彎曲（一）《工程力學(xué)》剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖一、平面彎曲的概念與實(shí)例工程實(shí)際中經(jīng)常遇到像火車輪軸、橋式起重機(jī)的大梁這樣的桿件。這些桿件的受力特點(diǎn)為：在桿件的軸線平面內(nèi)受到力偶或垂直于桿軸線的外力作用，桿的軸線由原來的直線變?yōu)榍€，這種形式的變形稱為彎曲變形。垂直于桿件軸線的力稱為橫向力?；疖囕嗇S橋式起重機(jī)大梁梁：在外力作用下主要發(fā)生彎曲變形的桿件。lFAB剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖工程問題中，絕大多數(shù)受彎桿件的橫截面都有一根對(duì)稱軸，常見的橫截面形狀，y軸為橫截面對(duì)稱軸。通過截面對(duì)稱軸與梁軸線所確定的平面，稱為梁的縱向?qū)ΨQ面(圖3-78)。剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖梁的截面形狀當(dāng)作用在梁上的所有外力(包括力偶)都作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則變形后梁的軸線將是在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲變形稱為平面彎曲。這是最常見、最簡(jiǎn)單的彎曲變形。剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖梁的平面彎曲二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖與分類1.梁的簡(jiǎn)化

由前述平面彎曲的概念可知，載荷作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的軸線彎成一條平面曲線。因此，無論梁的外形尺寸如何復(fù)雜，用梁的軸線來代替梁可以使問題得到簡(jiǎn)化。

2.載荷的簡(jiǎn)化

作用在梁上的外力，包括載荷和約束力，可以簡(jiǎn)化成三種形式。(1)集中載荷

(2)集中力偶

(3)均布載荷剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖3.支座的簡(jiǎn)化(1)活動(dòng)鉸鏈支座：只有一個(gè)垂直于支座平面的約束反力?；瑒?dòng)軸承、橋梁下的滾動(dòng)支座等，可簡(jiǎn)化為活動(dòng)鉸鏈支座。

(2)固定鉸鏈支座：約束情況是梁在支承點(diǎn)不能沿任何方向移動(dòng)，但可以繞支承點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以可用水平和垂直方向的約束反力表示。

(3)固定端約束：水平約束反力、垂直約束反力和力偶。4.靜定梁的基本形式(1)簡(jiǎn)支梁：一端固定鉸鏈支座，另一端為活動(dòng)鉸支座約束的梁。

(2)外伸梁：具有一端或兩端外伸部分的簡(jiǎn)支梁。

(3)懸臂梁：一端為固定端支座，另一端自由的梁。a)簡(jiǎn)支粱b)外伸梁c)懸臂梁剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖lFABabmmxFAFBxyFBl-xAFAxFSMMFSFa-x剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖三、剪力和彎矩的計(jì)算要確定粱在外力作用下任一橫截面上的內(nèi)力，仍然要用截面法。

由上圖可知，其橫截面上的內(nèi)力根據(jù)截面一邊分離體的平衡條件有：位于橫截面平面內(nèi)的剪力FS

和位于縱向平面內(nèi)的彎矩M。現(xiàn)分析如何求解剪力FS和彎矩M。xyFBl-xAFAxFSMMFSFa-x剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖xyFBl-xAFAxFSMMFSFa-xmmCC剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖正負(fù)號(hào)根據(jù)變形情況來確定。剪力以使梁的微段發(fā)生左上右下的錯(cuò)動(dòng)者為正；反之為負(fù)。FSFSd

x左上右下錯(cuò)動(dòng)FSFSd

x左下右上錯(cuò)動(dòng)剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖彎矩以使梁的微段發(fā)生上凹下凸的變形，即梁的上部縱向受壓而下部縱向受拉時(shí)為正；反之為負(fù)。dxMM上凹下凸的變形dxMM上凸下凹的變形剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖試求下圖所示懸臂梁之任意橫截面m-m上的剪力和彎矩。xlFABmm(a)xlABmmMe(b)思考題8-1-1剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖思考題8-1-1參考答案：FS=-FM=-Fx(a)(b)FS=0M=MexlFABmm(a)xlABmmMe(b)剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

試求圖示截面（1-1、2-2、3-3）上的剪力和彎矩。解：本題可從右邊開始求解，也可從左邊開始求解。從右邊開始可先不求支座A處的反力。取右段分析，考慮1-1截面，有∑Fy=0，F(xiàn)S1-2=0，F(xiàn)S1=2kN∑MC1（F）=0，-M1-2·1=0M1=-2kN·m例題1BFS1M12kNC1A1m1mB2kN2kN·m112233C剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

取右段分析，考慮2-2截面，有∑Fy=0，F(xiàn)S2-2=0，F(xiàn)S2=2kN∑MC2（F）=0，-M2-2-2·1=0M2=-4kN·mB2kN2kN·mFS2M2C2A1m1mB2kN2kN·m112233C例題1剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

取右段分析，考慮3-3截面，有∑Fy=0，F(xiàn)S3-2=0，F(xiàn)S3=2kN∑MC3（F）=0，-M3-2-2·2=0M3=-6kN·mA1m1mB2kN2kN·m112233CB2kN2kN·mFS3M33AC3例題1剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

為了驗(yàn)證結(jié)果的正確性，可從左邊開始進(jìn)行分析。先求A處的支座約束力，有∑Fx=0，F(xiàn)Ax=0下面以左段為研究對(duì)象，分析3-3截面上的剪力和彎矩?！艶y=0，F(xiàn)Ay-2=0FAy=2kN∑MA（F）=0，MA-2-2·2=0MA=6kN·m1m1mB2kN2kN·m112233FAyFAxMAA例題1剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖此結(jié)果與取右段分析的結(jié)果相同?！艶x=0，F(xiàn)Ax=0∑Fy=0，F(xiàn)Ay–FS3=0FS3=FAy=2kN∑MA（F）=0，MA+M3=0M3=-MA=-6kN·mFAxFAyMAFS3M3AA1m1mB2kN2kN·m112233C1m1mB2kN2kN·m112233FAyFAxMAA例題1剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖[例2]試求圖所示外伸梁指定截面1-1、2-2、3-3、4-4上的剪力和彎矩。剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖[口答題]

試求圖所示外伸梁指定截面1-1、2-2、3-3、4-4、5-5、6-6上的剪力和彎矩。剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

解：取軸x與梁的軸線重合，坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端。以坐標(biāo)x表示橫截面的位置。只要求得x處橫截面上的剪力方程和彎矩方程，即可畫出其內(nèi)力圖。試作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。例題8-1-2剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

根據(jù)左段分離體的平衡條件便可列出剪力方程和彎矩方程。有FS(x)=-qx(0≤x＜l)M(x)=-qx2/2(0≤x＜l)例題8-1-2(a)(b)(d)剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

右圖所示為一受滿布均布荷載的簡(jiǎn)支梁，試作剪力圖和彎矩圖。解：此梁的支座約束力根據(jù)對(duì)稱性可知：FA=FB=ql/2梁的剪力方程和彎矩方程分別為FS(x)=ql/2-qx

(0＜x＜l)M(x)=qlx/2-qx2/2(0≤x≤

l)例題8-1-3FS剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

圖示為一受集中荷載F作用的簡(jiǎn)支梁。試作其剪力圖和彎矩圖。解：根據(jù)整體平衡，求得支座約束力FA=Fb/l,FB=Fa/l梁上的集中荷載將梁分為AC和CB兩段，根據(jù)每段內(nèi)任意橫截面左側(cè)分離體的受力圖容易看出，兩段的內(nèi)力方程不會(huì)相同。lABxFA

FBabFCx例題8-1-4FAFS(x)M(x)AFFAFS(x)M(x)A剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖AC段：CB段：FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0＜x＜a)(0≤x≤a)FS(x)=Fb/l-F=-Fa/l(a＜x＜l)M(x)=Fbx/l-F(x-a)=Fa(l-x)/l(a≤x≤l)lABxFA

FBabFCxFAFS(x)M(x)AFFAFS(x)M(x)A例題8-1-4剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖xFSFb/lFa/lxMFab/lAC段：CB段：FS(x)=FA=Fb/lM(x)=Fbx/l(0＜x＜a)(0≤x≤a)FS(x)=Fb/l-F=-Fa/l(a＜x＜l)M(x)=Fbx/l-F(x-a)=Fa(l-x)/l(a≤x≤l)lABxFA

FBabFCx例題8-1-4從剪力圖上看到，在集中力作用處剪力發(fā)生突變，突變的值等于集中力的大小。發(fā)生這種情況是由于把實(shí)際上分布在很短區(qū)間內(nèi)的分布力，抽象成了作用于一點(diǎn)的集中力。xFSFb/lFa/lxMFab/llABxFA

FBabFCx例題8-1-4剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

簡(jiǎn)支梁如圖所示。試作該梁的剪力圖和彎矩圖。解：先求支座約束力FA×0.6+10×0.4×0.2-2=0∑MB(F)=0,FA=2kN∑MA(F)=0,FB×0.6-10×0.4×0.4-2=0FB=6kNABCxx0.2m0.4m2kN·m10kN/mFAFB例題8-1-5剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖FAFS(x)M(x)FAFS(x)M(x)2kN·m10kN/m分段列出剪力方程和彎矩方程：AC段：CB段：FS(x)=-2-10(x-0.2)=-10x(0.2m≤

x＜0.6m)(0.2m＜x≤0.6m)M(x)=-2x+2-10(x-0.2)2/2=-5x2+1.8FS(x)=-FA=-2(0＜x≤0.2m)M(x)=-FAx=-2x(0≤

x＜

0.2m)ABCxx0.2m0.4m2kN·m10kN/mFAFB例題8-1-5剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖AC段：CB段：FS(x)=-2-10(x-0.2)=-10x(0.2m≤

x＜0.6m)(0.2m＜x≤0.6m)M(x)=-2x+2-10(x-0.2)2/2=-5x2+1.8FS(x)=-FA=-2(0＜x≤0.2m)M(x)=-FAx=-2x(0＜x≤0.2m)ABCxx0.2m0.4m2kN·m10kN/mFAFB26FS/kNxOxM/kN·m0.41.6O例題8-1-5剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖由彎矩圖看到，在集中力偶作用處彎矩值發(fā)生突變，突變量等于集中力偶之矩。26FS/kNxOABCxx0.2m0.4m2kN·m10kN/mFAFBxM/kN·m0.41.6O例題8-1-5剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖

通過以上例題的分析，你能否總結(jié)一些畫剪力圖和彎矩圖的規(guī)律嗎？思考題8-1-2剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖試求圖示各指定的橫截面上的剪力和彎矩，并作其剪力圖和彎矩圖。qABaa11223344思考題8-1-3剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖FS3=-qa,M3=-qa2/2思考題8-1-3參考答案：FS1=0,M1=0FS2=-qa,M2=-qa2/2FS4=-qa,M4=-3qa2/2qABaa11223344剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖xFSqa思考題8-1-3參考答案：qABaa11223344xMqa223qa22剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖求圖示折桿中各指定的橫截面上的內(nèi)力。思考題8-1-410kNAB2m1mC112233剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖F2=10kN,FS2=0,M2=-10kN·m思考題8-1-4參考答案：1-1截面2-2截面3-3截面F1=10

kNFS1=0M1=-10kN·mF3=0,FS3=10kN,M3=-10kN·m10kNAB2m1mC112233剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖。思考題8-1-51.2m1m4kN3kN·m剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖思考題8-1-5參考答案：xFS/kN4xM/kN·m311.2m1m4kN3kN·m剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖§8-2剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系;微分關(guān)系的推導(dǎo);載荷集度、剪力圖、彎矩圖之間的規(guī)律應(yīng)用。剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖規(guī)定載荷集度q(x)向上為正。1.微分關(guān)系的推導(dǎo)FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)q(x)M(x)CyAmnBxdxxq(x)dx段載荷集度分布均勻。載荷集度q(x)是x的連續(xù)函數(shù)。剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖ΣFy＝0FS(x)+q(x)

dx-[FS(x)+dFS

(x)]=0——(1)ΣMC=0M(x)+dM