2024-2025學(xué)年福建省泉州市高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知z(l+i)=11—i\2,則z=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中

部?jī)蓪庸渤槿酌麑W(xué)生.已知該校初中部和高中部分別有1500名和2000名學(xué)生，若從高中部抽取的學(xué)生

人數(shù)為80,則九二

A.60B.100C.120D.140

3.已知△ABC的內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=2,Z=45。，B=75°,則。二

A.<2B.2C.<6D.3

4.設(shè)a,/?為兩個(gè)不同的平面，m,九為兩條不同的直線，且=則下列說(shuō)法正確的是

A.若貝！B.若n1zn,則711a或九_(tái)L/?

C.若九〃a,n"B，貝!］九〃THD.若兀與a,S所成的角相等，則九1zn

5.已知向量了滿足同=L歷|=al(a-6),則萬(wàn)在了上的投影向量為

-*1-?1->—>

A.bB.—/?C.——bD.—b

6.已知直三棱柱力1%的—4BC的頂點(diǎn)均在球面上，且力4=2門(mén)，NBHC=30。，BC=1,則該球的表面積

為

A.16兀B.竽C.4兀D.y

7.如圖，某款廚房用的香料粉收納盤(pán)為正四棱臺(tái)造型，其兩底面的邊長(zhǎng)分別為6on,2cm.若該收納盤(pán)中香

料粉的每日使用量保持不變，收納盤(pán)裝滿香料粉后連續(xù)使用19天，此時(shí)剩余香料粉的高度為裝滿時(shí)高度的

一半，則剩余的香料粉大約還可以連續(xù)使用

A.7天B.11天C.15天D.19天

8.在△ABC中，AB=AC,BC=2,動(dòng)點(diǎn)M滿足麗=%豆？+y函，且2x+y=1,若N為AB的中點(diǎn)，則|麗|

的最小值為

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

第1頁(yè)，共10頁(yè)

9.已知函數(shù)/'（x）=力sin（3%+cp）（A>0,a）>0,\（p\<的部分圖象如圖所示,則

C.f（x-勺的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.直線x=-專(zhuān)是的圖象的對(duì)稱(chēng)軸

10.已知Zi，Z26C,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.W+為=Z1+Z2

B.若Zi=五，則ZieR

C.若Z1，Z2是方程/一X+2=0的兩根，則Z12+Z22=5

D.若1W|zj|<2,則在復(fù)平面內(nèi)Z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合所成的圖形面積為3兀

11.已知三棱柱力BC-&B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,G,M,N分別為41cl的中點(diǎn)，若441=2,

AA^AB=/.A^AC=60°,貝U

A.AA11BC

B.三棱柱力BC-A/iCi的體積為彳

C.與AN所成的角的余弦值為鬻

D.平面MNG截三棱柱所得的截面面積為空

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知一組數(shù)據(jù)：4,4,5,7,7,7,8,9,9,10,則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是.

13.已知V3sina+cosa=1,貝！Jcos（2a+?）=.

14.數(shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對(duì)稱(chēng)的美感.萊洛三角形的畫(huà)法如下：先畫(huà)等邊三角形4BC,

再分別以點(diǎn)A,B,。為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.已知P為”上的一點(diǎn)，

第2頁(yè)，共10頁(yè)

Q為力B的中點(diǎn)，若BC=4,則所.同的最大值為，最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/'(久)=2sin(2x+

(1)求/(%)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)久6［。,與時(shí)，m/(x)<1,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

16.(本小題15分)

某企業(yè)擬從甲、乙兩家工廠中選擇一家作為供貨商，現(xiàn)從兩家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取100件，并測(cè)量其

質(zhì)量指標(biāo)值(指標(biāo)值越大，代表質(zhì)量越高)，測(cè)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

甲工廠

質(zhì)量指標(biāo)值分組[45,70)[70,95]

頻數(shù)4060

平均數(shù)6383

方差616

乙工廠

(1)求機(jī)的值，并估計(jì)甲工廠產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差(頻率分布直方圖中，同一組的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)；

(2)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為該企業(yè)推薦一家供貨商.

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17.(本小題15分)

如圖1,在平行四邊形A8CD中，48=2,BC=1,AC1BC,將△力CD沿AC翻折至△力CP(如圖2),使得PB=

<5.

圖1圖2

(1)證明：3。1平面「力。；

(2)求直線與平面PBC所成的角的正弦值；

(3)若點(diǎn)E在平面4BC內(nèi)，AE1BE,當(dāng)三棱錐P—A8E的體積最大時(shí)，求AE的長(zhǎng).

18.(本小題17分)

已知銳角AABC的內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且解+?2=口2+玩.

⑴求力；

(2)若c=4,求△ABC的面積的取值范圍；

(3)如圖，若。為AABC外一點(diǎn)，S.^ABD=^ACB=BD1CD,AD=715,求a.

19.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系％0y中，點(diǎn)P(%,y)繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角后得到點(diǎn)P/(%/,y/),其中

匕=%cosa一"ina,稱(chēng)該公式為點(diǎn)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換公式.

(y二xsina+ycosa,

(1)已知點(diǎn)A，(1,0)可由點(diǎn)4(a,6)繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)冷得到，求a,6的值；

(2)若曲線C：y=，sin，I久繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)"導(dǎo)到曲線C',求證：直線y=x+1與C'有無(wú)數(shù)多個(gè)公

Z4

共點(diǎn)；

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(3)曲線E：y-光=85(久+曠)上是否存在四個(gè)點(diǎn)，使得以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形？證明你的

結(jié)論.

第5頁(yè)，共10頁(yè)

參考答案

1.B

2.D

3.C

4.C

5.B

6.A

7.X

8.C

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.9

13-

14.4；20-877

15.解：(1)依題意得/⑶的最小正周期為T(mén)=奇=與=7T,

由2/CTT—2<2]+§<2/CTT+—>kEZ,

尚畢得/CTT—是<%<kji+盍，kEZ9

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間即一/"+芻，fcez；

(2)由尤6[0,打得2%+畀腎多],

所以sin(2x+5)6[^,1],

所以/⑶=2sin(2久+、)e[1,2],

當(dāng)x€[0；]時(shí)，由(久)<1,且f(x)￡[1,2],

得m<-77-7-,只需滿足m、]，

因?yàn)楹瘮?shù)y=：在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，所以[卷]=；，

所以血耳，即實(shí)數(shù)小的取值范圍為(-8,S

第6頁(yè)，共10頁(yè)

16.解：⑴因?yàn)?0.006+0.014+m+0.024+0.036)x10=1,

所以m=0.02,

所以甲工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均數(shù)為

元國(guó)=50x0.06+60x0.14+70x0.24+80x0.36+90x0.2=75,

方差為S2甲=(看一無(wú))2

=0.06x(-25)2+o.i4x(-15)2+0.24x(-5)2+0.36x52+0.2x152

=129,

(2)乙工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均數(shù)為無(wú)乙=觸6需*83=75,

方差為s2乙=1X[6+(63-75)2]+|x[16+(83-75)2]=108,

所以無(wú)甲=元乙，S2■甲>S2乙,

以樣本估計(jì)總體，甲、乙兩家工廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)平均數(shù)相當(dāng)，

但乙工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值方差比較小，產(chǎn)品質(zhì)量比較穩(wěn)定，故建議選擇乙工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品.

17.解：(1)因?yàn)镻C=DC=48=2,BC=1,PB=<5，

所以PC?+BC2=PB2,所以BC_LPC,

又因?yàn)锽C_L力C,ACCiPCC,AC,PCu平面APC,

所以BC1平面APC;

(2)過(guò)點(diǎn)4作力H1PC于點(diǎn)H,連結(jié)HB,

因?yàn)锽C1平面APC,平面APC,所以BC14”,

又因?yàn)?C(~lPC=C,BC、PCu平面PBC,

所以4H1平面PBC,

所以H8為斜線力B在平面PBC上的射影，

NAB”為直線與平面PBC所成的角，

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在平形四邊形2BCD中，AD//BC,

因?yàn)?C1BC,所以AD14C,所以P414C,

在RtAPHC中，PC=DC=AB=2,BC=1,

由勾股定理可得力C=G

根據(jù)等面積法可得AH=*=苧，

在RtAP4B中，力B=2,

所以sin乙4BH=*=T，

AB4

即直線4B與平面PBC所成的角的正弦值為日；

4

(3)由(2)知P41平面4BC,又因?yàn)榱lBE,

1111

所以Up_4BE=^S?ABE-PA^^X^AE-BE^\AE-BE,

DDLO

因?yàn)榱?+85=AB2=4,

所以4E-BEW空孚史=2,

當(dāng)且僅當(dāng)ZE=BE=時(shí)等號(hào)成立,

所以當(dāng)時(shí)，三棱錐P-ZBE的體積取得最大值.

18.解:(1)因?yàn)榘?c2=a2+be,

所以/+c2—a2=be,

由余弦定理得cosX=匕針=>=1.

2bc2bc2

因?yàn)?6(0,兀)，所以A=

口在△力區(qū)中，由正弦定理得心=前

-T—f4A兀

又C=4,A=W，

所以6=霽=型婪

4(sin誓27TcosC—cos7-77^sinC)

sinC

=2+2

tanC+"'

因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,

所以CW《3)

第8頁(yè)，共10頁(yè)

所以tanCE+8),

所以be(2,8),

因?yàn)镾AABC='jbcsin力=1x/?x4xsin卷=y[3b,

所以△ABC的面積的取值范圍是(2，^,8門(mén))；

⑶因?yàn)锳=￡^ABD=^ACB=

34

所以NCBD=兀一(3+3+g)=a

443o

因?yàn)锽D1CD,設(shè)CD=x,

則BC=a=2x,BD=<3x,

在△力BC中，由正弦定理可得名=或，

sin^sin^

BCsin12/6

即Qrt48=-nr-=-z-X①,

sin?3

在AaBD中，由余弦定理可得=482+8。2-2AB-BDcos?②,

4

將(2^代入念成得卜2+3%2—2x當(dāng)％xV_3xx苧=15,

化簡(jiǎn)得了=9,解得X=3,

故a=6.

/y1=acos7-T-n7s.in7-T

19.解：(1)依題意得

0=asing+bcosg

3j

11再

1=2”小

即

。=多+/

解得Q=3,b=—

2，

(2)任取曲線C上點(diǎn)尸(%,y),

點(diǎn)P繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)［后得到點(diǎn)P/(%/,y/)，則點(diǎn)尸/在C/上,

4

x/=xcos7-T-ysi.n7-T=—x——yT—2y

依題意得442L

y/=xsi.nn-+,ycosT-i=—y[2x+,—y

'A<2/,72

%=—x+—y

即

/2//2

7=---x

第9頁(yè)，共10頁(yè)

代入y=整理得y'—xz=sin(%z+yz),

所以曲線C，的方程為y-X=sin(%+y),

聯(lián)立p—x：*(“+>),

(y=%+1

整理得sin(2x+1)=1,

所以2