高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河北區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得直線(xiàn)的斜率為，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則且，解得.故選：C.2.空間四邊形中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】點(diǎn)為的中點(diǎn)，則有，所以.故選：B.3.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，焦距為，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題的，所以，所以離心率為，故選：C.4.過(guò)和兩點(diǎn)的面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)過(guò)和兩點(diǎn)的圓的圓心為，半徑為，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故過(guò)和兩點(diǎn)的圓的面積最小時(shí)直徑為，此時(shí)圓的圓心為3,-4，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C.5.已知與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.直線(xiàn)過(guò),的中點(diǎn) B.直線(xiàn)的斜率為C.直線(xiàn)的斜率為3 D.直線(xiàn)的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)榕c關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)過(guò)，的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，直線(xiàn)的斜率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的斜率為3，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為3，所以直線(xiàn)的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是，故D正確.故選：B.6.已知過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線(xiàn)方程為，由題可知圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑，圓圓心為2,0，半徑，所以有故選：C.7.已知是空間的一個(gè)基底，是空間的另一個(gè)基底，向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意可知，設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)是，則,所以，可得，解得，所以向量在基底下的坐標(biāo)是.故選：B.8.從直線(xiàn)上的點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】圓化為，圓心為，半徑為1，直線(xiàn)上的點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，要使切線(xiàn)長(zhǎng)的最小，則PC最小，即直線(xiàn)上的點(diǎn)與圓心的距離最小，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，.所以切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為.故選：B.9.平行六面體中，，，，，，則的長(zhǎng)為（）A.10 B. C. D.【答案】D【解析】記，則，且；所以；因此可得即，所以的長(zhǎng)為.故選：D.10.已知是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】如圖，由題意，橢圓的焦點(diǎn)為，，則圓的圓心是橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓定義得，所以，又，所以.故選：B.二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案填在題中橫線(xiàn)上.11.已知點(diǎn)B是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則__________.【答案】【解析】∵點(diǎn)B是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的正射影，∴B在坐標(biāo)平面上，橫標(biāo)和縱標(biāo)與A相同，而豎標(biāo)為0，∴B的坐標(biāo)是，∴.12.已知點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為5，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)___________．【答案】或【解析】，化簡(jiǎn)為，解得：或.13.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為_(kāi)____.【答案】【解析】記，則，易知，所以；又，所以；顯然，,所以；又直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的范圍是，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為.14.已知圓和圓，則兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____：公共弦長(zhǎng)為_(kāi)____.【答案】【解析】易知兩圓相交，將兩圓方程相減可得，即；所以?xún)蓤A公共弦所在直線(xiàn)的方程為；易知圓的圓心為，半徑為；圓心到直線(xiàn)的距離為，所以公共弦長(zhǎng)為.15.已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若，則的方程為_(kāi)________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，又，所以，又BF1+BF2=2a又，所以AF1=a，所以所以在軸上（也為橢圓的頂點(diǎn)），在中，由余弦定理可得，，可得，解得，所以，則的方程為.三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.在中，，，.（1）求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：（2）求線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程；（3）求過(guò)點(diǎn)且在軸和軸截距相等的直線(xiàn)方程.解：（1）由題可知直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即；由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得，即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為；（2）易知線(xiàn)段的斜率,所以其垂直平分線(xiàn)斜率為；且過(guò)的中點(diǎn)，可得該直線(xiàn)方程為，即；（3）當(dāng)在軸和軸截距都為0時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)過(guò)，此時(shí)直線(xiàn)方程為；當(dāng)在軸和軸截距不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，可得；代入點(diǎn)坐標(biāo)可得，解得，此時(shí)直線(xiàn)方程為，即；綜上可知，過(guò)點(diǎn)且在軸和軸截距相等的直線(xiàn)方程為或.17.已知直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求的面積.解：（1）將圓化為，所以其圓心，半徑，作于點(diǎn)，由垂徑定理可得為的中點(diǎn)，如下圖所示：由可得，又CD=所以；（2）由（1）可知，所以，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以點(diǎn)到的距離為，因此的面積為.18.如圖，在四棱錐中，，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，故平面；（2）解：由于平面，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為；（3）解：因?yàn)?，又平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為．19.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且，動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)；當(dāng)直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)且與軸垂直時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)面積為時(shí)，求直線(xiàn)斜率.解：（1）由橢圓頂點(diǎn)性質(zhì)以及可得；當(dāng)直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)且與軸