全國卷五年四考的“端點”效應(yīng)與應(yīng)用

一.何為端點效應(yīng)

端點效應(yīng)的原理：

1.必要條件縮小范圍：

①若/(x,a)20(。為參數(shù))在口力](凡。為常數(shù))上恒成立，則/(x)在區(qū)間端點處也成立,

If(G*°此法應(yīng)用于區(qū)間端點值包含參數(shù)的情況.

②若/@a)N0(a為參數(shù))在[a,"(a/為常數(shù))上恒成立，且/(。)=0(或/'(〃)=0),則

尸(a)20或(/(。)<0).此法應(yīng)用于區(qū)間端點的函數(shù)值為零的情況.

r1[/(?)=0ff(b)=0

③若/(x)NO(a為參數(shù))在為常數(shù))上恒成立，且，或,，則

'f(a)=0l/W=0

/"(a)20或.此法應(yīng)用于區(qū)間端點的函數(shù)值為零且導(dǎo)數(shù)值也為零的情況.

2.充分性求結(jié)果：

求廣(力判斷以X)的單調(diào)性，然后表示/(%)的最小值/(x)min,使得/(x)min>0即可.

注意第2步一定要利用第一步中的參數(shù)的范圍.

但是，有時候我們用端點效應(yīng)得出的并非最終的答案，那么究竟何時才能用端點效應(yīng)？下

面對一類函數(shù)做出詳細(xì)分析.

二.相關(guān)理論背景四

定理1.若廣(x)、F'\x)在[0,+oo)都有意義，F(xiàn)(0)=0,P'(x)》0,則對于任意交0,都有

R(x)》P(0)x恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立).進(jìn)一步，對于任意x20,都有

F(x)*恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍為(-*F(0)].

證明：設(shè)G(x)=F(x)-尸(0)x(x20),則G(0)=0,G'(x)=F'(x)-F'(0),故滿足：

G"(x)=尸'(x)》0,即G(x)單調(diào)遞增，G(x))0,則F(x)-廣(0)x20(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時

等號成立).從而,對于任意珍0,都有F(x)^Fr(O)x恒成立，對于任意x20,都有

F(x)*恒成立,故實數(shù)a的取值范圍為(-9F(0)].

定理2.若尸(x),尸，(x),F"(x)在［0,+00)都有意義，F(xiàn)(0)=0,F'"(x)》0,則對于任意以0,

都有F(X)^1F"(0)X2恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號).進(jìn)一步，對于任意龍20,都有

恒成立，那么實數(shù)。的取值范圍為1-oo,心尸'(0).

證明：設(shè)G(x)=F(x)-1R〃(0)/(x20),則G(0)=0,G'(x)=F\x)-F'\Q)x

那么就有：G'(0)=F(0),G〃(x)=尸'(乃—b〃(0),。'(0)=0,于是。"(％)=尸"。)》0,故

G〃(x)單調(diào)遞增，G〃(x)》0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號)，G(x)單調(diào)遞增，G(x)》0(當(dāng)且僅當(dāng)

x=0取等號)，對于任意的x20,F(x彥|Fr/(0)x2恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號).于是，

對于任意珍0,都有為?》。/恒成立，那么實數(shù)。的取值范圍為1—oo,心r〃(0).

上述定理不等號反向時亦然，此處不再贅述，具體可見相關(guān)參考文獻(xiàn).

三.定理應(yīng)用，滿足定理的兩個案例

例1.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理))已知函數(shù)〃x)=(l-ax)ln(l+x)r.

(1)當(dāng)°=-2時，求的極值；

(2)當(dāng)x?0時，“x)20恒成立，求”的取值范圍.

例2.已知函數(shù)/(x)=ln—J+ax+b(x-l)3

2-x

(1)若b=0,且尸(x)NO,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

(3)若當(dāng)且僅當(dāng)1<X<2,求b的取值范圍.

gch”、sinx(7i\

例3.已知/(x)=ax----------,x€0,—.

cosx<2)

(1)當(dāng)〃=8時，討論了(%)的單調(diào)性；

(2)若/(%)<sin2x,求〃的取值范圍.

例4.已知函數(shù)/(x)=xe以—e"

(1)當(dāng)〃=1時，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時，求〃的取值范圍；

(3)設(shè)幾wN*,證明：/I+/1+...+>ln(n+1)?

Jl2.1J-)2.O,二2,M

四.定理失效(端點效應(yīng)失效)

例5.(2020全國1卷)已知函數(shù)/(%)=—+以2一元.

(1)當(dāng)。=1時，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)入20時，/(x)>-x3+l,求。的取值范圍.

已知含參函數(shù)g(x),在區(qū)間L+oo)上g(%)20恒成立，求參數(shù)范圍.可采用下面方法進(jìn)行

必要性探路：

⑴.求出函數(shù)的零點，即由g(Xo)=O,g'(Xo)=O解出/(可能不只一個)；

(2).求出參數(shù)的取值范圍，即由g(Xo)=0,g'(Xo)20或g(/)=0,g<Xo)=0,

g”(x0)20,或g(x0)>0送'(%)20等求出參數(shù)的取值范圍.

例6.已知函數(shù)/(x)=e*+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)xNO時，/(%)>-x3+l,求。的取值范圍.

★五.更多練習(xí)

1.(江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)2025屆高三二模)已知函數(shù)/(x)=sinx,g(x)=e：aeR.

(1)若曲線y=/(x)在點。(0,0)的切線也是曲線y=g(x)的切線，求。的值；

(2)討論函數(shù)/?(%)=—在區(qū)間(0,+oo)上的單調(diào)性；

g(x)

(3)若f(x)g(x)<x對任意尤e(0,+oo)恒成立,求。的取值范圍.

2.(浙江省寧波市2025屆高三二模)已知函數(shù)〃x)=ln(x+l)+"2_x(qeR).

(1)當(dāng)a=l時，討論“⑼的單調(diào)性；

(2)當(dāng)尤20時，“X”。恒成立，求。的取值范圍；

(3)求證：當(dāng)時，1+*+(+…+1<21n(w+1).

3.已知函數(shù)/(x)=e，-1-asinx,若/1(x)20在［0,句上恒成立，求實數(shù)°的取值范圍.

(提示：直接端點效應(yīng)與必要性探路)

4.已知函數(shù)/(尤)=sinx-x+加(aeR).

(1)當(dāng)。=0時，試比較“X)與0的大小；

(2)若恒成立，求。的取值范圍.

(“內(nèi)點”效應(yīng)解題)

5.已知函數(shù)“無)=2(九一2)lnx+G?-1.

(1)當(dāng)a=0時，求曲線_y=/(x)在點處的切線方程;

(2)若〃司20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

(這個你就得自己判斷了)

全國卷五年四考的“端點”效應(yīng)與應(yīng)用

一.何為端點效應(yīng)

端點效應(yīng)的原理：

1.必要條件縮小范圍：

①若/(x,a)20(。為參數(shù))在口力](凡。為常數(shù))上恒成立，則/(x)在區(qū)間端點處也成立,

If(G*°此法應(yīng)用于區(qū)間端點值包含參數(shù)的情況.

②若/@a)N0(a為參數(shù))在[a,"(a/為常數(shù))上恒成立，且/(。)=0(或/'(〃)=0),則

尸(a)20或(/(。)<0).此法應(yīng)用于區(qū)間端點的函數(shù)值為零的情況.

r1[/(?)=0ff(b)=0

③若/(x)NO(a為參數(shù))在為常數(shù))上恒成立，且，或,，則

'f(a)=0l/W=0

/"(a)20或.此法應(yīng)用于區(qū)間端點的函數(shù)值為零且導(dǎo)數(shù)值也為零的情況.

2.充分性求結(jié)果：

求廣(力判斷以X)的單調(diào)性，然后表示/(%)的最小值/(x)min,使得/(x)min>0即可.

注意第2步一定要利用第一步中的參數(shù)的范圍.

但是，有時候我們用端點效應(yīng)得出的并非最終的答案，那么究竟何時才能用端點效應(yīng)？下

面對一類函數(shù)做出詳細(xì)分析.

二.相關(guān)理論背景四

定理1.若廣(x)、F'\x)在[0,+oo)都有意義，F(xiàn)(0)=0,P'(x)》0,則對于任意交0,都有

R(x)》P(0)x恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立).進(jìn)一步，對于任意x20,都有

F(x)*恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍為(-*F(0)].

證明：設(shè)G(x)=F(x)-尸(0)x(x20),則G(0)=0,G'(x)=F'(x)-F'(0),故滿足：

G"(x)=尸'(x)》0,即G(x)單調(diào)遞增，G(x))0,則F(x)-廣(0)x20(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時

等號成立).從而,對于任意珍0,都有F(x)^Fr(O)x恒成立，對于任意x20,都有

F(x)*恒成立,故實數(shù)a的取值范圍為(-9F(0)].

定理2.若廣(x),F”(x),F"(x)在[0,+00)都有意義，F(xiàn)(0)=0,F"(x)》0,則對于任意以0,

都有F(X)^1F"(0)X2恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號).進(jìn)一步，對于任意龍20,都有

恒成立，那么實數(shù)。的取值范圍為1-oo,心尸'(0).

證明：設(shè)G(x)=F(x)-1R〃(0)/(x20),則G(0)=0,G'(x)=F\x)-F'\Q)x

那么就有：G'(0)=F(0),G〃(x)=尸'(乃—b〃(0),。'(0)=0,于是。"(％)=尸"。)》0,故

G〃(x)單調(diào)遞增，G〃(x)》0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號)，G(x)單調(diào)遞增，G(x)》0(當(dāng)且僅當(dāng)

x=0取等號)，對于任意的x20,F(x彥|Fr/(0)x2恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號).于是，

對于任意珍0,都有為?》。/恒成立，那么實數(shù)。的取值范圍為1—oo,心r〃(0).

上述定理不等號反向時亦然，此處不再贅述，具體可見相關(guān)參考文獻(xiàn).

三.定理應(yīng)用，滿足定理的兩個案例

例1.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理))已知函數(shù)〃x)=(l-ax)ln(l+x)r.

(1)當(dāng)°=-2時，求的極值；

(2)當(dāng)x?0時，“x)20恒成立，求”的取值范圍.

解析：(1)略

1—/JV

(2)ff(x)=-aln(l+x)+------1且，(0)=0,繼續(xù)求導(dǎo)可得：

1+x

f'\x)=,/f，(o)=-a-l-a=-2a-l,若尸，(0)<0,即?！怠r，存

在正數(shù)天,當(dāng)xeQ%)時，尸(》)<0,故/'⑴在(0,%)遞減，于是r(x)</'(0)=0,

則/(x)在(0,/)遞減，則/(x)</(0)=0,與題干矛盾！

故尸'(0)=—2a—120,即。三一工，下證當(dāng)aV—工時，x>0,/(x)>0.

22

由于x20,/(x)20+；x}n(l+x)-x,令g(x)=(l+gx]ln(l+x)-x,于是可得

j_J.

g，(x)Jn(l+x)+A-1'g.(x)=：^〉。，故g(x)在［0，+⑹遞增,

2l+x2(x+l)

，g(x)2g(0)=0nae1—oo,一；.

例2.(2024年新課標(biāo)全國I卷)已知函數(shù)/(x)=ln=J+ox+6(x-l)3

2-x

(1)若b=0,且尸(x)N0,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=/。)是中心對稱圖形；

(3)若/(x)>-2當(dāng)且僅當(dāng)1<%<2,求b的取值范圍.

解析：(1),(2)略.

(3)因為〃司>-2當(dāng)且僅當(dāng)l<x<2,故x=l為〃x)=-2的一個解，所以〃1)=-2即

a=-29先考慮1<%<2時，/(%)>—2恒成立.

此時〃力>一2即為In上+2(1-x)+“x-l)3>。在(1,2)上恒成立，設(shè)r=X一1e(0,1),貝！)

2-x

In罟-2/+初3>°在(0,1)上恒成立，設(shè)g(f)=ln吉一2t+歷3je(0,l),則

，/、2”/、4/.???4(1—+8/,,

g(t)=-~^-2+3bt2-,g(?)=--------+6bt,g(t)=----------j—+6b

\7l-t2(l-O2(17)4

2

注意到g(0)=0,g'(0)=0,繼續(xù)求導(dǎo)g(0)=0,g'\0)=6b+S>Q=>b>--

根據(jù)前述定理可知，此時/(x)>-2在(1,2)上恒成立.當(dāng)。<_1,則當(dāng)0</</］<1時,

g'⑺<0故在“亞^］上g⑺為減函數(shù)，故g⑺<g(O)=O,不合題意，舍；綜上，

〉-2在(1,2)上恒成立時b>-j.

例3.(2023年全國甲卷)已知/(%)=ox-■S^DX,xe|0,—

cosx\2)

(1)當(dāng)〃=8時，討論/(%)的單調(diào)性;

(2)若/(九)<sin2尤，求a的取值范圍.

大力Wdm*sinx-sin2%<0在1上恒成立;令g(x)=/(x)-sin2x,則

解析：依題忌，ax----------z—

cosX

g'(x)=a+2-4cos2xH------.............—.

cos"xcos%

.232Q—1)⑵?+2/+3)

令cos-x=/e(0,1),貝！Ih(t)=a+2-4t-\-----3,故h'(t)=--------------------->0,

滿足定理1,故可用端點效應(yīng).

例4.(2022新高考2卷)已知函數(shù)/(x)=xe"-e'.

(1)當(dāng)。=1時，討論AM的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時，/U)<-1,求a的取值范圍；

(3)設(shè)nEN*,證明：J+,1+…+——■>+1).

VF+lV22+2Jn2+n

由題知/'(%)=(ax+l)eax-ex,f'\x)=(a2x+2a)eax-ex,因為/(0)=-l,/'(0)=0,

所以/"(0)=2a—IWO,解得下面證明xe"'—-—1對a<g且x〉0恒成立.

只需證明一/<-1對％>0恒成立=%/——j—對尤〉0恒成立(令t=/>1,

—X

e2

則x=21n1)02hU<①對/〉1恒成立，設(shè)p?)=%-l-21n/?〉1),貝！j

tt

"?)=1+：—：=T匚〉0,所以p?)〉p(l)=0,故①式成立，則a的取值范圍為

(11

-00,—

I2」

四.定理失效(端點效應(yīng)失效)

例5.(2020全國1卷)已知函數(shù)/(%)=靖+以2-%.

(1)當(dāng)〃=1時，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)0時，/(x)>^-x3+1,求〃的取值范圍.

x

解析:令/?(%)=e*+以2_x_i,其中〃(0)=0,〃，(0)=0,則/j(x)=e-3x+2a,

令/z"(0)=e°-3x0+2a=2a+120,則g.

事實上，/z“'(x)="-3x不滿足定理2的內(nèi)容，所以，本題用x=0處的端點效應(yīng)解題是

無法利用定理2得到正確結(jié)果的.事實上，失敗的原因就是函數(shù)在其他地方還有一個零點,

所以，在這種情況下，要確保端點效應(yīng)依然有效，我們就需進(jìn)一步使用下面的方法來尋求

必要性.

已知含參函數(shù)g(x),在區(qū)間［a,+00)上g(x)20恒成立，求參數(shù)范圍.可采用下面方法進(jìn)行

必要性探路：

⑴.求出函數(shù)的零點，即由ga0)=0,g'(Xo)=O解出/(可能不只一個)；

(2).求出參數(shù)的取值范圍，即由8(%)=0送'(%)20或g(Xo)=O,g'(Xo)=O,

g”(Xo)20,或g(x0)>O,g'(xo)20等求出參數(shù)的取值范圍.

例6.(2020全國1卷)已知函數(shù)/(x)=e*+a%2—x.

(1)當(dāng)a=1時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)xNO時，/(x)>|x3+l,求。的取值范圍.

_:

g(%o)-*--^o+謁-x0-1=0,

解析：設(shè)g(x)的零點為與.由<3可得

=

g'(%0)c*—XQ+2Q%O-1—C

、2

[312

QQ

——X+CLXQ_XQ_1-——XQ+2a—1,即cix^(X—2)=-x0(x0-3x0+2),

a%o(%o-2)=g%o(%o-2)(%0-1),(2〃一%+l)%o(%o-2)=0,

解得%=0或％=2.

7—*7_/

令/(0)20,/(2)20=〃2-^—,當(dāng)〃之^^時，/(x)=e、+G:2-x>ex+7-e-x2-x.

4

只需證明e'+^^x2-x>-x3+l(x>0)①式成立.

42

?x(e?—7)/+4x+2d+4.(e—7)+4x+2/+4

①式-----L---------------<4，令/?(%)=-----L---------------(x>0)，

exex

,(13-e2)x2+2(e2-9)x-2x3-x[2x2-(13-e2)^-2(e2-9)1

〃(x)=~~=

fd)[2x+(e=9)],所以當(dāng)x[o,*i]時，旗尤)<0/(x)單調(diào)遞減；

exL2J

當(dāng)xe192。,2],〃(x)>0,/i(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(2,+co),〃(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減.

從而m(x)]max=max{//(0),〃(2)}=4,即h(x)<4,①式成立.所以當(dāng)a2±1時，上，+1

42

7一口2

恒成立.綜上a2人上.

4

★五.更多練習(xí)

1.(江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)2025屆高三二模)已知函數(shù)/(x)=sinx,g(x)=e：aeR.

(1)若曲線y=/(x)在點。(0,0)的切線也是曲線y=g(x)的切線，求a的值；

(2)討論函數(shù)〃(％)==在區(qū)間(0,+oo)上的單調(diào)性；

g(x)

(3)若/(x)g(x)<x對任意xe(0,+s)恒成立，求。的取值范圍.

2.(浙江省寧波市2025屆高三二模)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)+"2-x(aeR).

(1)當(dāng)」=1時,討論〃尤)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)尤20時，恒成立，求。的取值范圍；

(3)求證：當(dāng)"eN"時，1+余+亳+…+1<2-(〃+1).

3.已知函數(shù)/(力=0%-1-〃sinx,若/⑺NO在[0,句上恒成立,求實數(shù)〃的取值范圍.

(提示：直接端點效應(yīng)與必要性探路)

4.已知函數(shù)/(x)=sinx-x+ox2(aeR).

(1)當(dāng)“=0時，試比較〃x)與0的大小；

(2)若恒成立，求。的取值范圍.

(“內(nèi)點”效應(yīng)解題)

5.已知函數(shù)/'(九)=2(尤一2)如龍+小2-1.

(1)當(dāng)a=0時，求曲線y=〃x)在點(1,〃功處的切線方程;

(2)若/(x"0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

(這個你就得自己判斷了)

練習(xí)參考答案：

1.解析：(1)/0)=85%左=((0)=1,，/(乃在點。(0,0)處的切線方程為丁=工.

設(shè)y=x與y=g(x)切于尸(Xo，e-),g'(x)=ae：k=ae妣，因此可得：

ae嘰=11

<=>〃=—.

e嘰=/e

7z\%—1?xe"%—ct^ax(x—1)tz+1—ax

(2)xh(x)=——，〃rz⑴=--------5——-------------

e奴(產(chǎn))產(chǎn)

①當(dāng)-1VaV0時，:工〉0,二.hf(x)>0,h(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)〃<一1時，令〃⑴=o=%="+i

a

且當(dāng)0<x<3時，〃(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減，X〉四時，"(x)〉0,/z(x)單調(diào)遞增

aa

③當(dāng)a〉0時，令〃(x)=Onx=S,且當(dāng)0<x<但時，"(x)〉O,/i(x)單調(diào)遞增;

aa

當(dāng)無〉"I時，h\x)<0,/z(x)單調(diào)遞減

a

(3)sinx<x,即?公$111%—%<0對\/%￡(0,+8)恒成立.

令F(x)=e公sinx-x,F\x)=〃e以sin%+e公cos%—1=(〃sin%+cosx-e")

令9(x)=asinx-\-cosx-e-ax,(p\x)=acosx-sinx+ae一如，/'(0)=2a<Q^a<Q.

下證充分性，當(dāng)440,元〉0時，尸(x)=e"[sin%---J

x

令G(%)=sin%------?sin%-x<0,.,.尸(％)<0恒成立，符合，綜上：〃的取值范圍為

e"

(一8,0]?

2.解析：(1)由題設(shè)〃無)=ln(x+l)+尤2-尤，貝[J-(無)=_1^+2尤一1=必&誓且x>-l,

?X十_LJiII

當(dāng)-r(x)>。，即在(一i,-'上單調(diào)遞增，

當(dāng)-；<x<0,((無)<0,即/(尤)在(-go)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x>0,r(x)>0,即“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

(2)由題設(shè)/(力=士+2辦-1,令g(x)=尸(x),貝!jg'(尤)=一號講+2。，

對x20時，/⑺之。恒成立，且/(。)=-(0)=0,只需g'(0)=T+2a20,即。同，

另一方面，心；時，g'(x)-±+24一日雙

所以g。)=尸(力在[0,+向上單調(diào)遞增，貝!I尸(力學(xué)尸(0)=0,

所以〃x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，貝！)/(尤)2/⑼=。，滿足題設(shè)，

綜上，a^―；

(3)由(2)取a=1，在(0,+8)上“x)=ln(x+l)+^■-x>0,

令工=7，左wN*,貝!1ln[4+l)>)—，即2[ln(Z+1)-In左]〉———,

k)K2kk

所以￡2［ln(Z+l)-1放］>￡與4，貝！)1+±+,…+和」<21n(n+l),得證.

k=ik=ik23n

xnx

3.解析：由題意，注意到/(0)=0,f'^x)=e-acosx9XG［O,^］,f^x)=e+asinx,

令/(。)=1-

當(dāng)時，ex-l>0,tzsinx<0,所以=-l-〃sin%20,滿足題意；

當(dāng)0<〃41時，f'\x)=ex+tzsinx>0,所以;(x)在［0,句上單調(diào)遞增,結(jié)合/,(0)=1-?>0

知/x(x)>0,從而“力在［0,句上單調(diào)遞增，又"0)=0,所以〃力20恒成立,滿足題意；

當(dāng)〃>1時，f'\x)=ex+?sinx>0,所以尸(x)在［0,?］上單調(diào)遞增，

結(jié)合（（0）=1-a<0,尸〔口=/>0可得/。）在［0《］上有唯一的零點七,

且當(dāng)0V尤<x0時，/（x）<0,所以〃x）在［0,*上單調(diào)遞減，

又/（0）=0,所以當(dāng)XE（O,%o）時，/（x）<0,從而“力20不能恒成立，不合題意;

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為（-8』.

4.解析：(2)由于/(%)=sin%?%+如2,貝!|—(%)=cosx+2ax—1

2

,fsinx-x+(2x=01sinx…八7_

令<=>cosx+1=-----=%=(2k+1)%,keZ

COSX-1+2(2%=0x

且x=(2左+1)乃要滿足上述方程組，故令/(乃)20na24