第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)I

第一節(jié)函數(shù)及其表示

本節(jié)主要包括3個知識點：

1.函數(shù)的定義域；2.函數(shù)的表示方法；3.分段函數(shù).

突破點(一)函數(shù)的定義域

［基本知識］

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩集合設(shè)4,3是兩個設(shè)A,8是兩個

AfB非空的數(shù)集非空的集合

如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系力如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系/,

對應(yīng)關(guān)系使對于集合A中的任意一個數(shù)工,使對于集合A中的任意一個元素

/：A-笈在集合B中都有唯一確定的數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的元

八X)和它對應(yīng)素y與之對應(yīng)

稱￡_上必為從集合A到集合B稱對應(yīng)f：A-8為從集合A到集

名稱

的一個函數(shù)合B的一個映射

記法y=jlx)fx^A對應(yīng)

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)yfx),中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫

做函數(shù)的定義域；與x的道相對應(yīng)的上直叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合僅WA}叫做函數(shù)的

值域.顯然，值域是集合，的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)相等，這是

判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

［基本能力］

1.判斷題

(1)函數(shù)是特殊的映射.()

(2)與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖象至多有一個交點.()

(3)函數(shù)y=l與是同一個函數(shù).()

答案：(1)J(2)V(3)X

2.填空題

(1)下列對應(yīng)關(guān)系：

@4={1,4,9}?8={-3,-2,-1,1,2,3},ft的平方根?

②從二七B=R,ftx-x的倒數(shù)；

③4二七"=R,/：x-^x2~2；

@A={-W}f/?={-1,0,1}>/：A中的數(shù)平方.

其中是4到B的映射的是.

答案：③?

(2)函數(shù)+ln(x—2)的定義域為.

答案：(2.+oo)

(3)下列大x)與g(x)表示同一函數(shù)的是________.

①/1幻=4^—1與g(x)=^/x—1-^x4-1；

x^+x

@f(x)=x與g(x)=mpp

⑨=#與y=(5)2;

④Ax)=d?與g(X)=^.

答案：②

［全析考法］

求給定解析式的函數(shù)的定義域

常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求

(1)分式函數(shù)中分母不等于零.

⑵偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.

(4)j=x°的定義域是WxNO}.

r

(5)y=0(〃>0且j=sinxty=cosx的定義域均為R.

(6)j=lofr,v(?>0且。=1)的定義域為(0,+8).

(7?=tanx的定義域為{x|XHATT+5AWZ}.

［例1］(2018?長沙模擬)函數(shù)人幻=產(chǎn)不+康的定義域為()

A.{x|x<l}B.{x|O<x<l}

C.{x|O<xWl}D.{x|x>l}

2—2后0,

x>0,

|logjxHO,

/.()<x<l,選B.

［答案］B

［易錯提醒］

(1)不要對解析式進(jìn)行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化.

(2)當(dāng)一個函數(shù)由有限個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域一般是

各個基本初等函數(shù)定義域的交集.

(3)定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應(yīng)

該用并集符號連接.

求抽象函數(shù)的定義域

對于抽象函數(shù)定義域的求解

(1)若已知函數(shù)/U)的定義域為［Q,6］,則復(fù)合函數(shù)人g(x))的定義域由不等式《力

求出；

(2)若己知函數(shù)Wg(x))的定義域為［a,6］,則人x)的定義域為g(x)在b］上的值域.

［例2］(2018?二山模擬)已知函數(shù)八X)的定義域為(一1,1),則函數(shù)g(x)=/(9+人工-1)

的定義域為()

A.(-2,0)B.(-2,2)

C.(0,2)D?。)

—2<x<2f

［解析］由題意得J

0<rv2,

A0<x<2,???函數(shù)鼠幻=局+/-1)的定義域為(0,2),故選C.

［答案IC

［易錯提醒］

函數(shù)力8(幻］的定義域指的是x的取值范圍，而不是以外的取值范圍^I

［例3］若函數(shù)例》)=G'+iT的定義域為%則。的取值范圍為.

［解析］因為函數(shù)J(x)的定義域為R,所以2x：Uax-a-1^()對xER恒成立，即

2x+2ax'a^2°,x24~2rzx—標(biāo)>0恒成立，因此有J=(2a)2+4aW0,解得一iWaWO.

［答案］［-1,01

［方法技巧］解決已知定義域求參數(shù)問題的思路方法

［全練題點］

1.［考點一］函數(shù)/U)=log2(x2—3x+2)的定義域為()

A.(0,1)U(2,4-oo)

B.(一8,1)U(2,+8)

C.(0,+8)

D.(1,2)

解析：選B要使函數(shù)有意義，需滿足3X+2＞。，解得x＞2或xvl,所以函數(shù)/lr)

的定義域為(一8,1)U(2,+8).故選B.

21考點一］(2018?★島模擬)函數(shù)丁=2胃_3工_2的定義域為()

A.(—8,I]

B.[-1,1]

C.11,2)U(2,4-oo)

1一/20,

解析：選D由題意得

加一3X一2￥0,

解得《一口-1即一且寸一上

卜工2且工w_5，2

所以函數(shù)的定義域為［-1,一加(一；，1］.故選D.

31考點二］(2018?惠州調(diào)研)若函數(shù)y=/(2")的定義域為［3，1］,則廣川噌幻的定義域為

解析：由題意可得聞：，21則2yg4］,logzxerVi.4］,解得問2?.161.

即5=/UogK)的定義域為［2*,16］.

答案：［28,16］

41考點一1函數(shù)＜x)=~^=+lg(3x+l)的定義域為________.

\1-x

解析：要使函數(shù),")=-)至=+lg(3x+l)有意義，則1-x>0,1

解得一W〈xvl,所以函

y-x3x+l>0,3

數(shù)人x)=j^+lg(3x+l)的定義域為(一；，1)

答案:

5.［考點三］(2018?杭州模擬)若函數(shù)函x)=d/一+,心+1的定義域為一切實數(shù),貝IJ實數(shù)m

的取值范圍是.

解析：由題意可得，加+/〃x+120恒成立.

當(dāng)機(jī)=0時，1\0恒?成立；

m>0,

當(dāng)"WO時,財

/=血2—由后0,

解得0vmW4.

綜上可得：0＜機(jī)44.

答案：［0,4］

突破點(二)函數(shù)的表示方法

［基本知識］

1.函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法有三種，分別為解析法、列表法和圖象法.同一個函數(shù)可以用不同的

方法表示.

2.應(yīng)用三種方法表示函數(shù)的注意事項

(1)解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；

(2)列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；

(3)圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.與x軸垂直的直線與其最多有?個公共點.

［基本能力］

1.判斷題

(1)若人x)滿足/C)=x-L則人均=［-1.()

(2)若人x)=2x+l,問1,3］,則大1一1)=/一1,xE［2,4］.()

答案：(1)X(2)V

2.填空題

(1)已知人幻滿足/0-i)=igx,則/(一日=.

解析：令；1=一看，得X=1O,???/(-看)=館10=1.

答案：1

(2)若函數(shù)4x)如下表所示：

X0123

3210

則川U))=.

解析：由題意知八1)=2,所以4(1))=八2)=1.

答案：1

［全析考法］

求函數(shù)的解析式

［典例］(1)甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園

的距離與乙從家到公園的距離都是2km,甲10時出發(fā)前往乙家.如圖所示，表示甲從家出

發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過的路程Mkm)與時間x(min)的關(guān)系.則函數(shù)y=/U)的解析式為

(2)定義在R上的函數(shù)式x)滿足/(x+l)="(x).若當(dāng)OWxWl時，Wx)=x(l-*),則當(dāng)一

1WxWO時，f(x)=.

(3)(2018?合后模擬)已知函數(shù)/(x)滿足fix)=2/^)+3x,則八幻的解析式為

［解析］⑴當(dāng)xC［0,30］時，設(shè)尸4崖+歷,

I，

力i=0,即y=%?

由已知得解得

,30*14-^1=2,

由=0,

當(dāng)(30,40)時，y=2;

當(dāng)x￡[40,60]時，設(shè))=%加+切,

40公+岳=2,即>=^

由已知得解得

60"+岳=4,

1岳=一2,

奇，xG[O,30],

綜上，加)=<2,xW(30,40),

*x-2,[40,60].

(2):一0/0,???OMx+lMl,

?,次0=%>+l)=|(x+i)[l—(x+1)]=—1)=—1x2—

(3)由題意知函數(shù)7U)滿足/lx)=&G)+3x,即f(x)-2j(^=3x

1用j代換上式中的X,

A-2/(J)=3x,

可得0-獷x)=*聯(lián)立方程得,解得人x)=-x-?(xH0).

1

育，x￡[0,301，

依案I(1次r)=?2,xG(30,40),

七一2,xe[40,60]

ii?

(2)一菱爐―尹(3次r)=~x--(x=#=0)

［方法技巧］求函數(shù)解析式的四種方法

［全練題點］

1.已知函數(shù)八x-l)=W，則函數(shù)Nr)的解析式為(

?vIX

B.人幻=而

解析：選A令x-l=f,則x=/+l,；?用)=不，即兀v)=不.故選A.

2.函數(shù)人制滿足〃(x)+/l-x)=2x,則4x)=.

5gJW")+A-X)=2x，

解析：由題意知、工〃、，

l2/(-x)4-J(x)=-2x,

解得/(x)=2x.

答案：2x

3.已知/6+1)=坨口則犬x)=.

解析：令(=：+1,則x=、y(>l).將上式代入/R+l］=lgx,得大。=1年］,即所

2

求函數(shù)的解析式為人幻=1反二7(工>1).

答案r,(X>1)

4,已知〃r)滿足獷1)+/?)=3*—1,則大冷=.

解析：已知〃lr)+/C)=3x—1,①

以《代替①中的x(xWO),得40+大用=:一1.②

3

由①X2—②，得胡上)=6工一7一1,

于是所求函數(shù)的解析式為yix)=2x一:一；(xWO).

?V，

答案：2x--1(x^0)

突破點(三)分段函數(shù)

［基本知識］

1.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的

函數(shù)通常叫做分段函數(shù).

2.分段函數(shù)的相關(guān)結(jié)論

(1)分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

［基本能力］

1.判斷題

(1)分段函數(shù)是兩個或多個函數(shù).()

(y［x,

⑵設(shè)函數(shù)〃x)=：,—若犬〃)+八-1)=2,貝h=1.()

x<0,

答案：(1)X(2)X

2.填空題

署二。，財砥)的值是

(1)(2018?西安質(zhì)檢)已知函數(shù)ZU)=

解析：由題意可得O=log2；=-2,

??,.砥)=4_2)=3-2+1=學(xué),

答案：?

(a—1)x4-1,i

(2)已知函數(shù)十幻=1.若八1)=小則43)=________.

ax,x>l,/

解析：由八1)=：,可得〃=；,所以八3)=0=；.

答案：I

(3)(2018?杭州模擬)已知/(x)=J2'、’使火工)2—1成立的x的取值范圍是

(X—I)2,xXh

,W(),

解析：由題意知11,、女x>0t

?+12—1

解得一4WxW0或0VxW2,故x的取值范圍是［-4,2］.

答案：［-42］

［全析考法］

W?z分段函數(shù)求值問題

x:/3sinnx,tx《0,則然,2的、值為()

[例1](1)(2018?東營模擬)已知函數(shù)_/lr)=

/(x—1)+1,x>0,

1

A2B.-2

C.1D.--1

『小，Q4,

(2)(2018?張掖高三模擬)已知函數(shù)人x)=則/(l+log25)的值為()

大x+1),x<4,

度

A4I|+%5

ciD?點

［解析］(1夠)=/(一￡)+*1=/in1=-1.

(2)因為2vlog25<3,所以3vl+log25V4,則4V2+k)g25V5,則1+logz5)=/(14-log25

+1)=42+叫25)=&+叵25=90。1=9/=點，故選D.

［答案I(1)B(2)D

［方法技巧］

分段函「求值的「版萩

求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解

析式求值，當(dāng)出現(xiàn)歡〃))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

求參數(shù)或自變■的值或范圍

x+—1——?!

x+12,?1'則不等式46一必)》外的解集為()

|1,X<1,

A.(-3,1)B.(-3,2)

C.(-2,y［5)D.(一小，2)

/+1,

已知函數(shù)人若，則實數(shù)“=()

(2)x)=x1*1))=4”

\2-\-axfx>l,

A.；Bj

C.2D.4

［解析］(1)易知函數(shù)人X)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

又yu)=i,所以當(dāng)工>1時，

當(dāng)XV1時，由6—12>［,得一乖《<小,J?'J—y［s<x<\;

當(dāng)時，由6——r,得一3JV2,則14XV2.

綜上，不等式的解集為(一小，2),故選D.

(2)fifil))=Jl2)=4+2a=4at：?a=2,故選C.

［答案］(1)D(2)C

［方法技巧］

求分段函窺盲函&的值或范圍的方法

求某條件下自變量的值或范圍，先假設(shè)所求的值或范圍在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,

然后求出相應(yīng)自變量的值或范圍，切記代入檢驗，看所求的自變量的值或范圍是否滿足相

應(yīng)各段自變量的取值范圍.

［全練題點］

1.［考點二］設(shè)函數(shù)人幻=｛："則滿足八加0)=2^)的。的取值范圍是()

x

(2tx/L

3B

to,

2

-十

y

22

解析：選C由,歆〃))=2^)得，八4)21.當(dāng)aVl時，有???3(“V

1.當(dāng)心1時，有2。1,.,?心0,?,?心1.綜上，心:，故選C.

,(2x4-a,x<l,

2.［考點一］已知實數(shù)4#0,函數(shù)八x)=:若｛1一a)=/u+a),則。的

b2o9x19

值為()

33

A?一5B.一不

c.D.|s8-1

解析：選B當(dāng)。>0時，1—.由11一〃)=<1+。)得2—2a+a=-1-a—2Q,

解得〃=一稱，不合題意；當(dāng)a<0時，1—a>l,l+avl,由“一aX/H+a)得一l+〃-2a=2

+2a+a,解得a=—%所以。的值為一點故選B.

AX-4),X>2,

3』考點一］(2018?湖所長部中學(xué)摸底)已知函數(shù)八x)=eS-2WxW2,則八一2019)=

大一x),x<—2,

()

A.e2B.e

C.1D.-e

解析：選D當(dāng)x<-2時，八—2019）=人2019）,當(dāng)x>2時，函數(shù)周期為4,犬2019）=

[l+log2(2-x),x<l,

4.［考點一］（2018?湖南邵東月考）函數(shù)fix）=[2汽工川，則八-2)+川噌12)

解析：由于八-2）=1+用4（2—（一2））=3,川。8212）=2*1°28產(chǎn)-1=21嗎6=6,則八-2）+

Alog212）=9.

答案：9

一x"，x￡［0，+8）,

5.［考點二］已知人x）=j（、若加）=；，則a=.

|sinx|,一去OJ,

解析：若“20,由加尸;得，a1=|,解得"=；;

若〃<0,則|sina|=g,〃￡（一：,0）,

解得”=一會綜上可知，〃=；或一手.

答案：寰蘭

［全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律1

1.（2016?全國卷n）下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)7=10瓜X的定義域和值域

相同的是（）

A.y=xB.j=lgx

C.y=2xD.）,=古

解析：選D函數(shù)j，=10*的定義域與值域均為（0,+8）.

函數(shù)y=x的定義域與值域均為（一8,4-oo）.

函數(shù)y=lgx的定義域為（0,4-°°）,值域為（一8,4-oo）.

函數(shù)_y=2*的定義域為（一8,+8）,值域為（0,4-oo）.

函數(shù)的定義域與值域均為（0,+8）.故選D.

x

2~'—2f

2.（2015?全國卷I）已知函數(shù)於）=，/一、.且人。）=-3,則八6—。）=

L10g2（x+l），X>1,

75

A-B

--一

4?4

解析：選A由于八〃）=一3,①若aWl,則2「i-2=—3,整理得2「i=-1.由于2。0,

所以2，一|=一1無解；②若公>1,則一10?。?。+1）=-3,解得〃+1=8,°=7,所以人6—〃）

77

=人-1）=2——2=一彳.綜上所述，八6—a）=一彳故選A.

3.（2013?全畫卷I）已知函數(shù)於）=,‘一、‘['若欣X）|2GX,則。的取值范圍

In（x4-1）>x>0.

是（）

A.（一8,01B.（-oo,1]

C.[-2,1]D.[-2,0]

解析：選D當(dāng)xWO時，八幻=一/+2X=—（x—Ip+lWO,所以Nx）|2or化簡為x?

-2x^axf即*2，（〃+2?,因為x〈0,所以。+22工恒成立，所以。2-2;當(dāng)x>0時，

/lx）=ln（x+l）>0,所以化簡為ln（x+l）>ax恒成立，由函數(shù)圖象可知aWO,綜上，

當(dāng)一2WaW0時，不等式孤恒成立，選擇D.

x+1,xWO,/1、

4.（2017?全國卷ID）設(shè)函數(shù)Wx）=J則滿足人工）+爾一/>1的x的取值范

29X>U,\"

圍是.

解析：由題意知，可對不等式分xWO,O〈xW，討論.當(dāng)xWO時，原不等式為x+1

+X4-T>1,解得x>—4，

一；<xWO.

當(dāng)時，原不等式為2*+x+1>l,顯然成立.

當(dāng)x*時，原不等式為2*+2、顯然成立.

綜上可知，x的取值范圍是（一；，+8）.

答案：（V，+8）

[課時達(dá)標(biāo)檢測1________________________________________________

[小題對點練一點點落實]

對點練（一）函數(shù)的定義域

1.（2018?吉林省實驗中學(xué)模擬）下列函數(shù)中，與函數(shù)F='-的定義域相同的函數(shù)為（

)

、Inx

A.v=~

JsinxB.y=~

sinx

C.y=xexD.J=~

解析：選D函數(shù)j=一的定義域為｛xk#0｝;的定義域為AWZ｝;y

去Mill人

=乎的定義域為｛Hr>0｝；y=xex的定義域為R;j=理￥的定義域為｛x|x#0｝.故選D.

A/-x2-3x4-4

2.（2018?河南南陽一中月令）函數(shù)*x）=的定義域為（）

lg(x+l)

A.(-1,0)U(0,1]B.

C.(-4,-1]D.(-4,0)U(0,1]

—3x+4,o,

解析：選A要使函數(shù)人x）有意義，應(yīng)有，x+l>0,解得一14Vo或O?W1.

故選A.

3.（2018?山東棗莊期末）已知函數(shù)/U）的定義域為[0,2],則函數(shù)g（x）=y<2x）+d5二百的

定義域為（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

（OW2xW2,

解析：選A由題意，得、解得OWx這1.故選A.

8—200,

4.（2018?山西名校聯(lián)考）設(shè)函數(shù)/U）=lg（l—x）,則函數(shù)的定義域為（）

A.（-9,4-oo）B.（-9,1）

C.[-9,+8）D.[-9,1）

1—x>0,

解析：選B./Iftx）]=/Ilg（l-x）]=lg[l-lg（l-x）],其定義域為?、八的解

11—lg（l-x）>0

集，解得一9<xvl,所以的定義域為（一9,1）.故選B.

5.函數(shù)丁=111（好一丫一?。┑亩x域為R,則m的范圍是________.

解析：由條件知，工2一工一對x￡R恒成立，即4=l+4m<0,.*./?<—

答案：（一8,一；）

對點練（二）函數(shù)的表示方法

1.設(shè)函數(shù)人X）滿足臨3=1+x,則次用的解析式為（）

2

T+x

1-X21-X

Cl+x2D?1

解析：選A令鬲=/,則￥=鬲，代入/(*)=1+孫得<0=1+鬲=仔,

故選A.

2.如果J0=言7，則當(dāng)xXU且xKl時，八幻=()

B.—^-7

A%X—1

c,r^D.~l

解析：選B令1=.得工=：,；?兒)=1?\AX)=TT[?

1t-V

3.已知,/U)是一次函數(shù)，且滿足3/5+1)—冽L1)=2X+17,則,")=.

解析：設(shè)八x)=ax+b(a#0),則頊x+l)-獷x-l)=3ax+3a+38-2ax+2a-24=ax

?=2,。=2,

+50+力，即”x+5a+/>=2x+17不論x為何值都成立，:.解得

力+5。=17,b=7,

/U)=2x+7.

答案：2x+7

4.(2018?洛陽質(zhì)檢)若函數(shù)4x)=2x+3,g(x±2)=Jlx)f則函數(shù)g(x)的解析式為

解析：令x+2=f,則x=L2.因為/U)=2x+3,g(x+2)=/U)=2x+3,所以g⑺=2"

―2)+3=2/—1.故函數(shù)g(t)的解析式為g(x)=2x-\.

答案：g(x)=2x-l

對點練(三)分段函數(shù)

7r

cosrxv，X-&0,

1.(2018?湖北賽陽23校聯(lián)考)已知人x)=12則人2)=()

J(x-l)+bx>0,

A.lB.-1

C.-3D.3

解析：選D犬2)=./U)+l=/lO)+2=cosGx())+2=l+2=3.故選D.

0<x<l,若/(a)=4。+1)，則/(})=(

2.(2017?山東高號)設(shè)/U)=)

I2(x—1),x21.

A.2B.4

C.6D.8

解析：選C當(dāng)OVaVl時，八G)=W，n。+1)=2(〃+1—1)=2〃，*：fia)=

14+1),:.班=2%解得。=；或。=0(舍去).工/@=.A4)=2X(4—1)=6.當(dāng)。21時，a

+122,?"(。)=2(。-1),八。+1)=2(。+1—1)=2“，???2(。-1)=2。，無解.綜上，/仔=

—Iog2(3—x),x<2,

3.(2018?江西師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)已知函數(shù)4x)=一、若八2—。)

2Xz—1,Q2.

=1,則加)=()

A.-2B.-1

C.1D.2

解析：選A當(dāng)2一42,即“W0時，大2—幻=22-「2一i=i,解得。=一1,則人口

=4-1)=-Iog213—(―1)]=-2;當(dāng)2—〃<2,即”>0時，42—a)=-Iog213—(2—a)]=l,

解得a=—3，舍去.綜上，加)=一2.故選A.

P+x,

4.(2018??；ㄈ葙|(zhì)檢)已知函數(shù)大幻=(，'二'若〃"(。)一六一。)]>0,則實數(shù)

3x,xvO.

?的取值范圍為()

A.(1,+8)B.(2,+8)

C.(一8,4-00)D.(一8,-2)U(2,+8)

22

解析：選D根據(jù)題意，當(dāng)?>0時,f(a)—f(—a)>()f即a-ba—[—3(—a)]>0,*.a—

2?>0,解得。>2;當(dāng)〃<0時，人。)一八一a)vO,即一3。一[(—a)2+(一a)]vO,Aa2+2a>0,解

得a<一2.綜上，實數(shù)。的取值范圍為(-8,-2)U(2,+8).故選D.

x2+2ar,x22,

,若心1))>3aJ則a的取值范圍是________.

{2X+1,x<2,

解析：由題知,犬1)=2+1=3,歡1))=人3)=32+6%若歡1))>3。2,則9+6a>城,

即a2—2a—3<0,解得一

答案：(一1,3)

[大題綜合練一遷移貫通]

1.(1)已知人2%+1)=4爐+21+1,求"X)的解析式；

(2)定義在(一1,1)內(nèi)的函數(shù)人x)滿足2/(x)-/l-x)=lg(x4-l),求力幻的解析式.

解：⑴令f=2x+l,則x=*T),所以")=救￡-1)}+2乂&-1)+1=?—1)2+?

-l)4-l=r2-z+l,即八*)=工2-工+1.

⑵當(dāng)x￡(-l,l)時，有獷x)一/(—x)=lg(x+l),①

以一x代替x得獷一幻一兒r)=Ig(—x+1).②

21

由①②消去人一幻，得人x)=3ig(x+i)+^ig(i-x),xe(-i,D.

2.已知函數(shù)人x)對任意實數(shù)x均有人x)=-〃lx+l),且次x)在區(qū)間[0,1]上有解析式犬x)

=M

⑴求八一1)，fil.5)；

(2)寫出人幻在區(qū)間[-2,2]上的解析式.

解：(1)由題意知八—1)=一獷-1+1)=—獷0)=0,

/U.5)=./U+0.5)=一1rt0.5)=_；X；=_/

⑵當(dāng)x￡[0,l]時，Jlx)=x2：

當(dāng)x￡(l,2]時，x-lG(0,l],fix)=D=-^(x-1)2;當(dāng)x￡[-L0)時，x+lG

2

[0,1),ftx)=-2f(x+l)=-2(x+l);當(dāng)xw[—2,—1)時，x+16[-lf0),f(x)=-2ftx

「4(x+2)2,xG[-2,-1),

I-2(x4-1)2,x€[-l,0),

+l)=-2x[—2(x+l+l)2]=4(x+2)2.所以八x)=1xe[(),1],

、一/1)2,xe(l,2].

3.行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一

段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離.在某種路面上，某種

型號汽車的剎車距離）,（米）與汽車的車速X（千米/時）滿足下列關(guān)

系：）=肅+〃優(yōu)+〃（皿〃是常數(shù)）?如圖是根據(jù)多次實驗數(shù)據(jù)繪制的剎車距離M米）與汽車

的車速x（千米/時）的關(guān)系圖.

（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）如果要求剎車距離不超過25.2米，求行駛的最大速度.

NO?

+40血+〃=8.4,

200

解：（1）由題意及函數(shù)圖象，得3

602

〃

.200+60/+=18.6,

解得w=7o(j?〃=o,

所以）'=笳+而（x?°）?

r2Y

（2）令麗+而W25.2,得一72WxW70.

???x20,???0WxW70.

故行駛的最大速度是7。千米/時.

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

本節(jié)主要包括2個知識點：1.函數(shù)的單調(diào)性：2.函數(shù)的最值.

突破點（一）函數(shù)的單調(diào)性

［基本知識］

1.單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)兀0的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩

個自變量Xl，X2

定義

當(dāng)?<X2時,都有｛X］）勺（必），那么就說當(dāng)?<X2時，都有那么就

函數(shù)人外在區(qū)間。上是增函數(shù)說函數(shù)代r）在區(qū)間D上是減函數(shù)

內(nèi)⑺內(nèi)以

r）（航）

圖象描述6

叩1*2X。陽*2*

自左向右看圖象是上it的自左向右看圖象是工隆的

2.單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)），=負(fù)幻在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)），="r）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)

格的）單調(diào)性，區(qū)間。叫做函數(shù)_y=/lx）的單調(diào)區(qū)間.

［基本能力］

1.判斷題

（1）對于函數(shù)人X）,xGD,若對任意X”孫￡。，X1HX2且（勺-X2）［f（Xl）—f（X2）］>0,則函

數(shù)八X）在區(qū)間。上是增函數(shù).（）

（2）函數(shù)y=|x|是R上的增函數(shù).（）

（3）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,o）u（O,+8）.（）

答案：（1）J（2）X（3）X

2.填空題

⑴設(shè)定義在LL7］上的函數(shù)），=/1幻的圖象如圖所示，則函數(shù)產(chǎn)人x）的單調(diào)遞增區(qū)間為

答案：［一1二］,［5,7］

（2）函數(shù)4x）=log;（/一4）的單調(diào)遞增區(qū)間為.

解析：由*2—4>0得TV—2或x>2.又〃=彳2—4在（一8,—2）上為減函數(shù)，在（2,4-°°）

上為增函數(shù)，_y=Ioggu為減函數(shù)，故人r）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,-2）.

答案：（-8,-2）

Lx>0,

⑶設(shè)函數(shù)yu）=,o，工=0,g（x）=kAx—1）,則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為

-bXVO,

fx2,X>1,

解析：由題意知g(x)=，O,x=l,

[-X2,X<1.

函數(shù)圖象如圖所示，由函數(shù)國象易得函數(shù)以外的單調(diào)遞減區(qū)間為［0,1）.

答案：HM）

［全析考法］

1Z尸斷函數(shù)的單調(diào)性

1.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律

若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)

性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).即“同增異減”.

2.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

（1）若大x）,g（x）均為區(qū)間A上的增（減）函數(shù)，則|x）+g（x）也是區(qū)間A上的增（減）函數(shù).更

進(jìn)一步，有增+增一增，增一減一增，減+減一減，減一增一減.

⑵若A>0,則砧幻與八X）單調(diào)性相同；若MO,則/x）與/⑶單調(diào)性相反.

（3）在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y=/U）（Ax）#O）與y=一4幻，），=病單調(diào)性相反；函數(shù)y=

八町

於）（所）20）與尸痂j單調(diào)性相同.

（4）奇函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上

單調(diào)性相反.

［例1］（1）（2018?浙江金華十校調(diào)研）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞減的是（）

12

*尸丁B.y=x-x

C.j=lnx-xD.y=ex-x

（2）（2018?廣東佛山聯(lián)學(xué)）討論函數(shù)yu）=H：Y（〃>o）在（一1,1）上的單調(diào)性.

［解析］(1)對于選項A,6=；在(0,+8)內(nèi)是減函數(shù)，力=》在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù),

則