三年真題(2023—2025)

io優(yōu)引?與就率

.三年考情-探規(guī)律.

考點(diǎn)三年考情(2023-2025)命題趨勢(shì)

題型與分值穩(wěn)定：題型上，在選擇

題、填空題和解答題中均有出現(xiàn)，

位置相對(duì)靈活。分值方面整體保持

穩(wěn)定，大約在18-22分左右，在

統(tǒng)計(jì)案例以及數(shù)字特征類的運(yùn)算考查

高考數(shù)學(xué)中占據(jù)較為重要的地位。

頻率較高，常與實(shí)際情景以及頻率分布

強(qiáng)調(diào)實(shí)際應(yīng)用：命題注重與實(shí)際生

直方圖相結(jié)合。如2024年有全國卷考

活緊密結(jié)合，以現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)

查了新型水稻畝產(chǎn)量的相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，

和場(chǎng)景為背景設(shè)置問題，如農(nóng)業(yè)產(chǎn)

涉及中位數(shù)、極差、平均值等數(shù)字特征；

量統(tǒng)計(jì)、社區(qū)垃圾分類知識(shí)講座效

2023年也有關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、

果分析、農(nóng)戶家庭年收入調(diào)查等，

中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等的考查11。

考查學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)解

概率方面11：

決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在實(shí)

古典概型：是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要考

際生活中的廣泛應(yīng)用。

查點(diǎn)，難度較小，如2024年全國I

考點(diǎn)1統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)綜合化：統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)部各

卷、甲卷，2023年I卷、II卷、乙

與概率知識(shí)點(diǎn)之間以及與其他數(shù)學(xué)知識(shí)

卷、甲卷等都有涉及。

的綜合考查日益增多。例如，概率

離散型分布：是?？碱}型，主要包括賽

常與數(shù)列、函數(shù)導(dǎo)數(shù)等結(jié)合，統(tǒng)計(jì)

制類問題，二項(xiàng)分布，超幾何分布類問

則常與數(shù)據(jù)分析、函數(shù)等知識(shí)綜

題等，在2024年I卷、II卷、甲

合，通過跨知識(shí)點(diǎn)的命題，考查學(xué)

卷，2023年I卷、II卷、乙卷、甲

生的綜合素養(yǎng)和知識(shí)遷移能力。

卷等均有出現(xiàn)。

突出核心素養(yǎng)：著重考查數(shù)學(xué)運(yùn)

條件概率與全概率公式：其應(yīng)用是高考

算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素

在概率方面的一個(gè)重要方向，如2024

養(yǎng)。要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)據(jù)分析

年I卷，2023年甲卷、I卷、II卷

能力，能對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分

等有相關(guān)考查。

析和解讀；同時(shí)要有清晰的邏輯思

維，在解決概率問題時(shí)能準(zhǔn)確判斷

事件關(guān)系、運(yùn)用概率公式進(jìn)行推理

和計(jì)算。

一考點(diǎn)分練-精準(zhǔn)達(dá)標(biāo)一

考點(diǎn)01統(tǒng)計(jì)與概率

一、單選題

1.(2025?上海?高考真題)己知事件4、8相互獨(dú)立，事件A發(fā)生的概率為PQ4)=%事件8發(fā)生的概率為

P(B)=%則事件力CB發(fā)生的概率「缶門3)為()

A.焉B.]C.|D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式可求PQ4nB).

【詳解】因?yàn)?B相互獨(dú)立，故PQ4nB)=P(4)P(B)=；xJ=；,

zZ4

故選：B.

2.(2025?天津?高考真題)下列說法中錯(cuò)誤的是()

A.若X?N(/Z,0"2),貝!|p(XW〃-er)=P(X2〃+。)

B.若X?N(l,22),y?N(2,22),則P(X<1)<P(y<2)

C.|r|越接近1,相關(guān)性越強(qiáng)

D.|r|越接近0,相關(guān)性越弱

【答案】B

【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，P(XW〃一cr)=P(X2〃+o'),A說法正確；

對(duì)于B,根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，P(X<1)=P(K<2)=0.5,B說法錯(cuò)誤；

對(duì)于C和D,相關(guān)系數(shù)位|越接近0,相關(guān)性越弱，越接近1,相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說法正確.

故選:B

3.(2025?全國二卷?高考真題)樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為()

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

【分析】由平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為2+8+：+16+2。=m=12.

故選：C.

4.(2024?上海?高考真題)已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是()

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)

【答案】C

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于AB,當(dāng)氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯(cuò)誤.

對(duì)于CD,因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時(shí)，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)，

故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.（2024.全國甲卷.高考真題）某獨(dú)唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場(chǎng)一次，出

場(chǎng)次序由隨機(jī)抽簽確定，則丙不是第一個(gè)出場(chǎng)，且甲或乙最后出場(chǎng)的概率是（）

A.-D

6B-;cI-!

【答案】c

【分析】解法一：畫出樹狀圖,結(jié)合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分類討論甲乙的位置,結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.

【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖,

乙

甲丙丁

AAA

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

T

甲乙丙

AAA

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹狀圖可得，出場(chǎng)次序共有24種,

其中符合題意的出場(chǎng)次序共有8種，

故所求概率P=5=/

解法二：當(dāng)甲最后出場(chǎng)，乙第一個(gè)出場(chǎng)，丙有2種排法，丁就1種，共2種;

當(dāng)甲最后出場(chǎng)，乙排第二位或第三位出場(chǎng)，丙有1種排法，丁就1種，共2種;

于是甲最后出場(chǎng)共4種方法，同理乙最后出場(chǎng)共4種方法，于是共8種出場(chǎng)順序符合題意;

基本事件總數(shù)顯然是A；=24,

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，所求概率為5=今

24J

故選：C

6.（2024?天津?高考真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（）

【答案】A

【分析】由點(diǎn)的分布特征可直接判斷

【詳解】觀察4幅圖可知，A圖散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較

好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，|川值相比于其他3圖更接近1.

故選：A

7.（2024.新課標(biāo)H卷?高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各

塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表

畝產(chǎn)[900,[950,[1000,[1050,[1150,

[1100,1150)

量950)1000)1050)1100)1200)

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】C

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)

算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為年巖=66%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確；

對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得，平均值為工x（6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+

10X1175）=1067,故D錯(cuò)誤.

故選；C.

8.（2023?上海?高考真題）根據(jù)身高和體重散點(diǎn)圖，下列說法正確的是（）

90

80

70

望60

50

40

30

A.身高越高，體重越重B.身高越高，體重越輕C.身高與體重成正相關(guān)D.身

高與體重成負(fù)相關(guān)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的散點(diǎn)圖的特征，直接判斷作答.

【詳解】由于身高比較高的人，其體重可能大，也可能小，則選項(xiàng)AB不正確；

由散點(diǎn)圖知，身高和體重有明顯的相關(guān)性，且身高增加時(shí)，體重也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，

所以身高與體重呈正相關(guān)，C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C

9.（2023?全國乙卷?高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題

準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）

S211

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】A

【分析】對(duì)6個(gè)主題編號(hào)，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結(jié)果，并求出抽到不同主題的結(jié)果，再利用古

典概率求解作答.

【詳解】用1,2,3,4,5,6表示6個(gè)主題，甲、乙二人每人抽取1個(gè)主題的所有結(jié)果如下表：

123456

甲

(1,1)(1,2)(L3)(L4)(L5)(1.6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36個(gè)不同結(jié)果，它們等可能,

其中甲乙抽到相同結(jié)果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6個(gè)，

因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個(gè)，概率P=|^=]

366

故選:A

10.(2023?全國甲卷?高考真題)某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨

機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為()

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】D

【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.

【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C：=6件,

其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有=4,

所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為:=

63

故選：D.

11.(2023?全國甲卷?高考真題)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同

學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的

概率為()

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

【答案】A

【分析】先算出同時(shí)愛好兩項(xiàng)的概率，利用條件概率的知識(shí)求解.

【詳解】同時(shí)愛好兩項(xiàng)的概率為0.5+0.6-0.7=0.4,

記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件4記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件8,

則P(4)=0.5,P(48)=0.4,

所以「出|4)=需=照=08

11/IJU.D

故選:A.

12.(2023?全國乙卷?高考真題)設(shè)。為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛(居y)|l4/+y244｝內(nèi)隨機(jī)取

一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A,則直線04的傾斜角不大于3的概率為（）

4

11I1

A.-B.-C.-D.-

8642

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閰^(qū)域｛（%丫）|1三支2+丫234｝表示以。（0,0）圓心，外圓半徑R=2,內(nèi)圓半徑r=l的圓環(huán),

則直線的傾斜角不大于g的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角4MON=，

44

結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率P=舉=T

3兀4

故選：C.

13.（2023?天津?高考真題）鶯是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)?大雅?旱麓》曰：“鶯飛戾天，魚躍余淵”.鶯尾花因

花瓣形如鶯尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長(zhǎng)度和

花瓣長(zhǎng)度（單位：cm）,繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為r=0.8642,利用最小二乘法求得

相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7501久+0,6105,根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（）

花

瓣

長(zhǎng)

度

4.85.25.66.06.46.8727.6

花萼長(zhǎng)度

A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)

C.花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種鶯尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值為5.8612cm

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8642

【答案】C

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)及經(jīng)驗(yàn)回歸方程可判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可以判斷D選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤

散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯(cuò)誤,

把x=7代入夕=0.7501%+0.6105可得l=5.8612cm,C選項(xiàng)正確；

由于r=0.8642是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的

相關(guān)系數(shù)不一定是0,8642,D選項(xiàng)錯(cuò)誤

故選：C

二、多選題

14.(2024?廣東江蘇?高考真題)隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.

為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均

值元=2.1,樣本方差$2=0.01,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,(LU),假設(shè)推動(dòng)出口后

的畝收入丫服從正態(tài)分布N(%s2),則()(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布p(Z<A+O)=0.8413)

A.P(X>2)>0.2B.>2)<0.5

C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8

【答案】BC

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的3。原則以及正態(tài)分布的對(duì)稱性即可解出.

【詳解】依題可知，x=2.1,s2=0.01,所以丫?N(2.1,0,M),

故p(y>2)=p(y>2.1-o.i)=p(y<2.1+0.1)?0.8413>0,5,c正確，D錯(cuò)誤；

因?yàn)閄?N(1.8,0.12),所以P(X>2)=P(X>1.8+2x0.1),

因?yàn)镻(X<1.8+0.1)a0.8413,所以P(X>1.8+0.1)-1-0.8413=0.1587<0.2,

而P(X>2)=P[X>1.8+2x0,1)<P[X>1.8+0.1)<0.2,B正確，A錯(cuò)誤，

故選：BC.

15.(2023?新課標(biāo)I卷?高考真題)有一組樣本數(shù)據(jù)勺,切,…,必，其中小是最小值，&是最大值，則()

A.%2，%3，%4，%5的平均數(shù)等于％1，刀2,…，久6的平均數(shù)

B.X2,X3,x4,配的中位數(shù)等于久1，乂2,…的中位數(shù)

C.X2,X3,X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于%],久6的標(biāo)準(zhǔn)差

xxx

D.%2)3>4>5的極差不大于久1，刀2,…，久6的極差

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:設(shè)%2，%3，%4，%5的平均數(shù)為小，/，血尸\0的平均數(shù)為71，

rnr|_一％I外+右+叫+&2(X+X)-(X4-X+X+X4)

y&n—m=---+-%--2-+-%--3-+--%-4-+--%--5-+-%--6-------------------=-----1-----6------5----2----3-----,

6412

因?yàn)闆]有確定2(%1+%6)，%5+%2+%3+%4的大小關(guān)系，所以無法判斷m?，九的大小，

例如：1,2,3,456,可得m=幾=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得m=l,n=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得m=2,n=?；故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)％14%24％3<%44％54％6，

可知冷,冷，處，%的中位數(shù)等于勺，％2，?“，乂6的中位數(shù)均為號(hào)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：舉反例說明,例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)九=〃2+4+6+8+10+12)=7,

6

標(biāo)準(zhǔn)差Si=I-[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2]二—,

763

4,6,8,10,則平均數(shù)m=:(4+6+8+10)=7,

標(biāo)準(zhǔn)差S2=卡[(4—7)2+(6—7)2+(8—7)2+(10—7/]=?顯然等>V5,即力>s2,

所以久2，乂3*4，乂5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于刀1，刀2,…，刀6的標(biāo)準(zhǔn)差，這一論斷不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D:不妨設(shè)X]<X2<X3<X4<Xs<X(,,

則％6-久12%-％2，當(dāng)且僅當(dāng)XI=刀2，乂5=X6時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；

故選：BD.

16.(2023?新課標(biāo)n卷?高考真題)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的

概率為a(0<a<1),收到0的概率為1一a；發(fā)送1時(shí),收到0的概率為￡(0<0<1),收到1的概率為1一0.

考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重

復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收

到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-a)。-。)？

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為3(1-。)2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為6(1-￡)2+(1-0)3

D.當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

【答案】ABD

【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷C；求

出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1

接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立,所以所求概率為(1一￡)(1-。)(1-6)=(1-a)(l-￡)2,A正確；

對(duì)于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1一6)邛<1—￡)=0(1—夕)2,B正確；

對(duì)于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和，

它們互斥，由選項(xiàng)B知,所以所求的概率為C猾(1—6)2+(1—0)3=(1—3)2(1+20),C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=(1—a)2(l+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P'=1-a,而0<a<0.5,

因此P-P,=(1-a)2(l+2a)-(1-a)=a(l-a)(l-2a)>0,即P>PlD正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和,

相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

三、填空題

17.(2025?全國一卷?高考真題)一個(gè)箱子里有5個(gè)相同的球，分別以1~5標(biāo)號(hào)，若每次取一顆，有放回地

取三次，記至少取出一次的球的個(gè)數(shù)X,則數(shù)學(xué)期望E(X)=.

【答案】裝/2.44

【分析】法一：根據(jù)題意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理與古典概型的概率公式求得X的分布列，

從而求得E(X)；法二，根據(jù)題意假設(shè)隨機(jī)變量Xj,利用對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率公式求得E(XD，進(jìn)而利

用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求得E(X).

【詳解】法一：依題意，X的可能取值為1、2、3,

總的選取可能數(shù)為53=125,

其中X=l：三次抽取同一球，選擇球的編號(hào)有5種方式,

故P(X=1)=^-=1

25’

X=2:恰好兩種不同球被取出(即一球出現(xiàn)兩次，另一球出現(xiàn)一次)，

選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式，選取出現(xiàn)一次的球有4種方式,

其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能，故事件X=2的可能情況有5x4x3=60種,

故P(X=2)=—=

')12525

X=3：三種不同球被取出，

由排列數(shù)可知事件X=3的可能情有況5X4X3=60種，

故P(X=3)=里=工，

k112525

所以E(X)=1xP(X=1)+2xP(X=2)+3xP(X=3)

=1?x——5+,?2x—12+,?3x—12=6—1.

125252525

故答案為：g.

法二：依題意，假設(shè)隨機(jī)變量X”其中i=1,234,5：

=『,這3次選取中網(wǎng)至少被取出一次=

10,這3次選取中，球i一次都沒被取出

由于球的對(duì)稱性，易知所有相等，

則由期望的線性性質(zhì)，得E[X]=E[￡2iXi]=￡LE[Xt]=5E[Xt],

由題意可知，球i在單次抽取中未被取出的概率為支

由于抽取獨(dú)立，三次均未取出球i的概率為P(%=0)==部，

因此球i至少被取出一次的概率為：P(&=1)=1-黑=慧，

故磯刈=哉，

所以E[X]=5E同=5X段=景

故答案為：

6

18.(2025?上海?高考真題)已知隨機(jī)變量X的分布為[52q3o,s),則期望磯用=

【答案】6.3

【分析】根據(jù)分布列結(jié)合期望公式可求期望.

【詳解】由題設(shè)有E[x]=5X0.2+6X0.3+7x0,5=1+1.8+3.5=6.3.

故答案為：6.3.

19.(2025?天津?高考真題)小桐操場(chǎng)跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0.5,

若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0.4,6圈的概率為0.6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈

的概率為0.6,6圈的概率為0.4.小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動(dòng)量達(dá)標(biāo),

則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X,則期望E(x)=

【答案】0.63.2

【分析】先根據(jù)全概率公式計(jì)算求解空一，再求出概率根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算求解.

【詳解】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A,設(shè)第一次跑5圈為事件設(shè)第二次跑5圈為事件C,

則P(4)=P(B)P0|B)+P(B)P(C|B)=0,5X0.6+0.5X0,6=0.6；

若至少跑11圈為運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)為事件D,P(D)=P(2)+P(瓦)P?瓦)=0.6+0,5x0.4=0,8,

所以X?B(4,0.8),E(X)=4x0.8=3.2；

故答案為:0.6；3.2

20.(2024?廣東江蘇?高考真題)甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)

有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自

從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得。分，

然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后，甲的總得分不小于

2的概率為.

【答案】1/0.5

【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.

【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為Xi，X2，X3，X4,四輪的總得分為X.

對(duì)于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在

該輪得分的概率P(Xk=1)=2=|,所以=|(fc=1,2,3,4).

4X4oo

4

從而E(X)=E(X]+X2+X3+X。=XLiEg=￥|=*

—k=182

記Pk=P(X=fc)(fc=0,1/2,3).

如果甲得。分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出2,4,6,8,所以「0=2=或；

如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出8,2,4,6,所以「3=專=最

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故po+pi+「2+P3=LPi+2P2+3「3=E(X)=|.

所以Pl+P2+a=1,Pl+2p2+^=I，兩式相減即得P2+2=3故P2+P3=*

所以甲的總得分不小于2的概率為%+p3=l-

故答案為:

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量問題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從

而避免繁瑣的列舉.

21.(2024.上海.高考真題)某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有4B、C3種題庫，4題庫有5000道題，B題庫有

4000道題，C題庫有3000道題.小申已完成所有題，已知小申完成4題庫的正確率是0.92,B題庫的正確率

是0.86,C題庫的正確率是0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是.

【答案】0.85

【分析】求出各題庫所占比，根據(jù)全概率公式即可得到答案.

【詳解】由題意知，4B,C題庫的比例為：5:4:3,

各占比分別為W，*

則根據(jù)全概率公式知所求正確率p=卷x0.92+*x0.86+5x0.72=0.85.

故答案為：0.85.

22.(2024.全國甲卷.高考真題)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中無放回地隨機(jī)取

3次，每次取1個(gè)球.記小為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則爪與71之

差的絕對(duì)值不大于1的概率為.

【答案】看

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為為口，第三個(gè)球的號(hào)碼為c,貝b+6-3W2cW

a+b+3,就c的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.

【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有A1=120種，

設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為a,b,第三個(gè)球的號(hào)碼為c,則|亨-與斗

故12c—(a+b)|<3,故—3<2c—(a+b)<3,

故a+b—3s2cWa+b+3,

若c=L則a+b/5,則(a,b)為：(2,3),(3,2),故有2種，

若c=2,則l=a+bW7,則(a,b)為：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10種，

當(dāng)c=3,則3Wa+bW9,則(a,b)為:

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16種,

當(dāng)c=4,則5Wa+bWll,同理有16種，

當(dāng)c=5,^]7<a+b<13,同理有10種，

當(dāng)c=6,貝U9Wa+bW15,同理有2種，

共巾與ri的差的絕對(duì)值不超過!時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為2(2+10+16)=56,

故所求概率為言=看

故答案為：(

23.(2024?天津?高考真題)某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，

分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加

每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為;己知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整

地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為.

【答案】||

【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.

【詳解】解法一：列舉法

給這5個(gè)項(xiàng)目分別編號(hào)為4B,C,D,E,P,從五個(gè)活動(dòng)中選三個(gè)的情況有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況，

其中甲選到4有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

則甲參加“整地做畦”的概率為：P=2=|；

乙選2活動(dòng)有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再選擇。有3種可能性：ABD.ACD.ADE,

故乙參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為;=；.

62

解法二：

設(shè)甲、乙選到力為事件M,乙選到。為事件N,

則甲選到4的概率為P(M)=|=|；

￡|

乙選了4活動(dòng)，他再選擇。活動(dòng)的概率為P（N|M）=喘=魯=J

1ylVijZ

C5

故答案為：|；|

24.（2023?上海?高考真題）國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是衡量地區(qū)經(jīng)濟(jì)狀況的最佳指標(biāo)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,

某市在2020年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP穩(wěn)步增長(zhǎng)，第一季度和第四季度的GDP分別為231和242,且四

個(gè)季度GDP的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則2020年GDP總額為；

【答案】946

【分析】設(shè)第二季度、第三季度分別為x,y,利用平均數(shù)和中位數(shù)概念列出方程，解出即可.

【詳解】GDP穩(wěn)步增長(zhǎng)說明四個(gè)季度已經(jīng)從小到大排列，設(shè)第二季度、第三季度分別為x,y,所以中位數(shù)即

為等

因?yàn)橹形粩?shù)與平均數(shù)相等，所以231+x+y+242=4x等nx+y=473,

所以2020年GDP總額：231+242+473=946.

故答案為：946.

25.（2023?天津?高考真題）把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，三個(gè)

箱子中的球數(shù)之比為5:4:6.且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%.若從每個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出一球，

則三個(gè)球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機(jī)摸出一球,則該球是白球的概率為1.

【答案】0.05|/0.6

【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；

根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個(gè)空.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為5n,4珥6n,所以總數(shù)為15幾，

所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為40%x5n=2n,白球個(gè)數(shù)為3幾；

乙盒中黑球個(gè)數(shù)為25%x4n=n,白球個(gè)數(shù)為3n；

丙盒中黑球個(gè)數(shù)為50%x6n=3n,白球個(gè)數(shù)為3zi；

記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件4所以，

PQ4）=0,4x0.25x0.5=0.05；

記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件B,

黑球總共有2n+n+3?i=6n個(gè)，白球共有9n個(gè)，

所以,P（B）=2T.

15n5

故答案為：0.05；|.

四、解答題

26.（2025?全國一卷?高考真題）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)

調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表:

超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計(jì)8002001000

(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為尸，求P的估計(jì)值；

(2)根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

2_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(x2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】⑴A

⑵有關(guān)

【分析】(1)根據(jù)古典概型的概率公式即可求出;

(2)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，求出,2,然后與小概率值a=0.001對(duì)應(yīng)的臨界值10.828比較，即可判斷.

【詳解】(1)根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的200人中有180人患病，所以p的估計(jì)值為黑=總；

(2)零假設(shè)為H。：超聲波檢查結(jié)果與患病無關(guān)，

1000X(20X20-780X180)2

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，z2==765,625>10.828=%,

800x200x800x2000001

根據(jù)小概率值a=0.001的f獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷小不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推

斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.

27.(2025?上海?高考真題)2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國獲得了男子4x100米混合泳接力金牌.以下是歷屆

奧運(yùn)會(huì)男子4X100米混合泳接力項(xiàng)目冠軍成績(jī)記錄(單位：秒)，數(shù)據(jù)按照升序排列.

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

(1)求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；

⑵從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率；

(3)若比賽成績(jī)y關(guān)于年份尤的回歸方程為y=-0.311%+務(wù)，年份尤的平均數(shù)為2006,預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)

的成績(jī)(精確到0.01秒).

【答案】(1)10.15；210.015；

(3)204.56

【分析】(1)由最長(zhǎng)與最短用時(shí)可得極差，由中間兩數(shù)平均數(shù)可得中位數(shù)；

(2)由古典概型概率公式可得；

(3)先求成績(jī)平均數(shù)歹，再由(筋刃在回歸直線上，代入方程可得6,再代入年份預(yù)測(cè)可得.

【詳解】(1)由題意，數(shù)據(jù)的最大值為216.93,最小值為206.78,

則極差為216.93-206.78=10.15；

數(shù)據(jù)中間兩數(shù)為209.35與210.78,

[TT[I\.\ut.sr209.35+210.68l

則t中位數(shù)為---------=210.015.

故極差為10.15,中位數(shù)為210.015；

(2)由題意，數(shù)據(jù)共10個(gè)，211以上數(shù)據(jù)共有4個(gè)，

故設(shè)事件4="恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上”，

則「(力)=等1=強(qiáng)

故恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率為2；

(3)由題意，成績(jī)的平均數(shù)

206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93

10

=211.399,

由直線y=-0.311%+】過(2006,211.399),

貝痂=211.399+0.311x2006=835.265,

故回歸直線方程為y=-0.311%+835.265.

當(dāng)x=2028時(shí),y=-0.311x2028+835.265=204.557a204.56.

故預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的成績(jī)?yōu)?04.56秒.

28.(2025?全國二卷?高考真題)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個(gè)球勝者得1分，負(fù)者得。分.設(shè)每個(gè)球

甲勝的概率為p?<p<1),乙勝的概率為g,p+q=1,且各球的勝負(fù)相互獨(dú)立，對(duì)正整數(shù)k>2,記「上為

打完k個(gè)球后甲比乙至少多得2分的概率，為打完k個(gè)球后乙比甲至少多得2分的概率.

(1)求P3，P4(用P表示).

(2)若出二也=4,求，

Q4-Q3

(3)證明：對(duì)任意正整數(shù)加，p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<P2m+2-Q2m+2-

3

【答案】⑴P3=p3,p4=p(4-3p)

2

(2)p=-

(3)證明過程見解析

【分析】(1)直接由二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式即可求解；

(2)由題意q3=q%q4=q3(4-3q),聯(lián)立組理=4,p+q=l即可求解；