高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省孝義市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，（其中為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)集），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，．故選：C．2.下列命題是真命題的是（）A.兩個(gè)四棱錐可以拼成一個(gè)四棱柱B.正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C.經(jīng)過(guò)不共線的三個(gè)點(diǎn)的球有且只有一個(gè)D.直棱柱的側(cè)面是矩形【答案】D【解析】對(duì)于A，兩個(gè)四棱錐不一定可以拼成一個(gè)四棱柱，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，經(jīng)過(guò)不共線的三個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)不共線的三個(gè)點(diǎn)的球有無(wú)數(shù)個(gè)，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．故選：D3.如圖，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周長(zhǎng)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，由直觀圖可得原圖，如圖所示，可知：，可得，所以原三角形的周長(zhǎng).故選：B.4.設(shè)均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則，即，即，所以，即，所以充分性成立，若，則，此時(shí)，，所以，即，所以必要性成立，所以“”是“”的充分必要條件.故選：C5.折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，點(diǎn)E在弧CD上，則的最小值是（）A.－1 B.1 C.－3 D.3【答案】C【解析】以為原點(diǎn)，為軸的正方形建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：C6.定義在上的函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以是偶函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，而在上單調(diào)遞增，則，，則，

.故選：B.7.已知，且，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，又，解得：，因?yàn)椋?所以，所以.故選：C.8.《數(shù)書九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個(gè)問(wèn)題，分為九類，每類九個(gè)問(wèn)題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即.現(xiàn)有滿足，且的面積，請(qǐng)運(yùn)用上述公式判斷下列命題正確的是（）A.周長(zhǎng)為B.三個(gè)內(nèi)角滿足關(guān)系C.外接圓半徑為D.中線CD的長(zhǎng)為【答案】ABD【解析】現(xiàn)有滿足，所以，設(shè)，利用余弦定理cosC，由于，所以．所以，故，所以三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，故B正確；利用，所以，解得．所以：所以的周長(zhǎng)為，故A正確；利用正弦定理，外接圓半徑為，故C錯(cuò)誤；如圖所示：利用正弦定理，解得，所以，利用余弦定理：，解得，故D正確．故選：ABD．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每個(gè)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)，為復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】設(shè)，，，，，，對(duì)于選項(xiàng)A，例如，則，，兩者不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，，又，，則，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，則，，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，令，，則，，所以，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：BC.10.已知函數(shù)，，，則（）A.的圖象是由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，且所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到B.的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，且所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同交點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A和B，因?yàn)?，所以的圖象由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到，所以A不正確，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，其中，因?yàn)?，且取不到，所以?dāng)時(shí)，直線與函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象只有2個(gè)交點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由C分析知，是在內(nèi)的兩個(gè)不等根，由對(duì)稱性知，，所以，所以D正確．故選：BCD．11.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖1），明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）.若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖3中點(diǎn)）開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)t秒后點(diǎn)P距離水面的高度為h米，下列結(jié)論正確的有（）A.h關(guān)于t的函數(shù)解析式為B.點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需用時(shí)5秒C.P再次接觸水面需用時(shí)10秒D.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2.5秒時(shí)，距水面的高度為1.5米【答案】ABC【解析】函數(shù)中，所以，時(shí)，，解得，因?yàn)?，所以，所以，A正確；令得，則，解得，所以x的最小值為5，即點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需用時(shí)5秒，B正確；由題意知，點(diǎn)P再次接觸水面需用時(shí)（秒），C正確；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P距水面的高度為2米，D錯(cuò)誤．故選：ABC三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，則與向量重直的單位向量為_____．【答案】或【解析】因?yàn)椋?，所以，設(shè)與向量重直的單位向量為，則，解得或，所以或.故答案為：或13.________．【答案】2【解析】.故答案為：214.我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童有外接球，且，平面與平面的距離為1則，該芻童外接球的體積為______.【答案】【解析】設(shè)為芻童外接球的球心，，分別為矩形，的中心，由球的幾何性質(zhì)可知：，，三點(diǎn)共線，連接，，，，，如圖所示：由題知：平面，平面，所以.因?yàn)椋O(shè)，在中，，因?yàn)?，在中，，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，解得.所以，.故答案為：四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中.（1）求；（2）若E為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，連結(jié)，設(shè).當(dāng)λ為何值時(shí)，可使最小，并求出的最小值.解：（1）在菱形中，易知，，所以.（2）在菱形中，，易知，由，則，即，所以，故，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.16.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的值．解：（1）由余弦定理得，所以，即，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?（2）由，得，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，，所?17.在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，滿足.（1）求角的大??；（2）若，邊上的中線的長(zhǎng)為，求的面積；（3）若內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)，且，求的面積的最小值．解：（1）由及正弦定理得：，因?yàn)椤?，所以，則，故.（2）因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，則，由余弦定理得，得，在中，，在中，，因?yàn)椋?，所以，，解得：，故的面積為；（3）因?yàn)?，平分，所以，又，則由，得，所以，由基本不等式可得，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故面積的最小值為.18.已知數(shù)（）的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若，，求的值；（3）對(duì)于第（2）問(wèn)中的函數(shù)，記方程在上的根從小到大依次為，，…，，若，試求與的值.解：（1）∵∴又∵，∴∴（2）向右平移個(gè)單位，得;再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得因?yàn)?，所以因?yàn)?，則，所以故，（3）由方程，即，即,因?yàn)?，可?設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，可得方程在區(qū)間有5個(gè)解，即，其中，，，，即，，，，解得，，，，所以綜上，，.19