高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省臨沂市莒南縣2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1.設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)存在，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D2.若，則=（）A.210 B.105 C.455 D.240【答案】B【解析】根據(jù)題意，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，所以.故選：B.3.隨機變量，．若，則X在內(nèi)取值的概率為（）A.0.9 B.0.8 C.0.3 D.0.1【答案】A【解析】因為隨機變量，，所以，因為，所以.所以X在內(nèi)取值的概率為.故選：A4.有2位老師和4名學(xué)生排成一隊照相，老師既不能分開也不排在首尾，則不同的排法有（）.A.32種 B.64種 C.96種 D.144種【答案】D【解析】2位老師不能分開，即將他們捆綁為一個整體，2位老師的順序可交換，有種排法，老師不排在首尾，由于將2位老師看成一個整體了，與4名學(xué)生一共是5個位置在排列，2位老師不能選首尾的2個的位置，只能選中間的3個位置中的一個，2位老師選定后，剩下4名學(xué)生在4個位置全排列，所以有種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的排法一共有種.故選：D.5.已知函數(shù)恰有一個極值點，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得，當(dāng)時，在上恒成立，不存在極值點，不符合題意，舍去；所以必有，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)x>-ln-a時，，即恰好有一個極小值點，符合題意，故a的取值范圍是.故選：C.6.某單位計劃從4名男職工和3名女職工中選2人在周末時間值班，則在周六值班的是男職工的條件下，周日值班是女職工的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件A為周六值班的是男職工，事件B為周日值班的是女職工，由題意可知，事件AB表示周六值班的是男職工，周日值班的是女職工，二者同時發(fā)生，一共有種符合條件的情況，總情況數(shù)有，所以，由條件概率的計算公式可知.故選：B.7.定義：為函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)，即對函數(shù)連續(xù)求n階導(dǎo)數(shù)．例如,則,,,,…,若，則的展開式中的系數(shù)是（）A.8 B.28 C.56 D.70【答案】C【解析】由，可得，所以，所以，由此可歸納出求，求8階導(dǎo)，展開式有9項，且每項的系數(shù)是組合數(shù)，所以的展開式中的系數(shù)是.故選：C.8.甲乙兩人分別從一個裝有a張數(shù)字卡牌，b張字母卡牌（大小質(zhì)地均相同）的袋子中摸n張牌，甲選擇從中依次有放回的摸出n張，記摸數(shù)字卡牌的數(shù)目為X；乙選擇從中一次性摸出n張卡牌，記摸出卡牌中數(shù)字卡牌的數(shù)目為Y．下列選項中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于甲，從中依次有放回的摸出n張，每次摸到數(shù)字卡牌的概率為，重復(fù)做次，所以，對于乙，從中一次性摸出n張卡牌，不放回，所以服從超幾何分布.對于A，，，利用特殊值賦值驗證發(fā)現(xiàn)其并不會相等，如取，則，故A錯誤；對于B，，，利用特殊值賦值驗證發(fā)現(xiàn)其并不會相等，如取，則，故B錯誤；對于C，由二項分布期望公式可得，由超幾何分布的期望公式可得，故C正確；對于D，利用特殊值賦值驗證發(fā)現(xiàn)其并不會相等，如取，則，，故D錯誤.故選：C.二、多選題9.已知的展開式共有8項，則（）A. B.無常數(shù)項C.含項的系數(shù)為92 D.所有項的二項式系數(shù)之和為128【答案】ABD【解析】對于A，因為的展開式共有8項，所以，故A正確；對于B，展開式通項為，設(shè)，此時無解，所以不存常數(shù)項，故B正確；對于C，令，解得，所以項的系數(shù)為，故C錯誤；對于D，展開式二項式系數(shù)和為，故D正確.故選：ABD10.已知是函數(shù)的一個極值點，則（）A. B.當(dāng)時，C.是偶函數(shù) D.當(dāng)且時，【答案】ACD【解析】對于A，，由題意，是的解，則，解得，故A正確；對于B，因為，所以，函數(shù)的定義域為，，令，解得，令，解得或，故在上單調(diào)遞減，又，則，故B錯誤；對于C，由，所以關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱，即是偶函數(shù)，故C正確；對于D，，可得，又，則得，因在上單調(diào)遞增，則故有，即，故D正確.故選：ACD11.甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給其他人中的任意1人，設(shè)第n次傳球后，球在甲手中的概率為．則（）A.B.若第3次傳球后，戊開始加入傳球訓(xùn)練，則C.若第2次傳球后，球恰好在丁手中，他將球傳出后便離開了，則D.若添加規(guī)定：當(dāng)球在甲手中時，甲只能傳給乙，乙再等可能傳給其他人，則【答案】AC【解析】對于A，由題意可知第次傳球后，球在甲手中的概率為，所以在其他人手中的概率為，因為每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給其他3人中的任意1人，所以第次傳球后，球在甲手中的概率為，可以得到傳球遞推關(guān)系：，且，由此可算得，所以A正確；對于B，當(dāng)傳球3次后，球在甲手中的概率，而接下來，，所以B錯誤；對于C，第2次傳球后，球恰好在丁手中，第3次傳球丁傳給甲、乙、丙的概率均相等為，故第3次傳球后球在甲手中的概率，而接下來，，，所以C正確；對于D，添加的規(guī)定不影響傳球遞推關(guān)系：，所以，所以D錯誤．故選：AC.三、填空題12.的展開式中，系數(shù)最大的項是第________項．【答案】【解析】因為在的展開式中，第項的系數(shù)與第項的二項式系數(shù)相同，而二項展開式共有項，中間項的二項式系數(shù)最大，所以第項的系數(shù)最大，故答案為：13.某人要經(jīng)過一段有14級臺階的樓梯，他每次邁步時都是一步邁兩級或三級臺階，那么他的走法有______種．【答案】21【解析】考慮邁三級臺階的次數(shù)：邁0次三級臺階，即每次邁2級臺階，走7次，只有1種走法；邁1次三級臺階，還有11級，無法被2整除，不可能；邁2次三級臺階，還有8級，再邁4次2級臺階，一共要邁6次，所以有種走法；邁3次三級臺階，還有5級，無法被2整除，不可能；邁4次三級臺階，還有2級，再邁1次2級臺階，一共要邁5次，所以有種走法；邁5次三級臺階，已經(jīng)超過14級臺階了，不可能，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的走法共有種.故答案為：21.14.已知曲線與gx=ax2+【答案】【解析】由題意可知在上分別存在兩個點，使得在處的切線與在處的切線為同一條直線，因為，由同一條切線的斜率相等可得，由同一條切線的截距相等，可得，即，將斜率相等的表達(dá)式代入可得，即方程在上有解，令，則，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以存在極大值同時也是最大值，所以的值域為，若方程在上有解，則，又，所以.故答案為：.四、解答題15.學(xué)校有一隊含有2名教師、3名高一學(xué)生、3名高二學(xué)生和2名高三學(xué)生的志愿者隊伍，現(xiàn)從這10名志愿者中選調(diào)6名志愿者平均分配到、兩個社區(qū)作宣傳活動.求：（1）若選調(diào)的志愿者中必須有教師，則有多少種選調(diào)方法（不需要分配到社區(qū)）？（2）若每個社區(qū)必須有教師帶隊，且不含高三學(xué)生，則有多少種分配方法？（3）若選調(diào)的志愿者中高一與高二學(xué)生選調(diào)人數(shù)相等，則有多少種分配方法？解：（1）選調(diào)的志愿者中恰有1名教師，先選1名教師，再從剩余8人中選5人，共有種選法．選調(diào)的志愿者中恰有2名教師，先選2名教師，再從8人中選4人，共有種選法．所以志愿者中有教師的選調(diào)方法為：種．（2）若每個社區(qū)中必有教師，則2名教師均需選用，再從高一、高二6名學(xué)生中選4人，然后在進行分配，共有種分配方法．（3）選調(diào)的志愿者中高一與高二學(xué)生選調(diào)人數(shù)相等，有分配時有三種情況：當(dāng)高一高二各選1名學(xué)生時，種分配方法；當(dāng)高一高二各選2名學(xué)生時，種分配方法；當(dāng)高一高二各選3名學(xué)生時，種分配方法；則共有種分配方法.16.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）因為，定義域為，所以，因為，若時，在上單調(diào)遞增；若時，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）因為，恒成立，所以，則，令且，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，又，所以時，；時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，故實數(shù)a的取值范圍為.17.將標(biāo)記為A、B、C、D、E、F的6封信放入甲乙丙丁四個信箱中，要求每個信箱都不空．（1）求甲信箱中放入信件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在A信件放入甲信箱的前提下，求B信件不放入甲信箱的概率．解：（1）X的所有可能取值為1，2，3，當(dāng)時，四個信箱的放法有1,2,2,1和1,3,1,1兩種放法：①6封信里選1封放入甲信箱，再選2封放入乙信箱，再選2封放入丙信箱，二者平均分配需要倍縮，最后1封放入丁信箱，后三個信箱為全排列，②6封信里選1封放入甲信箱，再選3封放入乙信箱，最后2封各1封放入丙丁信箱，后三個信箱為全排列，所以當(dāng)時，放法總數(shù)為，同理可得當(dāng)時，放入甲郵箱中兩封信的放法總數(shù)，當(dāng)時，放入甲郵箱中三封信的放法總數(shù)，因此，，，所以X的分布列為X123P數(shù)學(xué)期望．（2）在A信件放入甲郵箱的前提下，記甲郵箱中信件個數(shù)是1，2，3時放法數(shù)為，，，由（1）同理可得，在A信件放入甲郵箱的前提下，B信件沒放入甲郵箱，甲郵箱中信件個數(shù)是1，2，3時放法數(shù)為，，，由（1）同理可得，所以B信件不放入甲郵箱中的概率為．18.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在上的最值；（2）若無零點，求a的取值范圍．（3）若，有兩個實數(shù)根，，證明：解：（1）當(dāng)時，，則，，由，得，由，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵，，又4-ln3-ln4-15所以的最大值為，最小值為；（2）∵，，當(dāng)時，在上無零點，符合題意；當(dāng)時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，無極值；因為當(dāng)時，，，所以，當(dāng)時，，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)在上必有零點，不合題意，舍去；當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有極小值，同時極小值也為最小值，因為當(dāng)時，，，所以，當(dāng)時，，若函數(shù)無零點，則fa=1令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，由Fa>F1，得，則綜上，a取值范圍為；（3）由（1）得，當(dāng)時，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，因為有兩個實根，所以不妨令，則，要證，即證x2>2-x又因為當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以即證，因為，即證，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，故，即fx>f2-x,所以成立，即成立.19.某學(xué)校有A、B兩家餐廳，王同學(xué)第1天隨機選擇去一家餐廳用餐，以后每天的用餐規(guī)律是：如果第1天去了A餐廳，那么第2天去B餐廳的概率為0.7；如果第1天去了B餐廳，第2天去A餐廳的概率為0.8．（1）求王同學(xué)在前兩天中至少有一天去B餐廳用餐的概率.（2）求王同學(xué)在第