2025北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

圓章節(jié)綜合（填空題）1

一、填空題

1.（2025北京朝陽初三上期末）在半徑為5的圓中，有兩條弦的長分別為6和8,這兩條弦的中點(diǎn)的距離

尤的取值范圍是.

2.（2025北京密云初三上期末）已知。。的半徑是2,點(diǎn)P在。。內(nèi)，則OP2（填"/或

3.（2025北京朝陽初三上期末）如圖，從一張邊長為2cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形，將剪下來的扇形

圍成一個(gè)圓錐，此圓錐的底面圓的半徑為cm.

4.（2025北京朝陽初三上期末）請舉一個(gè)反例說明命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯(cuò)誤

的：.

5.（2025北京大興初三上期末）如圖，是。。的直徑，弦0015于點(diǎn)￡,若BE=CD=8,則AE的

6.（2025北京大興初三上期末）半徑為4的正六邊形的周長是.

7.（2025北京初朝陽三上期末）埃拉托色尼是一位古希臘的杰出數(shù)學(xué)家，他首創(chuàng)了“地理學(xué)”這個(gè)詞，被尊

稱為“地理學(xué)之父”.他的名著《對地球大小的修正》中提出了一種測量地球周長的設(shè)想，如圖，塞伊尼（

點(diǎn)A）和亞歷山大（點(diǎn)3）是幾乎在同一條經(jīng)線上的兩座城市，兩地相距約800km,在塞伊尼城有一口垂直于

地面的水井，夏至日中午12點(diǎn)太陽光可直射井底，同一時(shí)刻在亞歷山大城豎起一根垂直于地面的木棍，

利用影子測出太陽光線與木棍所在直線的夾角a約為7.2。，據(jù)此可以估算地球的周長約為km.

8.（2025北京房山初三上期末）下面是“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的作圖過程.

已知：0。和。。外一點(diǎn)P.

求作：過點(diǎn)尸的。。的切線.

作法：如圖，

（1）連接。尸；

（2）作線段OP的中點(diǎn)A,以A為圓心，以49為半徑作。A,與。。交于兩點(diǎn)。和R；

（3）作直線尸。，PR.

直線PQ和直線總是0。的兩條切線.

證明：連接OQ,OR.

尸是。A直徑，點(diǎn)。在OA上，

,-.ZOQP=°,

AOQVPQ.

又：點(diǎn)。在0。上，

，直線P。是。。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

同理可證直線PR是。0的切線.

9.（2025北京大興初三上期末）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2cm,圓心角為120。扇形，則該圓

錐的側(cè)面面積為cm2

10.（2025北京門頭溝初三上期末）用一個(gè)半徑為1的半圓作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑

為.

11.（2025北京密云初三上期末）如圖，ABCDEF是。。的內(nèi)接正六邊形，AB=2cm,則該正六邊形的邊

12.（2025北京平谷初三上期末）如圖，在。。中，A2是。。的直徑，C,D,E是。。上的點(diǎn)，如果

ZAOC+ZEOD=1W°,OD=5,DE=6,那么AC的長為.

13.（2025北京密云初三上期末）如圖，ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，ZABC=11O°,則/Q4C的大小

14.（2025北京順義初三上期末）《左傳》記載，夏朝初，奚仲創(chuàng)造了世界上第一輛用馬牽引的木質(zhì)車

輛.對于現(xiàn)代社會(huì)而言，車仍是不可缺少的重要交通工具.生活中，車輪通常的形狀是圓形.

古代車輪現(xiàn)代車輪

下列選項(xiàng)中，能說明圓形的車輪可以保證車輛平穩(wěn)（不上下顛簸）行駛的是（填寫所有正確選項(xiàng)的序

號）.

①圓是軸對稱圖形；

②圓的圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離相等；

③圓沿一條直線滾動(dòng)，圓心始終在平行于這條直線的一條直線上；

④圓中垂直于弦的直徑平分弦.

15.（2025北京豐臺初三上期末）如圖，有一個(gè)亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形、則地基的周長為.

m.

16.（2025北京海淀初三上期末）圖1和圖2分別為可移動(dòng)休息艙及其截面示意圖.已知截面底部寬48為

2.4米，該截面所在圓的半徑為2米，則最高點(diǎn)C到A8的距離CD為米.

17.（2025北京豐臺初三上期末）如圖，PA,尸C是。。的切線，A,C為切點(diǎn).若/APC=60。,

PO=5A/3,則直徑AB的長是.

18.（2025北京東城初三上期末）如圖，以點(diǎn)。為中心的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量

角器的直徑與直角三角板的斜邊48重合，如果點(diǎn)。在量角器上對應(yīng)的刻度為110°,連接CD.那么

NBCD=°.

19.（2025北京豐臺初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若點(diǎn)A（0,2）繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)

則點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到A的軌跡的長度為.

20.（2025北京海淀初三上期末）如圖，A3為0。的直徑，△BCD內(nèi)接于0。.若〃=40。，則

C

21.（2025北京東城初三上期末）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，對角線ZC=135°,

22.（2025北京西城初三上期末）如圖，A8是0。的直徑，C。是弦，ZBCD=25°,則

23.（2025北京通州初三上期末）已知0。的直徑為8cm,如果在0。所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P且。尸=5cm,

那么點(diǎn)P在。。.（填內(nèi)、外或上）

24.（2025北京豐臺初三上期末）如圖，A,B,C是。。上的點(diǎn)，如果4OC=120。，那么NA4C的度數(shù)

是.

25.（2025北京西城初三上期末）如圖，48是。。的直徑，PA,尸C是。。的切線，切點(diǎn)分別為A,

C.若AB=2,ZABC=6Q°,則叢的長是.

26.（2025北京西城初三上期末）如圖1,將筆記本電腦平放在桌子上，當(dāng)電腦閉合時(shí)，Q4與重合；

當(dāng)電腦打開時(shí)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程形成A8.如圖2,若。4=264mm,403=120。，則AB的長是mm

（結(jié)果保留兀）.

'AA

\120°\

B

OB

°圖1

圖2

27.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）如圖所示，A8是0。的直徑，AB=4,ZA=30°,。。的切線

BE與直線AD交于點(diǎn)E,點(diǎn)M是。O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過M作MN1AZ）,垂足為N,則Mf+硒的最

28.（2025北京房山初三上期末）如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，若=則—D的度數(shù)

為.

29.（2025北京通州初三上期末）圖1為一個(gè)裝有液體的圓底燒瓶（厚度忽略不計(jì)），側(cè)面示意圖如圖2,其

液體水平寬度48為16cm,豎直高度CO為4cm,則。。的半徑為cm

圖1

30.（2025北京房山初三上期末）如圖，AB,AC,8。是。。的切線，P,C,。為切點(diǎn)，若AB=10,

AC=7,則3D的長為

參考答案

1.l<x<7

【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定

理.作輔助線如圖，根據(jù)垂徑定理得到他=班=3,CF=DF=4,再利用勾股定理計(jì)算出OE=4,

OF=3,所以點(diǎn)E在以。點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上；點(diǎn)廠在以。點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上，然后求出

兩圓上兩點(diǎn)之間的最小距離和最大距離即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作于E,。尸J_CD于/，連接08、OD,如圖，AB=6,CD=8,

貝（JAE=BE=1AB=3,CF=DF=-CD=4,

22

在中，OE=1OB2-BE。=火-3?=4,

在RtzXOD尸中，OF=JOD?-DF?—不=3,

，點(diǎn)￡在以。點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上；點(diǎn)P在以。點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上，

???兩圓上兩點(diǎn)之間的最小距離為4-3=1；兩圓上兩點(diǎn)之間的最大距離為4+3=7,

的取值范圍為

故答案為：l<x<7.

2.<

【分析】本題考查點(diǎn)與圓的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟知點(diǎn)與圓的三種關(guān)系.

根據(jù)點(diǎn)與圓的三種關(guān)系即可判斷得到答案.

【詳解】解：：。。的半徑為2,點(diǎn)尸在。。內(nèi)，

:.OP<2,

故答案為：<.

3.—/0.5

2

【分析】本題考查圓錐的計(jì)算，先求出扇形的弧長，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐的底面周長，可求出底面半

徑.

【詳解】解：???弧8。的長為%即圓錐底面周長為萬，

180

設(shè)圓錐的底面半徑為"m,

貝!J2m*=7i,

1

，圓錐的底面圓的半徑為;cm.

故答案為：

4.矩形

【分析】本題考查的是命題與定理，任何一個(gè)命題非真即假.要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、

論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.根據(jù)矩形的性質(zhì)、正多邊形的概念解答即可.

【詳解】解：矩形的各角都是90。，即各角相等，但矩形不一定是正多邊形，

則命題“各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形”是錯(cuò)誤的，

故答案為：矩形.

5.2

【分析】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.連

接OC,先利用垂徑定理得出CE的長，設(shè)。。的半徑為廠，則OE=8-r,在中，利用勾股定理求

出廠的值，進(jìn)而得出OE的長，據(jù)此得出結(jié)論.

【詳解】解：連接OC,

???AB是。。的直徑，弦00，至于點(diǎn)￡,BE=CD=8,

:.CE=DE=-CD=4,

2

設(shè)。。的半徑為r,則OE=8—r,

在RtAOCE中，CE2+OE2=OC2,即4?+(8-廣=產(chǎn)，

解得r=5,

OE=8—5=3,

:.AE=OA-OE=5-3=2.

故答案為：2.

6.24

【分析】此題主要考查了正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算，正六邊形的半徑與邊長相等是需要熟記的內(nèi)容.根據(jù)

正六邊形的半徑可求出其邊長為4,進(jìn)而可求出它的周長.

【詳解】解：正六邊形的半徑為4,則邊長是4,因而周長是4x6=24.

故答案為：24.

7.40000

【分析】本題考查弧長的計(jì)算.根據(jù)所給條件得到”的值是解決本題的關(guān)鍵.易得A8的長度為800km,

AB所對的圓心角為7.2。，根據(jù)弧長公式可得仃的值，進(jìn)而可求得地球的周長.

【詳解】解：如圖，

由題意得：OA//BC,ZCBD=1.2°,A8的長度為800km,

.-.ZAOB=7.2°,

設(shè)地球的半徑為廠km,

解得：4=20000,

地球的周長為2兀r=40000（km）,

故答案為：40000.

8.90經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【分析】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、圓周角定理、切線的判定，根據(jù)圓周角定理、切線的判定定理填空即

可.

【詳解】證明：連接OQ,OR.

?.?O尸是04直徑，點(diǎn)。在0A上,

:.^OQP=90°.

???OQLPQ.

又?.?點(diǎn)。在0。上，

二直線PQ是。。的切線（經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）.

同理可證直線PR是的切線.

故答案為：90；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

9.生

3

【分析】本題考查圓錐的計(jì)算.利用扇形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：M萬x22=W（cm2）,

3603'/

???該圓錐的側(cè)面面積為3-cm?.

故答案為：.

10.-/0.5

2

【分析】本題主要考查圓錐與扇形之間的關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握圓錐與扇形之間的關(guān)系是

解題關(guān)鍵.

先求出扇形的弧長，然后根據(jù)扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，，列出方程

求解即可得.

【詳解】解：：半徑為1的半圓的弧長為：入2Mls

，圍成的圓錐的底面圓的周長為萬，

設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,

則：2m*=7i,

解得：「二；，

故答案為：g.

11.73

【分析】過點(diǎn)。作AB交A3于點(diǎn)連接OA,QB,證明是等邊三角形，得出

AB=OA=2cm,由垂徑定理求出AM,再由勾股定理求出即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作交A3于點(diǎn)連接OAO3，

,/六邊形ABCDEF為正六邊形,

360°

ZAOB=——=60°,

6

?：OA=OB,

**?△Q4B是等邊三角形，

AB=(M=2cm,

?.-OM1AB,

AM=BM=-AB=lcm,

2

OM=722-l2=百cm，

即邊心距為瓜m,

故答案為：73.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，正六邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn).

12.8

【分析】此題考查了垂徑定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形

是解題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)。作垂足分別是X,F,由垂徑定理得到=m)=90。，

AF=CF=-AC,DH=EH=-DE=3,得到QH=4,證明NA=NZX?H,又由49=。0,即可證明

22

△AOF父AODH(AAS),貝l|AF=OH=4,得至(JAC=2AF=8.

【詳解】解：過點(diǎn)。作垂足分別是H,F,

貝IjZAFO=ZOHD=90°,AF=CF=-AC,DH=EH=-DE=3,

22

OH=^OEr-DH2=752-32=4，

,/AO=CO,DO=EO,

：.ZAOF=ZCOF=|ZAOC,ZDOH=ZEOH=:ZDOE,

,/ZAOC+ZEOD=180°,

ZAOF+ZDOH=|ZAOC+1NDOE=1(ZAOC+ZDOE)=90°,

,/NAO產(chǎn)+NA=90°,

ZA=ZDOH,

又：AO=DO,

：.AAOF^ODH(AAS),

AF=OH=4,

：.AC=2AF=8

故答案為：8

13.20。/20度

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì).首先根據(jù)圓內(nèi)接四邊

形的對角互補(bǔ)，得/。=180。-/6=70。.再根據(jù)圓周角定理，得/AOC=2/。=140。，由。4=OC,推出

ZOAC=ZOCA=1(180°-ZAOC)計(jì)算即可解答.

【詳解】解：：458是O。的內(nèi)接四邊形，ZABC=110°,

：."=180?！?=70°,

/AOC=2/。=140°,

OA^OC,

：.ZOAC=ZOC4=1(180°-ZAOC)=20°.

故答案為：20°.

14.②③

【分析】本題考查了圓的認(rèn)識，根據(jù)圓可以看作是所有到定點(diǎn)。的距離等于定長，的點(diǎn)的集合解答即可.

【詳解】解：由圓的定義可得，圓的圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離相等且圓沿一條直線滾動(dòng)，圓心始終在

平行于這條直線的一條直線上，

...能說明圓形的車輪可以保證車輛平穩(wěn)（不上下顛簸）行駛的是②③.

故答案為：②③.

15.24

【分析】本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，把面積轉(zhuǎn)化為6個(gè)等邊三角形的面積和

計(jì)算即可.

【詳解】解:如圖,

VOA^OB^Am,ZAOB=—=60°,

6

AB=OA=OB-4m,即正六邊形的邊長為4m,

???地基的周長為6x4=24(m),

故答案為：24.

16.3.6

【分析】本題主要考查垂徑定理和勾股定理，連接必，根據(jù)垂徑定理得的=加“2米，由勾股定理

得OD=yJo^-AD2=,2?-1.2?=1.6米，根據(jù)8=OC+8可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接。4,

c

VCD1AB,且AB=2.4米，

AD=^AB=].2^i,

又OA=2米，

???在RtZ\OAZ)中，AD2+OD2=OA2.

OD=y/o^-AD2=V22-1.22=1.6米，

/.CZ)=OC+OZ)=2+L6=3.6米，

故答案為：3.6.

17.5石

【分析】本題考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識，先根據(jù)切線長定

理，切線的性質(zhì)，得出ZAPO=NCPO=；ZAPC=30。，OA±AP,然后根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求

出AO="1G,即可求解.

【詳解】解：：，PA,PC是。。的切線，NAPC=60°,

/.ZAPO=ZCPO=-ZAPC=30°,OALAP,

2

,/PO=5y/3,

：.AO=-PO=-y/3,

22

直徑A8=2AO=5Q，

故答案為：5^/3.

18.55

【分析】本題主要考查圓周角定理，先確定點(diǎn)。在該量角器所在的圓上，再根據(jù)量角器得到

ZBOD=110°,然后根據(jù)圓周角定理得到/BCD=1ZBOD即可求解.

2

【詳解】解：連接OD,則NHOD=nO。，

D

:量角器的直徑與直角三角板的斜邊48重合，ZACB=9Q°,

...點(diǎn)。在該量角器所在的圓上，

/.ZBCD=-ZBOD=55°,

2

故答案為：55.

,八2%,2

19.——/—7T

33

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式等著知識，先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出49的長度，

然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長公式求解即可.

【詳解】解：:4(0,2),

AO=2,

?.?點(diǎn)4(0,2)繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)A,

.?.點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到A的軌跡的長度為更U

1803

977

故答案為：y.

20.50

【分析】此題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵

是掌握以上知識點(diǎn).

連接AC,首先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到NA=NO=40。,然后由直徑得到ZACB=90°,然后根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】如圖所示，連接AC

C

,**BC=BC

ZA=ZD=40°

*/A3為。。的直徑

ZACB=90°

：.ZABC=180°-ZA-ZACB=50°.

故答案為：50.

21.242

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定、勾股定理，先根據(jù)

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得Z4=45。，再利用三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的判定得到4)=8。=2,

再利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ZC=135°,

ZA=180°-ZC=45°,

VBD±AD,AD=2,

：.ZABD=90°-Z4=45°=ZA,

AD=BD=2,

AB=^AD2+BD2=272>

故答案為：20.

22.65

【分析】本題考查了圓周角定理，正確理解定理，作出輔助線是關(guān)鍵.根據(jù)圓周角定理：直徑所對的圓周

角是直角以及同弧所對的圓周角相等即可求解.

【詳解】???43是0。的直徑，

:.ZADB=90°,

又VZDAB=ZBCD=25°,

ZABD=90°-25°=65°.

故答案為：65.

23.外

【分析】本題主要考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)直徑求出半

徑，即可判斷出點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.

【詳解】解：：。。的直徑為8cm,

QO的半徑為4cm,

OP=5cm,

故點(diǎn)尸在。。外.

故答案為：外.

24.60°

【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半求解即可.

【詳解】解：：/及(曰2。。，

ZBAC=-NBOC=60°,

2

故答案為：60°.

25.6

【分析】本題主要考查圓的切線性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定及勾股定理的應(yīng)用.通過連接

OC,利用切線性質(zhì)得到垂直關(guān)系，證明△Q4P四△OCP,得到NAOP=NCOP,再圓周角定理求出

ZAOC,最后在RtAQAP中應(yīng)用勾股定理求得上4的長.

又OCLPC,OP=OP,

△Q4P/△OCP（HL定理），

ZAOP=ZCOP,

而NAOC=2/ABC=120。（圓心角是圓周角的兩倍），

ZAOP=60。，

在血△Q4P中，ZAP<9=30°,

A3是。。的直徑，0A=：AB=1,

OA=-PO=1

2

PO=2

PO2=OA2+PA2

PA=y/po2-OA2^，

故答案為：B

26.176〃

【分析】本題主要考查了弧長的計(jì)算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)弧長公式計(jì)算可得.

【詳解】解：AB的長為：=176^（mm）,

loonl）

故答案為：176%.

27.包1+20+1

3

【分析】在E4延長線取點(diǎn)下，使得NF=MN,則有MN+EN=NF+EF=EF,即求取的最大值，然后

求出/MFE=/WF=45。，故有當(dāng)平移叱至叱與。。相切時(shí)，有所最大值，延長MO交AE于點(diǎn)G,

證明△GMF為等腰直角三角形，再根據(jù)30。角所對直角邊是斜邊的一半，得OK=1,從而有

AK=[ON-OK?=也?-『=百‘再通過等腰直角三角形的性質(zhì)可得0G=0，所以MG=2+&，

GF=2叵+2,最后由勾股定理和線段和差即可求解.

【詳解】解：在石4延長線取點(diǎn)尸，使得NF=MN,

E

：.MN+EN=NF+EF=EF,即求￡尸的最大值，

*：MN1AD,

:?/MNF=90。,

???隨著Af的運(yùn)動(dòng)，NMFE=NWF=45。時(shí)，

當(dāng)平移M尸至M尸與。。相切時(shí)，有