】根據(jù)一次不等式的解集求參數(shù)即可.

【詳解】若不等式（〃-2.>。+3的解集為0,則。-2=0,所以。=2,符合題意，

故a的取值集合為｛2｝.

故答案為：｛2｝.

一、單選題

1.（23-24高一上?湖北宜昌?階段練習）已知集合2=｛1,2｝,那么滿足Q=P的集合Q的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】根據(jù)子集和真子集的含義即可得到答案.

【詳解】由題意得。=律或｛2｝或｛1,2｝,

則滿足題意的。的個數(shù)是3.

故選：B.

2.（24-25高一下?遼寧?開學考試）已知集合「=卜|0<%<4｝,且MaP,則M可以是（）

A.{2,4}B.{1,2)C.{-1,2}D.{052}

【答案】B

【知識點】子集的概念

【分析】根據(jù)子集的定義即可求解.

【詳解】由于P={尤[0<x<4},4任己一1丈尸,0走尸,故{1,2}a尸，

故選：B

3.（24-25高三下?廣東惠州?階段練習）已知集合4={2<^<2},B=[x\x<a],若則實數(shù)。的

取值范圍是（）

A.（2,+00）B.co,2）C.（-co,2]D.[2,+co）

【答案】D

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【分析】根據(jù)集合的包含關系即可求解.

【詳解】由題意，因為4=3,即集合A是集合B的子集，所以022.

故選：D.

4.（24-25高三上?浙江階段練習）若集合A={d/+1=0}是空集，則。的取值范圍是（）

A.（0,+ao）B.[0,+oo）c.（-co,0）D.（-oo,0]

【答案】B

【知識點】空集的概念以及判斷

【分析】根據(jù)給定條件，利用空集的意義，結合一元二次方程根的情況求得答案.

【詳解】集合A=付/+1=0}是空集，則關于x的方程加+1=0無實根，

當a<0時，方程在2+1=0為/=-工>0有兩個不等實根，不符合要求，

a

當〃>0時，ax2+l>l>0,方程辦2+1=0無實根，

所以〃的取值范圍是[。,+8）.

故選：B

5.（24-25高三上?河南南陽?期末）已知集合”={-2,—1,0,1,2},N={y|y=Y-/},則集合N的

真子集個數(shù)為（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】A

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】求出集合N,利用集合的真子集個數(shù)公式可求得集合N的真子集個數(shù).

【詳解】因為/={-2,-1,0,1,2},則"=}卜=/一.6,尤eM}={-6,-4,0},

所以，集合N的真子集個數(shù)為23-1=7.

故選：A.

6.（24-25高一上?重慶九龍坡?期末）已知集合4=｛人,4｝,3=｛-2,4,山—1｝,且413,則實數(shù)，〃的值為（）

A.-5B.-4C.-3D.3

【答案】C

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【分析】根據(jù)集合的包含關系可得根-1=T求解.

【詳解】由于A=3,故=解得m=一3,

故選：C

7.（19-20高一上?河南鄭州?期中）下列表述中正確的是（）

A.｛0｝=0B.｛（1,2）｝=｛1,2｝C.｛0｝—0D.OeN

【答案】D

【知識點】判斷元素與集合的關系、判斷兩個集合的包含關系

【分析】根據(jù)集合與元素之間的基本關系以及集合與集合之間的關系逐一判斷可得結論.

【詳解】對于A,因為空集中不含有任何元素，因此｛。｝片0,即A錯誤；

對于B,集合｛。,2）｝中只有一個元素，而｛1,2｝中有兩個元素，所以｛（1,2）｝*｛1,2｝,即B錯誤；

對于C,空集中不含有任何元素，而｛0｝中有一個元素0,所以C錯誤；

對于D,自然數(shù)集N中包含0,因此OeN,即D正確.

故選：D

8.（24-25高三上?新疆喀什?階段練習）設集合A=｛0,4，B=1x|0<x<—21,若A=則實數(shù)“的

取值范圍為（）

A.?>2B.a<2C.a>2D.a<2

【答案】A

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)、根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)

【分析】問題轉化為根據(jù)元素與集合的關系，求參數(shù)取值范圍.

【詳解】因為A=所以OeB且aeB.

由0ejB=>0W2a-2=>a21;

綜上可知：a>2.

故選：A

二、多選題

9.（24-25高一上?廣西柳州?期末）下列表述正確的有（）

A.0=0,1}B.0e{0,l}

C.0={O}D.。表示沒有任何元素的集合

【答案】BD

【知識點】判斷元素與集合的關系、空集的概念以及判斷

【分析】根據(jù)元素和集合的關系判斷AB選項，根據(jù)空集的定義判斷CD選項.

【詳解】A選項，0是元素，{0,1}是集合，之間不能用=符號連接，A選項錯誤；

B選項，{0,1}集合中確實含有元素0,即0e{0,l},B選項正確；

C,D選項，根據(jù)空集的定義，0表示沒有任何元素的集合，D選項正確，

而{0}是包含一個0元素的單元素集合，0N{。},C選項錯誤.

故選：BD

10.（24-25高一上?山東聊城?階段練習）下列各個選項中，滿足{無|尤2-2工-3=0}1*{-1,0,1,3}的集合

A有（）

A.{-1,3}B.{-1,1}C.{-1,0,3}D.{—1,0,1,3}

【答案】AC

【知識點】求集合的子集（真子集）

【分析】先化簡集合，利用子集、真子集的含義可得答案.

【詳解】因為x2-2x-3=（x—3心+1）=0,即有{-1,3}aA{-1,0,1,3},

所有滿足條件的集合A為：{-1,3},{-1,0,3},{-1,1,3}.

故選：AC.

三、填空題

11.（24-25高一下?河北保定?階段練習）已知集合人=何―1<%<2},B={x\-l<x<m+\],若4=8,

則實數(shù)用的取值范圍是.

【答案】

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【分析】根據(jù)集合的包含關系列不等式求結論即可.

【詳解】因為A=A={R—1<X<2},B=^x\-l<x<m+A^,

所以zn+122,

所以?nNl.

故答案為：{向相21}

12.（2025高三?全國?專題練習）已知“,beR,若=,貝[]/儂+"儂=.

【答案】1

【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)

【分析】先根據(jù)分式有意義可得到6的值，再根據(jù)相等集合以及集合元素的互異性得到。的值，即可求得結

果.

b

【詳解】由已知得awO,則一=0,所以6=0,

a

于是°2=1,即。=1或a=—1,

又由集合中元素的互異性知。=1應舍去，故。=-1,

所以/期+/。26=（_1）2。26+02026=i

故答案為：1.

四、解答題

13.（24-25高一上?河北石家莊?階段練習）已知集合A={xeR|av2—x—1=0,ae.

（1）若a=2,寫出集合A的所有子集；

（2）若集合A中僅含有一個元素，求實數(shù)a的值.

【答案】（1心,{Itmi

（2）0或一:

【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)、求集合的子集（真子集）

【分析】（1）求出集合A,進而求出其子集即得.

（2）按。的值是否為0,分類求解即得.

【詳解】（1）若。=2,貝!]A={xeR|2Y-x-l=0,aeR}=D

所以集合A的所有子集是：

（2）當a=0時，方程一%-1=0=%=-1,符合題意，因此a=0,

當awO時，集合4中僅含有一個元素，貝UA=l+4a=0,解得a=一，

4

所以實數(shù)a的值為0或

4

14.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知集合4={尤1-34》<2},B^[x\2k-l<x<2k+l],且31A,求

實數(shù)％的取值范圍.

【答案】|^|-l<k<

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【分析】根據(jù)集合的基本關系得出不等式組計算即可.

【詳解】由于B=在數(shù)軸上表示A,B,如圖，

__________A

-32k-\2k+\2%

f2^-l>-3,A［左2一1，

可得。7.解得，1

|2%+1<2,k<一.

I2

所以上的取值范圍是，％-14左.

15.（24-25高一上?四川瀘州期中）已知集合A=+—=5j>,B=^x|（a-l）x2+ax+a-l=o1.

（1）若B中恰有一個元素，用列舉法表示。的值構成的集合；

（2）若BaA,求。的取值范圍.

【答案】a）“，2,g,

⑵1-叫gU（2,+=o）

【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)、根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【分析】⑴分a-l=O與。一1力0兩種情況討論，當a—1W0時△=（）,即可求出參數(shù)的值；

（2）首先解方程求出集合A,再分3=0、le3、4e3三種情況討論，分別求出參數(shù)〃的范圍（值），

即可得解.

【詳解】（1）若aT=O,即。=1,則3=網(wǎng)，符合題意.

若4一1工0,即awl,則由B中恰有一個元素，得A=/_4（a-l）2=0,

2

解得。=2或〃=；.

3

綜上所述，a的值構成的集合為",251.

（2）由x+；=5,解得x=l或x=4,貝IJA={1,4}.

ci—1w0,2

若3=0,符合貝叫，、2c解得4<彳或。>2.

6!*--4（67-1）<0,3

2

若leB,則3a-2=0,解得貝”={1},符合BqA.

若4eB,則21a—17=0,解得。=三，則8=（4,；卜不符合3UA.

綜上所述，a的取值范圍為U（2,+⑹.

1.（24-25高二下?北京?期中）已知集合合={1,2,3,4,5,…,2025}的子集3滿足時任意冷ye8,有,

則集合5中元素個數(shù)的最大值是（）

A.506B.507C.1012D.1013

【答案】D

【知識點】抽屜原理、利用集合中元素的性質求集合元素個數(shù)

【分析】假設5中的最大元素為2025,再將其余元素分組，再結合抽屜原理即可得解.

【詳解】假設3中的最大元素為2025,

將其余元素分組（1,2024）,（2,2023）,（1012,1013）,共1012組，

若3中元素多于1013個，由抽屜原理可知，必有兩個數(shù)在同一組，兩個數(shù)的和為2025,與條件矛盾.

所以B中元素不能多于1013個.

所以當8={1013,1014,1015,…,2025}時,

B中元素個數(shù)最多為2025-1013+1=1013.

故選：D

2.（2025高三?全國?專題練習）定義集合的。運算：已知集合A,2,則4。8=[卜=%0€46€81.若集

合4={1,尤},B={x2,%3）,則集合的真子集個數(shù)的一個可能取值是.

【答案】3或7

【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、集合新定義

【分析】根據(jù)題中定義和元素的性質，結合集合真子集個數(shù)公式進行求解即可.

【詳解】由集合中元素的互異性可得XN0且XWL

當x=T時，A=B={1-1],所以4。3={-1,1},

此時集合4。3的真子集個數(shù)為22-1=3.

因為集合A中有個元素，則集合A有2"個子集，有2"-1個真子集，

當犬力0且時，AOB=1-,4,41＞此時集合A03的真子集個數(shù)為23-1=7.

lxXXI

故答案為：3或7

3.（24-25高一上?陜西西安?階段練習）含有有限個元素的數(shù)集，定