山東省新泰市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編達(dá)標(biāo)測(cè)試考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個(gè)木材，鋸口深等于1寸，鋸道長(zhǎng)1尺，則圓形木材的直徑是（

）（1尺=10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸2、下列各組數(shù)：①3、4、5

②4、5、6

③2.5、6、6.5

④8、15、17，其中是勾股數(shù)的有(

)A．4組 B．3組 C．2組 D．1組3、如圖，在矩形ABCD中，，將△ABD沿對(duì)角線BD對(duì)折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．64、如圖，已知點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是()A．48 B．60C．76 D．805、如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中有9個(gè)格點(diǎn)，已經(jīng)取定點(diǎn)A和B，在余下的點(diǎn)中任取一點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形的概率是（

）A． B． C． D．6、已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3和4，那么這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為（

）A．5 B．25 C． D．5或7、如圖，在水塔O的東北方向24m處有一抽水站A，在水塔的東南方向18m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管AB的長(zhǎng)為（

）A．40m B．45m C．30m D．35m第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．2、小聰準(zhǔn)備測(cè)量河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊遠(yuǎn)的水底，竹竿高出水面，把竹竿的頂端拉向岸邊，竹竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為__________．3、《九章算術(shù)》中記載著這樣一個(gè)問題：已知甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7步/分，乙的速度為3步/分，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？解：如圖，設(shè)甲乙兩人出發(fā)后x分鐘相遇．根據(jù)勾股定理可列得方程為______．4、如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是__．5、我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：一根竹子高1丈（1丈=10尺），折斷后頂端落在離竹子底端3尺處，問折斷處離地面的高度為多少尺？如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)題意，可列出關(guān)于x方程為:__________.6、如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為__________．7、云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會(huì)7個(gè)雪上競(jìng)賽場(chǎng)館中唯一利用現(xiàn)有雪場(chǎng)改造而成的．下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場(chǎng)U型池的實(shí)景圖和示意圖，該場(chǎng)地可以看作是從一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去了半個(gè)圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為，其邊緣，點(diǎn)E在上，．一名滑雪愛好者從點(diǎn)A滑到點(diǎn)E，他滑行的最短路線長(zhǎng)為_________m．8、我國(guó)古代九章算術(shù)中有數(shù)學(xué)發(fā)展史上著名的“葭生池中”問題：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問：葭長(zhǎng)幾何？（1丈＝10尺）．意思是：有一個(gè)長(zhǎng)方體池子，底面是邊長(zhǎng)為1丈的正方形，中間有蘆葦，把高出水面1尺的蘆葦拉向池邊（蘆葦沒有折斷），剛好貼在池邊上，問：蘆葦長(zhǎng)多少尺？答：蘆葦長(zhǎng)____________尺．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、如圖，將RtABC紙片沿AD折疊，使直角頂點(diǎn)C與AB邊上的點(diǎn)E重合，若AB＝10cm，AC＝6cm，求線段BD的長(zhǎng)．2、點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與它到點(diǎn)A(-8,2)的距離都等于13,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。3、如圖，高速公路上有A，B兩點(diǎn)相距10km，C，D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)服務(wù)站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，求BE的長(zhǎng)．4、數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這種思想叫“算兩次”．“算兩次”也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，由它可以推導(dǎo)出很多重要的公式．（1）如圖1，是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖2的方式拼成一個(gè)正方形．①用“算兩次”的方法計(jì)算圖2中陰影部分的面積：第一次列式為，第二次列式為，因?yàn)閮纱嗡兴闶奖硎镜氖峭粋€(gè)圖形的面積，所以可以得出等式；②在①中，如果，，請(qǐng)直接用①題中的等式，求陰影部分的面積；（2）如圖3，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為，，的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是的直角三角形拼成一個(gè)梯形，用“算兩次”的方法，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系．5、閱讀理解：課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學(xué)生解決．(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11，_________，_________；(2)若第一個(gè)數(shù)用字母（為奇數(shù)，且）表示，則后兩個(gè)數(shù)用含的代數(shù)式分別怎么表示？聰明的小明發(fā)現(xiàn)每組第二個(gè)數(shù)有這樣的規(guī)律：，，，……于是他很快表示出了第二個(gè)數(shù)為，則用含的代數(shù)式表示第三個(gè)數(shù)為_________．(3)用所學(xué)知識(shí)說明（2）中用表示的三個(gè)數(shù)是勾股數(shù)．6、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？7、如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，，，于A，于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求E應(yīng)建在距A多遠(yuǎn)處？-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】連接OA、OC，由垂徑定理得AC＝BC＝AB＝5寸，連接OA，設(shè)圓的半徑為x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半徑，進(jìn)而直徑可求．【詳解】解：連接OA、OC，如圖：由題意得：C為AB的中點(diǎn)，則O、C、D三點(diǎn)共線，OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝5（寸），設(shè)圓的半徑為x寸，則OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圓材直徑為2×13＝26（寸）．故選：D【考點(diǎn)】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．2、C【解析】【詳解】解：∵32+42=52，①符合勾股數(shù)的定義；∵42+52≠62，②不符合勾股數(shù)的定義；∵2.5和6.5不是正整數(shù)，③不符合勾股數(shù)的定義；∵82+152=172，④符合勾股數(shù)的定義，是勾股數(shù)的有：①④，共2組，故選：C．3、A【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．【詳解】解：∵，，∴AD=，，由折疊可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，∴在Rt中，由勾股定理得：，∴，解得：EF=，故選：A．【考點(diǎn)】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，靈活利用折疊進(jìn)行發(fā)掘條件是解題的關(guān)鍵．4、C【解析】【詳解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=∴S陰影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-=100-24=76.故選：C.5、C【解析】【分析】找到可以組成直角三角形的點(diǎn)，根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】解：如圖，，，，均可與點(diǎn)和組成直角三角形．，故選：C．【考點(diǎn)】本題考查了概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結(jié)果，那么事件的概率（A）．6、D【解析】【分析】分情況討論：①當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊作斜邊時(shí)；②當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊作直角邊時(shí)，利用勾股定理分別求解即可．【詳解】解：當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊作斜邊時(shí)，第三條邊的長(zhǎng)度為；當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊作直角邊時(shí)，第三條邊的長(zhǎng)度為；綜上分析可知，這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為5或，故D正確．故選：D．【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．7、C【解析】【分析】由題意可知東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可．【詳解】解：∵OA是東北方向，OB是東南方向，∴∠AOB=90°，又∵OA=24m，OB=18m，∴30m．故選：C．【考點(diǎn)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．二、填空題1、8【解析】【分析】作交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，在中，，在中,，根據(jù)列出方程即可求解．【詳解】如圖，作交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，則即為BC邊上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案為：8．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關(guān)鍵．2、2【解析】【分析】根據(jù)河水深度、竹竿到岸邊的距離、竹竿長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意畫出示意圖，如圖，則AC=0.5m，，，所以BC即為河水深度，，∵，∴是直角三角形，∴，∴，解得：BC=2（m），故答案為：2．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意畫示意圖找出與所求邊長(zhǎng)相關(guān)線段所構(gòu)成直角三角形是解題關(guān)鍵．3、【解析】【分析】設(shè)甲、乙二人出發(fā)后相遇的時(shí)間為x，然后利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)x秒二人在C處相遇，這時(shí)乙共行AC=3x，甲共行AB+BC=7x，∵AB=10，∴BC=7x-10，又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x-10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x-10)2=(3x)2+102．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形．4、2.5【解析】【分析】首先先過點(diǎn)D作AB的垂直線段DE，根據(jù)勾股定理把BC求出,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出DE=DC，再根據(jù)ABC的面積等于ACD的面積加上ABD的面積，把CD求出，最后BD的長(zhǎng)度即可求出．【詳解】過點(diǎn)D作DEAB于E，在ABC中，C=，AB=5，AC=3，∴，∵AD平分BAC，∴DE=DC，∵，即，解得CD=1.5，∴BD=4-CD=4-1.5=2.5，故答案為：2.5．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理和角平分線的性質(zhì)定理，正確作出輔助線，根據(jù)面積相等把CD求出是解題的關(guān)鍵．5、【解析】【分析】設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程即可【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)題意可得：故答案為：【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6、##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC?BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7、【解析】【分析】根據(jù)題意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，線段AE即為滑行的最短路線長(zhǎng)．在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理即可求出滑行的最短路線長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，線段AE即為滑行的最短路線長(zhǎng)．在Tt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得AE＝（m）．故答案為：【考點(diǎn)】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A柱的側(cè)面展開圖是矩形，利用勾股定理求最短距離．8、13【解析】【分析】設(shè)水深OB=x尺，則蘆葦長(zhǎng)OA'=（x+1）尺，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)水深OB=x尺，則蘆葦長(zhǎng)OA'=（x+1）尺，根據(jù)題意列方程得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12∴OA'=13尺．故答案為：13．【考點(diǎn)】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解．三、解答題1、5【解析】【分析】利用勾股定理先求出的值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出，，，設(shè)，列方程求解即可．【詳解】解：由題意可知：，，則，，，設(shè)，則，∴解方程得：因此，的長(zhǎng)為所以，【考點(diǎn)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．2、或.【解析】【分析】由P到y(tǒng)軸的距離為13，可得P點(diǎn)橫坐標(biāo)為13或-13，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式建立方程求解即可.【詳解】解：∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為13，∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為13或-13當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為13時(shí)，設(shè)P(13,a)由點(diǎn)P到點(diǎn)A(-8,2)的距離等于13得：整理得，無解，故此種情況不存在；當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為-13時(shí)，設(shè)P(-13,a)同理可得整理得，解得或∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.【考點(diǎn)】本題考查直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式與解一元二次方程，熟練掌握公式建立方程是解題的關(guān)鍵.3、4km【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出BE的長(zhǎng)為xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)BE＝xkm，則AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由題意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的長(zhǎng)是4km．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．4、（1）①，，；或，，；②9；（2）【解析】【分析】（1）①第一次求解陰影部分的邊長(zhǎng)，再計(jì)算面積，第二次利用大的正方形的面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，從而可建立等式；②直接利用公式，再整體代入求值即可；（2）第一次利用梯形的面積公式計(jì)算，第二次利用圖形的面積和計(jì)算，從而得到公式，再整理即可得到答案.【詳解】解：（1）因?yàn)樾≌叫蔚倪呴L(zhǎng)為：所以第一次計(jì)算的面積為：，第二次計(jì)算的面積為：，所以：；或，，②∵，∴（3）第一次利用梯形的面積公式圖形面積為：第二次利用圖形的面積和計(jì)算為：整理得：【考點(diǎn)】本題考查的是利用幾何圖形的面積推導(dǎo)代數(shù)公式，掌握等面積法推導(dǎo)兩個(gè)完全平方公式之間的關(guān)系，推導(dǎo)勾股定理是解題的關(guān)鍵.5、(1)60，61(2)(3)見解析【解析】【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一組一組勾股數(shù)：11，60，61；（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；（3）依據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行證明即可．(1)解：∵3、4、5；5、1