§7.6空間向量的概念與運算

【考試要求】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正

交分解及其坐標(biāo)表示2掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其

坐標(biāo)表示,能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量,

能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.

【知識梳理】

1.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量長度相等而方向相反的向量

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相坐且

共線向量(或平行向量)

或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a,b(b^O),的充要條件是存在實數(shù)九使“=肪.

(2)共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量a,6共面的充要條件是存

在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+油.

⑶空間向量基本定理

如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,?

z),使得p=xa+yZ>+zc,{a,b,c}叫做空間的一個基底.

3.空間向量的數(shù)量積及運算律

(1)數(shù)量積

非零向量a，5的數(shù)量積a3=|a||b|cos(a,b).

(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a=(ai，a”俏)，歷，bi).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-b4邊1+。2人2+。3匕3

共線4=勸（獷0,AeR）4]=丸—1，（12=世2，=

垂直a0=0（〃W0,萬WO）。助+a?2+a3b3=0

模\a\q屆+屆+屆

a,b_____0-+〃2—+。3。3

夾角余弦值cos〈a,萬〉—⑷步bWO)""'q屆+層+曷?房+慶+房

4.空間位置關(guān)系的向量表示

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量。的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則稱此

向量a為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線取直線/的方向向量a,則向量a為平面a的法向量.

(3)空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

I1//I2fll//=%"2(丸￡R)

直線/1,/2的方向向量分別為"1,"2

Zl±/2〃1_1敢臺"「敢=0

直線/的方向向量為小平面a的法I//a〃_L機(jī)?機(jī)=0

向量為m,l^al-Lan//m^n=2m(A￡R)

a//0n//m^n=Xm(X￡R)

平面a,4的法向量分別為小m

a_L4

【常用結(jié)論】

1.三點共線：在平面中A,B,C三點共線臺位=x5h+y沆(其中無+y=l),。為平面內(nèi)任

意一點.

2.四點共面：在空間中尸，A,B,C四點共面㈡方次(其中x+y+z=l),

O為空間中任意一點.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“義”)

(1)空間中任意兩個非零向量a,》共面.(V)

(2)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反.(X)

(3)若A,B,C,O是空間中任意四點，則有贏+詼+歷+而=0.(V)

(4)若直線。的方向向量和平面a的法向量平行，則?！╝.(X)

【教材改編題】

1.如圖，在平行六面體4BCD—48iCQi中，AC與8。的交點為點設(shè)巷=a,AD=b,

AAi=c,則下列向量中與3宓相等的向量是()

A.-+上+，

C.一呼一一c

答案C

解析OM=C^C+CM=GC+1(CB+CD)=AM+yDA+^BA=-^a~^b-c.

2.如圖所示，在正方體ABC。一4B1GA中，棱長為a,M,N分別為A出和AC上的點,

AiM=AN=華,則MN與平面BBiCiC的位置關(guān)系是()

A.相交

C.垂直D.不能確定

答案B

解析分別以C1B,GA,GC所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因為4M=

AN=^^-,所以|a,N(^a,|a,a),所以A^V=(i10,翻，

XCl(0,0,0),01(0,0,0),所以而51=(0,a,0),所以血表51=0,所以加_L33I.

因為是平面BSGC的一個法向量，且施W平面881clC,所以MN〃平面881cle

3.設(shè)直線3/2的方向向量分別為。=(-2,2,1),5=(3,-2,m),若/」方則機(jī)=.

答案10

解析VZi±fc,'.a±b,

.\a-b=-6—A+m=0,.".m=lQ.

題型一空間向量的線性運算

例1(1)在空間四邊形ABC。中，贏=(-3,5,2),詼=(—7,-1,-4),點、E,尸分別為線

段BC,A。的中點，則法的坐標(biāo)為()

A.(2,3,3)B.(-2,-3,—3)

C.(5,-2,1)D.(—5,2,-1)

答案B

解析因為點E,尸分別為線段8C,AD的中點，設(shè)。為坐標(biāo)原點，

―?—>―?—?1->—>—>1―?—>

所以EF=OF—OE,OF=^(OA+OD),OE=^OB+OC).

--1---------?--?1--?--?1--?--?I

所以石尸=5(04+。0)—5(。8+00=2(84+0)=5乂[(3,-5,-2)+(—7,-1,-4)]

=3義(-4,-6,-6)=(-2,—3,-3).

⑵(2023?北京日壇中學(xué)模擬)在三棱柱AiSG—ABC中，。是四邊形BBCC的中心，且檢=

a,AB—b,AC—c,則4。等于(

答案D

解析Ad)=A^A+AB+Bb

AA|AA

=-AAi+AB+^BBr+BC)

——AA[+A6+5AA1+](AC—AB)

=—+^AB+^AC

1,1,1

=—5〃十十手.

思維升華用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點

(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義.

(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

跟蹤訓(xùn)練1⑴已知。=(2,3,-4),，=(一4,-3,-2),b^x-2a,則x等于()

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

答案B

解析由一2a,得x=4a+2Z>=(8,12,—16)+(—8,—6,—4)=(0,6,—20).

(2)如圖，在長方體ABCD—AiSGP中，。為AC的中點.

①化簡彳石一3巷一；屐)=:

②用贏，AD,病表示南，則南=.

答案①4A'A8+]AD+AAi

-----?1-?1-?-------?1-?-?------?-?-------?-?------?

解析①AQ一厘3一厘。=4。一5(A3+A￡>)=AI0—A0=AI0+0A=4A.

②因為0C=TAC=T(A3+A￡)).

所以南=沆+五=；(贏+Zb)+疝=3贏+地+疝.

題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用

例2(1)下列命題正確的是()

A.若。與》共線，6與c共線，則。與c共線

B.向量a,b,c共面，即它們所在的直線共面

C.若空間向量a,b,c不共面，貝la,b,c都不為0

D.若a,b,c共面，則存在唯一的實數(shù)對(x,y),使得a=M+yc

答案C

解析若6=0,則滿足a與占共線，B與c共線，但是。與c不一定共線，故A錯誤；

因為向量是可以移動的量，所以向量a,b,c共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯

誤；

假設(shè)a,b,c至少有一個為0,則空間向量a,b,c共面，故假設(shè)不成立，故C正確；

假設(shè)5=0,若a,c共線，則存在無數(shù)個實數(shù)對(x,y),使得a=M+yc,若a,c不共線，則不

存在實數(shù)對(x,y),使得a=H+yc,故D錯誤.

(2)(多選)下列說法中正確的是()

A.同一|0|=|a+臼是a,方共線的充要條件

B.若矗,歷共線，則4B〃CZ)

C.A,B,C三點不共線，對空間任意一點。，若赤=彳為+可加+刁又，貝!1P,A,B,C

^+00

四點共面

D.若尸，A,B,C為空間四點，且有滴=2訪+〃正(諄，正不共線)，則2+〃=1是A,B,

C三點共線的充要條件

答案CD

解析由|a|—|Z>|=|a+臼，可知向量a,6的方向相反，此時向量a,共線，反之，當(dāng)向量a,

6同向時，不能得到|a|—|臼=|a+Z>|,所以A不正確；

若潘，詼共線，則或A,B,C,。四點共線，所以B不正確；

,—3—1—1—311

由A,B,C三點不共線，對空間任意一點0,若。尸=7力+^03+§0。，因為^+豆+§=1,

可得尸，A,B,。四點共面，所以C正確；

若尸，A,B,C為空間四點，且有說=4沌+〃病(沌，無不共線)，

當(dāng)；■+〃=1時，即〃=1一九可得說一壽=〃/一兩，即之="亦，

所以A,B,C三點共線，反之也成立，即4+〃=1是A,B,C三點共線的充要條件，所以

D正確.

思維升華應(yīng)用共線(面)向量定理、證明點共線(面)的方法比較

三點(P,A,B)共線空間四點(M,P,A,8)共面

PA=^.FBMP^xMA+yMB

對空間任一點O,OP^OA+tAB對空間任一點。，OP^OM+xMA+yMB

對空間任一點。，0P=x0A+(l-x)0B對空間任一點0,0P=xdM+y0A+(l-x-y)0B

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知空間中A,B,C,。四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)尸為空間中

任意一點，若說)=6或一4沌+2無，則%等于()

A.2B.-2C.1D.-1

答案B

解析BD^6i^.-4PB+^PC,EPPD-PB=6^-4PB+/IPC,

整理得訪=6試-3訪+/1正，

由A,B,C,。四點共面，且其中任意三點均不共線，

可得6—3+2=1,解得力=一2.

(2)(2023?金華模擬)已知正方體ABC。一481GA的棱長為1,且滿足麗=xZ*+y慶'+(1—x

-y)DDt，則I癥I的最小值是()

1R也「近2

A_D.3*?3"D^"^,3

答案C

題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

例3(1)己知點。為空間直角坐標(biāo)系的原點，向量力=(1,2,3),由=(2,1,2),5>=(1,1,2),

且點Q在直線0P上運動，當(dāng)西?四取得最小值時，曲的坐標(biāo)是.

「、

口木(J4>4y38J

解析：5>=(1,1,2),點。在直線OP上運動，

設(shè)麗=2。>=(；1,九2/1),

又：源=(1,2,3),蘇=(2,1,2),

：.QA=OA-dQ=(l-A,2-/1,3-2A),

QB=OB-OQ=(2-X,1-/,2-22),

則QA-QB=(1—2)(2一丸)+(2—2)(1—4)+(3—22)(2—2A)=6>12—16/1+10,

4一一

當(dāng)2=］時，。4。8取得最小值，

此時0Q的坐標(biāo)為(j,y3J.

(2)如圖，已知平行六面體ABC。一A/iGDi中，底面ABC。是邊長為1的正方形，AAi=2,

ZAiAB=ZAxAD=120°.

①求線段AG的長；

②求異面直線AG與AiZ)所成角的余弦值；

③求證：AAiLBD.

①解設(shè)贏=〃，AD=b,AAi=c,

則同=|例=1,|c|=2,ab=O9

cs=。0=2X1義cos120。=一1.

因為AG=AS+AZ)+AAi=a+)+c,

所以|ACi\=\a+b+c\=d(〃+1+c)2

=y]\a\2+\b\2+\c\2+2a-b+2b-c+2a-c

=\l+l+4+0—2—2=也,

所以線段AG的長為也.

②解因為AG=a+b+c,A\D=b—c,

所以ACiAD=(〃+)+c)0—c)

=ab—ac+b2—c2

=0+1+1—4=-2,

|AiB|=\b—c\=yj(b—cf

=\l5F+|c1一2"c

=、l+4+2=市,

設(shè)異面直線AG與Ai。所成的角為0,

則cos0=|cos〈記，茄〉|=吧,硒

|ACi||AiD|

1-2|V14

一小義幣-7'

即異面直線ACi與4。所成角的余弦值為半.

③證明由①知福=c,BD=b—a,

所以A4i.5￡)=c0—G)=CA—CQ=—1+1=0,

即疝?由)=0,

所以

思維升華空間向量的數(shù)量積運算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接

計算；二是利用坐標(biāo)運算.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2023?益陽模擬）在正三棱錐P—A3C中，。是△ABC的中心，B4=AB=2,

則歷?麗等于（）

A5MC迤Da

答案D

解析ABC為正三棱錐,O為△ABC的中心,

；.PO_L平面ABC,

：.PO±AO,：.PO-OA=0,

|Ab|=1-|AB|-sin60。=斗&

故壽麗=壽歷+麗=|用F=|亦F—麗2=4—**

(2)(2022?營口模擬)已知4(-1,2,1),5(-1,5,4),C(l,3,4).

①求〈誦，BC）；

②求證在贏上的投影向量.

解①因為A(—1,2,1),B(—1,5,4),C(l,3,4),

所以贏=(0,3,3),BC=(2,-2,0).

因為崩?反:=0X2+3X(—2)+3X0=—6,

I成|=36，|正|=2

_ABBC_-6__1

所以cos<AB,BC}

\AB\\BC\3也X2吸2

故〈港，BC）=筆

②因為元=(2,1,3),矗=(0,3,3),

所以A3矗=0+1X3+3X3=12.

因為|贏|=3也，瑟i=VR

元腦122小

所以cos(AC,AB)

\AC\\AB\"X3m7

竺=/乂平*箸=|贏=(0,2,2).

所以公在還上的投影向量為|Z2|cos(AC,AB)

\AB\"2

題型四向量法證明平行、垂直

例4如圖所示，在長方體ABC。一AbBiGP中，A4i=AO=l,E為C￡)的中點.

⑴求證：BiElADu

(2)在棱AAi上是否存在一點P,使得。尸〃平面BiAE?若存在,求AP的長；若不存在，說

明理由.

⑴證明以A為原點，AB,AD,前的方向分別為了軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)A8=Q,

則A(0,0,0),。(0,1,0),01(0,1,1),雄，1,0),81(4,0,1).

故而=(0,1,1)，靛=(一?1,-1).

因為瓦方.而=—pO+lXl+(—1)X1=O,

所以靛_L而，即B1E_LAZ)1.

(2)解存在滿足要求的點尸，

假設(shè)在棱A41上存在一點尸(0,0,zo),

使得。尸〃平面此時0尸=(0,-1,zo),

設(shè)平面SAE的法向量為冷=(x,y,z).

麗=3,0,1),AE=|j,1,o.

因為〃_L平面SAE,所以〃_LA8i,nl.AE,

cix+z=0,

得1ax

了+產(chǎn)0,

取x=l,貝z=-a,

故〃=(1,一爭一，

要使。尸〃平面BiAE,只需〃，方力,

則?一azo=O,解得zo=；.

所以存在點P,滿足DP〃平面SAE,此時AP=；.

思維升華(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條

件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素).

(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)

定理.

跟蹤訓(xùn)練4如圖，在直三棱柱ABC—A由Ci中，ZABC=90°,BC=2,CG=4,點￡在線

段上，且=D,F,G分別為CG，CiBi，G4的中點.

(1)求證：平面AiBQ_L平面AB。；

⑵求證：平面EGF〃平面A8D.

證明以8為坐標(biāo)原點，BA,BC,881所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，則2(0,0,0),￡>(0,2,2),Bi(0,0,4),￡(0,0,3),F(0,l,4).

(1)因為函=(凡0,0),防=(0,2,2),懿=(0,2,-2),

所以瓦5?函=0,瓦5.由)=0.

所以瓦5_L函，BJ)X.BD,

即BiDlBA,BiDLBD.

又BACBD=B,BA,8￡)u平面A8。，所以BiO_L平面ABD

因為8i￡)u平面AS。，所以平面AiB。，平面ABD.

(2)方法一因為病=卷1,1),濟(jì)=(0,1,1),瓦5=(0,2,-2),

所以瓦方?丘;=0,瓦萬用=0.

所以81O_LEG,BiD±EF.

因為EGCEF=E,EG,E/u平面EGP,所以2iD_L平面EGE.

又由⑴知Bi。，平面AB。，

所以平面EGF〃平面ABD.

方法二因為?>=(一3,0,0),

―?1―?

所以G尸=一5氏4,C.GF//BA,

又GR1平面AB。，ABU平面A8Z),

所以GF〃平面A3，同理EF〃平面A2。，

又G尸ClEF=F,GF,EFU平面EGF,

所以平面EGF〃平面ABD.

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.己知直線/的一個方向向量為機(jī)=(x,2,-5),平面a的一個法向量為w=(3,—1,2),若

I//a,則x等于()

A.-6B.6C.-4D.4

答案D

解析若/〃a,則《/_!_〃，從而《??”=(),

即3x—2—10=0,解得x=4.

2.(多選)下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有()

A.若向量a,〃與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，貝Ua〃Z>

B.若非零向量a,b,c滿足a,"b±c,則有a〃c

C.若工i,OB,又是空間的一組基底，且濟(jì)=投+班+頡7,則A,B,C,。四點共

面

D.若向量a+方，b+c,c+a是空間的一組基底，則a,b,c也是空間的一組基底

答案ACD

解析對于A,若向量a,6與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則a,B為共線向量，即a〃瓦

故A正確；

對于B,若非零向量〃，方，c滿足QJ_8,b-Lc,則@與c不一定共線，故B錯誤;

對于c,若近，OB,5b是空間的一組基底，且礪=；而+；而+；(元,

->■—>1-?—?1-?->—?1-?1―?

則。。-0A=1(08-0A)+q(0C-0A),即AZ)=QAB+養(yǎng)C,

可得A,B,C,。四點共面，故C正確；

對于D,若向量a+Z>,b+c,c+a是空間的一組基底，

則空間任意一個向量d存在唯一實數(shù)組(x,y,z),

使d—x(a+b)+y(Z?+c)+z(c+a)=(尤+z)a+(x+y)b+(y+z)c,

則a,b,c也是空間的一組基底.

3.如圖，在長方體A8CD—A向GA中，設(shè)AD=1,則麗41)等于()

A.1

C.3

答案A

解析由長方體的性質(zhì)可知AOJ_A8,AD±BBi,AD//BC,AD=BC=\,

BD!=BA+BC+BBI,所以麗.病=(血+病+礪).病=函.筋+詼.筋+麗.病=0+詼

2+0=1.

4.已知平面a內(nèi)有一個點4(2,-1,2),a的一個法向量為“=(3,1,2),則下列點尸中，在平

面a內(nèi)的是()

A.(1,-1,1)B(l,3,|)

C.0,-3,§D(T,3,-1)

答案B

解析對于選項A,麗=(1,0,1),Pkn=5,所以說與“不垂直，排除A；同理可排除C,D；

對于選項B,有麗=(1,—4,￡),所以說."=0,因此B項正確.

5.如圖在一個120。的二面角的棱上有兩點A,B,線段AC,分別在這個二面角的兩個半

平面內(nèi)，且均與棱A8垂直，若AB=巾,AC=1,BD=2,則CD的長為()

A.2B.3C.2事D.4

答案B

解析,：CD=O[+AB+Bb,

.\cb2=CA2+AB2+Bb2+2CAAB+2CABb+2ABBZ),

VC4XAB,BD±AB,.\C4AB=0,BDAB=O,

->■-?->-―?1

CABD=\CA\\BD\cos(l80°-120°)=1X1X2=1.

.?62=1+2+4+2X1=9,；.|函=3.

6.(多選)(2023?浙江省文成中學(xué)模擬)已知空間向量a=(2,-2,1),5=(3,0,4),則下列說法正

確的是()

A.向量。=(—8,5,6)與〃，)垂直

B.向量d=(l,—4,一2)與a,方共面

C.若。與方分別是異面直線/1與/2的方向向量，則其所成角的余弦值為2:

D.向量〃在向量力上的投影向量為(6,0,8)

答案BC

解析對于A,a。c=-16—10+6W0,萬c=-24+24=0,

故a,c不垂直，故A錯；

對于B,設(shè)〃=加〃+■，

則機(jī)(2,—2,1)+〃(3,0,4)=(1,-4,-2),

2m+3〃=1,

解得k[m=2f,

所以<—2根二一4,

、機(jī)+4〃=—2,

即2a—b=d,故B對；

對于C,因為cos〈a,b〉=]^^=/^=|，

所以異面直線/1與/2所成角的余弦值為東故C對；

對于D,向量。在向量?上的投影向量為|a|cos(a,6〉4=3*|義春X(3,0,4)=住0,|),

故D錯.

7.已知直線/的方向向量是機(jī)=(1,a+2b,A-l)(o,Z?eR),平面a的一個法向量是"=

(2,3,3).若/_La,則a+6=.

答案2

解析a+2b,o-l)(a,6GR)是直線/的方向向量，

“=(2,3,3)是平面a的一個法向量，/_La,

：^=a+2b=a\^解得片視，b=—^,

.\a+b=2.

_1__r\__

8.已知丫為矩形ABC。所在平面外一點，且也=V8=VC=VZ),VP=-^VC,血=q通，VN

=|訪.則以與平面PMN的位置關(guān)系是.

答案以〃平面PMN

解析如圖，設(shè)必l=a,VB=b,VC=c,則V￡)=a+c—B,

-21f2-l—221

由題意知1c,PN=wVD—§丫。='Q—

-?3-3->■->-?-?

因此01=]PM+2PM.*.儂，PM,PN共面.

又,/儂C平面PMN,.?.以〃平面PMN.

9.已知a=(l,-3,2),6=(-2,1,1),A(-3,-1,4),9(一2,-2,2).

⑴求|2a+臼；

(2)在直線AB上是否存在一點E,使得無，6?(。為原點)

解(l)2a+6=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,—5,5),

故|2a+川=^02+(-5)2+52=5巾.

(2)令贏=凝(zeR),贏=(1,-1,-2),

所以O(shè)E=OA+AE=OA+fc4J3=(—3,—1,4)+/(1,—1,—2)=(—3~\~t,—1—?,4—2f),

若布?_LZ?,則無必=0,

.,9

所以一2(—3+f)+(—1—1)+(4—2f)=0,解得/=亍

因此存在點E,使得乃_L方，此時點E的坐標(biāo)為(一,，—y,

10.如圖，四棱錐尸一A8CZ)的底面為正方形，側(cè)棱以，底面ABC。，且B4=A￡>=2,E,

F,X分別是線段以，PD,A3的中點.求證：

p

F

⑴尸8〃平面EFH-,

(2)PZ)_L平面AHF.

證明(1)；E,H分別是線段AP,AB的中點，

,/PB4平面EFH,且EHU平面EFH,：.PB〃平面EFH.

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則4(0,0,0),很(0,2,0),尸(0,0,2),網(wǎng)0,1,1),8(1,0,0).

麗=(0,2,-2),而=(1,0,0),AF=(0,l,l),

.,.pb-AF=0X0+2Xl+(-2)Xl=0,

PDAH=0Xl+2X0+(-2)X0=0.

：.PD.LAF,PDLAH,

：.PD±AF,PD±AH.

VAHAAF=A,且AX,AFU平面AHF,；.PD_L平面AHF.

合提升練

11.如圖，在長方體ABC。一A向GA中，48=小4。=小A4i=<§,點P為線段AC上的動

點，則下列結(jié)論不正確的是()

A.當(dāng)祝=2用時，Bi，P,。三點共線

B.當(dāng)Q_L戲時，AP±D^P

C.當(dāng)菽=3初時，AP〃平面BOG

D.當(dāng)祝=5篇時，4C_L平面。1AP

答案B

解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則4（1Q1）,C（0,小,0）,￡）i（0,0,1）,A（1,0,0）,Bid，

小，1）,￡＞（0,0,0）,

3（1,小，0）,Ci（0,y[3,1）,

當(dāng)祝=2初時，瓦?=（一；,坐，-￡）,

赤=扇+用=0,坐,5

而鬲=（1,小，1）,

：.DP=^DB\,：.B\,P,。三點共線，A正確;

設(shè)而=1^,X7c=（-1,小，-1）,則贏=而+/=疝+2^=（一九小入,1-2）.

當(dāng)成_L菽時，有力?戲=52-1=0,

.,.萬\帝=昌，坐，.停，坐，一步一90,與萬下不垂直，B不正確;

當(dāng)標(biāo)=3乖時，Q=（—；,坐，-￡）,

哈布—奇=停,筆_￡|.

又加=（1,小，0）,鬲=（0,小，1）,

/.51P=|Z）B-15G,，萬萬，DB,比1共面，又D1RJ平面BDC1,〃平面BDCi,C

正確；

當(dāng)命=5而時，Q=（—/坐，一,，從而并=（—/坐，段），

XADi-AiC=（—1,0,1）,（—1?小，—1）=0,

AAiClADi,

AP-A?C=^—1,乎,^（―1,5,—1）=0,

,

：.AiC±AP,：ADiHAP=A9ADi,APU平面。伏尸，???4C_L平面。iAP,D正確.

12.(多選)(2023?梅州模擬)如圖，在正方體ABC。一AIiGZh中,A4i=3,點跖N分別在

棱AB和上運動(不含端點).若則下列命題正確的是()

A.MNlAiM

B.A/N_L平面DJWC

3

C.線段8N長度的最大值為彳

D.三棱錐G—4D1M體積不變

答案ACD

解析在正方體中，以點。為原點，射線ZM,DC,。。分別為無，y,z

軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則4(3,0,3),Di(0,0,3),C(0,3,0),8(3,3,0),

設(shè)M(3,y,0),N(3,3,z),y,Ze(0,3),0=(3,y,—3),加=(0,3—y,z),而。

則沅拓疝=y(3_y)_3z=0,

即z=1y(3-y).

對于A選項，連接AiM,而。=(0,y,-3),則其應(yīng)?曲=y(3—y)—3z=0,則而。，疚,

MN±AiM,A正確；

對于B選項，CM=(3,>-3,0),麗?疝=。-3)(3—丫)=一(3—月2<0,即CM與MN不垂直,

從而A/N與平面。iMC不垂直，B不正確；

對于c選項，麗=(o,o,z),則線段BN長度?兩=z=g—Q—w*當(dāng)且僅當(dāng)尸|時

等號成立，C正確;

13.在正三棱柱ABC—46C1中，側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M為BC的中點，耐=廝,

且ABLMN,則4的值為.

答案15

解析如圖所示，取B1G的中點尸，連接MP,

以證，MA,證的方向為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

因為底面邊長為1,側(cè)棱長為2,

貝坐，0）,Bi（一今。，2）,C（J,0,0）,Ci（j,0,2）,M（0,0,0）,

設(shè)0,

因為《而=亦無,

所以心,3T+i}

所以福=（一；,—坐，2）,MN=（^，o,黃力.

又因為

所以福?加=0,

14

所以-4+RJ=O,

解得4=15.

14.（2022?杭州模擬）在棱長為1的正方體ABC。一A/iGDi中，E,1分別為4A，9的中