指數(shù)函數(shù)專題課后練習(xí)題集一、基礎(chǔ)概念篇（夯實定義與定義域值域）核心目標(biāo)：掌握指數(shù)函數(shù)的嚴(yán)格定義，能準(zhǔn)確求定義域、值域。1.指數(shù)函數(shù)的判定下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？請說明理由。(1)\(y=2^x\)(2)\(y=x^2\)(3)\(y=3^{2x}\)(4)\(y=(-2)^x\)(5)\(y=2^{x+1}\)(6)\(y=1^x\)答案：(1)(3)是指數(shù)函數(shù)。理由：指數(shù)函數(shù)的嚴(yán)格定義為\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a≠1\)，\(x\)為自變量）。(1)符合定義（\(a=2\)，滿足\(a>0\)且\(a≠1\)）；(2)是二次函數(shù)（指數(shù)為常數(shù)，底數(shù)為自變量）；(3)可化簡為\(y=9^x\)（\(a=9\)，符合定義）；(4)底數(shù)\(-2<0\)（不符合\(a>0\)）；(5)系數(shù)為2（不符合“系數(shù)為1”）；(6)底數(shù)\(1\)（不符合\(a≠1\)）。2.定義域與值域求解求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)\(y=\sqrt{2^x-1}\)(2)\(y=\frac{1}{3^x+1}\)(3)\(y=2^{x-1}-3\)(4)\(y=\sqrt{1-0.5^x}\)答案：(1)定義域：\([0,+∞)\)（由\(2^x-1≥0\Rightarrowx≥0\)）；值域：\([0,+∞)\)（\(2^x≥1\Rightarrow\sqrt{2^x-1}≥0\)）。(2)定義域：\(\mathbb{R}\)（\(3^x+1>0\)對所有\(zhòng)(x\)成立）；值域：\((0,1)\)（\(3^x>0\Rightarrow3^x+1>1\Rightarrow0<\frac{1}{3^x+1}<1\)）。(3)定義域：\(\mathbb{R}\)；值域：\((-3,+∞)\)（\(2^{x-1}>0\Rightarrow2^{x-1}-3>-3\)）。(4)定義域：\([0,+∞)\)（由\(1-0.5^x≥0\Rightarrowx≥0\)）；值域：\([0,1)\)（\(0.5^x>0\Rightarrow1-0.5^x<1\Rightarrow0≤\sqrt{1-0.5^x}<1\)）。二、圖像與性質(zhì)篇（掌握圖像變換與核心性質(zhì)）核心目標(biāo)：熟悉指數(shù)函數(shù)圖像的平移、對稱變換，能利用單調(diào)性、奇偶性解決問題。3.利用單調(diào)性比較大小比較下列各組數(shù)的大小：(1)\(2^{0.3}\)和\(2^{0.5}\)(2)\(0.7^{1.2}\)和\(0.7^{1.5}\)(3)\(3^{0.4}\)和\(0.8^{2.5}\)(4)\(0.6^{0.7}\)和\(0.7^{0.6}\)答案：(1)\(2^{0.3}<2^{0.5}\)（\(2>1\)，指數(shù)函數(shù)遞增，\(0.3<0.5\)）。(2)\(0.7^{1.2}>0.7^{1.5}\)（\(0.7<1\)，指數(shù)函數(shù)遞減，\(1.2<1.5\)）。(3)\(3^{0.4}>0.8^{2.5}\)（\(3^{0.4}>3^0=1\)，\(0.8^{2.5}<0.8^0=1\)）。(4)\(0.6^{0.7}<0.7^{0.6}\)（中間值法：\(0.6^{0.7}<0.6^{0.6}\)（\(0.6<1\)，遞減），\(0.6^{0.6}<0.7^{0.6}\)（指數(shù)>0，底數(shù)越大值越大））。4.圖像變換已知函數(shù)\(y=2^x\)的圖像，如何得到下列函數(shù)的圖像？(1)\(y=2^{x+1}\)(2)\(y=2^x+1\)(3)\(y=-2^x\)(4)\(y=2^{-x}\)(5)\(y=2^{x-2}-3\)答案：(1)向左平移1個單位（左加右減：\(x→x+1\)）；(2)向上平移1個單位（上加下減：\(y→y+1\)）；(3)關(guān)于x軸對稱（縱坐標(biāo)取反：\(y→-y\)）；(4)關(guān)于y軸對稱（橫坐標(biāo)取反：\(x→-x\)）；(5)向右平移2個單位，再向下平移3個單位（\(x→x-2\)，\(y→y-3\)）。5.奇偶性判斷判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)\(f(x)=2^x+2^{-x}\)(2)\(f(x)=2^x-2^{-x}\)(3)\(f(x)=\frac{2^x+1}{2^x-1}\)(4)\(f(x)=2^x\)答案：(1)偶函數(shù)（\(f(-x)=2^{-x}+2^x=f(x)\)）；(2)奇函數(shù)（\(f(-x)=2^{-x}-2^x=-(2^x-2^{-x})=-f(x)\)）；(3)奇函數(shù)（\(f(-x)=\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=\frac{1+2^x}{1-2^x}=-f(x)\)）；(4)非奇非偶（\(f(-x)=2^{-x}≠f(x)\)且\(≠-f(x)\)）。三、指數(shù)方程與不等式篇（突破解方程與解不等式技巧）核心目標(biāo)：掌握指數(shù)方程的換元法、同底數(shù)轉(zhuǎn)化法，能利用單調(diào)性解指數(shù)不等式。6.解指數(shù)方程(1)\(2^{2x}-5·2^x+4=0\)(2)\(3^{x+1}=9^{x-2}\)(3)\(4^x+2^{x+1}-3=0\)(4)\(5^x=3^{x+2}\)答案：(1)換元法：設(shè)\(t=2^x(t>0)\)，方程變?yōu)閈(t2-5t+4=0\Rightarrowt=1\)或\(4\Rightarrowx=0\)或\(2\)。(2)同底數(shù)轉(zhuǎn)化：\(9^{x-2}=3^{2x-4}\Rightarrow3^{x+1}=3^{2x-4}\Rightarrowx+1=2x-4\Rightarrowx=5\)。(3)換元法：\(4^x=2^{2x}\)，\(2^{x+1}=2·2^x\)，設(shè)\(t=2^x(t>0)\)，方程變?yōu)閈(t2+2t-3=0\Rightarrowt=1\Rightarrowx=0\)。(4)取對數(shù)法：\(x\ln5=(x+2)\ln3\Rightarrowx=\frac{2\ln3}{\ln5-\ln3}\)（或?qū)懗蒤(\log_{\frac{5}{3}}9\)）。7.解指數(shù)不等式(1)\(2^{3x-1}<8\)(2)\(0.5^{2x-3}>0.5^{x+1}\)(3)\(3^x>2^x\)(4)\(0.3^{x-1}≥2\)答案：(1)同底數(shù)轉(zhuǎn)化：\(8=2^3\Rightarrow3x-1<3\Rightarrowx<\frac{4}{3}\)，解集：\((-∞,\frac{4}{3})\)。(2)利用單調(diào)性：\(0.5<1\)，遞減，故\(2x-3<x+1\Rightarrowx<4\)，解集：\((-∞,4)\)。(3)兩邊除以\(2^x\)（正數(shù)，不等號不變）：\((\frac{3}{2})^x>1\Rightarrowx>0\)，解集：\((0,+∞)\)。(4)取對數(shù)法：\((x-1)\ln0.3≥\ln2\Rightarrow\ln0.3<0\Rightarrowx-1≤\frac{\ln2}{\ln0.3}\Rightarrowx≤1+\log_{0.3}2\)，解集：\((-∞,1+\log_{0.3}2]\)。四、綜合應(yīng)用篇（聯(lián)系實際與跨知識點應(yīng)用）核心目標(biāo)：能將指數(shù)函數(shù)應(yīng)用于實際問題（如增長率、衰減），并結(jié)合其他知識點（如定點問題）。8.人口增長問題某城市2023年人口為100萬，預(yù)計年增長率為2%，人口增長符合指數(shù)模型\(P(t)=P_0(1+r)^t\)（\(t\)為年份，\(t=0\)對應(yīng)2023年）。(1)寫出人口\(P(t)\)的表達(dá)式；(2)求2030年（\(t=7\)）的人口數(shù)量（精確到0.1萬）；(3)求人口達(dá)到150萬所需的時間（精確到1年）。答案：(1)\(P(t)=100×1.02^t\)（萬）；(2)\(P(7)=100×1.02^7≈100×1.1487=114.9\)（萬）；(3)令\(100×1.02^t=150\Rightarrow1.02^t=1.5\Rightarrowt=\frac{\ln1.5}{\ln1.02}≈20.5\)，故需21年（2044年）。9.定點問題已知函數(shù)\(f(x)=a^{x-1}+3\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）的圖像恒過定點，求該定點坐標(biāo)。答案：\((1,4)\)。解析：指數(shù)函數(shù)\(a^x\)恒過\((0,1)\)，故\(a^{x-1}\)恒過\((1,1)\)，因此\(f(x)=a^{x-1}+3\)恒過\((1,1+3)=(1,4)\)。五、拓展探究篇（深化思維與挑戰(zhàn)難點）核心目標(biāo)：深化對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、恒成立問題的理解，提升思維能力。10.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性討論函數(shù)\(f(x)=a^{x2-2x}\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）的單調(diào)性。答案：令\(g(x)=x2-2x=(x-1)^2-1\)，其單調(diào)性：\((-∞,1)\)遞減，\((1,+∞)\)遞增。當(dāng)\(a>1\)時，\(a^u\)遞增，故\(f(x)\)與\(g(x)\)單調(diào)性一致：\((-∞,1)\)遞減，\((1,+∞)\)遞增；當(dāng)\(0<a<1\)時，\(a^u\)遞減，故\(f(x)\)與\(g(x)\)單調(diào)性相反：\((-∞,1)\)遞增，\((1,+∞)\)遞減。11.恒成立問題若不等式\(a^x≥x+1\)對所有\(zhòng)(x∈\mathbb{R}\)恒成立，求實數(shù)\(a\)的取值范圍。答案：\([e,+∞)\)。解析：當(dāng)\(x=0\)時，不等式成立（\(1≥1\)）；當(dāng)\(x>0\)時，需\(a≥(x+1)^{1/x}\)。令\(h(x)=(x+1)^{1/x}\)，取對數(shù)得\(\lnh(x)=\frac{\ln(x+1)}{x}\)，求導(dǎo)得\(h’(x)<0\)（過程略），故\(h(x)\)在\(x>