第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

知識排查?雙基落實抓牢星■融?哀得良好開玳

【知識重溫】

一、必記4個知識點

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

側(cè)極都①

上卜底面是②的多邊形,并旦相互平行

多

底面是任意③

面

側(cè)面是花一個①的三角形

體

由⑤的平面截棱錐得到

上下底面是⑥多邊形

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征:

幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸

圓柱矩形⑦—所在的直線

圓錐直角三角形⑧―_______所在的直線

圓臺直角梯形⑨—_______所在的直線

球半圓⑩一所在的直線

2.空間幾何體的三視圖

(1)三視圖的形成與名稱：

3)形成：空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，在這種投影之下，與投影面平行的平面圖形留

下的影子，與平面圖形的?和?__是完全相同的.

(ii)名稱：三視圖包括?______、?______、?.

(2)三視圖的畫法：

(i)在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成?.

(ii)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的?______方、?______方、?—方觀察

幾何體畫出的輪廓線.

3.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：

(1)畫幾何體的底面：

在已知圖形中取互相垂直的x軸，y軸，兩軸相交于點0,畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x'軸、y'

軸，兩軸相交于點O',且使Nx'O'y'=@,已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度

O_____，平行于y軸的線段，長度。.

(2)畫幾何體的高：

在己知圖形中過。點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應(yīng)的z，軸，也垂直于x'O'y'平面，

已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z'軸H.長度不變.

4.正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征

(1)正棱柱：側(cè)棱幻于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是打的直棱柱叫做正棱柱.反

之，正棱柱的底面是砥,側(cè)棱?_______于底面，側(cè)面是矩形.

(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特別地,

各棱均相等的正三楂錐叫正四面體.

二、必明3個易誤點

1.臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)極延長后必交于?點.

2.空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同.

3.對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視

實虛線的畫法.

【小題熱身】

一、判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“J”或“X”).

(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.()

(4)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱.()

(5)上下底面是兩個平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺.()

二、教材改編

2.如圖，右邊長方體中由左邊的平面圖形圍成的是()

3.下面結(jié)論錯誤的是()

A.三角形的直觀圖是三角形

B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

C.正方形的直觀圖是正方形

D.菱形的直觀圖是平行四邊形

三、易錯易混

4.如圖，長方體ABCD-A'B'C'D'中被截去一部分，其中EH〃A'D',剩下的幾何體是（

A.棱臺B.四棱柱

C.五楂柱D.六棱柱

/O'/

5.在直觀圖（如圖所示）中，四邊形O'A'B'C'為菱形且邊長為2cm,則在平面直角坐標系xOy中,

四邊形ABCO為，面積為cm；

四、走進高考

6.［2020?全國卷如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體系條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的

點為M,在俯視圖中對應(yīng)的點為N,則該端點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為（）

A.EB.FC.GD.II

瞟堂⑤考點突破?分層探究研習(xí)考點?掌握吳題道法

考點一|空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征［自主練透型］

1.下列結(jié)論正確的是（）

A.側(cè)面都是等腰三角形的三楂錐是正三棱徘

B.六條棱長均相等的四而體是正四面體

C.有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

D.用一個平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺

2.給出下列幾個命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線:

②底面為正多邊形，「L有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱：

③樓臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)枝長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

3.［2021?青島模擬］以下三個命題：

①以直角梯形的?腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)?周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；

②圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面:

③一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.21）.3

空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的解題策略

（1）緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熱悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的

情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.

⑵通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明?個命題是錯誤的，只要舉出?個反例即可.

考點二空間幾何體的直觀圖［互動講練型］

［例1］有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示），Z

ABC=45°,AB=AD=1,DC1BC,則這塊菜地的面積為.

原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”

坐標軸的夾角改變

（1）“三變"j與丁軸平行的線段的長度改變（減半）

I圖形改變

［平行性不變

（2）“三不變與？軸平行的線段長度不變

相對位置不變

［變式練］——（著眼于舉一反三）

1.已知正三角形ABC的邊長為2,那么AABC的直觀圖4A'B'「的面積為—

考點三空間幾何體的三視圖［分層深化型］

考向1：已知幾何體識別三視圖

［例2］

［2018?全國卷HI］中國古建筑借助樣卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進部分叫卯限,

圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是樺頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時

帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）

|5"］國EEOM

ABCD

考向2：已知三視圖還原兒何體

［例3］［2018?全國卷I］某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.

圓柱表而上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A,圓柱表面上?的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓

柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

A.2717B.24C.3D.2

考向3：已知三視圖中的部分視圖，判斷其他視圖

［例4］把邊長為1的正方形ABOI）沿對角線BD折起，使得平面ABDJL平面CBI）,形成的三棱錐C-ABI）

的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為（）

A-113.乎C*D.1

1.根據(jù)幾何體確認三視圖的技巧

由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照“正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬”的特點確認.

2.根據(jù)三視圖還原幾何體的技巧策略

（1）對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉.

（2）明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為宜觀圖.

（3）遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則.

［提醒］對于簡單組合體的三視圖，首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些

幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不同.

［變式練］一一（著眼于舉一反三）

2.［2021?貴州七校聯(lián)考］如圖，四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點（長方體是虛擬圖形,

起輔助作用），則四面體ABCD的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是（用①②③④⑤⑥代表圖形）（）

區(qū)4區(qū)

35

①②

4區(qū)忸

53

④⑤

A.①②⑥B.??③C.④⑤@I）.③④⑤

3.［2021?山西省八校高三聯(lián)考］己知某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖是一個邊長為2的正

三角形，則該幾何體中最長極的長度為（）

正視圖惻視圖

俯視圖

A.2B.3mC.3D.2^2

第八章立體幾何

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

【知識重溫】

①平行且相等②全等③多邊形④公共點⑤平行于底面⑥相似⑦任一邊⑧任一直角邊

⑨垂直于底邊的腰⑩直徑?^狀蟲小?正視圖?（則視圖新視圖（§虛線?正前?

止左?止上?15°（或135"）tM、變口減半打垂直口止多邊形3止多邊形?垂直

【小題熱身】

1.答案:⑴X(2)X(3)V(4)X(5)X

2.解析:折成的長方體有兩組對面是黑色的，一組對面是白色的.

答案：D

3.解析:由斜二測直觀圖的畫法法則可知，A、B、D正確，C不正確，因為正方形的宜觀圖是平行四

邊形.

答案：C

4.解析:由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱，故選C

答案：C

5.解析:由斜二測畫法的特點，知該平面圖形的直觀圖的原圖，即在平面直角坐標系xOy中，匹邊

形ABCO是一個長為4cm,寬為2cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8cm2.

答案：矩形8

6.解析：根據(jù)三視圖可得直觀圖如圖所示，圖中的點U在正視圖中對應(yīng)的點為M,在俯視圖中對應(yīng)的

點為N,所以該端點在側(cè)視圖中時應(yīng)的點為E.故選A.

答案：A

課堂考點突破

考點一

1.解析：底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A錯：斜四棱柱也

有可能兩個側(cè)面是矩形，所以C錯：截面平行于底面時，底面與截面之間的部分才叫圓臺，【）錯.故選B.

答案：B

2.解析：①不一定，只有這兩點的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是母線：②正確；③錯誤：棱臺的上、下

底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)極?延長線交于一點，但是側(cè)枝長不一定相等.故選B.

答案：B

3.解析：由圓臺的定義可知①錯誤，②正確.對于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才

能得到一個圓錐和一個圓臺，③錯誤.故選B.

答案：B

考點二

例I

解析：如圖，在直觀圖中，過點A作AE_LBC,垂足為E.

在RtZLABE中，AB=1,ZABE=45°,ABE=-^-.

而四邊形AECD為矩形，AD=1,

AEC=AD=1,???BC=BE+EC=￥+1.

由此可還原原圖形如圖.

在原圖形中，A'D'=1,A'B'=2,

B/Cr=乎+1，

且A'D'//BfC',A'B'1BZC',

??.這塊菜地的面積S=g(A'D'+B'C')?A'B'=；乂(1+1+哨義2=2+乎.

答案：2+乎

變式練

1.解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實際圖形和直觀圖.

從圖②可知,A'B'=AB=2,

所以SAVgc'=5八'B'?C'D'=TX2X^~=^^.

答案：平

考點三

例2解析：由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.

俯視方向

答案：A

例3解析：先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點M,N的位置如圖①所示.

①

2|一、

O4N

圓柱的側(cè)面展開圖及M,N的位置（N為0P的四等分點）如圖②所示，連接MN,則圖中MN即為M到N

的最短路徑.

1

0N=TX16=4,0M=2,

4

|MN|=^0M2+0N2=^22+42=2V5.

故選B.

答案：B

例4解析：由三棱錐C-ABD的正視圖、俯視圖得三棱錐C-ABD的側(cè)視圖為直角邊長是坐的等腰直

角三角形，其形狀如圖所示，所以三棱錐c—ABD的側(cè)視圖的面積為*故選1).

答案：D

變式練

2.解析：正視圖是邊長為3和4的矩形，其對角線左下到右上是實線，左上到右下是虛線，因此正

視圖是①；側(cè)視圖是邊長為5和4的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，因此側(cè)視圖

是②；俯視圖是邊長為3和5的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.

故選B.

答案：B

3.解析：由三視圖還原該幾何體的直觀圖，為如圖所示的四極錐P-ABCD,其中該四棱錐的底面是一

個上底為1、下底為2、高為2的直角梯形，平面PBC_L底面ABCD,△PBC是邊長為2的正三角形，易知

AB=BC=PB=PC=2,CD=1,AD=PD=S，PA=2/，所以最長棱的長度為2啦.故選D.

答案：D

第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積

知識排查?雙基落實抓軍星■融?哀得良好開玳

【知識重溫】

一、必記4個知識點

1.柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積

面積體枳

圓柱SiR=①丫二②二③

丫=⑤_______:⑥―

圓錐

SM=?_______=9川/一產(chǎn)

V=；（s上+S下+ds上S下）h

O

圓臺S“=⑦—

=gn（ri+￡+nr2）h

直棱柱s例=⑧―v=?_

正棱錐Sx⑩—v=?_______

正棱臺S?=@_______V=J（S上+S下+m西Rh

球SmA尸?v=8）

2.長方體的外接球

⑴球心:體對角線的交點.

（2）半徑：r=膽半士（a,b,c為長方體的長、寬、高）.

3.正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條梭相切的球

（1）外接球：球心是正方體中心；半徑r=^a（a為正方體的棱長）.

（2）內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r=￡（a為正方體的棱長）.

（3）與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r（a為正方體的楂長）.

4.正四面體的外接球與內(nèi)切球（正四面體可以看作是正方體的一部分）

（1）外接球：球心是正四面體的中心：半徑r=,a（a為正四面體的棱長）.

（2）內(nèi)切球：球心是正四面體的中心：半徑r=^a（a為正四而體的棱長）.

二、必明3個易誤點

1.求組合體的表面積時：組合體的銜接部分的面積問題易出錯.

2.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認識不準

易導(dǎo)致失誤.

3.易混側(cè)面積與表面積的概念.

【小題熱身】

一、判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確（請在括號中打“J”或“X”）.

（1）圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2JTS.（）

（2）錐體的體積等于底面面積與高之積.（）

（3）臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.（）

（4）球的體積之比等于半徑之比的平方.（）

二、教材改編

2.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A,B,C,D在同一個平面內(nèi).如果四選形

ABCD是邊長為30cm的正方形，那么這個八面體的表面積為（）

A.225mcm2B.100073cm2

C.180073cm2D.900+2000^3cm2

3.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為

三、易錯易混

4.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6n和4丸的矩形，則圓柱的表面積為（

A.6n（4冗+3）B.8n（3Ji4-1）

C.6n（4兀+3）或8n（3兀+1）D.6兀（4兀+1）或8兀（3兀+2）

5.《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺g寸，容納米2000斛（1丈=10尺，1尺

=10寸，斛為容積單位，1斛q1.62立方尺，n^3）,則圓柱底面圓周長約為（）

A.1丈3尺B.5丈4尺

C.9丈2尺D.48丈6尺

四、走進高考

6.［2020?全國卷I］埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以

該四棱錐的高為邊長的正方形而積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面枳，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底

面正方形的邊長的比值為（）

A.QB.JC.畢D.畢

課堂⑤考點突破?分層探究研習(xí)考點?掌握臭題通法

|考點一|空間幾何體的側(cè)面積用表面積

［自主練透型］

1.［2020?全國卷HI］如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4^2B.4+4隹

C.6+24D.4+24

2.某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）

正（主）視圖（左）視圖

命視圖

A.6十幣B.6十2/

C.12+73D.12+2，5

3.［2021?南昌市NCS模擬考試］一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面枳是（）

A.16B.12

C.8D.6

幾何體表面積的求法

（1）多面體：其表面積是各個面的面積之和.

（2）旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面而枳與底面面枳的和.

計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時,一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行.即將側(cè)面展開化為平面圖形來解決.

（3）簡單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的處理.

（4）若以三視圖的形式給出，解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置

關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.

考點二空間幾何體的體積［自主練透型］

4.［2020?浙江卷］某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm'）是（）

714

A.-B.-

JJ

C.3I).6

“L--J

7J

5.[2020?江蘇卷]如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.己知螺帽的底面

正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.

6.[2021?惠州市高三調(diào)研考試試題]某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖均是由三角

形與半圓構(gòu)成的，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，則該幾何體的體積為()

視圖

1

6-

B.

1D.

6-

空間幾何體體積的求法

(1)求簡單幾何體的體積.若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式求解.

(2)求組合體的體積.若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補

形法等進行求解.

(3)求以三視圖為背景的幾何體的體積.應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.

考點三空間幾何體的外接球與內(nèi)切球

［互動講練型］

［例］(1)［2020?全國卷【〕己知A,B,C為球0的球面上的三個點，為aABC的外接圓.若001

的面積為4丸，AB=BC=AC=(X)I,則球。的表面積為()

A.64nB.48n

C.36orD.32n

(2)［2020?全國卷111］已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

空網(wǎng)幾何體與球接、切問題的求解方法

(D求解球與棱柱、極錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與

圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

⑵若球面上四點P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,一般

把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4產(chǎn)=￡+4+不求解.

［變式練］—(著眼于舉一反三)

1.［2021?深圳市普通高中高三年級統(tǒng)?考試］如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某

四面體的三視圖，則該四面體的外接球的表面積為()

32鋪JT

A.——B.32n

C.36nD.48n

2.[2021?唐山市高三年級摸底考試]在三棱錐P-ABC中，NBAC=NPBA=NPCA=90°,PB=PC=\2,

點P到底面ABC的距離為1,則三極錐P-ABC的外接球的表面積為()

A.3nB.華^

3n

C.4nD.——

4

第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積

【知識重溫】

①27rh②Sh③丸r'h④又rl⑤/hnr-h⑦兀(門+門)1⑧Ch⑨Sh⑩

Sh磅(C+C，)h/?IJIR2@R3

【小題熱身】

1.答案：(1)X(2)X(3)V(4)X

2.解析：每個三角形面積為S=1X30X1/=225#,則表面積為S=8X225[5=180073(cm2),

故選C.

答案：C

3.解析：設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R,

4

23

VV?=-itR\VMH=/R-2R=2nR,

3

4KR32

；?Vj*?VIAH=_7—?2pR=T.

JJ

2

答案-

3

4.解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,

分兩種情況.①若6n=2Jir,r=3,

，圓柱的表面積為：4JtX6Ji+2n1=24n?+18丸=6Jt(4n+3).

②若4jr=2jrr,r=2,??.圓柱的表面積為：4JrX6n+2XJIr:=24n2+8n=8n(3n+1),故選

答案：c

5.解析：設(shè)圓柱底面半徑為r尺，高為h尺，依題意，圓柱體枳為V=n/h=2000X1.62=?3Xr2

X13.33,所以^281,即r-9,所以圓柱底面圓周長為2冗r^54,54尺=5丈4尺，即圓柱底面圓底長

約為5丈4尺，故選B.

答案：B

6.解析：如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長BC=a,側(cè)面等腰三角形底邊上的高PM=h，則正四棱錐的高

，以IPOI為邊長的正方形面積為h?/

?個側(cè)面三角形面積為|ah,

h?—^-=|ah,

*乙

/.4h2—2ah-a2=0,

兩邊同除以丁可得4（5）一2??-1=0,

又,?他a〉0,??a2=次4”?故選C

答案：C

課堂考點突破

考點一

1.解析：在正方體中還原幾何體如圖.

幾何體為正方體的一部分：三棱錐P-ABC,

SftiSft!=SAPAC4-SAP,W+SAI?：4-SAR?：

=1x272x2^/2X^+1x2X2-|-1x2X2+^X2X2=2^34-6.故選C.

乙乙乙乙乙

答案：C

2.解析?：由題圖知，該三棱柱為正三極柱，且底面是邊長為2的正三角形，高為2,其表面積為2X

WX2?+3X2X2=12+2，5.故選D.

答案：D

3.解析：由正（主）視圖可知，該正三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，且該正三棱柱的高為2,所

以該正三棱柱的側(cè)面積為3X2X2=12.故選B.

答案：B

考點二

4.解析：由三視圖可知，該幾何體是三棱柱和三棱錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積V

1117

=-X2X1X2+-X-X2X1X1=-（C]13）,故選A.

乙J/J

答案：A

5.解析：正六棱柱的體積為6X乎XTX2=124（cm3圓柱的為積為nX0.5々2=子面），則該

A乙

六角螺帽毛坯的體積為（12第一方）cm3.

答案：12小一子

6.解析：由三視圖可知該幾何體是一個半球上面有一個三棱錐，其體積V=；X；X1X1X1+」XqX

階等+!,故選C.

答案：c

考點三

例解析：（D如圖,由題意知AABC為等邊三角形，圓01的半徑r=2,即0B=2,...BC=2鎘=0%,

在RtZXOOiB中，0B2=00；+0.B2=16,，球0的半徑R=0B=4,貝！S球o=4"W=64n.故選A.

（2）如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時的軸截而圖.

其中球心為Q設(shè)其半徑為r,AC=3,OiC=l,

；?AOi=/上一。/=2/

*

VOOi=OM=r,..A0=A0-(X)1=2^/2-r,

又???△AMOs^AOC.?黑=呼，即千=第二，故3r=2也一r,?/=乎..??該圓錐內(nèi)半徑最大的球

Uivnv1O乙

的體積v=2.圉=粵.

答案：（DAn

變式練

1.解析：由三視圖可知該四面體為PBCD,如圖，將它補形成棱長為4的正方體，則正方體的體對角

線PC就是該四面體的外接球的直徑，所以外接球的直徑2R=，W,所以R=2#,則該四面體的外接球

的表面積為4丸R2=4XnX（2，5）2=48n,故選D.

答案：D

2.解析：通解如圖，令0為？A的中點，連接OB,0C,因為/PBA=NPCA=90°,所以O(shè)A=OB=

OP=OC,即0為三棱錐P-ABC的外接球的球心，又NBAC=90°,所以點0在底面ABC上的射影為BC的

中點D,連接AD,0D,因為點P到平面ABC的距離為1,所以0D=：.因為PB=PC=^,ZPBA=ZPCA=

90°,PA=PA,所以△PAB^^PAC,所以AB=AC.令A(yù)B=AC=a,則PA=A/2+7,BC=/a,所以0A="寸④,

AD=^a,又ODWAD^OA?,所以;+)/=牛，所以a=l,所以三極錐P-ABC的外接球的半徑R=OA

苕,所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=4nR?=3K.故選A.

L

優(yōu)解把三棱錐P-ABC放在正方體中，如圖所示，因為點P到平面ABC的距離為1,所以正方體的棱

長為1.三棱錐P-ABC的外接球即此上方體的外接球，所以三極錐P-ABC的外接球的半徑R=%P=半，

乙乙

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=4nR2=3n.故選A.

答案：A

第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

知識排查?雙基落實抓軍星■融?哀得良好開玳

【知識重溫】

一、必記6個知識點

1.平面的基本性質(zhì)

表示

文字語言圖形語言符號語言

公理

如果一條直線上的兩

點在一個平面內(nèi)，那///B€Z

公理1Q/Ua

么這條直線在此平面A6a

內(nèi)B6a

A,B,C三點不共線

①__________的三

今有且只有一個平面

公理2點，有且只有一個平

a,使A￡a,B￡a,

面

Cea

如果兩個不重合的平

面有一個公共點，那

P￡a?P￡B?}=

公理3么它們有且只有②

an3=1,且PW1

過該點的公共

直線

2.空間兩條直線的位置關(guān)系

(1)位置關(guān)系分類：

錯誤!錯誤！

(2)平行公理(公理4)和等角定理：

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線⑥________.

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角⑦.

(3)異面直線所成的角：

①定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點0作直線a'"a,bz〃b,把a'與b'所成的⑧

叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

②范圍：⑨.

3.空間直線與平而、平而與平面的位置關(guān)系

圖形語言符號語言公共點

相交⑩__1個

直線與平面

---------------a

平行?__0個

在平面內(nèi)/-一少@__無數(shù)個

//

平行0個

//?__

平面與平面

相交?__無數(shù)個

4.啡一性定理

(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

5.異面直線的判定定理

經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線.

6.確定平面的三個推論

(1)經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.

(2)兩條相交直線確定一個平面.

(3)兩條平行直線確定一個平面.

二、必明2個易誤點

1.異而直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異而直線”，實質(zhì)上兩異面直線不能確定

任何一個平面.因此異面直線既不平行,也不相交.

2.直線與平面的位置關(guān)系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”.

【小題熱身】

一、判斷正誤

1.判斷F列說法是否正確(請在括號中打“或"x”).

(1)如果兩個不重合的平面a,P有一條公共直線a,就說平面a,B相交，并記作anB=a.()

(2)兩個平面a,B有一個公共點A,就說a,B相交于過A點的任意一條直線.()

(3)兩個平面a,B有一個公共點A,就說a,B相交于A點，并記作anB=A.()

(4)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.()

(5)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.()

二、教材改編

2.下列命題正確的是()

A.三點確定一個平面

B.一條直線和一個點確定一個平面

C.圓心和圓上兩點可確定一個平面

D.梯形可確定一個平面

3.下列命題中正確的是()

A.若直線1上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則l〃a

B.若直線1與平面u平行，貝也與平面a內(nèi)的任意一條直線都平行

C.如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行

D.若直線1與平面a平行，則1與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點

三、易錯易混

4.設(shè)直線1與平面a平行，直線m在平面a上，那么()

A.宜線1不平行于直線m

B.直線1與直線m異面

C.直線】與直線m沒有公共點

D.直線1與直線m不垂直

5.若NAOB=/AQB,且OA〃OA,0A與0A的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是()

A.OB〃OB且方向相同B.CB/70.B,

C.0B與0B不平行D.CB與0B不一定平行

四、走進高考

6.[2018?全國卷H]在正方體ABCD-ABCD中，E為棱CG的中點,則異面直線AE與CD所成角的正

切值為()

A.*B.*

C.當D.亭

課堂⑤考點突破?分層探究研習(xí)考點?掌握臭題道法

考點一平面的基本性質(zhì)［互動講練型］

[例I]

如圖，在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別在BC,CD上，且BG：GC=DH：

HC=1：2.

(1)求證：E,F,G,H四點共面;

(2)設(shè)EG與FH交于點P,求證：P,A,C三點共線.

1.證明空間點共線問題的方法

(1)公理法：?般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在這兩個平面的

交線上.

(2)納入直線法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.

2.點、線共面的常用判定方法

(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi).

(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面Q,再證明其余元素確定平面B,最后證明平而。，B重

合.

［變式練］一一(著眼于舉一反三)

1.如圖所示，正方體ABCD-ABCD中,E、F分別是AB和示】的中點.

求證：(1)E,C,D1,F四點共面；

(2)CE,DF,DA三線共點.

考點二異面直線的判定[自主練透型]

1.[2019?全國卷HI]

如圖，點N為正方形ABCD的中心,Z\ECD為正三角形,平面ECDJL平面ABCD,M是線段ED的中點,

則（）

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BMWEN,且直線BM,EN是相交宜線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BMWEN,且直線BM,EN是異面直線

2.[2021?江西景德鎮(zhèn)模擬]將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體

ABCD（如圖2）,則在空間四面體ABCD中,AD與BC的位置關(guān)系是（）

A.相交且垂直B.相交但不垂直

C.異面且垂直D.異面但不垂直

3.如圖，在正方體ABCD-ABCD中,M,N分別為棱CD”GC的中點，有以下四個結(jié)論:

①直線AM與CG是相交直線;

②直線AM與BN是平行直線：

③直線BN與Ml1是異面直線：

④直線AM與DDi是異面直線.

其中正確的結(jié)論為.（注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上）