2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)期末必刷?？碱}

之相交線與平行線

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?吉安縣一模）光線從空氣斜射向水中時(shí)會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，矩形ABFE為盛滿水的水槽、一束光

線從點(diǎn)尸射向水面上的點(diǎn)。，折射后照到水槽底部的點(diǎn)C測(cè)得a=40°,0=30°,若尸、。、B三點(diǎn)

在同一條直線上，則的度數(shù)為（）

C.20°D.10°

2.（2025春?昌樂縣校級(jí)期中）古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的設(shè)計(jì)，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)，將房

梁中的一些圖形抽象出如圖所示的幾何模型.在三角形A3C中，點(diǎn)、D,E,尸分別在邊AB,AC,BC

上，DF//AC,/C=/EDF,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

C./BFD=NAEDD.ZB+ZCED=180°

3.（2025?佛山一模）將一個(gè)直角三角尺與兩邊平行的紙條如圖放置，若Nl=50°,則下列正確的是（）

C.Z3=140°D.Z2=40°

4.（2025?南山區(qū)校級(jí)一模）為方便市民綠色出行，我市推出了共享單車服務(wù)，圖①是某品牌共享單車放

在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中A3、CD都與地面/平行，ZBCD=60°,ZBAC=50°,

當(dāng)/MAC為（）度時(shí)，AM平行于支撐桿CE.

D.115

5.（2024秋?蕭縣期末）如圖，將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)。按如圖方式疊放在一起,

若則/AOC一定可以表示為（）

A.2aB.180°-aC.90°+aD.360°-4a

1

6.（2025春?沈陽(yáng)期中）若一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的5少20°,則這個(gè)角的度數(shù)是（

A.30°B.40°C.45°D.60°

7.（2025?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）一束平行于主光軸的光線（AB//OFO射向凹透鏡，點(diǎn)尸1,歹2均為焦點(diǎn).光

線經(jīng)過凹透鏡后折射方向如圖所示，若/1=132。，則/2的度數(shù)為（）

A.45°B.48°C.50°D.52°

二.填空題（共5小題）

8.（2024秋?鐵鋒區(qū)期末）如圖，/4。2=90°，直線經(jīng)過點(diǎn)O,/AOC=130°,則

A.

C0\-D

B

9.（2024秋?衡東縣期末）如圖，將三個(gè)三角板直角頂點(diǎn)重疊在一起，公共的直角頂點(diǎn)為點(diǎn)B,若NABE

=45°,ZGBH=3Q°,那么的度數(shù)為.

10.（2025?東臺(tái)市一模）如圖，燒杯內(nèi)液體表面AB與燒杯下底部CD平行，光線所從液體中射向空氣時(shí)

發(fā)生折射，光線變成四，點(diǎn)G在射線EF上.已知,NFED=55°,則NGEF/的度數(shù)

為__________

11.（2025?淮安一模）如圖，有一塊含有30°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上.如果/2=

12.（2025春?臺(tái)州校級(jí)期中）如圖擺放的一副學(xué)生用直角三角板，ZE=60°,ZB=45°,AB與DE相

三.解答題（共3小題）

13.（2025春?市南區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知四邊形CE5E,點(diǎn)A在BE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在8尸的延長(zhǎng)線

上，連接AD交CE,PC于點(diǎn)G,H,若/AGE=ND,NB=NC.求證：/A=NCHG.

14.（2024秋?埔橋區(qū)期末）如圖，點(diǎn)8、C在線段AO異側(cè)，E、E分別是線段A3、CZ）上的點(diǎn)，EC^BF

分別交于點(diǎn)G和點(diǎn)H.已知/AEG=NAGE,ZDGC=ZC,N8EC+/8EC=180°.求證：EC//

BF.

15.（2025春?廣東校級(jí)期中）綜合與實(shí)踐

【探索發(fā)現(xiàn)】

,ZAPC=75°,ZPC￡)=35°,求證：AB//CD.

（2）某條河流的兩岸各安置了一盞旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖所示，PQ//MN,燈A的光線從AM開始順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)至?V便立即回轉(zhuǎn)，燈B的光線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若

燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒3度，燈8轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度.如果燈B的光線先轉(zhuǎn)動(dòng)10秒，燈A的光線

才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，那么在燈B的光線到達(dá)3。之前，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒時(shí)，兩燈的光束互相平行?

（3）如圖，在（2）的條件下，“如果燈B的光線先轉(zhuǎn)動(dòng)10秒”改為“兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)”，在燈A的光線

到達(dá)4V之前，若兩燈射出的光束交于點(diǎn)C,過C作/ACZ）=135°,CQ交P。于點(diǎn)D,/MAB=135°,

則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請(qǐng)求出N8AC與的數(shù)量關(guān)系.

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)期末必刷?？碱}

之相交線與平行線

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號(hào)1234567

答案DDBCBBB

選擇題（共7小題）

1.（2025?吉安縣一模）光線從空氣斜射向水中時(shí)會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象，矩形ABFE為盛滿水的水槽、一束光

線從點(diǎn)尸射向水面上的點(diǎn)。，折射后照到水槽底部的點(diǎn)C測(cè)得a=40°,0=30°,若尸、。、B三點(diǎn)、

在同一條直線上，則的度數(shù)為（）

A.40°B.30°C.20°D.10°

【考點(diǎn)】對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)“對(duì)頂角相等”得/BOC+0=a,代入數(shù)據(jù)求解即可..

【解答】解：根據(jù)“對(duì)頂角相等”得NBDC+B=a,

Va=40°,p=30°,

：.ZBDC^a-p=10°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)頂角，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

2.（2025春?昌樂縣校級(jí)期中）古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的設(shè)計(jì)，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)，將房

梁中的一些圖形抽象出如圖所示的幾何模型.在三角形ABC中，點(diǎn)E,尸分別在邊AB,AC,BC

上，DF//AC,ZC=ZEDF,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.DE//BCB.NADE=/B

C.ZBFD=ZAEDD.ZB+ZC￡￡>=180°

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)DF//AC,可得NC=。網(wǎng)，由NC=NEZ）F,等量代換得到/即/，進(jìn)而推出

DE//BC,再結(jié)合平行線的性質(zhì)逐一判斷即可.

【解答】W：-DF//AC,

...NC=￡>FB（兩直線平行，同位角相等），

'：ZC=ZEDF,

：./DFB=ZEDF（等量代換），

C.DE//BC,故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

...NADE=/B（兩直線平行，同位角相等），故選項(xiàng)8正確，不符合題意；

ZAED=ZC,

：.ZAED=ZBFD,故選項(xiàng)C正確，不符合題意；

.?.ZB+ZBDE=180°,

?//CED與NBDE不一定相等，

N3+/CED不一定等于180°,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是平行線判定定理及性質(zhì)的熟練掌握.

3.（2025?佛山一模）將一個(gè)直角三角尺與兩邊平行的紙條如圖放置，若Nl=50°,則下列正確的是（）

A.Z5=130°B.Z4=40°C.Z3=140°D.Z2=40°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】B

【分析】由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出/3=130°,由平行線的性質(zhì)推出/2=N1=5O°,Z5+Z4=180°,由

平角定義得到N4=40°,求出N5=140°.

【解答】解:VZ1=5O°,

.?.Z3=180°-50°=130°,

故C不符合題意；

???紙條的上下兩邊平行，

.?.Z2=Z1=5O°,Z5+Z4=180°,

故。不符合題意；

VZ4=180°-90°-50°=40°,

.?.Z5=140°,

故A不符合題意，8符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出N2=/l=50°,Z5+Z4=180°.

4.（2025?南山區(qū)校級(jí)一模）為方便市民綠色出行，我市推出了共享單車服務(wù)，圖①是某品牌共享單車放

在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中AB、CD都與地面/平行，ZBCD=60°,ZBAC=50°,

當(dāng)/MAC為（）度時(shí)，AM平行于支撐桿CE.

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；平行線的判定.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得/A8C=/BCD=60°,從而利用三角形內(nèi)角和定理可得：ZACB=

70°,然后利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可解答.

【解答】M：,：AB//CD,

：.ZABC=ZBCD=60°,

VZBAC=50°,

ZACB=180°-/BAC-/ABC=70°,

.,.當(dāng)NAMC=NACB=70°時(shí)，AM平行于支撐桿CE,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

5.（2024秋?蕭縣期末）如圖，將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)。按如圖方式疊放在一起,

若則/AOC一定可以表示為（）

A.2aB.180°-aC.90°+aD.360°-4a

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角；角的概念.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)余角的定義先求出NA。。，再根據(jù)角的和差即可得出答案.

【解答】解：'：ZBOD=a,ZAOB=ZCOD=90a,

：.ZAOD=9Q°-/BOD=90°-a,

AZAOC^ZAOD+ZCOD^90°-a+90°=180°-a.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角的定義，熟練掌握余角的定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2025春?沈陽(yáng)期中）若一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的］少20°,則這個(gè)角的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.45°D.60°

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為a,則它的余角為90。-a,它的補(bǔ)角為180。-a,根據(jù)題意列出方程，解

出a即可解答.

【解答】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為a,

1

由題意得，90°-a='（180。-a）—20。,

解得：a=40°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握余角和補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)

鍵.

7.（2025?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）一束平行于主光軸的光線（AS//OF1）射向凹透鏡，點(diǎn)為，尸2均為焦點(diǎn).光

線經(jīng)過凹透鏡后折射方向如圖所示，若/1=132°,則/2的度數(shù)為（）

A.45°B.48°C.50°D.52°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】B

【分析】首先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出/A8為，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/2.

【解答】解：1=132°,

AZABFi=180°-132°=48°,

'：AB//OF\,

.?.N2=NAB乃=48°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì).

二.填空題（共5小題）

8.（2024秋?鐵鋒區(qū)期末）如圖，/AOB=90°,直線C￡）經(jīng)過點(diǎn)。,NA。C=130°,則N8。。=40°

A.

C0\-D

B

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由平角定義得到/4?。=180。-NAOC=50°,再由角的和差求解即可得到答案.

【解答】解：：直線CD經(jīng)過點(diǎn)。，ZAOC=130°,

AZAOD=180°-ZAOC=50°,

VZAOB=90°,

:./BOD=90°-NA。。=40°,

故答案為：40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何圖形中求角度，根據(jù)圖形，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確識(shí)別圖形是解決問題的關(guān)鍵.

9.（2024秋?衡東縣期末）如圖，將三個(gè)三角板直角頂點(diǎn)重疊在一起，公共的直角頂點(diǎn)為點(diǎn)B,若/ABE

=45°,/GBH=30°,那么NFBC的度數(shù)為15°.

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角.

【專題】線段、角、相交線與平行線.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)乙鉆￡=45°,由角的和差關(guān)系求出NC8G,再根據(jù)NGBH=30°,由角的和差關(guān)系求出

ZFBG,最后根據(jù)NCBG進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：：/ABE=45°,

；./CBE=45°,

：.ZCBG=45°,

■:/GBH=30°,

：.ZFBG=60°,

；.NFBC=NFBG-NCBG=60°-45°=15°.

故答案為：15°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余角和補(bǔ)角，角的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出角的度數(shù)，要能根據(jù)圖形找出角

之間的關(guān)系.

10.（2025?東臺(tái)市一模）如圖，燒杯內(nèi)液體表面與燒杯下底部CD平行，光線跖從液體中射向空氣時(shí)

發(fā)生折射，光線變成尸H,點(diǎn)G在射線EF上.已知,ZFED=55°,則/GF”的度數(shù)為

36°.

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】36°.

【分析】先根據(jù)兩直線平行，同位角相等得出NGFB=/FEQ=55°,再根據(jù)/GFH=/GEB-

計(jì)算即可.

【解答】解：ZFED=55°,

:.NGFB=NFED=55°,

:/HFB=19°,

：.ZGFH=ZGFB-ZHFB=55°-19°=36°.

故答案為：36°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

11.（2025?淮安一模）如圖，有一塊含有30°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上.如果/2=

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】依據(jù)/A8C=60°,Z2=44°,即可得到/E8C=16°,再根據(jù)BE〃C。，即可得出/1=/

EBC=\6°.

【解答】解：如圖，：/ABC=60°,/2=44°,

.\Z￡BC=16°,

'：BE//CD,

：.Z1=ZEBC=16°,

故答案為：16°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

12.（2025春?臺(tái)州校級(jí)期中）如圖擺放的一副學(xué)生用直角三角板，ZE=60°,NB=45°,A8與。E相

交于點(diǎn)G,當(dāng)EP〃BC時(shí)，則/EG8的度數(shù)是105°.

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】105°.

【分析】過點(diǎn)G作”G〃8C,則有ZHGE=ZE,又因?yàn)?E=60°,ZB=45°,有/

EGB=ZHGE+ZHGB,即可得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)G作HG〃8C,

EF

D

BC

由條件可知GH//BC//EF,

:./HGB=/B,/HGE=/E,

由條件可知/EG8=/HGE+/HG8=60°+45°=105°,

故答案為：105°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

三.解答題（共3小題）

13.（2025春?市南區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知四邊形CFBE,點(diǎn)A在8E的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在8尸的延長(zhǎng)線

上，連接AO交CE,FC于點(diǎn)G,H,若NAGE=/D,NB=NC.求證：ZA=ZCHG.

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】見解析.

【分析】先證明GE〃B。，得出/C=/CED,進(jìn)而得出/CEB,再證明C尸〃A8,最后根據(jù)平行

線的性質(zhì)即可得證.

【解答】證明：：/AGE=/Z）,

J.GE//BD（同位角相等，兩直線平行），

.../C=/CFD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

又/B=NC,

：.ZB=ZCFB,

J.CF//AB,

：.ZA=ZCHG.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是平行線判定定理及性質(zhì)的熟練掌握.

14.（2024秋?埔橋區(qū)期末）如圖，點(diǎn)8、C在線段異側(cè)，E、/分別是線段A3、CQ上的點(diǎn)，EC^BF

分別交于點(diǎn)G和點(diǎn)"已知/AEG=NAGE,/DGC=/C,/BEC+/BFD=180°.求證：EC//

BF.

B

E

c

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】見解析.

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：VZAEG=ZAGE,ZC=ZDGC,ZAGE=ZDGC,

：./AEG=NC,

：.AB//CD；

:./B=NBFD,

VZBEC+ZBF￡)=18O0,

AZB+ZB￡C=180°,

J.BF//CE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

15.(2025春?廣東校級(jí)期中)綜合與實(shí)踐

【探索發(fā)現(xiàn)】

(1)已知：如圖，NBA尸=40°,ZAPC=75°,/PCD=35°,求證：AB//CD.

(2)某條河流的兩岸各安置了一盞旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖所示，PQ//MN,燈A的光線從AM開始順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈8的光線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若

燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒3度，燈2轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度.如果燈B的光線先轉(zhuǎn)動(dòng)10秒，燈A的光線

才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，那么在燈8的光線到達(dá)8。之前，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒時(shí)，兩燈的光束互相平行？

MAN

【拓展延伸】

(3)如圖，在(2)的條件下，“如果燈B的光線先轉(zhuǎn)動(dòng)10秒”改為“兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)”，在燈A的光線

到達(dá)AN之前，若兩燈射出的光束交于點(diǎn)C,過C作/ACO=135°,C。交PQ于點(diǎn)/K4B=135°,

則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請(qǐng)求出N3AC與的數(shù)量關(guān)系.

QBDP

MAN

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；一元一次方程的應(yīng)用.

【專題】推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)20或68秒;

(3)ZBAC=3ZBCD.

【分析】(1)過P作根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/QB4=N8AP=40°,根據(jù)角的和差關(guān)系可求

出NCPQ=35°=/Z)CP,根據(jù)平行線的判定可得產(chǎn)。〃8,最后根據(jù)平行線的傳遞性即可得證；

(2)設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)f秒時(shí)，兩燈的光束互相平行，分燈A的光線到達(dá)AN之前和之后兩種情況討論，根

據(jù)平行線的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于t的方程求解即可；

(3)根據(jù)題意，得/PBC=(2t)°4c=(3?！?根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NPB4=/MAB=135°,

由角的和差關(guān)系求出(3?-135)°,ZABC^(135-2f)°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N

ACB=(180-f)0,由角的和差關(guān)系求出/8CD=(?-45)°,即可求解.

【解答】(1)證明：過P作PQ〃AB,

：.ZQR\=ZBAP=40°,

VZAPC=75°,

：.ZCPQ=ZAPC-ZAPQ=35°,

:/DCP=35°,

：.ZCPQ=ZDCP,

J.PQ//CD,

又,：PQ〃AB,

：.AB//CD-,

(2)解：燈A的光線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN所用時(shí)間為180+3=60秒，燈B的光線從8尸開始

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至8。所用時(shí)間為180+2=90秒，

設(shè)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)f秒時(shí)，兩燈的光束互相平行，

當(dāng)0C/W60時(shí)，設(shè)AM'與PQ交于M',如圖，

ZPM'A^ZMAM'=(3f)°,

'：AM'//BP',

：.ZMAM'=ZPBP'=2(?+10)°,

：.3t=2(7+10),

解得f=20；

當(dāng)60<fW90-10,即60<fW80時(shí)，設(shè)AM'與PQ交于M',如圖,

:./PM'A=ZMAM'=180X2-3t=(360-3?)0,

'JAM'//BP',PQ//MN,

四邊形AM'BP'是平行四邊形，

AZMAM'=NPBP'=2(r+10)°,

A360-3t=2G+10),

解得Z=68；

綜上，當(dāng)燈A轉(zhuǎn)動(dòng)20或68秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；

(3)解：：燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒3度，燈8轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度,

:./PBC=(2力0,ZMAC=(3?)°,

\'PQ//MN,

：.ZPBA=ZMAB=135°(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

J.ZBAC^ZMAC-ZMAB^(3/-135)°,/ABC=/PBA-/PBC=(135-2/)°,

AZACB=180°-ABAC-ZABC=180°-(3-135)°-(135-2r)°=(180-/)0,

VZACD=135°,

ZBCD^ZACD-ZACB^(f-45)°,

又；NBAC=(3t-135)°=3(-45)°,

:./BAC=3/BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問題

的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解.

考點(diǎn)卡片

1.一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=等乂100%）；（4）工程問題（①工作量=人均效率X人數(shù)

進(jìn)價(jià)

X時(shí)間；②如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度義時(shí)間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差,倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求

的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、

求解、作答，即設(shè)、歹人解、答.

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟

1.審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系.

2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)（尤），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù).

3.歹（J：根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

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