作業(yè)11圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的標(biāo)準(zhǔn)方程、

軌跡方程、定值、定點、最值及范圍問題

~—積累15用—

求軌跡方程的5種常用方法

1直接法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常

叫做直接法。

2定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這

種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3相關(guān)點法：用動點M的坐標(biāo)%,y表示相關(guān)點P的坐標(biāo)（x（）、y0）,然后代入點P的坐標(biāo)（久°

、y0）所滿足的曲線方程,整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法。

（用未知表示已知，帶入已知求未知）

4參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系,

再消去參變數(shù)t,得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

5交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，

這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

帆鞏固提升練

1.平面上動點尸到定點尸（2,0）的距離比點尸到了軸的距離大2,則動點P的軌跡方程為（）

A.y=0B./=8x

C.y=0或j/=8xD.y=0（x<0）或/=8x（x2。）

22

2.己知橢圓C:三+]=l（a>b>0）的離心率為：，右焦點為F,圓+過尸且垂直于

ab2

無軸的直線被圓。所截得的弦長為2。.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/：了=履-2與曲線C交于48兩點，求A048面積的最大值.

3.已知雙曲線J-，=l（a>0,b>0）的一條漸近線方程為尸x,且點P（跖亞）在雙曲線上.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)雙曲線左右頂點分別為42,在直線x=1上取一點尸*0）,直線AP交雙曲線右支于點C,

直線BP交雙曲線左支于點直線和直線3c的交點為。，求證：點。在定直線上.

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心為。的動圓過點(2,0),且在了軸上截得的弦長為4,記C的

軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)已知A(l,2)及曲線￡上的兩點3和。，直線8。經(jīng)過定點(-3,2),直線AB.AD的斜率分別為％、k2,

判斷/+/是否為定值，說明理由.

5.已知雙曲線C：，■-，=1(°>0/>0)經(jīng)過點/(3,2),其右焦點為尸，且直線y=2x是C的一條漸近

線.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)可("?,")是C上任意一點，直線/:華-駕=1.證明：/與雙曲線C相切于點W；

ab

⑶設(shè)直線P7與C相切于點T,且麗.西=0,證明：點P在定直線上.

6.已知雙曲線C的方程為J-S=l(a>08>°)，虛軸長為2，點/(-4,-1)在C上.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過原點O的直線與C交于邑7兩點，已知直線AS和直線AT的斜率存在，證明：直線NS和直線NT

的斜率之積為定值；

⑶過點(0,1)的直線交雙曲線。于尸，。兩點，直線N尸,4。與x軸的交點分別為求證：龍W的

中點為定點.

22

7.已知雙曲線。:二-5=1,過該曲線上的點尸(3,1)作不平行于坐標(biāo)軸的直線4交雙曲線的右支于

ab

另一點。，作直線4〃4交雙曲線的漸近線于兩點4B(，在第一象限)，其漸近線方程為x±y=0,

(1)求雙曲線方程.

(2)證明：直線過定點.

(3)當(dāng)尸。的斜率為負(fù)數(shù)時，求四邊形尸。的面積的取值范圍.

8.已知雙曲線「/:=-V24=1(°>0,6>0)的焦距為4,且過點(尸2正,一

ab3

(1)求雙曲線「的方程;

⑵過雙曲線r的左焦點下分別作斜率為匕，號的兩直線4與4,直線4交雙曲線「于43兩點，直線4

交雙曲線「于兩點，設(shè)分別為與。。的中點，若左溝=-1,證明：直線九w過定點.

9.已知點川-啦必,耳(五,0),動點“滿足|孫卜］崢|=2.

⑴求動點M的軌跡方程；

(2)記動點M的軌跡為C,若48是C上的不同兩點，O是坐標(biāo)原點，求方.礪的最小值.

10.已知焦點在x軸上的等軸雙曲線C的左、右頂點分別為48,且A到C的漸近線的距離為血，

直線y=h+m與雙曲線C的左、右支分別交于點尸,。(異于點45).

(1)當(dāng)上=0時，證明：以尸。為直徑的圓經(jīng)過4B兩點.

⑵設(shè)直線4P,8。的斜率分別為左，月，若點(取2左)在雙曲線C上，證明左他為定值，并求出該定值.

M能力培優(yōu)練

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線c的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交

點為(1,0),其中一條漸近線的傾斜角為g.

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點7(2,0)作直線/與雙曲線C的左右兩支分別交于/,2兩點，在線段上取一點￡滿足

\AE\-\TB\=\EB\-\AT\,證明：點E在一條定直線上.

2因=3

2.設(shè)昂此為橢圓C:二+必=1(/>1)的左、右兩個焦點，尸為橢圓上一點，且產(chǎn)鳥,片工,

一tI明?

⑴求才的值;

(2)若直線/：>>="+加(以0)與橢圓。交于人，8兩點，線段43的垂直平分線經(jīng)過點乂0,-；

證明：加為定值.

3.已知橢圓。:提+/=1(°>6>0)的焦距為2,且過點卜,|

(1)求C的方程.

(2)記片和月分別是橢圓C的左、右焦點.設(shè)。是橢圓C上一個動點且縱坐標(biāo)不為0.直線班交橢

圓C于點A(異于。)，直線。月交橢圓C于點8(異于。).若的中點為W,求三角形片工M面

積的最大值.

W3拓展突破練

22

1.已知拋物線「=4x的準(zhǔn)線過橢圓氏三+方=1(。>6>0)的左焦點，且橢圓E的上頂點與兩個

焦點構(gòu)成一個正三角形.

(1)求橢圓￡的方程；

3

(2)直線y=5交橢圓￡于/,8兩點，點尸在線段48上移動，連接OP交橢圓于M,N兩點，過尸

作MV的垂線交x軸于0,求△MNQ面積的最小值.

2.已知4,2分別是雙曲線C：3-2=15>01>0)的左、右頂點，P是C上異于4,5的一點，直

ab

線為，P8的斜率分別為占次2,且左/2=|/切=4.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵已知過點(4,0)的直線/交C于。,E兩點(異于/,B),直線與直線3E交于點。.求證:點。在

定直線上.

m仿真考場練

1.(2022?全國?高考真題)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過

兩點.

(1)求￡的方程；

⑵設(shè)過點尸(L-2)的直線交E于M,N兩點，過河且平行于x軸的直線與線段N8交于點T,點〃

滿足祈=麗.證明：直線"N過定點.

2.(2022?浙江?高考真題)如圖，已知橢圓］+/=1.設(shè)//是橢圓上異于P(0,l)的兩點，且點

在線段N8上，直線P4尸8分別交直線y=-gx+3于C,。兩點.

(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；

⑵求U0的最小值.

3.(2023?全國?高考真題)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為卜2瓶,0),離心率為右.

(1)求。的方程；

(2)記C的左、右頂點分別為4，4,過點(-4,0)的直線與。的左支交于M,N兩點，〃在第二象

限，直線〃4與人人交于點尸.證明:點尸在定直線上.

作業(yè)11圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的標(biāo)準(zhǔn)方程、

軌跡方程、定值、定點、最值及范圍問題

~—積累15用—

求軌跡方程的5種常用方法

1直接法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常

叫做直接法。

2定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這

種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3相關(guān)點法：用動點M的坐標(biāo)%,y表示相關(guān)點P的坐標(biāo)（x（）、y0）,然后代入點P的坐標(biāo)（久°

、y0）所滿足的曲線方程,整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法。

（用未知表示已知，帶入已知求未知）

4參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系,

再消去參變數(shù)t,得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

5交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，

這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

帆鞏固提升練

1.平面上動點尸到定點尸（2,0）的距離比點尸到了軸的距離大2,則動點尸的軌跡方程為（）

A.y=0B./=8x

C.y=0或j/=8xD.y=0（x<0）或/=8x（x2。）

【答案】D

【分析】設(shè)點尸（xj）,可得出J（x-2）2+y2-M=2，分x<0、xNO兩種情況討論，化簡可得出點

P的軌跡方程.

【詳解】設(shè)點尸（無））,因為平面上動點尸到定點尸（2,0）的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大2,

則-^（x-2）2+y2-|x|=2，

當(dāng)x<0時，則有J（x-2y+/+X=2,即J（x-2『+y2=2—x,

等式7（x-2）2+y2=2-x兩邊平方整理可得V=0;

當(dāng)xNO時，貝！]有-x=2,即J（x-2）~+/-x+2）

等式7（X-2）2+/=x+2兩邊平方可得/=8x.

綜上所述，點P的軌跡方程為y=O（x<0）或V=8x（xW0）.

故選：D.

22

2.已知橢圓C:=+4=l（a>b>0）的離心率為:，右焦點為尸，圓。:/+■/=/,過尸且垂直于

ab2

無軸的直線被圓。所截得的弦長為2。.

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/：>=丘-2與曲線。交于48兩點，求AO42面積的最大值.

【答案】⑴目+片=1

43

⑵百

【分析】（1）由已知分別求出服6即可得到C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）通過直曲聯(lián)立，求出|/卻弦長，再由點到直線距離公式求出原點到直線的距離,

代入三角形面積公式，利用不等式求出面積的最大值.

【詳解】（1）

設(shè)橢圓C的半焦距為c（c>0）,過尸且垂直于x軸的直線被圓0所截得的弦長為2G，

則2〃2_02=2百，又/一人2=c?,e=；,

解得。fa=52

22

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

43

（2）設(shè)2（再,必）,8（了2，%）,

y=kx—2

聯(lián)立直線/與橢圓C的方程x2,可得（3+4/b2-16日+4=0,

[43

16左4人1

所以芯+X2=二1602左2—3)>0,得尸9瓦

3+4左2123+4左2'

2

又原點到直線AB的距離d=1——彳

y/1+k2

4&4〃-1

所以\AB\=Jl+公k]-X2|=J1+后2J&+X.)2_4苫出=>i+k2

-3+4/~

404k2-1

所以染0B=^\AB\-d=

3+4/-

令14公-1=(>0),貝！|4*=1+/，

_4V3/_4V34V3_j-

所以“。"一--三一1丁一”，當(dāng)且僅當(dāng)7=2時，等號成立,

t+-2"-

即當(dāng)左=±如時，AO48的面積取得最大值VL

2

3.已知雙曲線，■-(■=l(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且點尸(跖匈在雙曲線上.

⑴求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)雙曲線左右頂點分別為4B,在直線X=1上取一點尸(1J)?H0),直線AP交雙曲線右支于點C,

直線8P交雙曲線左支于點。，直線和直線8c的交點為。，求證：點。在定直線上.

【答案】(1)/一/=4；

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用雙曲線的性質(zhì)，代入點坐標(biāo)計算即可；

(2)法一《用點尸坐標(biāo)表示直線4P、BP,聯(lián)立雙曲線方程得出C、。坐標(biāo)，再表示直線ND、BC,

聯(lián)立求其交點即可證明；法二、直接利用C、。坐標(biāo)表示直線ND、BC,利用三點共線的斜率關(guān)系

計算可用;表示直線8c方程，聯(lián)立求其交點即可證明.

【詳解】(1)因為漸近線方程為N=x,所以“=6,設(shè)雙曲線為無2-產(chǎn)=/,

代入P(庭,拒)得/=4,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)力程為X2-/=4；

(2)法一、

3x=—v—2(9、1?

設(shè)直線/P：x=4-2,聯(lián)立雙曲線ty得：-一y=0,

t[x2-y2=4UJt

nt3c18+2/

T=_Vr_2=9-，且〃R9；

.c.9-rctc9-r

1\x=--y+2

設(shè)直線AP：x=--y+2,聯(lián)立雙曲線ty彳導(dǎo):-3=0,

'x2-y2=A

4z1-2—2t2口21

,2XD_J。?1,2，且,Wl，

1—It1—I

4￡⑵

斫以上=%=I-/2=1k=yc9-r_3

期以3-x°+2一卡-tBC^x-2~=4r

ct

I-/29-f2

i3

貝lJ/Q:y=_7(x+2),5C:y=7(x_2)

1/八

%=-：(%+2)

設(shè)。(%,%),貝1」f,兩式相除消，得%-2_1_1

3”一爐0

x+23

-20

為=-(^0)

所以0在直線x=l上；

法二、

設(shè)直線皿y=」Hx+2)=—^Z3X+2=±a(x+2，

%￡)+2xD+2yD%

ycc戶-2),

直線8C:y="\(x2)=-2g2)=:

%—2%-2ycZC

yn

由于左3尸一左加，即0一,，

XD-

由于k”-kAc,即％+2—3，

13

貝(J/Q:y=—(x+2),5C:y=_(x_2).

為=_:(%+2)

設(shè)。(%,%)，貝“3，兩式相除消,得/一2_1_]

%+23

Vo=-(x0-2)

、i

所[以0在直一線X=1上；

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心為C的動圓過點(2,0),且在了軸上截得的弦長為4,記C的

軌跡為曲線E.

⑴求曲線E的方程；

(2)已知41,2)及曲線￡上的兩點3和。，直線8。經(jīng)過定點(-3,2),直線AB.AD的斜率分別為％、k2,

判斷/+/是否為定值，說明理由.

【答案】(l)/=4x；

⑵是,kl+k2=l.

【分析】(1)設(shè)圓心c(x,y),半徑為r,由兩點間距離公式和圓的弦長公式列方程，消去，即可；

(2)設(shè)直線AD方程為尤=7-2/-3,聯(lián)立拋物線方程消去X,利用斜率公式將瓦+段用坐標(biāo)表示，

然后由韋達(dá)定理代入化簡即可.

【詳解】(1)設(shè)圓心C(xj),半徑為r,由圓C過點(2,0)得(苫-2)2+/=/，

又因為圓C在>軸上截得的弦長為4,所以22+/=/,

M!!(X-2)2+/=4+X2,整理得/=4X.

(2)易知直線的斜率不為0,

設(shè)直線助方程為x+3=/(y-2),即x=i^-2/-3,

[y2=4尤

聯(lián)乂消去X得必-例+&+12=0,

[x^ty-2t-3

由△=16/一4(&+12)>0得/<-1或/>3,

設(shè)8(西,必,貝！|乂+”=牝乂/=&+12,

弘一2二%一2=4么=y2-2^y2-2=4_

2

再T必+2x2-ly^_ly2+2,

44

―4?4_4（必+%+4）_4?+必）+16_16%+16

所以左+左2

%+2%+2（必+2）（%+2）%%+2（%+必）+4⑹+16

即kx+左2等于定值1.

22

5.已知雙曲線C:十金=15>0/>0)經(jīng)過點N(3,2),其右焦點為尸，且直線>=2x是C的一條漸近

線.

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)"(〃?,“)是C上任意一點，直線/:與-等=1.證明：/與雙曲線C相切于點W；

ab

(3)設(shè)直線尸T與C相切于點T,且而.局=0，證明：點P在定直線上.

【答案】⑴目-己=1

832

(2)證明過程見解析

(3)證明過程見解析

U1

.?2b2~

【分析】(1)由題意得，解出凡6的值即可;

”2

、Q

(2)一方面是C上任意一點，從而可得出它也在直線/：等-整=1上面，聯(lián)立橢圓方程,

ab

消元后得到一個一元二次方程，證明判別式等于0即可；

(3)由(2)中結(jié)論，設(shè)出點的坐標(biāo)，可得的=4叫?-32,由向量數(shù)量積公式化簡得

加p心m-26)=2￡(氏71-2亞),說明島-2立片0即可得證.

22

【詳解】⑴因為雙曲線。：十方=1("0/>0)經(jīng)過點4(3,2),且直線y=2x是C的一條漸近線，

[94_

所以fb2,解得/=&/=32,

”2

所以。的標(biāo)準(zhǔn)方程為—-^=1;

832

2222

首先設(shè)見見")是c上任意一點，所以有4.加一4.〃=<_—=1,

abab832

這表明了點M(%〃)也在直線/上，也可以得到4/一〃2=32,

Rr.

---------1

,832

聯(lián)立直線/的方程與橢圓C的方程有

mxny1

化簡并整理得（“2-Am2）x2+64mx-256-8w2=0,

而〃2_4機2=_32N0,1.A=（64m）2+4（H2-4m2）x8（n2+32）=（64m）2-322x4m2=0,

這也就是說/與雙曲線C相切于點M；

（3）

不妨設(shè)T（m,"）,P（P，q），

由⑵可知過點7的直線PT的方程為等-黑=1,

o32

因為點尸5應(yīng)）在直線等-翳=1上,

o32

所以絲一也=1,即有〃q=4加2一32,

832

又/+62=40,從而尸（2所,0）,

所以麗=（0-2加，4，萬=卜7-2加,〃），

若面1?下f=0，貝！JFPFT=（P-2vHi'）（7〃一bq”=pm-2（p+m$40+4pm-32

=5pm-2\/10（/?+m）+8=0,

整理得島（屈-2后）=2逝回-2幻,

2722M

因為|加|24=2行，所以加片也就是說J5"?-2五w0，

5

從而。=罷2而

5

所以點P在定直線上尤=①上.

5

6.已知雙曲線。的方程為?-2=1（。>0/>0）,虛軸長為2,點在。上.

ab

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過原點O的直線與C交于5,7兩點，已知直線AS和直線AT的斜率存在,證明：直線AS和直線AT

的斜率之積為定值；

⑶過點(0,1)的直線交雙曲線C于P,。兩點，直線/尸,4。與x軸的交點分別為求證：跖V的

中點為定點.

【答案】⑴

8

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)虛軸長和點坐標(biāo)聯(lián)立方程組可得/=8，6=1，可求得雙曲線C的方程為—-/-I；

8

(2)設(shè)出兩點坐標(biāo)，寫出斜率表達(dá)式，聯(lián)立雙曲線方程化簡計算可得證明；

(3)設(shè)直線尸。的方程為＞=履+1,求出直線N尸,4。與x軸的交點分別為的坐標(biāo)，聯(lián)立直線

和雙曲線方程利用韋達(dá)定理化簡即可得出證明.

【詳解】(1)因為虛軸長26=2,所以6=1.

又因為點/(-4,-1)在雙曲線上，所以

解得“2=8.

丫2

故雙曲線C的方程為=].

8■

因為在雙曲線C上，所以區(qū)一需=1,可得1_/=2一①;

_^0_

于是左=I；=_?___§_=L

公"16-%；16-x；8

所以直線/S和直線/T的斜率之積為定值，定值是:.

O

（3）證明：設(shè)尸（士,必）,。（尤2，%），直線P。的方程為y=履+1,如下圖所示:

貝1]A=（-16后）2-4（1-8公卜（一16）=64-256左2>0,

2

所以必+%=（京1+1）+（優(yōu)+1）=左（西+9）+2=----Y②

1—ok

1

y1y2=（kxx+l）（fec2+\）=kx}x2+k[xx+x2）+l=l@

直線AP的方程為>=口（》+4）-1,令y=o,得點M的橫坐標(biāo)為功=胃-4；

士+4M+1

同理可得點N的橫坐標(biāo)為飛=紅二-4；

%+1

玉+4+/+4

所以為+0=

JI+1%+1

-8

（必+1乂%+1）

為（優(yōu)+1）+無2（區(qū)1+1）+玉+工2+《Jl++8g

%%+乂+為+1

2kxix,+2（X]+%）+4（乂+j>2）+8

------------------------------8.

乂%+必+%+1

將①②③式代入上式，并化簡得到

8+8（l-8左2）

X+X=

MN----7----TV-8-4-8-4

2+20-8左2）

所以阿的中點的橫坐標(biāo)為"”3=2

故MN的中點是定點(-2,0).

22

7.已知雙曲線1,過該曲線上的點P(3,l)作不平行于坐標(biāo)軸的直線4交雙曲線的右支于

ab

另一點。，作直線“4交雙曲線的漸近線于兩點4B(/在第一象限)，其漸近線方程為x±y=o,

且信切=1尸。1，

(1)求雙曲線方程.

(2)證明：直線。3過定點.

(3)當(dāng)尸。的斜率為負(fù)數(shù)時，求四邊形N8P。的面積的取值范圍.

【答案】⑴二-匕=1

88

(2)證明見解析

(3)(4,8)

【分析】(1)根據(jù)漸近線方程可得。=6,結(jié)合雙曲線所過的點可求。=6=8,故可得雙曲線方程.

(2)聯(lián)立直線尸。方程和雙曲線方程，結(jié)合判別式可得尸。的斜率的范圍，再由漸近線方程可得3的

坐標(biāo)，由平行四邊形可求出。3的方程，故可得定點.

(3)利用(2)的結(jié)果結(jié)合弦長公式可用尸。的斜率表示面積，結(jié)合斜率的范圍可求面積的范圍.

【詳解】(1)因為漸近線x±y=o,則“=6,代入點尸(3,1)可得二-3=1,

aa

故/=/=8,即雙曲線方程為：—-^=1.

88

設(shè)4:y=kxx+m,Z2:y=kxx+n,（mw〃）,0（石,必）

PE4，.二1=3尢+m,/.m=\-3kv

y=kyX+m

由＜；12,2（左：_]）、2+2左冽%+加2+g=0,

------=1

[88

故A=4左：加2_4（42_］）（加2+8）=4（/_3）2＞0且XpX0=%+；〉0，

故左＜一1或左＞1且左iw3,

-m2+81。一3左）+83奸一2左+3

Xxx=—,故/=—x——=——!—

PQQ3k；-1k；-1

y=kx+nn/

由y解得'=一，則力—

y=xkx-\

nn

同理可得叫-

左+1左+1J故45=

而"月P0I，可得而=刀,，內(nèi)-辦=修，

,,3k1-2k、+32n

故飛?二故〃=3—/,

6-1'

匕-3匕-3）人3]

故/、勺-1’匕TJ匕+U

--31

設(shè)直線QB的斜率為k2,則k2=kAP="=；

一5-3勺-3_3%

kx-\

，直線。3的方程為=!X-"|,即y+l=；（無+3）,

左1+1左1（^+1）kx

所以過定點（-3,7）.

\n-m\\lk+2|

（3）由（2）可得直線4與4的距離為故"=匕x=，

一W+14左；+1

由題意可得四邊形ABQP是平行四邊形,

?.飛<0,結(jié)合(2)中左的取值范圍可得/<-l.^0<—<1,

故Sc(4,8).

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要聯(lián)立不同類型的方程，用合適的變量變式目

標(biāo)函數(shù)，而后者的最值往往可以通過函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式來處理.

8.已知雙曲線r：F-t=l(a>0,6>0)的焦距為4,且過點P2,—.

abI3,

⑴求雙曲線「的方程；

⑵過雙曲線r的左焦點尸分別作斜率為匕，總的兩直線4與4,直線4交雙曲線「于42兩點，直線4

交雙曲線r于兩點，設(shè)分別為與CD的中點，若占次=7,證明：直線兒W過定點.

【答案】=1

(2)證明見解析

【分析】(1)由題意得2c=4,再將p[2,代入雙曲線方程，結(jié)合/=/+/可求出力,/,從而

可求出雙曲線方程

(2)設(shè)直線4方程為y=%(x+2),/(再,％),8(々,%),將直線方入雙曲線方程化簡后利用根與系

數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點坐標(biāo)公式可表示點M的坐標(biāo)，再利用尢泡=T表示出點N的坐標(biāo)，再表示出

直線的方程，可求得直線過定點后(-3,0),從而可求得答案.

【詳解】(1)由題意得2c=4,得c=2,所以力+從二人

因為點E2,，在雙曲線上，所以以-占=1,解

、3Ja3b

得/=3,b2—1,

2

所以雙曲線方程為±r-/=l.

3-

(2)尸(一2,0),設(shè)直線4方程為y=《(x+2),

/（再,%）,5（孫％）,

y=kl(x+2)

2222

由，x2,,<(l-3^)x-12^x-12^-3=0,

-----y=1

I3

12將-12k;-3

貝nlX,x.x=--------七一,

IJ+x,=-----21

121-3將-1-3腎

x+x片2,所以“2的中點〃[答N：

所以12

21-3k；

因為尢泡=T,所以用一，代換勺，得N’6-2勺、

6片_6

當(dāng)即左=±1時，直線跖V的方程為無=-3,過點￡（-3,0）,

]_3后；-k；-3，

2kl一2左1

1-3#片-32kl

當(dāng)尢w±l時，k=

MN6k；憶―3(k—1)'

1-3燈k；-3

2左x6好］

直線阿的方程為

3（燈-1）

令歹=°，得％=+2=-3，

1-3奸1-36

所以直線MN也過定點￡（-3,0）.

9.已知點片卜血,0）,乙（￡,0）,動點M滿足|孫|一|〃周=2.

⑴求動點”的軌跡方程；

⑵記動點M的軌跡為C,若4B是C上的不同兩點，。是坐標(biāo)原點，求厲.礪的最小值.

【答案】（1）/-產(chǎn)=10>0）

(2)1

【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義求出軌跡方程；

（2）分直線斜率不存在和直線斜率存在兩種情況，當(dāng)斜率不存在時求出方.礪=1斜率存

在時，OA-OB=l+-^->l,得到答案.

k—1

【詳解】（1）因為|孫卜|班卜2<2口=舊修,

由雙曲線定義可知：點”的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支,

所以，c=V2,a=1,6-=—a2=1,

所以動點M的軌跡方程為：x2-y2=l(x>0).

(2)①當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為：x=m(m>l),

此時--1),

所以3,礪=*_(；?2_])=1；

②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：y=kx+t,

代入雙曲線C方程可得：(1一/-23-(產(chǎn)+1)=0,

可知其有兩個不等的正實數(shù)根再,電，

△=4左干+4(1-斤2)1+1)>0

1-r片0

?<2kt

一---0，

12\-k2

-r2-l八

X.X,=----7->0

I121-左2

解得：左2>1,

所以O(shè)AOB=x}x2+y{y2=xxx2+儂1+/）（/（x2+，）

=[k2+1）%%2+么（項+4）+產(chǎn)

222

（產(chǎn)+1）W+1）2kt2k+l,2

F-l1-k2k2-lk2-i

由r>1得，

OA-OB=\+^—>],

F-l

綜上所述，方.礪的最小值為1.

10.已知焦點在x軸上的等軸雙曲線C的左、右頂點分別為48,且A到。的漸近線的距離為血,

直線y=h+w與雙曲線C的左、右支分別交于點尸,。(異于點45).

(1)當(dāng)左=0時，證明：以尸。為直徑的圓經(jīng)過4B兩點.

⑵設(shè)直線4P,80的斜率分別為尢,&，若點（加,2左）在雙曲線C上，證明左他為定值，并求出該定值.

【答案】（1）證明見解析

（2）^2=-272-3,證明見解析

【分析】（1）只需要證明怎"^=T,就可得以P。為直徑的圓經(jīng)過A點，同理可證尸所以

可得以P。為直徑的圓經(jīng)過4B兩點；

（2）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出左左2,通過消元化簡即可得定值.

【詳解】（1）設(shè)雙曲線Lx?-必=/,貝|/（一。,0）,漸近線方程為x±y=O,

因為A到C的漸近線的距離為后，所以全=8,所以。=2,

所以雙曲線。的方程為X2-R=4.

當(dāng)左=0時，設(shè)尸■加）,則。（T,加）,

2

因為％=￡?〃=苦，所以電包=4?

r十/—r十，4—r

因為「-"=4,所以心/0=-1,所以

同理可證尸2,所以以尸。為直徑的圓經(jīng)過48兩點.

（2）設(shè)尸（尤1，乂）,。（尤2，%），

聯(lián)立方程組］得（1-〃卜2-2kmx-m2-4=0,

則為+%=當(dāng),取2=亳丁.由A=4（/+4-止）＞0,得/+4＞4/.

因為直線＞=h+"，與雙曲線C的左、右支分別各有一個交點，所以上

因為點（見2月）在雙曲線。上，所以/_4r=4.

E、/”：乂?力卬,、，一一%%（科+旭）（生+加）_12平2+6〃（占+苫2）+加2

因為?一再+2'z一％-2'所以色—（七+2）（%-2）一（%+2）伍一2）一x.+2（9F-4

2-k2m2-4k22k2m2m2-4k24

因為k2xx+km（石+x）+m=------------------1---------+m2=-----------=--------,

x22I?1-k2\-k2l-k2

222

x-Xy=J（再+x）2-知工2-14k2m24m+16_l4m-16k+16_4￡

22（1—“i2T92j-1-F

4

所以快-；

2=21-2=廠=2也-3

-m-48424-m2-4+8V2-4+4A:22/2-3

\-k2+X-k1

所以人的為定值，且明=--2A/2-3.

【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為(取,％),(%,%);

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或＞)的一元二次方程，注意△的判斷;

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為玉+苫2、%%(或%+%、2)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

械能力培優(yōu)練

1.在平面直角坐標(biāo)系X/中，已知雙曲線c的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，右支與X軸的交

點為(1,0),其中一條漸近線的傾斜角為三.

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點7(2,0)作直線/與雙曲線C的左右兩支分別交于4,8兩點，在線段上取一點￡滿足

|44|煙=|四.|/71,證明：點￡在一條定直線上.

【答案】⑴/=1

3

(2)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)題意可得雙曲線焦點在x軸上，且。=1,-=V3,即可求得雙曲線方程；

a

(2)根據(jù)雙曲線對稱性以及交點特征，設(shè)出直線方程并與雙曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理根據(jù)題目中的

表達(dá)式代入整理可知點E在定直線x=-±.

2

【詳解】(1)

x2y2

根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為=1,

由題知4=1,—=tan,可得6二百；

a3

所以雙曲線方程為/一旦=1.

3

（2）

易知7（2,0）為雙曲線的右焦點，如下圖所示:

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)斜率為左（04左48）,故直線的方程為了=左（尤-2）,

代入雙曲線方程得（3-/）/+4rx一（4F+3）=0,

設(shè)4（碼,必）,B（x2,y2）,

由韋達(dá)定理有xx+x2=—，x[x2=-4k丫

3—k3—k

且占《-1,1<x2<2,

設(shè)￡（%,%）,點￡在線段48上，所以再</<乙

由|/斗|7M=忸4以7|可得

J1+42（尤0—X]）?J1+（2—X?）=Jl+E（x2-X。）,Jl+k~（2—尤|）

化簡得（））

4%-2+/&+x2+2XXX2=0,

代入玉+%和xix2并化簡可得與=；，

即存在點E滿足條件，并且在定直線，色上.

r2M

2.設(shè)￡,工為橢圓C:土+必=1（/>1）的左、右兩個焦點,。為橢圓上一點，且根，片鳥,=3

一t附I,

（1）求才的值;

⑵若直線/：y=辰+加（左工0）與橢圓C交于A,3兩點，線段48的垂直平分線經(jīng)過點N10,-g

證明：加為定值.

【答案】（1）2

（2）證明見解析

【分析】（1）由和，片耳，可得P點的橫坐標(biāo)，代入橢圓的方程，可得P