高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安市2024-2025學年高二下學期4月期中數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.乘積展開后的項數(shù)為（）A.9 B.12 C.18 D.24【答案】D【解析】從第一個括號中選一個字母有3種方法，從第二個括號中選一個字母有2種方法，第三個括號中選一個字母有4種方法，故根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知共有（項）．故選：D2.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，因為，所以，所以切線方程為，即，故選：D.3.已知隨機變量的分布列為012則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知，解得；所以分布列為012因此.故選：C4.（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為（）A.12 B.16 C.20 D.24【答案】A【解析】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．5.函數(shù)在處取得極值10，則（）A.5 B. C.0 D.0或【答案】B【解析】函數(shù)，求導得，由在處取得極值10，得，解得或，當時，，函數(shù)在R上遞增，無極值，不符合題意；當時，得，當或時，；當時，，因此是函數(shù)極小值點，符合題意，所以.故選：B6.將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到花樣滑冰，冰球，冰壺3個項目進行培訓，每名志愿者只分配到一個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則甲，乙兩人分配到同一個項目的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將5名志愿者分為3組，每組的人數(shù)分別為1、1、3或2、2、1，當每組的人數(shù)分別為1、1、3時，不同的方案共有種，當每組的人數(shù)分別為2、2、1，不同的方案共有種；總的分配方案數(shù)為，除了甲乙剩余3人分成兩類：一類是3個項目各一個志愿者，不同的方案共有種；一類是一個項目一個志愿者，一個項目0個志愿者，一個項目2個志愿者，不同的方案共有種；乙兩人分配到同一個項目的分配方案共種，所以甲，乙兩人分配到同一個項目的概率為，故選：B7.甲、乙、丙、丁、戊五名同學進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對乙說“你當然不會是最差.”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同情況？（）A.27種 B.36種 C.54種 D.72種【答案】C【解析】由題意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3種情況；再排甲，也有3種情況；余下3人有種排法．故共有種不同的情況．故選：C.8.已知，，，，則，，，的大小關系正確的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，則，當時，，所以在單調(diào)遞增；因為，，又，故A錯；，所以，故B錯；因為，故C錯；因，所以，所以，故D對；故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某體育器材廠生產(chǎn)一批乒乓球,設乒乓球的直徑為（單位：厘米）,若,其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.越小，越大【答案】AC【解析】對于正態(tài)分布，其正態(tài)分布曲線關于直線對稱．已知，則該正態(tài)分布曲線關于對稱．所以，選項正確．

，，，．由正態(tài)分布曲線的對稱性可知，，所以，選項錯誤．

因為正態(tài)分布曲線關于對稱，3.95與4.05關于對稱．所以，C選項正確．

越小，說明數(shù)據(jù)越集中在均值附近，正態(tài)分布曲線越“瘦高”．那么越小，選項錯誤．

故選：AC．10.已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則下列結(jié)論正確是（）A.直線是曲線切線B.有三個零點C.D.若在上有最大值，則的取值范圍為【答案】BD【解析】對于A，由，則，由直線，則其斜率為，令，即，解得，，可得切點坐標為，將代入，則，故A錯誤；對于B，由當時，，當時，，則函數(shù)在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由，，，，即，則函數(shù)在，，分別存在唯一零點，即函數(shù)存在三個零點，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，由B可知函數(shù)在取得極大值，由，則，解得，故D正確.故選：BD.11.對一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同構(gòu)造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結(jié)合二項式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式.例如：考察恒等式，左邊的系數(shù)為，而右邊，的系數(shù)為，因此可得到組合恒等式.利用算兩次的思想方法或其他方法，可以得出下面有關組合數(shù)的等式，正確的是（）AB.C.D.【答案】ABD【解析】A選項，，左邊的系數(shù)為，右邊，故的系數(shù)為，故，A正確；B選項，在個人中選人搞衛(wèi)生工作，其中人擦窗戶，人拖地，共有多少種不同的方法？方法一：先從在個人中選人，再從選出的人中選出人擦窗戶，共有種不同的方法；方法二：先從在個人中選人擦窗戶，再從剩余的人中選人拖地，故共有種方法；故，B正確；C選項，，，左邊的系數(shù)為，右邊的系數(shù)為，故，C錯誤；D選項，由題干可得，故，即①，由C可知，，則②，故①-②得，所以，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.用這9個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是______.【答案】448【解析】用這9個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是.故答案為：.13.已知，，，則______.【答案】【解析】由全概率公式可得，則由題意可得，解得.故答案為：14.若函數(shù)有且僅有一個零點，且，則實數(shù)的取值集合為______.【答案】【解析】令有且僅有一個根，且所以，在上有且僅有一個根，當，則令且，則所以在上單調(diào)遞增，x趨向于0時，x趨向于1時所以當，則令在上單調(diào)遞減，且，x趨向于+∞時所以綜上所得，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在的二項展開式中.（1）若，求展開式中含項的系數(shù)；（2）若展開式中含有常數(shù)項，求最小的正整數(shù)的值.解：（1）當時，展開式的通項為令，解得所以展開式中含項的系數(shù)為（2）展開式的通項，由于展開式含有常數(shù)項，可得即，又即當時，取最小值5，此時展開式含有常數(shù)項，因此最小的正整數(shù)的值為5.16.在一盒中裝有大小形狀相同的10個球，其中5個紅球，3個黑球，2個白球.（1）若從這10個球中隨機連續(xù)抽取3次，每次抽1個球，每次抽取后都放回，設取到黑球的個數(shù)為，求的分布列；（2）若從這10個球中隨機連續(xù)抽取3次，每次抽取1個球，每次抽取后都不放回，設取到紅球的個數(shù)為，求的分布列和均值.解：（1）若每次抽取后最放回，則每次取到黑球的概率均為，取到小球的個數(shù)∴∴的分布列為0123（2）若每次抽取后都不放回，取到小球的個數(shù)服從超幾何分布∴的分布列為012317.已知.（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）當，且時，不等式在上恒成立，求的最大值.解：（1）因，則，因在上為增函數(shù)，則即在上恒成立，則，又在上單調(diào)遞減，則當時，則，故的取值范圍是；（2）當時，，當時，不等式等價于，即對任意恒成立，設，，則，設，，則，則在單調(diào)遞增，因，，則存在使，即，所以當時，，；當時，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則所以，又因，故的最大值為.18.甲，乙兩人參加投籃比賽，比賽規(guī)則如下：首次投籃者由抽簽決定，后續(xù)兩人輪流投籃，每人每次投一個球，投進得1分，投不進不得分，兩人投進與否相互獨立，甲乙兩人各完成一次投籃記為一輪比賽.比賽過程中，只要有選手領先對方2分，則該選手獲勝且比賽結(jié)束（不管該輪比賽有沒有完成）.已知甲每次投進的概率為，乙每次投進的概率為.第一輪投籃后甲乙兩人各積1分的概率為.記比賽結(jié)束時甲乙兩人的投籃總次數(shù)為.（1）求；（2）求在的情況下，乙獲勝的概率；（3）求甲在3輪比賽之內(nèi)獲勝的概率.解：（1）由題意可知：,∴（2）當時，甲，乙兩人共投籃3次由于比賽結(jié)束，故有一人投籃2次全進，另一人投籃1次未進設“時，比賽結(jié)束”，“乙獲勝”；（3）若甲在3輪比賽之內(nèi)獲勝，則兩人可能的投籃總次數(shù)為3，4，5，6設“甲獲勝”，“時比賽結(jié)束”當時，若甲勝，兩人的投籃情況一定為：甲進，乙不進，甲進，∴當時，若甲勝，兩人的投籃情況一定為：乙不進，甲進，乙不進，甲進，則當時，若甲勝，兩人的投籃情況可能為：甲不進，乙不進，甲進，乙不進，甲進；甲進，乙不進，甲不進，乙不進，甲進；甲進，乙進，甲進，乙不進，甲進；∴當時，若甲勝，則乙先投籃，兩人的投籃情況可能為：乙不進，甲進，乙不進，甲不進，乙不進，甲進；乙不進，甲不進，乙不進，甲進，乙不進，甲進；乙不進，甲進，乙進，甲進，乙不進，甲進；乙進，甲進，乙不進，甲進，乙不進，甲進；∴∴甲在3輪比賽之內(nèi)獲勝的概率為19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對于函數(shù)，，若存在，使，則稱函數(shù)與為“互補函數(shù)”，，為“互補數(shù)”.已知當時，函數(shù)與為“互補函數(shù)”且互補數(shù)為.（?。┦欠翊嬖?，使？并說明理由；（ⅱ）若，，請用含有的代數(shù)式表示的最小值.解：（1）∵，∴，①