§4.5三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【考試要求】1.能畫出三角函數(shù)的圖象.2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（?。┲?3.借助

圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在［0,2可上，正切函數(shù)在（甘，習(xí)上的性質(zhì).

【知識(shí)梳理】

1.用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖

（1）在正弦函數(shù)y=sin尤,xd［0,2汨的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,（與1），（兀，0），（苧，-1），

（2兀，0）.

（2）在余弦函數(shù)尸cos尤,的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,《，0）,（K,-1）,徑0）,

（2兀，1）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中左GZ）

函數(shù)y=sinxy=cosx尸tanx

yy

一豆1.3TT_7T1ITTT

圖象20苗"22_

1

定義域RR+叁

值域Ll,llLlJlR

周期性2兀2兀匹

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

_,71_,.71（左兀一與左兀+胃

遞增區(qū)間2攵兀2，2化兀~~?2|~2E——兀，2攵兀］

,71,371

遞減區(qū)間2左兀12，2左兀12\2kii,2祈+兀］

（析+會(huì)0）

對(duì)稱中心(ku,0)口。）

對(duì)稱軸方程

【常用結(jié)論】

1.對(duì)稱性與周期性

（1）正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是;個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱

中心與對(duì)稱軸之間的距離是1個(gè)周期.

(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.

2.奇偶性

若?x)=Asin((wx+9XA,①WO),貝U

7T

(1求力為偶函數(shù)的充要條件是(p=]+kn(kGZ).

(2求尤)為奇函數(shù)的充要條件是<p=kn(kCZ).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)正切函數(shù)了=12!1；(：在定義域內(nèi)是增函數(shù).(X)

(2)已知y=ksin尤+1,尤GR,則y的最大值為左+1.(X)

(3)y=sin|x|是偶函數(shù).(V)

(4)若非零實(shí)數(shù)T是函數(shù)兀0的周期，則左7(左是非零整數(shù))也是函數(shù)六尤)的周期.(V)

【教材改編題】

1.若函數(shù)y=2sin2x—1的最小正周期為T,最大值為A,貝1()

A.T=K,A=1B.T=2兀，A=1

C.T=7ifA=2D.T--27i,A=2

答案A

2.函數(shù)於)=-2tan(2x+^)的定義域是()

A.eq

B.eq

C.eq

D.eq

答案D

JTIT

解析由kRZ,

.kjL.7L

得

2o%￡Z.

3.函數(shù)y=3cos(2x—習(xí)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案女兀+襲，左兀+牛,k￡Z

解析因?yàn)閥=3cos(2x—

兀

令2EW2]——]<2左兀+兀，女￡Z,

TT7IT

求得左兀+不?工?女兀+了，kGZ,

TT27r

可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[E+不^+―J,kez.

題型一三角函數(shù)的定義域和值域

例1（1）函數(shù)>=;一二7的定義域?yàn)開______.

tanx1

答案卜卜蘭+左兀，且x梏+%兀，Z&Z]

解析要使函數(shù)有意義，

tanx1WO,

則1）兀,

析，kGZ,

71

k,Ti9

兀

{kGZ.

故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

jxb力于+左兀，且kRZj.

（2）函數(shù)y=sin%—cosx+sinxcosx的值域?yàn)?

答案[―上手，1]

角星析設(shè)￡=sinx—cosx,貝It2=sin2x+cos2x—2sinx-cosx,sinxcosx—

且—

t2]i

「?y=-]+/+]=—2（^-1）2+1,

/￡[一也，也].

當(dāng)t=l時(shí)，ymax=l；

當(dāng)t——也時(shí)，>min=-1+；"?

函數(shù)的值域?yàn)開1+產(chǎn),1.

【教師備選】

1.函數(shù)y=1sinx—cos%的定義域?yàn)?

715冗

答案2%兀+不2E+彳（%￡Z）

解析要使函數(shù)有意義，必須使sinx—cosx20.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出[0,2兀|上y

sin%和y=cosx的圖象,

如圖所示.

TT57r

在[0,2兀]內(nèi)，滿足sinx=cos%的x為不丁，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2兀，所以原函

數(shù)的定義域?yàn)椤?E+gxW2E十季kbI.

2.函數(shù)無）=sin2x+M5cos尤一的最大值是.

答案

解析由題意可得

——COS2X+^/3COSX+~^

cos[0,1].

當(dāng)cosx=坐,即時(shí)，火X)取最大值為1.

思維升華(1)三角函數(shù)定義域的求法

求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)的圖象來求解.

(2)三角函數(shù)值域的不同求法

①把所給的三角函數(shù)式變換成y=Asin(s+9)的形式求值域.

②把sinx或cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

③利用sinx土cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2021?北京)函數(shù)"r)=cosx—cos2],試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值()

A.奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為2

99

C.奇函數(shù)，最大值為RD.偶函數(shù)，最大值為R

oo

答案D

解析由題意，

f(—x)=cos(―%)—cos(―2x)

—cosx-cos9

所以該函數(shù)為偶函數(shù)，

又/(x)=cosx—cos2x=—2COS2X+COSX+1=—21osx—^)2+^,

19

所以當(dāng)cosx=a時(shí)，/(x)取最大值*

（2）函數(shù)y=lg（sin2%）+國9一f的定義域?yàn)?/p>

解析:?函數(shù)y=lg(sin2x)+用9—f,

應(yīng)滿足1[si9nT2x>W0,,

,71.

kn<x<^-\-ku,

解得j2其中kez,

、一3

-3Wx<一5或0<x〈當(dāng)

二函數(shù)的定義域?yàn)閇—3,一^U(0,：

題型二三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性

例2（1）（2019.全國H）下列函數(shù)中，以熟周期且在區(qū)間仔，號(hào)上單調(diào)遞增的是（）

A./U）=|cos2x|B./（x）=|sin2x|

C./（x）=cos|x|D.?x）=sin|M

答案A

解析A中，函數(shù)於）=|cos2x|的周期為E，當(dāng)仔，號(hào)時(shí)，2_￥6住兀），函數(shù)段）單調(diào)遞增,

故A正確；B中，函數(shù)負(fù)x）=1in2x|的周期為多當(dāng)在俘號(hào)時(shí)，2XG（J,兀），函數(shù)於）單調(diào)

遞減，故B不正確；C中，函數(shù)/（x）=cos|x|=cosx的周期為2兀，故C不正確；D中，人無）=

[sinx,x20,

sin|x|=i由正弦函數(shù)圖象知，在x20和xvO時(shí)，危）均以2兀為周期，但在整

1―smx,x<0,

個(gè)定義域上火幻不是周期函數(shù)，故D不正確.

⑵函數(shù)/U）=3sin（2x—生+J+1,ae（0,兀），且於）為偶函數(shù)，則。=，於）圖象的

對(duì)稱中心為.

答案.0+弟1）,FZ

解析若危）=3sin（2x—w+q）+l為偶函數(shù)，貝！]-1+夕=左兀+5，kGZ,

5兀

即夕=兀，%￡Z,

丫7o~+%

又?.,夕￡(0,71),

?7/（x）=3sin（2x+3+1=3cos2x+l,

由2x=會(huì)+左兀，左￡2得4=1+^k^Z,

?g）圖象的對(duì)稱中心為俘+笫1）,k《Z.

【教師備選】

1.下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的為（）

A.y=sin|x|B.y=cos|x|

C.y=tan|x|D.）=（%一1）°

答案B

解析?.?cos|x|=cosx,?“=85仇|是周期函數(shù),其余函數(shù)均不是周期函數(shù).

2.函數(shù)/（x）=3sin（2L，，，9金（。，兀），若於）為奇函數(shù)，則9=.

宏案-

口本3

解析若危）=3sin（2x—1+9）為奇函數(shù)，

兀

則一1+9=%兀，女￡Z,

71

即9=1+%兀，kGZ,

又?.?夕￡（0,71）,

._匹

??9一3.

思維升華（1）奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一殳可化為y=Asin①x或y=Atancox

的形式，而偶函數(shù)一般可化為y=Acos①x的形式.

2兀

（2）周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y=Asin（s;+9）,〉=485（5：+9）3>>0）的周期為一，函數(shù)）=

77

Atan（cox+夕）（Q>0）的周期為了求解.

XX

跟蹤訓(xùn)練2⑴（2021?全國乙卷涵數(shù)於）=sin]+cos]最小正周期和最大值分別是（）

A.3兀和gB.3兀和2

C.6兀和吸D.6%和2

答案C

解析因?yàn)楹瘮?shù)式x）=sin申+COS]

x

■COS2

r-<.X71.X.71

A/21singeosa十cos/n

匹

所以函數(shù)式x)的最小正周期7=斗=6兀，最大值為也.

3

(2)已知危尸ACOS(S+9)(A>0,①>0,0〈不兀)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x=3時(shí)，危)取得

最小值一3,當(dāng)g取得最小正數(shù)時(shí)，貝1)+黃2)+黃3)+…+式2022)的值為()

A.eqB.一6一3小

C.1D.-1

答案B

解析'/fix)=Acos(a>x+^)(A>0,C9>O,0<9<兀)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

兀71

???夕=1+左兀，kGZ,貝！J夕=],

則Ax)=—Asincox.

當(dāng)x=3時(shí)，兀1)取得最小值一3,

故A=3,sin3co=l,

兀

.?.3G=1+2析，Z.

的最小正數(shù)為年

71

?\/(x)=-3singX,

.?次X)的周期為12,

.-./l)+A2)+X3)+-+A12)=0,

.?.式1)+八2)+武3)+…+八2022)

=168X0+AD+X2)+-+A6)

=-6-3^3.

(3)(2022?鄭州模擬)設(shè)函數(shù)曲=2sin(2x—1)+*則下列敘述正確的是()

A.八元)的最小正周期為2兀

B.於)的圖象關(guān)于直線尸告對(duì)稱

C.左)在?？缮系淖钚≈禐楦?/p>

D.於）的圖象關(guān)于點(diǎn)俘，0）對(duì)稱

答案C

解析對(duì)于A,7（無）的最小正周期為號(hào)=兀，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,入由卜義合一］）=—3W±l，

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)xG去兀時(shí)，2x—黑停，明，

.，.sin（2x——1,坐］,

.?.2sin（2x-習(xí)+江-^^3+|,

.\X龍）在去兀］上的最小值為一t,故C正確；

對(duì)于D,?..德）=2sin（2X爭(zhēng)一§+,=?

；.兀0的圖象關(guān)于點(diǎn)停，3對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

題型三三角函數(shù)的單調(diào)性

命題點(diǎn)1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例3函數(shù)段）=sin（—2x+§的單調(diào)遞減區(qū)間為

答案［far—適，E+適（左￡Z）

解析/（x）=sin（—2x+5）

兀兀7L

由2依：一］＜2x—］W2E+］,kGZ,

71571

得左兀一五五，女￡Z.

故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

-7T,.5兀1,

左r兀一五，標(biāo)十五（七￡Z）.

延伸探究?x）=sin［—2x+*在［0,兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為

答案［。，五」和［石，*71

兀5兀

解析令4=左兀一五，析十五，kGZ,

B=［0,71］,

.「八57rl「ii兀一

..AC\B=0,五U71,

5冗-1r117T

.,./(X)在［0,兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為［o,五_|和［五，兀.

命題點(diǎn)2根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)

7［

例4⑴若函數(shù)危)=sins;(m>0)在區(qū)間0,可上單調(diào)遞增,在區(qū)間序受上單調(diào)遞減，則。

3

答案2

解析???/(%)=sinGX(①>0)過原點(diǎn)，

JT

當(dāng)OWsrW》

即OWxW。時(shí)，y=sin①x單調(diào)遞增；

當(dāng)畀0x〈咨，

即券WxW駕時(shí)，y=sin①x單調(diào)遞減.

71

由?x)=sin①武①>0)在0,上單調(diào)遞增，

在生，方上單調(diào)遞減，知言=與'

._3

??co—2。

(2)已知①>0,函數(shù)於)=sin(s+g在卷兀)上單調(diào)遞減，!

0)的取值范圍是

「15一

合案294

兀

解析由1<X<7T,CO>09

/臼COTti7T?7Ti7T

何■2'4<GX+4<①兀+4,

TT3IT

因?yàn)閥=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2E+］,2左兀+了,女仁Z,

|CDTl.兀、兀?一,

所以《,kGZ,

?兀一3兀,c,

[①兀十40工十2E,

解得4k<①W2上+（，kGZ.

又由4女+1—（2攵+/wo,kGZ,

且2上+不>0,々￡Z,

解得左=0,

所以cz>e1,.

【教師備選】

（2022?定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校月考）已知函數(shù)式無）=sin（ox+0）（co>O,|°忌?，尤=一:為人x）的零點(diǎn)，%

=/為y=/（x）圖象的對(duì)稱軸，且式x）在傳，粉上單調(diào)，則。的最大值為（）

A.11B.9C.7D.1

答案B

解析因?yàn)閤=—￡為九0的零點(diǎn)，

為y=A%）圖象的對(duì)稱軸，

”.2z?+171

所以一4一,T=]5eN）,

n2〃+l27171

即丁莖=/GN）,

所以①=2〃+l（〃￡N）,即co為正奇數(shù).

因?yàn)榧?在恁，If）上單調(diào)，

則3618-12<2,

trrm2兀7T

即T=一co女6,

解得①W12.

]]兀

當(dāng)①=11時(shí)，一^~+夕=攵兀，％￡Z,

因?yàn)榘?/p>

所以9=—此時(shí)於）=sin（nx一母.

當(dāng)'4金’怎時(shí)，

I—三心螞

llx4<36,36/

所以/（x）在原，韻上不單調(diào)，不滿足題意;

當(dāng)口=9時(shí)，一竽+e=E,kGZ,

因?yàn)?°1芍，

所以9=去

當(dāng)X途,露時(shí)，

9尤+狂傳,T））

此時(shí)八?在恁，箱上單調(diào)遞減，符合題意.

故。的最大值為9.

思維升華（1）已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間

求形如>=45111（5+9）或y=Acos（ox+p）（其中0>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視"cox+p”為一個(gè)整

體，通過解不等式求解.但如果o<0,可借助誘導(dǎo)公式將。化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

（2）已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2021?新高考全國I）下列區(qū)間中，函數(shù)段）=7sinQ一總的單調(diào)遞增區(qū)間是

（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案A

TTTCTCIT7ITTT

解析令一弓+析?兀，kGZ,得一取k=0,則一

N2—7U5乙+2%JJ%￡Z.JT

Wx若.因?yàn)椋?,習(xí)［一?用，所以區(qū)間（0,舒是函數(shù)式x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

（2）（2022?開封模擬）已知函數(shù)y=sin（ox+§

（0>0）在區(qū)間（一/m上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案A

解析當(dāng)一專時(shí)，

兀①,71.71TICO.兀

一工+鏟°嗎＜H+Q,

當(dāng)x=0時(shí)，ajx+j=y

因?yàn)楹瘮?shù)y=sin（0x+§（o＞O）在區(qū)間（一襲，上單調(diào)遞增,

71（0?兀、71

—/+聲一1

?？?兀,兀

{T+養(yǎng)子

解得

因?yàn)椤＃?,所以。的取值范圍是（o,1.

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.y=|cosx|的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.eqB.[0,兀]

C.eqD.eq

答案D

解析將y=cosx的圖象位于x軸下方的部分關(guān)于x軸對(duì)稱向上翻折，x軸上方（或x軸上）的

圖象不變，即得y=|cosR的圖象（如圖）.

故選D.

2.函數(shù)加:）=q2sin頭一1的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.eq（fc^Z）

B.eq（%￡Z）

C.eq（無￡Z）

D.eq/￡Z）

答案B

IT

解析由題意，得2sin1%—120,

71兀571

不（女）

2X￡4+2E,+2E￡Z,

貝Ijx￡g+4左，|+4Z:（左￡Z）.

3.）

A.最小正周期為71的奇函數(shù)

B.最小正周期為兀的偶函數(shù)

C.最小正周期為2兀的非奇非偶函數(shù)

D.最小正周期為兀的非奇非偶函數(shù)

答案D

si「（x+得）

?,.?=;一;（

故/U）的最小正周期7=竽=無，由函數(shù)奇偶性的定義易知，於）為非奇非偶函數(shù).

一業(yè)心sinx~\-x.

4.函數(shù)段）=5.q2在［—兀，淚的圖象大致為（）

cosX~X

答案D

解析由公,戶鬻螳得

—sinx—x

cosx+『=f得於）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A;

1+工

71?十24+2兀

又了國―'

TT

/兀）=_]+7t2>0,排除B,C.

5.關(guān)于函數(shù)式x）=sin2x—cos2x,下列命題中為假命題的是（）

A.函數(shù)y=?r）的周期為71

TT

B.直線x=4是y=/"）圖象的一條對(duì)稱軸

C.點(diǎn)怎，o)是y=/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

D.y=/q)的最大值為吸

答案B

解析因?yàn)閒ix)=sin2x—cos2x

所以加)的最大值為陋，故D為真命題；

2冗

因?yàn)镚=2,故T=彳=兀，故A為真命題；

當(dāng)時(shí)，2x—終邊不在y軸上，故直線不是y=/(x)圖象的一條對(duì)稱軸，

故B為假命題；

當(dāng)％=稱時(shí)，2%—彳=0,終邊落在x軸上，

o4

故點(diǎn)低，°)是>=/*>)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故c為真命題.

6.(2022?廣州市培正中學(xué)月考)關(guān)于函數(shù)y(x)=sin|%|十|sinx|,下列敘述正確的是()

A.?r)是奇函數(shù)

B.八x)在區(qū)間住，兀)上單調(diào)遞增

C.7U)的最大值為2

D.其龍)在［一兀，汨上有4個(gè)零點(diǎn)

答案C

解析A~x)=sin|—x|+|sin(~x)\

=sin|x|+1sinx\=fix),

火工)是偶函數(shù),A錯(cuò)誤;

當(dāng)工￡年，兀)時(shí)，?x)=sinx+sin%=2sinx,

單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；

Xx)=sin|x|+|sin%|W1+1=2,

且/6)=2,C正確；

在［―兀，兀］上，當(dāng)一兀4<0時(shí)，

f(x)—sin(—x)+(—sinx)=-2sinx>0,

當(dāng)0<x<兀時(shí)，f(x)=sinx+sin2sinx>0,

/(x)的零點(diǎn)只有兀，0,一兀共三個(gè)，D錯(cuò)誤.

7.寫出一個(gè)周期為兀的偶函數(shù)加)=.(答案不唯一)

答案cos2x

8.（2022?上外浦東附中檢測(cè)）若在0,內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足等式cos2x+M5sin2x=Z

+b則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.

答案OWZ<1

解析函數(shù)fix）=cos2x+小sin2x

=2sin（2x+],

71

當(dāng)0,4時(shí)，

於）=2sin（2x+2單調(diào)遞增；

當(dāng)xQ%'時(shí),

/（x）=2sin（2x+g單調(diào)遞減，

71

X0）=2sin不=1,

/R=2sin721=2,

n2sin普=-1,

TT

所以在0,2內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足等式cos2x+小sin2x=k-\-1,

則1Wk+1<2,

所以O(shè)Wkl.

兀

已知函數(shù)）incwxsinlcox+^1（加>0）的最小正周期為

9.?x=4si]3,71.

（1）求CD及1%）的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵求1x)圖象的對(duì)稱中心.

角星(1)J(x)=4sinGx&sin①x+坐coscox-1

=2sin2a>x+2^/3sina>xcoscox—1

=1—cos2cox+^3sin2CDX~1

=^/3sin2Gx-cos2cox

2sin(2s-

???最小正周期為兀,

.2兀

?用=心

.*.co=l,?'?fix)=2sin(2x—g|,

令一]+2faiW2x—4忘1+2析，％￡Z,

717T

解得一d+EWxWw+女兀，z￡Z,

jr7T

.\/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一4+E,g+E

(止Z).

(2)令2x—%=E,%￡Z,

解得%=省+竽，kRZ,

?,&:)圖象的對(duì)稱中心為信+竽0),Z￡Z.

10.(2021?浙江)設(shè)函數(shù)?x)=sin%+cosx(x￡R).

⑴求函數(shù)丫=3+切2的最小正周期；

解⑴因?yàn)?x)=sinx+cosx,

所以/Q+舒=sinG+3+cos(j+^

=cosx—sinx,

所以y=&(j+§}=(cosx-sinA：)2

=1sin2x.

所以函數(shù)y=[/Q+圳2的最小正周期r=y=7i.

=y[2smx(sinx+cosx)

=^/2(sinxcosx+sin2x)

c兀1??！肛?兀

當(dāng)了￡[0,時(shí)，2%一產(chǎn)[一不不J

所以當(dāng)2x—?=?,即x=咨時(shí)，

*4Zo

函數(shù)y=/UyG—在0，W上取得最大值，且ymax=l+坐.

里長能提升練

11.（2022?蘇州模擬）已知函數(shù)式x）=sin（2x+§,則下列結(jié)論不正確的是（）

JF

A.尤=一不是函數(shù)/U）的一個(gè)零點(diǎn)

冗

B.函數(shù)段）在區(qū)間[一5曾，向71上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/（無）的圖象關(guān)于直線尤=合對(duì)稱

D.函數(shù)/口一§是偶函數(shù)

答案D

解析對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?（一§=sin0=0,

故x=*是函數(shù)加）的一個(gè)零點(diǎn)，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)一患WxW吉時(shí)，

?！礳I兀一兀

-產(chǎn)2x+產(chǎn)5,

Sirjr

所以函數(shù)人X）在區(qū)間[一萱，向上單調(diào)遞增，B對(duì)；

TT7T

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閷?duì)稱軸滿足2%+,=]+攵兀，kGZ,

解得1=*+竽，k￡Z,當(dāng)左=0時(shí)，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，

令gW=/3）=sin[2lj-f）+3

則g（（l=。，

g(*)=sin(一竽卜0,

故函數(shù)/Q—g不是偶函數(shù)，D錯(cuò).

12.（2022?廈門模擬）已知函數(shù)/0）=852（：一^）—cos2尤，則下列結(jié)論正確的是（）

A./（X）的最大值為1

B.於）的圖象關(guān)于點(diǎn)傳，0）對(duì)稱

C.段）的圖象的對(duì)稱軸方程為尤=得+*0

D.五龍）在［0,2兀］上有2個(gè)零點(diǎn)

答案C

l+cos（2x—?

角星析fix）=2cos2x

=^+y［rcos2x+孚sin2x）-cos2x

則危）的最大值為1,A錯(cuò)誤;

易知應(yīng)￥）圖象的對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為3，

B錯(cuò)誤；

兀71

令2x—,=1+E（%￡Z）,

,曰57r./CTI

付工=五+g（Z￡Z）,

此即加）圖象的對(duì)稱軸方程，C正確；

由火x）=^sin（2x—習(xí)+；=0,

得sin（2x—?=一坐，

,,,?！肛?171

當(dāng)工￡［0,2兀］時(shí)，~y,

作出函數(shù)丫=$出46［冶，晉現(xiàn)的圖象，如圖所示.

所以方程sin（2x—§=—坐在［0,2兀］上有4個(gè)不同的實(shí)根,

即犬x)在[0,2兀]上有4個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

13.(2022?綿陽中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬)已知sin尤+cosy=1,則sinlsin2y的最大值為.

答案.9

解析:sin無+cosy=z，sinx^[—1,1],

sinx=；—cosy《[—1,1],

?-35-

,?cosy￡1—a，4」,

「3-

即cosy￡—7，1,

*/sinx—sin2y=；—cosy—(1—cos2y)

23

=cosy—cos

=(cosy_?2_l,

「3-

又cosy￡—不1，

3

利用二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)c