專(zhuān)題12函數(shù)的奇偶性

1、了解函數(shù)奇偶性的定義

2、掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.

3、會(huì)應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性解決簡(jiǎn)單問(wèn)題

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（新知速通J

知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的奇偶性

1、定義：

1.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)?,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—x)=/(x),那么函

數(shù)/(%)就叫做偶函數(shù).

1.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)“龍)的定義域?yàn)?,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—%)=—/(x),那么

函數(shù)/(九)就叫做奇函數(shù).

2、函數(shù)奇偶性的判斷

2.1定義法：

(1)先求函數(shù)的定義域/,判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

(2)求/(-%),根據(jù)/(-x)與/(x)的關(guān)系，判斷/(幻的奇偶性：

①若/(-x)+于(x)=0=/(-%)=-/(x)O/(%)是奇函數(shù)

②若/(-%)-于3=0o/(-%)=/(%)。/(%)是偶函數(shù)

③若匕X)匕肅—"O/⑴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

f(-x)w-f(x)

④若、:、O/(X)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

豐于(X)

2.2圖象法：

(1)先求函數(shù)/(x)的定義域/,判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

(2)若“X)的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)0/(%)是偶函數(shù)

（3）若/（幻的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)o/（x）是奇函數(shù)

2.3性質(zhì)法：

/（x）,g（x）在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論:

/(X)

于（X）g(x)y（x）+g（x）f(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)二：奇函數(shù)，偶函數(shù)的性質(zhì)

1、奇函數(shù)，偶函數(shù)的圖象特征

設(shè)函數(shù)/（%）的定義域?yàn)?

（1）〃尤）是偶函數(shù)0/（%）的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)；

（2）/（%）是奇函數(shù)07（尤）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

（3）若“力是奇函數(shù)且Oe/,貝?。?（0）=0

2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系

（1）/（%）是偶函數(shù)O/（九）在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；

（2）/（%）是奇函數(shù)O/（九）在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；

3、函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值及最值的關(guān)系

設(shè)函數(shù)/（%）的定義域?yàn)椋?4-a］［a,b］（其中/“）

（1）/（九）是偶函數(shù)，且在［a向上單調(diào)，則/（對(duì)在［-4-a］上有相反的單調(diào)性,

此時(shí)函數(shù)的最大（?。┲迪嗤?；

（2）/（九）是奇函數(shù)，且/（力在口向上單調(diào)，則/（%）在［-4上有相同的單調(diào)性,

此時(shí)函數(shù)的最值互為相反數(shù)；

知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)稱(chēng)性

1、軸對(duì)稱(chēng)：

設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?,且X是/(力的對(duì)稱(chēng)軸，則有：

@f(^a+x]=f(a-x)；

@f(x)=f(2a-x)

@f(-x)=f(2a+x)

2、點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?,且(。,0)是/(x)的對(duì)稱(chēng)中心，則有:

@f(a+x)=-f(a-x);

?f(x)=-f(2a-x)

(3)/(-X)=-/(2?+X)

3、拓展：

①若/'(a+xh/g—x),則/(x)關(guān)于x=對(duì)稱(chēng)；

②若〃a+x)=—/(5—x),則/⑺關(guān)于(多,0)對(duì)稱(chēng)；

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)一：判斷函數(shù)的奇偶性

典型例題

例題1.(24-25高一上?湖南邵陽(yáng)?期中)下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()

A.y=NB.y=r

C.y=-xD.j=—

X

例題2.(24-25高一上?內(nèi)蒙古赤峰?期末)判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)/("=9+一；

(2)/(x)=^-+|x|;

(3)f(x)=|x|--r.

精練

1.(2024高二上?黑龍江?學(xué)業(yè)考試)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()

A./(x)=—B.f(x)=G

C.〃x)=x2D./(%)=x3

2.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(l)/(x)=x3+X5;

⑵/'(%)=卜+1+；

⑶〃x)=L尤2±+9^Y.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求值

典型例題

例題1.(24-25高一上?云南昭通?期中)已知/(%)=ax?+Zz￥-1,其中為常數(shù)，若〃-3)=Y,則

〃3)=.

例題2.（24-25高一上?湖南益陽(yáng)?期末）已知函數(shù)f{x）^ax3-bx,且"10）=2024,貝（］/（-10）=

精練

1.(2025?四川?一模)函數(shù)〃力=尤(/-2)+1,若/.)=一1.則"—4)=()

A.-3B.-1C.0D.3

2.(24-25高一上?山東濰坊?期末)已知函數(shù)/(%)=鏟”+加+法+1,且/'(—2024)=10，則/(2024)=

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)三：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解析式

典型例題

例題1.（24-25高一上?陜西西安?階段練習(xí)）已知y=是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，〃X）=X2-2X,

則在R上〃尤）的表達(dá)式為（）

A.-x（x-2）B.|.x|（%-2）C.-2）D.|x|（|x|-2）

例題2.（24-25高一上?北京?期中）偶函數(shù)〃尤）在［。,”）上滿(mǎn)足"xbr+Zx+Z,貝IJ當(dāng)x<0時(shí)，

〃x）=-

精練

1.（24-25高一下?北京?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/Xx）為偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/（x）=x+l,則x>0時(shí)，/（》）=_.

2.（24-25高一上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)尤>0時(shí)，f（x）=x2-l,

則函數(shù)〃尤）在x<0時(shí)的解析式為〃尤）=.

3.（24-25高一上?內(nèi)蒙古通遼?階段練習(xí)）已知函數(shù)，（尤）是定義在（f,。）.（。,+⑹上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，

f（x）=-x2+x+l,貝！lx>0時(shí)的/'（X）的解析式是.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)四：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

典型例題

例題1.（24-25高一上?貴州黔南期末）設(shè)〃x）=-爐+（。-2）f+3彳是定義在區(qū)間［26/+3］上的奇函數(shù),

A.-26B.38C.26D.-38

例題2.（24-25高一上?云南玉溪?期末）設(shè)〃力=2爐—5"+3是定義在,,2］上的偶函數(shù)，則2a-36=（）

A.-7B.-6C.-4D.0

精練

1.（24-25高三下?上海?階段練習(xí)）設(shè)/（x）=V+i+“且y=/（x）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為.

2.（24-25高三上?遼寧丹東?期末）已知函數(shù)〃x）=（尤+。-2乂￡+°-1）為奇函數(shù)，貝心=

3.（24-25高一上?云南昭通?期末）已知定義在R上的奇函數(shù)/。）=丁+》+2-機(jī)，則加=.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)五：根據(jù)函數(shù)的奇偶性解不等式

典型例題

例題1.（24-25高一下?湖南永州?開(kāi)學(xué)考試）定義在R上的偶函數(shù)〃x）滿(mǎn)足：在［0,+◎上單調(diào)遞減，則滿(mǎn)

足"2尤-1）＞/⑴的x的取值范圍是（）

A.（-oo,0）B.（1,+oo）u（-?,0）C.（0,1）D.（-1,0）

例題2.（23-24高一上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=＜鋁,是奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)。的值；

（2）證明：函數(shù)〃x）在［-U］上是增函數(shù)；

⑶若實(shí)數(shù)/滿(mǎn)足不等式“1）+/⑵）＜0,求f的取值范圍.

精練

1.(24-25高一上?浙江杭州?期末)已知函數(shù)〃x)是R上單調(diào)遞增的奇函數(shù).若”1+嗎)+〃2〃工-4)>0,

則機(jī)的取值范圍為()

A.(-oo,0)B.(0,+s)C.D.(l,-+w)

2.(24-25高一上?云南昭通?期中)已知定義在R上的奇函數(shù)/'(x)在［。,+功上單調(diào)遞增，且

/(2-?)+/(1-?)<0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A1|,2］B.(ITC.［i,|)D(…1)

3.(24-25高三上?山東?階段練習(xí))已知奇函數(shù)/■(*)在R上是減函數(shù)，+則。的

取值范圍()

A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(3,2)

4.(24-25高一上?山東聊城?期中)已知函數(shù)“X)為［-U］上的偶函數(shù)，當(dāng)尤e［T0］時(shí)，f(x)=^-ax,

13

且占)力

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

(2)若實(shí)數(shù)f滿(mǎn)足不等式/G-l)>〃-2r),求r的取值范圍.

基礎(chǔ)通關(guān)

一、單選題

1.(24-25高一下?云南紅河開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(X)是定義在(-3,0)50,3)上的偶函數(shù)，當(dāng)0<x<3時(shí),

Ax)的圖象如圖所示，則不等式/(-尤)?無(wú)>。的解集是()

B.(-3,-1)1(1,3)

C.(-3-1)0(0,1)

D.(-1,0)1(1,3)

2.(24-25高一上?河南漂河期末)已知/(耳=加+桁是定義在［2。-3,甸上的偶函數(shù)，那么的值是

()

A.--B.-C.--D.士

3322

3.(24-25高一上?重慶長(zhǎng)壽?期末)已知〃x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，〃x)=e-1,則2)=()

A.e2-lB.-e2+lC.1-e2D.e2-l

4.(24-25高三上?福建泉州?期末)已知定義在R上的函數(shù)f(x)+l為奇函數(shù)，且〃-1)=-2,則〃1)=()

A.-2B.0C.1D.2

5.(24-25高一上?甘肅武威?期末)若函數(shù)〃"=加+及+1是定義在［-l-a,2a］上的偶函數(shù)，貝=

()

A.-1B.1C.2D.-2

6.(24-25高一上?福建泉州?期中)已知函數(shù)〃尤)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-l,則〃-2)=()

53

A.—B.—C.—3D.3

44

7.(24-25高一上?黑龍江佳木斯?期末)已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)xWO時(shí)，

f(x)=3x2+2x+2,則/g］的值為().

8.(24-25高一上?貴州?期中)已知函數(shù)〃%)=加-法+3,且“-7)=〃?，〃7)="，則()

A.m+n=QB.m—n=0C.m+n=6D.m-n=6

二、多選題

9.(24-25高一上?福建福州?期中)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增的是()

A.y=x2-1B.y=-|x|-2

c.>=胴D.y=x+：

10.(24-25高三上?福建期中)若與g(x)分別為定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù),則函數(shù)Mx)=〃x)g(x)

的部分圖象可能為()

11.(24-25高三上?河南周口?期中)已知函數(shù)〃力=笠￡+1是奇函數(shù)，貝!|〃a+小=

12.(2025高二上?遼寧?學(xué)業(yè)考試)已知〃x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=2x-3;當(dāng)x<0

時(shí)，f(x)=

四、解答題

3x

13.(24-25高一下?云南昭通?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=xe(-l,l).

2/+2

(1)判斷函數(shù)〃x)的奇偶性；

(2)判斷并證明函數(shù)〃力在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性；

(3)解關(guān)于f的不等式：+1

2x+7?

14.(24-25高一上?河南鄭州?期末)已知函數(shù)了(無(wú)戶(hù)與三是定義在切上的奇函數(shù).

x+a

(1)求/(x)的表達(dá)式；

(2)判斷/(*)在區(qū)間加上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

閉解關(guān)于，的不等式/（1-2產(chǎn)）+/（3，-2）＜0.

x（2+x）,x<0

15.（24-25高一上?上海寶山?階段練習(xí)）已知函數(shù)的表達(dá)式為〃x）=

x（2—x^,x>0

（1）求/（2）JR）的值;

（2）作出該函數(shù)的圖象，判斷并證明其奇偶性.