多邊形內(nèi)外角計(jì)算練習(xí)題一、引言多邊形的內(nèi)外角計(jì)算是初中幾何的核心知識(shí)點(diǎn)之一，既是三角形、四邊形知識(shí)的延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)正多邊形、圓等內(nèi)容的基礎(chǔ)。在中考中，這類題目常以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，考查學(xué)生對(duì)公式的掌握、邏輯推理及靈活應(yīng)用能力。本文將通過(guò)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)回顧、典型題型練習(xí)及解題技巧總結(jié)，幫助讀者系統(tǒng)鞏固多邊形內(nèi)外角計(jì)算的核心內(nèi)容，提升解題效率。二、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)回顧在開(kāi)始練習(xí)前，需先明確以下核心概念與公式（均針對(duì)凸多邊形，初中階段默認(rèn)討論凸多邊形）：1.多邊形的定義由不在同一直線上的線段首尾順次連接組成的封閉圖形稱為多邊形，邊數(shù)為\(n\)的多邊形稱為\(n\)邊形（\(n\geq3\)，\(n\)為整數(shù)）。2.內(nèi)角和公式\(n\)邊形的內(nèi)角和為：\[S_{\text{內(nèi)角和}}=(n-2)\times180^\circ\]推導(dǎo)：從\(n\)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可引\((n-3)\)條對(duì)角線，將多邊形分成\((n-2)\)個(gè)三角形，每個(gè)三角形內(nèi)角和為\(180^\circ\)，故內(nèi)角和為\((n-2)\times180^\circ\)。3.外角和定理任意\(n\)邊形的外角和均為：\[S_{\text{外角和}}=360^\circ\]推導(dǎo)：每個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角與外角互補(bǔ)（和為\(180^\circ\)），\(n\)個(gè)頂點(diǎn)的內(nèi)角與外角總和為\(n\times180^\circ\)，減去內(nèi)角和\((n-2)\times180^\circ\)，得外角和為\(360^\circ\)（與邊數(shù)無(wú)關(guān)）。4.正多邊形的內(nèi)外角正\(n\)邊形（各邊相等、各內(nèi)角相等）的每個(gè)內(nèi)角與外角均相等，計(jì)算公式為：\[\text{每個(gè)內(nèi)角}=\frac{(n-2)\times180^\circ}{n},\quad\text{每個(gè)外角}=\frac{360^\circ}{n}\]注意：正多邊形的內(nèi)角與外角互補(bǔ)（\(\text{內(nèi)角}+\text{外角}=180^\circ\)），可互相轉(zhuǎn)換。三、典型題型練習(xí)以下分基礎(chǔ)公式應(yīng)用、角度求邊數(shù)、綜合計(jì)算三類題型，每類包含例題（詳細(xì)解答）與練習(xí)題（附答案），覆蓋中考常見(jiàn)考點(diǎn)。題型1：基礎(chǔ)公式直接應(yīng)用核心：直接代入內(nèi)角和、外角和或正多邊形內(nèi)外角公式計(jì)算。例題1：求九邊形的內(nèi)角和解答：代入內(nèi)角和公式，\(n=9\)，故內(nèi)角和為：\[(9-2)\times180^\circ=7\times180^\circ=1260^\circ\]例題2：求正八邊形的每個(gè)外角解答：正多邊形外角和為\(360^\circ\)，\(n=8\)，故每個(gè)外角為：\[\frac{360^\circ}{8}=45^\circ\]練習(xí)題1-3（答案附后）1.求六邊形的內(nèi)角和。2.求正十邊形的每個(gè)內(nèi)角。3.求五邊形的外角和。題型2：已知角度求邊數(shù)核心：通過(guò)內(nèi)角和、外角或內(nèi)外角關(guān)系反推多邊形邊數(shù)，關(guān)鍵是建立方程。例題1：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為\(720^\circ\)，求其邊數(shù)。解答：設(shè)邊數(shù)為\(n\)，由內(nèi)角和公式得：\[(n-2)\times180^\circ=720^\circ\impliesn-2=4\impliesn=6\]結(jié)論：該多邊形為六邊形。例題2：一個(gè)多邊形的每個(gè)外角均為\(60^\circ\)，求其邊數(shù)。解答：正多邊形外角和為\(360^\circ\)，設(shè)邊數(shù)為\(n\)，則：\[n\times60^\circ=360^\circ\impliesn=6\]結(jié)論：該多邊形為六邊形（正六邊形）。例題3：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，求其邊數(shù)。解答：設(shè)邊數(shù)為\(n\)，外角和為\(360^\circ\)，內(nèi)角和為\(3\times360^\circ=1080^\circ\)，由內(nèi)角和公式得：\[(n-2)\times180^\circ=1080^\circ\impliesn-2=6\impliesn=8\]結(jié)論：該多邊形為八邊形。練習(xí)題4-6（答案附后）4.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為\(1440^\circ\)，求其邊數(shù)。5.一個(gè)多邊形的每個(gè)外角均為\(30^\circ\)，求其邊數(shù)。6.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的\(\frac{1}{2}\)，求其邊數(shù)（提示：外角和恒為\(360^\circ\)）。題型3：含未知內(nèi)角/外角的綜合計(jì)算核心：利用內(nèi)角范圍（\(0^\circ<\text{內(nèi)角}<180^\circ\)）或方程思想解決復(fù)雜問(wèn)題，是中考難點(diǎn)。例題1：一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為\(150^\circ\)，求其邊數(shù)（兩種方法）。方法1（用內(nèi)角和公式）：設(shè)邊數(shù)為\(n\)，則：\[\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}=150^\circ\implies(n-2)\times180=150n\implies180n-360=150n\implies30n=360\impliesn=12\]方法2（用外角轉(zhuǎn)換）：每個(gè)內(nèi)角為\(150^\circ\)，則每個(gè)外角為\(180^\circ-150^\circ=30^\circ\)，故邊數(shù)為：\[n=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12\]結(jié)論：該多邊形為十二邊形。例題2：在一個(gè)多邊形中，除了一個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為\(1200^\circ\)，求這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及多邊形的邊數(shù)。解答：設(shè)邊數(shù)為\(n\)，未知內(nèi)角為\(x^\circ\)（\(0<x<180\)），由內(nèi)角和公式得：\[(n-2)\times180^\circ=1200^\circ+x\impliesx=(n-2)\times180-1200\]根據(jù)\(x\)的范圍，得不等式：\[0<(n-2)\times180-1200<180\implies1200<(n-2)\times180<1380\]計(jì)算得：\[\frac{1200}{180}\approx6.67<n-2<\frac{1380}{180}\approx7.67\]因\(n-2\)為整數(shù)，故\(n-2=7\impliesn=9\)，代入得：\[x=7\times180-1200=1260-1200=60^\circ\]結(jié)論：未知內(nèi)角為\(60^\circ\)，多邊形為九邊形。例題3：一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴骪(36^\circ\)，求其邊數(shù)。解答：設(shè)正多邊形的每個(gè)外角為\(x^\circ\)，則每個(gè)內(nèi)角為\((x+36)^\circ\)，由互補(bǔ)關(guān)系得：\[x+(x+36)=180\implies2x=144\impliesx=72^\circ\]邊數(shù)為：\[n=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5\]結(jié)論：該正多邊形為五邊形。練習(xí)題7-9（答案附后）7.一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為\(144^\circ\)，求其邊數(shù)。8.除了一個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為\(1125^\circ\)，求這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。9.一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角比相鄰內(nèi)角小\(60^\circ\)，求其邊數(shù)。四、解題技巧總結(jié)1.公式記牢，靈活選擇：求內(nèi)角和用\((n-2)\times180^\circ\)，求外角和直接用\(360^\circ\)（與邊數(shù)無(wú)關(guān)）；正多邊形優(yōu)先用外角公式（\(\frac{360^\circ}{n}\)），計(jì)算更簡(jiǎn)便。2.內(nèi)外角轉(zhuǎn)換：內(nèi)角與外角互補(bǔ)（和為\(180^\circ\)），當(dāng)內(nèi)角計(jì)算復(fù)雜時(shí)，可轉(zhuǎn)換為外角求解（如例題1的方法2）。3.利用內(nèi)角范圍：當(dāng)遇到“除了一個(gè)內(nèi)角外”的問(wèn)題時(shí)，通過(guò)\(0^\circ<\text{未知內(nèi)角}<180^\circ\)建立不等式，縮小\(n\)的范圍（如例題2）。4.方程思想：設(shè)未知數(shù)（邊數(shù)、內(nèi)角或外角），根據(jù)題目中的角度關(guān)系列方程（如例題3），是解決復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵。五、練習(xí)題答案1.六邊形內(nèi)角和：\((6-2)\times180^\circ=720^\circ\)2.正十邊形每個(gè)內(nèi)角：\(\frac{(10-2)\times180^\circ}{10}=144^\circ\)3.五邊形外角和：\(360^\circ\)（所有多邊形外角和均為\(360^\circ\)）4.內(nèi)角和\(1440^\circ\)的邊數(shù)：\(n=10\)（\((10-2)\times180=1440\)）5.外角\(30^\circ\)的邊數(shù)：\(n=12\)（\(360\div30=12\)）6.內(nèi)角和是外角和\(\frac{1}{2}\)的邊數(shù)：\(n=3\)（\((n-2)\times180=\frac{1}{2}\times360\impliesn=3\)，即三角形）7.內(nèi)角\(144^\circ\)的邊數(shù)：\(n=10\)（外角\(36^\circ\)，\(360\div36=10\)）8.未知內(nèi)角度數(shù)：\(135^\circ\)（\(n=9\)，內(nèi)角和\(1260^\circ\)，\(____=135\)）9.外角比內(nèi)角小\(60^\circ\)的邊數(shù)：\(n=6\)