21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系第21章一元二次方程人教版數(shù)學(xué)九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)習目標理解并掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理），能表述該關(guān)系的內(nèi)容。能運用根與系數(shù)的關(guān)系解決與一元二次方程的根相關(guān)的問題，如已知一根求另一根、求根的代數(shù)式的值等。經(jīng)歷根與系數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)邏輯推理能力。知識回顧一元二次方程的求根公式對于一元二次方程的一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），當\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)時，它的兩個根分別為：\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，\(x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)因式分解法的回顧如果一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的兩個根為\(x_1\)和\(x_2\)，那么該方程可以因式分解為\(a(x-x_1)(x-x_2)=0\)的形式。根與系數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)設(shè)一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的兩個根為\(x_1\)和\(x_2\)，根據(jù)求根公式計算兩根之和與兩根之積：1.兩根之和\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)\(=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)\(=\frac{-2b}{2a}=-\frac{a}\)2.兩根之積\(x_1\cdotx_2=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\cdot\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\)根據(jù)平方差公式\((m+n)(m-n)=m^2-n^2\)，可得：\(=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{(2a)^2}\)\(=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\)\(=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）1.內(nèi)容對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），如果它的兩個根是\(x_1\)和\(x_2\)，那么：\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也稱為韋達定理。2.特殊形式當一元二次方程化為二次項系數(shù)為1的形式\(x^2+px+q=0\)時，設(shè)它的兩個根為\(x_1\)和\(x_2\)，則根與系數(shù)的關(guān)系可簡化為：\(x_1+x_2=-p\)，\(x_1\cdotx_2=q\)3.適用條件根與系數(shù)的關(guān)系成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根，即\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)。例題講解例1：已知方程求兩根之和與兩根之積求方程\(2x^2+3x-2=0\)的兩根之和與兩根之積。解：對于方程\(2x^2+3x-2=0\)，其中\(zhòng)(a=2\)，\(b=3\)，\(c=-2\)。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：兩根之和\(x_1+x_2=-\frac{a}=-\frac{3}{2}\)兩根之積\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{2}=-1\)例2：已知一根求另一根已知方程\(x^2-5x+6=0\)的一個根是\(2\)，求它的另一個根。解：設(shè)方程的另一個根為\(x_2\)，對于方程\(x^2-5x+6=0\)，其中\(zhòng)(a=1\)，\(b=-5\)，\(c=6\)。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，兩根之和\(x_1+x_2=-\frac{a}=5\)。已知一個根\(x_1=2\)，則\(2+x_2=5\)，解得\(x_2=3\)。例3：求根的代數(shù)式的值已知一元二次方程\(2x^2-4x-1=0\)的兩個根為\(x_1\)和\(x_2\)，求下列代數(shù)式的值：（1）\(x_1^2+x_2^2\)（2）\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)解：對于方程\(2x^2-4x-1=0\)，\(a=2\)，\(b=-4\)，\(c=-1\)。由根與系數(shù)的關(guān)系可得：\(x_1+x_2=-\frac{a}=2\)，\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}\)。（1）\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdotx_2=2^2-2\times(-\frac{1}{2})=4+1=5\)（2）\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1\cdotx_2}=\frac{2}{-\frac{1}{2}}=-4\)例4：構(gòu)造一元二次方程已知兩個數(shù)的和為\(5\)，積為\(6\)，求這兩個數(shù)。解：設(shè)這兩個數(shù)分別為\(x_1\)和\(x_2\)，根據(jù)題意可得\(x_1+x_2=5\)，\(x_1\cdotx_2=6\)。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，這兩個數(shù)是一元二次方程\(x^2-5x+6=0\)的兩個根。解這個方程，因式分解得\((x-2)(x-3)=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。所以這兩個數(shù)分別是\(2\)和\(3\)。例5：結(jié)合判別式的應(yīng)用已知關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^2+(2k+1)x+k^2=0\)有兩個實數(shù)根\(x_1\)和\(x_2\)，且\(x_1+x_2=-x_1\cdotx_2\)，求\(k\)的值。解：對于方程\(x^2+(2k+1)x+k^2=0\)，\(a=1\)，\(b=2k+1\)，\(c=k^2\)。因為方程有兩個實數(shù)根，所以\(\Delta=b^2-4ac=(2k+1)^2-4\times1\timesk^2=4k+1\geq0\)，解得\(k\geq-\frac{1}{4}\)。由根與系數(shù)的關(guān)系可得：\(x_1+x_2=-(2k+1)\)，\(x_1\cdotx_2=k^2\)。已知\(x_1+x_2=-x_1\cdotx_2\)，則\(-(2k+1)=-k^2\)，整理得\(k^2-2k-1=0\)。解這個方程，\(\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-1)=4+4=8\)，\(k=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}\)。又因為\(k\geq-\frac{1}{4}\)，而\(1-\sqrt{2}\approx1-1.414=-0.414<-\frac{1}{4}\)（舍去），\(1+\sqrt{2}\geq-\frac{1}{4}\)，所以\(k=1+\sqrt{2}\)。注意事項根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）只適用于一元二次方程，且必須在方程有實數(shù)根（即\(\Delta\geq0\)）的前提下才能應(yīng)用。在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要先將一元二次方程化為一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），明確\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，避免因符號錯誤導(dǎo)致結(jié)果出錯。對于一些關(guān)于根的代數(shù)式，如\(x_1^2+x_2^2\)、\((x_1-x_2)^2\)等，通常需要通過配方轉(zhuǎn)化為用\(x_1+x_2\)和\(x_1\cdotx_2\)表示的形式，再代入計算。練習鞏固若一元二次方程\(x^2-3x+2=0\)的兩個根為\(x_1\)和\(x_2\)，則\(x_1+x_2\)的值是（

）A.\(3\)B.\(-3\)C.\(2\)D.\(-2\)答案：A已知一元二次方程\(3x^2+5x-2=0\)的一個根是\(-2\)，則它的另一個根是（

）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(-\frac{1}{3}\)C.\(2\)D.\(-2\)答案：A已知一元二次方程\(x^2-4x+3=0\)的兩個根為\(x_1\)和\(x_2\)，求\((x_1-1)(x_2-1)\)的值。解：對于方程\(x^2-4x+3=0\)，\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)。由根與系數(shù)的關(guān)系得\(x_1+x_2=4\)，\(x_1\cdotx_2=3\)。\((x_1-1)(x_2-1)=x_1\cdotx_2-(x_1+x_2)+1=3-4+1=0\)。已知兩個數(shù)的和為\(-3\)，積為\(-10\)，求這兩個數(shù)。解：設(shè)這兩個數(shù)分別為\(x_1\)和\(x_2\)，則\(x_1+x_2=-3\)，\(x_1\cdotx_2=-10\)。這兩個數(shù)是一元二次方程\(x^2+3x-10=0\)的兩個根。因式分解得\((x+5)(x-2)=0\)，解得\(x_1=-5\)，\(x_2=2\)。所以這兩個數(shù)分別是\(-5\)和\(2\)。課堂總結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）：對于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），若它的兩個根為\(x_1\)和\(x_2\)，則\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)（前提是\(\Delta\geq0\)）。根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用：求兩根之和與兩根之積、已知一根求另一根、求根的代數(shù)式的值、構(gòu)造一元二次方程等。應(yīng)用時要注意方程的一般形式和判別式的取值范圍，避免出現(xiàn)錯誤。作業(yè)布置教材課后相關(guān)練習題。已知一元二次方程\(2x^2+4x-3=0\)的兩個根為\(x_1\)和\(x_2\)，求下列代數(shù)式的值：（1）\(x_1+x_2\)（2）\(x_1\cdotx_2\)（3）\((x_1-x_2)^2\)已知關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^2-(m+2)x+2m=0\)。（1）求證：無論\(m\)取何值，方程總有實數(shù)根；（2）若方程的兩個根分別為\(x_1\)和\(x_2\)，且\(x_1+x_2=5\)，求\(m\)的值及方程的根。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習目錄1復(fù)習引入2新知講解3典例講解復(fù)習引入(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-

5x+6=0；(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程兩

根x1x2x2+3x-4=0x2

-

5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1

-3-456將二次項系數(shù)化為1想一想方程的兩根

x1和

x2

與系數(shù)

a，b，c有什么關(guān)系？算一算

解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？

（1）一元二次方程

(x-

x1)(x-

x2)=0(x1，x2為已知數(shù))的兩根是什么？若將此方程化為

x2+px+q=0的形式，你能看出

x1，x2與

p，q之間的關(guān)系嗎？探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系猜一猜

重要發(fā)現(xiàn)方程

x2+px+q=0的兩根

x1，x2

滿足上面兩個關(guān)系式(x-

x1)(x-

x2)=0x2

-

(x1+x2)x+x1·x2=0x2+px+q=0x1+x2=-p，

x1·x2=q猜一猜（2）通過前面的表格猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別是

x1，x2，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？證一證：注：b2-4ac≥0↗一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為

x1，x2，那么注意滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.歸納總結(jié)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用例1

利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2–6x–15=0；解：a=1，b=–6，

c=–15.

Δ

=b2

-4ac=(–6)2–4×1×(–15)=96>0.

∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1，

x2，那么x1+x2=–(–6)=6，

x1x2=-15.（2）3x2

+

7x

-

9=0；x1+x2=?

，

x1x2=解：a=3，b=7，c=-9.Δ

=b2

?4ac=72–4×3×(?9)=157>0，∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么（3）5x–1=4x2.解：方程可化為4x2–5x+1=

0.

a=4，b=–5，c=1.

Δ

=b2

?4ac=(–5)2–4×4×1=9>0.∴方程有兩個實數(shù)根.

設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.

在求兩根之和、兩根之積時，先把方程化為一般式，判斷是否

Δ≥0，如是則代入

a、b、c的值即可.歸納例2

已知關(guān)于

x的方程

5x2+kx-6=0的一個根是

2，求它的另一個根及

k的值.解：設(shè)方程的兩根分別是

x1，x2，其中

x1=2.

所以

x1·x2=2x2=，

即x2=

由于

x1+x2=2+=，

解得

k=-7.答：方程的另一個根是

，k的值為

-7.變式：已知關(guān)于

x的方程

3x2-18x+m=0的一個根是

1，求它的另一個根及

m的值.解：設(shè)方程的兩根分別是

x1，x2，其中

x1=1.

所以

x1+x2=1+x2=6，

即

x2=5.

由于

x1·x2=1×5=，

解得

m=15.答：方程的另一個根是5，m的值為15.例3

不解方程，求方程

2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知

設(shè)

x1，x2為方程

x2-4x+1=0的兩個根，則(1)x1+x2=

；

(2)x1·