第一章直角三角形的邊角關(guān)系

1.1銳角三角函數(shù)

第1課時(shí)銳角的正切函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索直南三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.

2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，能

夠用正切進(jìn)行簡單的計(jì)算.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)

從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系；理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密

切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

難點(diǎn)

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

用FLASH課件動畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右分層次出現(xiàn)：

問題1：在直角三角形中，知道一邊和一個(gè)銳角，你能求出其他的邊和角嗎？

問題2：隨著改革開放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而起.70

年代位于南京西路的國際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過多少年的城市發(fā)展，“上海最

高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎？你能應(yīng)

用數(shù)學(xué)知識和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實(shí)際高度嗎？

通過本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決.

二、合作交流，探究新知

用多媒體演示如下內(nèi)容：

［師］梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷奈矬w.我們經(jīng)常聽人們說這個(gè)梯子放的“陡”，那

個(gè)梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的？“陡”或“平緩”是用來描述梯子什么的？請同學(xué)

們看下圖，并回答問題(用多媒體演示).

(1)在圖中，梯子A8和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？

［生］梯子AB比梯子EF更陡.

［師］你是如何判斷的?

［生］從圖中很容易發(fā)現(xiàn)NABG/EFQ,所以梯子AB比梯子EF陡.

［生］我覺得是因?yàn)锳C=E。，所以只要比較BC,尸。的長度即可知哪個(gè)梯子陡.BC〈FD,

所以梯子AB比梯子EF陡.

［師］我們再來看一個(gè)問題(用多媒體演示)

(2)在下圖中，梯子和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？

［師］我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個(gè)更陡，就比較困難了.能不能從

第(1)問中得到什么啟示呢？

［生］在第(1)間的圖形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平寬度BC和FD不

一樣長，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應(yīng)該越陡.

［師］這位同學(xué)的想法很好，的確如此，在第(2)問的圖中，哪個(gè)梯子更陡，應(yīng)該從梯子AB

和EF的垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷.那么請同學(xué)們算一下梯子AB和EFIW一個(gè)

更陡呢？

.AC__￡8￡D35_35..835

［±］前=17=不FD=L3=l3->鏟75，

...梯子)比梯子4B更陡.

想一想：

如圖，小明想通過測量81G及4G，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則

認(rèn)為，通過測量BC2及AC2,算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法

嗎？

(1)直角三角形A8G和直角三角形A&C2有什么關(guān)系？

⑵密和攀有什么關(guān)系？

/1C|AC2

(3)如果改變史在梯子上的位置呢？由此你能得出什么結(jié)論？

［師］我們已經(jīng)知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度，即用傾

斜角的對邊與鄰邊的比來描述梯子的傾斜程度.下面請同學(xué)們思考上面的三個(gè)問題，再來討

論小明和小亮的做法.

［生］在上圖中，我們可以知道RtAAB,C|,和RtAAB2C2是相似的.因?yàn)?/84田

=90°,ZB2AC2=ZB1AC1,根據(jù)相似的條件，得Rt^ABiGsRt^A&Cz.

［生］由圖還可知：82c2-LAC2，B|C|_LAG，得82c2〃81c”RlAAB^i^RtAABaCz.

［生］相似三角形的對應(yīng)邊成比例，得

g|C._AC|B\C\_BC

瓦底一恁？即就?—而22

如果改變B,在梯子上的位置，總可以得到RtZ\B,GAsRt45CA,仍能得到第

紫.因此，無論B2在梯子的什么位置(除A外)，爺=爺總成立.

/1C2/1C|/1C2

［師］也就是說無論約在梯子的什么位置(A除外),NA的對邊與鄰邊的比值是不會改變的.

現(xiàn)在如果改變N4的大小，ZA的對邊與鄰邊的比值會改變嗎？

［生］NA的大小改變，ZA的對邊與鄰邊的比值會改變.

［師］你又能得出什么結(jié)論呢？

［生］NA的對邊與鄰邊的比只與NA的大小有關(guān)系，而與它所在直角三角形的大小無

關(guān).也就是說，當(dāng)直角三角形中的一個(gè)銳角確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.

［師］這位同學(xué)回答得很棒，現(xiàn)在我們再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何評價(jià)？

［生］小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度，因?yàn)閳D中直角三角形中的銳角A

是確定的，因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與名,民在梯子上的位置無關(guān)，即

與直角三角形的大小無關(guān).

［生］但我覺得小亮的做法更實(shí)際，因?yàn)橐獪y量BiG的長度，需攀到梯子的最高端，危

險(xiǎn)并且復(fù)雜，而小亮只需站在地面就可以完成.

［師］這位同學(xué)能將數(shù)學(xué)和實(shí)際生活緊密地聯(lián)系在一起，值得提倡.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是

為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué).

由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如

下定義：(多媒體演示)

4A的對邊

AZ________I

4A的鄰邊

如圖，在Rt^ABC中，如果銳角A確定，那么NA的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個(gè)

比叫做NA的正切(tangent),記作tanA,即tanA

注意：

(l)tanA是一個(gè)完整的符號，它表示NA的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號.

(2)tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中NA的對邊與鄰邊的比.

(3)tanA不表示“tan"乘以"A".

(4)初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中銳角的正切.

思考:

(1)/8的正切如何表示？它的數(shù)學(xué)意義是什么？

(2)前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖1-3,梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系

NB的對邊

［生］(1)NB的正切記作tanB,表示NB的對邊與鄰邊的比值，即tanB=雨而逅

(2)我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜程度，因此，在教材圖

1—3中，梯子越陡，tan/1的值越大；反過來，tanA的值越大，梯子越陡.

三、運(yùn)用新知，深化理解

例1(教材示例)如圖是甲，乙兩個(gè)自動扶梯，哪一個(gè)自動扶梯比較陡？

分析：比較甲、乙兩個(gè)自動電梯哪一個(gè)陡，只需分別求出tan。、tan￡的值，比較

大小，越大，扶梯就越陡.

的對邊4

解：甲梯中，tana=

Na的鄰邊一8一2?

Z￡的對邊

乙梯中，tan￡=

/夕的鄰邊一市產(chǎn)早一17

因?yàn)閠ana>tan￡,所以甲梯更陡.

［師］正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛，例如建筑，工程技術(shù)等.正切經(jīng)常用來描述

山坡、堤壩的坡度.

如圖，有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m,就升高60m,那么山坡的坡度（即坡角a

的正切tan。）就是tana=麗=亍

這里要注意區(qū)分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱為坡

度.坡度越大，坡面就越陡.

例2已知：如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,D,E都在小

正方形的頂點(diǎn)上，求tan/AOC的值.

分析：先證明△ACZ）也/XBCE,再根據(jù)tanNA￡>C=tan/8EC即可求解.

解：根據(jù)題意可得AC=8C=，7耳展=小，CD=CE=y?爰。=皿，AD=BE=5,：.

△AC￡）^ABCE（SSS）.NADC=ZBEC.tanZADC=tanZB￡C=1.

例3已知一水壩的橫斷面是梯形ABC。，下底BC長14m,斜坡AB的坡度為3：小，

另一腰CD與下底的夾角為45°,且長為4,m,求它的上底的長（精確到0.1m,參考數(shù)

據(jù)：由F.4I4,/=1.732）.

分析：過點(diǎn)A作AELBC于E,過點(diǎn)。作。FLBC于F,根據(jù)已知條件求出AE=￡>尸的

值，再根據(jù)坡度求出BE,最后根據(jù)E『=8C—BE-FC求出AD

解:過點(diǎn)A作AE±BC,過點(diǎn)D作DFLBC,垂足分別為E,F：：CD與BC的夾角為45°,

/.ZDCF=45°,/.ZCDF=45°."：CD=4^6m,:.DF=CF=^^=43(m),：.AE^

AC3

。尸=4小m.：斜坡AB的坡度為3：小，；.tan/ABE=^=/=小，；.BE=4m.,:BC

=14m,/.EF=BC-BE-CF=14-4-4^3=10-4小(m).：A￡>=EF,，AO=10—4小

?3.1(m).所以，它的上底的長約為3.1m.

四、課堂練習(xí)，鞏固提高

1.教材P4“隨堂練習(xí)”.

2.《探究在線?高效課堂》相關(guān)作業(yè).

五、反思小結(jié)，梳理新知

本節(jié)課經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊角關(guān)系,得出了在直角三角形中的銳角確定之后，

它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎(chǔ)，在“直角三角形”中定義了tanA=

/I"；普?接著,我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問題坡度與正切的關(guān)系，了解了正

切在現(xiàn)實(shí)生活中是一個(gè)具有實(shí)際意義的很重要的概念.

六、布置作業(yè)

1.《探究在線?高效課堂》相關(guān)作業(yè).

2.教材P4習(xí)題1.1第1,2題.

第2課時(shí)銳角的正弦和余弦函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正弦和余弦的意義.

2.能夠運(yùn)用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.

3.能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計(jì)算.

4.理解銳角三角函數(shù)的意義.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重，占、、、

理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明；能用sinA、cosA表示直角三角形

兩邊的比；能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計(jì)算.

難點(diǎn)

用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

［師］我們在上一節(jié)課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度，并且

得出了當(dāng)傾斜角確定時(shí);其對邊與鄰邊之比隨之確定.也就是說這一比值只與傾斜角有關(guān)，

與直角三角形的大小無關(guān).并在此基礎(chǔ)上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切.

現(xiàn)在我們提出兩個(gè)問題：

問題1：當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎？

問題2：梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎？如果有，是怎樣的關(guān)系？

二、合作交流，探究新知

1.正弦、余弦及三角函數(shù)的定義

多媒體演示如下內(nèi)容：

想一想：如圖：

⑴直角三角形ABC和直角三角形A82c2有什么關(guān)系？

(2)胃和奈有什么關(guān)系？喋1和器2呢?

AD］/1￡>2/\D\/\￡>2

(3)如果改變?yōu)樵谔葑覣以上的位置呢？你由此可得出什么結(jié)論？

(4)如果改變梯子AS的傾斜角的大小呢？你由此又可得出什么結(jié)論？

請同學(xué)們討論后回答.

［生］：AG_LB|G，AC2IB2C2,

A、G、C2在同一直線上，

：.B\C\//B2C2.

：.RtAB,AC|^RtAB2/lC2.

工翁=磊，/=患(相似三角形對應(yīng)邊成比例)?

由于為是梯子AS上的任意一點(diǎn)，所以，如果改變&在梯子A&上的位置，上述結(jié)論

仍成立.

由此我們可得出結(jié)論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對邊與斜邊的比值，傾斜

角的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說，這一比值只與傾斜角有關(guān)，而與直角三角形大

小無關(guān).

［生］如果改變梯子AB,的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比

值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變.

I師］我們會發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)變化的過程.對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨

著傾斜角的改變而改變，同時(shí)，如果給定一個(gè)傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與

斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什么關(guān)系呢？

［生］函數(shù)關(guān)系.

［師］很好！上面我們有了和定義正切相同的基礎(chǔ)，接著我們類比正切還可以有如下定義:

(用多媒體演示)

在RtZSABC中，如果銳角A確定，那么/A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之

確定.(如圖所示)

的對邊

乙4的對邊與鄰邊的比叫做乙4的正弦(sine),記作sin/1,即sinA=

斜邊

NA的鄰邊

NA的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦(cosine),記作cosA,即cosA=

斜邊

銳角A的正弦、余弦和正切都是NA的三角函數(shù)(trigonometricfunction).

［師］你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是NA的三角函數(shù)”

呢？

［生］我們在前面已討論過，當(dāng)直角三角形中的銳角A確定時(shí)，NA的對邊與斜邊的比值,

NA的鄰邊與斜邊的比值，NA的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“N4的三角函數(shù)”

概念中，NA是自變量，其取值范圍是0°<ZA<90°；三個(gè)比值是因變量.當(dāng)NA變化時(shí)，

三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng).

2.梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系

［師］我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系：tag的值越大，梯子越陡.由此

我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA、cosA有關(guān)系呢？如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系？

［生］如圖所示，AB=A\B\,在RtZVIBC中，sinA=器，

i

在RtA4i5C中，sinAl=Tf-.

..軍〈皿

,A3AjBJ

即sinA<sin4］,而梯子比梯子A8陡，所以梯子的傾斜程度與siM有關(guān)系.sinA的

值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度.

［生］同樣道理cosA=^COSAI=￡旨，

所以梯子的傾斜程度與cosA也有關(guān)系.cosA的值越小，梯子越陡.

［師］同學(xué)們分析得很棒，能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉！從理論上講正弦和余弦都可以

刻畫梯子的傾斜程度，但實(shí)際中通常使用正切.

三、運(yùn)用新知，深化理解

例1(教材示例)如圖，在RtZiABC中，ZB=90°,AC=200.sinA=0.6,求BC的長.

分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示乙4所在直角三角形它的對邊與斜邊的

比值，已知sinA=0.6,-77;=0-6.

解：在RtZ^ABC中，ZB=90",AC=200.

sinA=0.6,即兼=0.6,BC=ACX().6=200X0.6=120.

思考：(l)cosA=?

(2)sinC=?cosC=?

(3)由上面計(jì)算，你能猜想出什么結(jié)論？

解：根據(jù)勾股定理，得

12()2=160.

在RtZXABC中，ZB=90°.

AB_160

cosA=AC=200=7=0.8,

.?_AB_I60_4_

smC-k前一廠n0?Q8

「3C1203”

cosc-^-200-5-0.6,

由上面的計(jì)算可知：

sinA=cosC=0.6,

cosA=sinC=0.8.

因?yàn)镹A+NC=90°,所以，結(jié)論為“一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦”；“一

個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦”.

3

例2如圖，在△ABC中，ZC=90°，點(diǎn)。在BC上，AD=BC=5,cosNADC=g,求

sinB的值.

3

分析：先由AO=BC=5,cosNADC=m及勾股定理求出AC及AB的長，再由銳角三角

函數(shù)的定義解答.

3

解：?；AO=2C=5,COSNA￡>C=5，；.CQ=3.在RtZ\AC￡)中，\'AD=5,CD=3,：.AC

22

=、A￡>2_c￡)2=、52_32=4在RtAACB中，?.FC=4,BC=5,：.AB^AC^+BC=^+5

_/TV._R_AC__4__4的

一441,41.

例3在RtZVIBC中，ZC=90°,。為BC邊(除端點(diǎn)外)上的一點(diǎn)，設(shè)NAOC=a,NB

=及

(1)猜想sina與sin￡的大小關(guān)系；

(2)試證明你的結(jié)論.

分析：(1)因?yàn)樵凇鰽BO中，/ADC為△AB。的外角，可知NADONB,可猜想sin。

>sin￡；(2)利用三角函數(shù)的定義可求出sin。，sin￡的關(guān)系式即可得出結(jié)論.

解：(1)猜想:sina>sinP；

ACACACAC

(2)*/ZC=90°,/.sina=—,sin3VAZXAB,即sina>sinB.

例3如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，lanB=cosND4C.

⑴求證：AC=BD；

12

(2)若sinC=舌，5c=36,求4。的長.

A

分析：⑴根據(jù)高的定義得到NAQ5=NADC=90°,再分別利用正切和余弦的定義得到

AF)AF)AF)AH

tan5=WR,COSND4C=7K，再利用tanB=cosZDAC得到訪=77，所以AC=BDi(2)在

□△AC。中，根據(jù)正弦的定義得sinC=^=M可設(shè)40=⑵，AC=13Z,再根據(jù)勾股定理

計(jì)算出CD=5k,由于BO=AC=13七于是利用8C=8O+C。得到13人+54=36,解得人=2,

所以A￡>=24.

AH

解：(1)證明：YA。是BC上的高，???NAQB=NAQC=90°.在RtA43O中，tanB=麗,

AOADAD

在RtAACD中，cosZDAC=~7~p.VtanB=cosZD/1C,.*.777；—??AC=BD\

/iCDLJAC

(2)在中，sinC=77=三.設(shè)AO=12鼠4C=13&,ACD^AC2~AD2=5k.'：BD

=AC=13%,.?.BC=BO+CO=13k+5A=36,解得太=2,/.AD=12X2=24.

四、課堂練習(xí)，鞏固提高

1.教材P6“隨堂練習(xí)”.

2.《探究在線?高效課堂》相關(guān)作業(yè).

五、反思小結(jié)，梳理新知

本節(jié)課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念認(rèn)識了三種三角函數(shù)，

即在銳角A的三角函數(shù)概念中，NA是自變量，其取值范圍是0°<NA<90。；三個(gè)比值是因

變量.當(dāng)/A確定時(shí)，三個(gè)比值分別唯一確定；當(dāng)NA變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定

的值與之對應(yīng).類比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進(jìn)一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度

之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來解決實(shí)際問題.

六、布置作業(yè)

1.《探究在線?高效課堂》相關(guān)作業(yè).

2.教材P6?7習(xí)題1.2第1?5題.

1.230°,45°,60°角的三角函數(shù)值

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理，進(jìn)一步

體會三角函數(shù)的意義.

2.能夠進(jìn)行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

3.能夠根據(jù)30°、45°、60°的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重占

探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值：能夠進(jìn)行含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

的計(jì)算；比較銳角三角函數(shù)值的大小.

難點(diǎn)

進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題：為了測量一棵大樹的高度，準(zhǔn)備了如下測量工具：①含30。和60°兩個(gè)銳角

的三角尺；②皮尺.請你設(shè)計(jì)一個(gè)測量方案，能測出一棵大樹的高度.

（用多媒體演示上面的問題，并讓學(xué)生交流各自的想法）

［生］我們組設(shè)計(jì)的方案如下：

C

T：J

讓一位同學(xué)拿著三角尺站在一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢肂處，使這位同學(xué)拿起三角尺，她的視

線恰好和斜邊重合且過樹梢C點(diǎn)，30。的鄰邊和水平方向平行，用卷尺測出A8的長度，BE

的長度，因?yàn)镺E=AB,所以只需在中求出CO的長度即可.

［生］在RtZXACO中，ZCAD=30°,AD=BE,BE是已知的，設(shè)B￡=n米，貝ijAQ=a

米，如何求呢？

［生］含30°角的直角三角形有一個(gè)非常重要的性質(zhì)：30。的角所對的邊等于斜邊的一半，

即AC=2CD,根據(jù)勾股定理，（28）2=8?+/,8=等，則樹的高度即可求出.

［師］我們前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，如果一個(gè)角的大小確定，那么它的正切、正弦、

余弦值也隨之確定，如果能求出30°的正切值，在上圖中，tan30°=C巖D=C%D，則CD=

Zli-ZCl

atan30°,豈不簡單.

你能求出30°角的三個(gè)三角函數(shù)值嗎？

二、合作交流，探究新知

探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

［師］觀察一副三角尺，其中有幾個(gè)銳角？它們分別等于多少度？

［生］一副三角尺中有四個(gè)銳角，它們分別是30°、60°、45°、45°.

［師］sin30。等于多少呢？你是怎樣得到的？與同伴交流.

^^60°

a

__________C

J3a

［生］sin30°=j.sin30°表示在直角三角形中，30°角的對邊與斜邊的比值，與直角三

角形的大小無關(guān).我們不妨設(shè)30°角所對的邊為如圖所示），根據(jù)“直角三角形中30°角

所對的邊等于斜邊的一半”的性質(zhì)，則斜邊等于2a.根據(jù)勾股定理，可知30°角的鄰邊為小°,

所以sin30。

［師］cos30°等于多少？tan30°呢?

°八。小a小*1八。__a___1__y）3

［生］cos30-2a-2'tan30一小［石—3-

［師］我們求出了30°角的三個(gè)三角函數(shù)值，還有兩個(gè)特殊角一一45°、60°,它們的

三角函數(shù)值分別是多少？你是如何得到的？

［生］求60°的三角函數(shù)值可以利用求30°角三角函數(shù)值的三角形.因?yàn)?0°角的對

邊和鄰邊分別是60。角的鄰邊和對邊.利用上圖，很容易求得sin60°=嚓=坐，cos60。

a1.…小a不

=丁=彳，tan60=-=73.

2a2av

［生］也可以利用上節(jié)課我們得出的結(jié)論：一銳角的正弦等于它余角的余弦，一銳角的余

弦等于它余角的正弦.可知

S1

sin600=cos(90°—60°)=cos30°=彳，cos60°=sin(90°—60°)=sin30°=/.

師生共析：我們一同來求45°角的三角函數(shù)值.含45°角的直角三角形是等腰直角三

角形(如圖).設(shè)其中一條直角邊為。，則另一條直角邊也為斜邊ga.由此可求得

.__a___!__也

S'n45一小…一2，

八。__?___L_啦

cos45RI巾72,

，-。a,

tan45=一=1.

a

［師］下面請同學(xué)們完成下表(用多媒體演示)

為了幫助大家記憶，我們觀察表格中函數(shù)值的特點(diǎn).先看第一列30°、45°、60°

角的正弦值，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？

［生］30°、45°、60°角的正弦值分母都為2,分子從小到大分別為加，小，木,

隨著角度的增大，正弦值在逐漸增大.

［師］再來看第二列函數(shù)值，有何特點(diǎn)呢？

［生］第二列是30。，45。、60。角的余弦值，它們的分母也都是2,而分子從大到

小分別為小，巾,"余弦值隨角度的增大而減小.

［師］第三列呢？

［生］第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一

個(gè)銳角，所以tan45°=1比較特殊.

［師］很好，掌握了上述規(guī)律,記憶就方便多了.下面同桌之間可互相檢查一下對30°、

45°、60°角的三角函數(shù)值的記憶情況.相信同學(xué)們一定做得很棒.

三、運(yùn)用新知，深化理解

例1(教材示例)計(jì)算：(l)sin30°+cos45°；

(2)sin2600+COS2600-tan45".

分析：本題旨在幫助學(xué)生鞏固特殊角的三角函數(shù)值，今后若無特別說明，用特殊角

三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一般不取近似值，另外^^60°表示(sin60°)2,cos260°表示

(cos60°)2.

解：(l)sin30°+cos45°+乎；

(2)sin260°+COS260°-tan45°=(坐產(chǎn)+6尸一1=1+1—1=0.

例2(教材示例)一個(gè)小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m,當(dāng)秋千向兩邊擺動時(shí)，擺

角恰好為60°,且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之

差(結(jié)果精確到0.01m).

分析：引導(dǎo)學(xué)生自己根據(jù)題意畫出示意圖，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

解：根據(jù)題意(如圖)可知，ZB(?D=60°,OB=OA=OD=2.5m,ZAOD=1x60°

=30°,

AOC=ODcos30°=2.5義坐亡2.165(m).

/.AC=2.5-2.165^0.34(111).

所以，最高位置與最低位置的高度約為0.34m.

例3要求tan30°的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算.作Rt^ABC,使/C

坐.在此圖的基礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，探究tanl5°與tan75。的值.

分析：作NB的平分線，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及勾股定理首先求出CD的長，

進(jìn)而得出tanl5°tan75°=^)-

解：作的平分線交AC于點(diǎn)O,作。E_LAB,垂足為8。平分/ABC,CDLBC,

DELAB,：.CD=DE.］&CD=x,則4。=1一彳，AE=2-BE=2-BC=2一/.在中，

2小一3

DE^+AEr^AEr,f+(2—小『=(1一》尸，解得x=2小一3,.'.tan15°小,

=V3—2—

BC_V3

tan75°=2+小.

CD~2小一3

四、課堂練習(xí)，鞏固提高

1.教材P9隨堂練習(xí).

2.《探究在線?高效課堂》相關(guān)作業(yè).

五、反思小結(jié)，梳理新知

本節(jié)課總結(jié)如下：

⑴探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

sin30°==sin45°=乎,sin60°=坐；

cos30°=21cos45°=勺，cos60°=爹；

tan30°=,tan45°=I,tan60°=小.

⑵能進(jìn)行含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

(3)能根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，說出相應(yīng)銳角的大小.

六、布置作業(yè)

1.《探究在線?高效課堂》相關(guān)作業(yè).

2.教材P10習(xí)題1.3第1?3題.

1.3三角函數(shù)的計(jì)算

教學(xué)目標(biāo)

i.經(jīng)歷用計(jì)算器由已知銳角求三甬函數(shù)值的過程.

2.能根據(jù)銳角的三角函數(shù)值用計(jì)算器求出該銳角的度數(shù).

3.能夠運(yùn)用計(jì)算器輔助解決含三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題，提高用現(xiàn)代工具解決實(shí)

際問題的能力.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重，點(diǎn)

用計(jì)算器解決由已知銳角求三角函數(shù)值；能夠用計(jì)算器輔助解決含三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)

際問題.

難點(diǎn)

用計(jì)算器輔助解決含三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題：如圖，當(dāng)?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，它走過了200米，已知纜車行

駛的路線與水平面的夾角為=16°,那么纜車垂直上升的距離是多少？

［生］在中，N0=16°,AB=200米，需求出BC.

根據(jù)正弦的定義，sinl6°=器=/，

：.BC=ABsinl6°=200sinl6°（米）.

［師］200sinl6°米中的“sinl6°”是多少呢？我們知道,三角函數(shù)中，當(dāng)角的大小確

定時(shí)，三角函數(shù)值與直角三角形的大小無關(guān)，隨著角度的確定而確定.

對于特殊角30°、45°、60°,可以根據(jù)勾股定理和含這些特殊角的直角三角形的

性質(zhì)，求出它們的三角函數(shù)值，而對于一般銳角的三角函數(shù)值，我們需借助于科學(xué)計(jì)算器求

出這些銳角的三角函數(shù)值.

怎樣用科學(xué)計(jì)算器求三角函數(shù)值呢？

二、合作交流，探究新知

1.用科學(xué)計(jì)算器求一般銳角的三角函數(shù)值.

［師］用科學(xué)計(jì)算器求三角函數(shù)值,要用到國、國和庖鍵.例如sinl60,tan850

和cos72°38’25"的按鍵順序如下表所示.（多媒體演示）

按鍵順序

顯示結(jié)果國自

sinl6°=0.2756373558

sinl6°

|sin|1

tan85°|tan||8||5||=|tan85°=11.4300523

|cos||7||2||DMS|

cos72°38'25"

cos72°38'25"|3||8||DMS|

=0.2983699067

|2||5||DMS|F]

K

同學(xué)們可用自己的計(jì)算器按上述按鍵順序計(jì)算sinl6°,cos42°,tan85°,sin72"

38'25",看顯示的結(jié)果是否和表中顯示的結(jié)果相同.

(教學(xué)時(shí)應(yīng)注意不同的計(jì)算器按鍵方式可能不同，可引導(dǎo)學(xué)生利用自己所使用的計(jì)算

器探索計(jì)算三角函數(shù)值的具體步驟，也可以鼓勵(lì)同學(xué)們互相交流用計(jì)算器計(jì)算三角函數(shù)值的

方法)

［師］很好，同學(xué)們都能用自己的計(jì)算器計(jì)算出三角函數(shù)值.大家可能注意到用計(jì)算器求

三角函數(shù)值時(shí)，結(jié)果一般有10個(gè)數(shù)位.我們的教材中有一個(gè)約定，如無特別說明，計(jì)算結(jié)果

一般精確到萬分位.

下面就請同學(xué)們利用計(jì)算器求出本節(jié)剛開始提出的問題.

［生］用計(jì)算器求得BC=200sinl6°^55.12(m).

［師］下面請同學(xué)們用計(jì)算器計(jì)算下列各式的值(多媒體演示).

(l)sin56°；(2)sinl5°49'；

(3)cos20°；(4)tan29°；

(5)tan44°59'59〃；(6)sinl5°+cos610+tan76°.

(以小組為單位，展開競賽，看哪一組既快又準(zhǔn)確)

［生］⑴sin56°=0.8290；

(2)sinl5049'=0.2726；

(3)cos20°七0.9397；

(4)tan29°?0.5543；

(5)tan44°59'59H1.0000；

(6)sinl50+cos61°+tan76°^0.2588+0.4848+4.0108=4.7544.

［師］你能用計(jì)算器計(jì)算說明下列等式成立嗎？(用多媒體演示)

下列等式成立嗎？

(l)sinl5°+sin25°=sin400；

(2)cos200+cos26°=cos46°；

(3)tan250+tan15°=tan400.

［生］上面三個(gè)等式都不成立.

(l)sinl50+sin25°^0.2588+0.4226=0.6814；

sin400—.6428,

sin15°+sin25°Wsin40°；

（2）cos200+cos26°=*0.9397+0.8988=1.8385,

cos46°心0.6947,

cos200+cos26°Wcos46°；

（3）tan25°+tanl5°g0.4663+0.2679=0.7342,

tan40°心0.8391,

tan25°+tanl5°Wtan40".

［師］由此，你能得出什么結(jié)論？

［生］兩個(gè)銳角的正弦的和不等于這兩個(gè)銳角的和的正弦.對于余弦、正切也一樣.

2.用計(jì)算器輔助解決含有三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題.

［師］看來同學(xué)們已能很熟練地用計(jì)算器計(jì)算一個(gè)銳角的三角函數(shù)值.下面我們運(yùn)用計(jì)算

器輔助解決一個(gè)含有三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題.

議一議：多媒體演示本節(jié)開始的問題

當(dāng)纜車?yán)^續(xù)由點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，它又走過了200m,纜車由點(diǎn)B到點(diǎn)D的行駛路線與水

平面的夾角是N萬=42°,由此你能想到還能計(jì)算什么？

［生］可以計(jì)算纜車從B點(diǎn)到D點(diǎn)垂直上升的高度.

［生］可以計(jì)算纜車從A點(diǎn)到。點(diǎn)，一共垂直上升的高度、水平移動的距離.

［師］下面我們就請三位同學(xué)分別就上面的問題用計(jì)算器輔助計(jì)算出結(jié)果.其余同學(xué)可在

小組內(nèi)交流、討論完成.

［生］在RtZWBE中，/￡=42°,80=200m,纜車上升的垂直高度OE=8￡>sin42°=

200sin42°以133.83（米）.

［生］由前面的計(jì)算可知，纜車從4-8-。上升的垂直高度為BC+OE=55.12+133.83=

188.95（米）.

［生］在RtAABC中，Z?=16°,AB=200米，AC=ABcosl6°^200X0.9613=

192.26（米）.

在RtADBE中，N￡=42°,80=200米，BE=BDcos42°=*200X0.7431=

148.62（米）.

纜車從A-B-D移動的水平距離為BE+AC=192.26+148.62=340.88（米）.

想一想：隨著人民生活水平的提高，農(nóng)用小轎車越來越多，為了交通安全，某市政府要

修建10m高的天橋，為了方便行人推車過天橋，需在天橋兩端修建40m長的斜道（如圖所

示）.這條斜道的傾斜角是多少？

［生］在RtZ\4BC中，BC=10m,AC=40m,sinA=^=；.可是不能求出NA的大小.

［師］我們知道，給定一個(gè)銳角的度數(shù)，這個(gè)銳角的三角函數(shù)值都唯一確定.給定一個(gè)銳

角的三角函數(shù)值，這個(gè)銳角的大小也唯一確定嗎？為什么？

［生］我們曾學(xué)習(xí)過兩個(gè)直角三角形的判定定理——HL定理.在上圖中，斜邊AC和直角

邊BC是定值，根據(jù)HL定理可知這樣的直角三角形形狀和大小是唯一確定的，當(dāng)然/A的大

小也是唯一確定的.

［師］這位同學(xué)能將前后知識聯(lián)系起來很有條理地解釋此問題，很不簡單.我們知道了siM

時(shí)，銳角A是唯一確定的.現(xiàn)在我要告訴大家的是要解決這個(gè)問題，我們可以借助于科

學(xué)計(jì)算器來完成.

3.用計(jì)算器由銳角三角函數(shù)值求相應(yīng)銳角的大小.

［師］己知三角函數(shù)求角度，要用到畫、畫、畫鍵的第二功能“sinT,cos

tan-lw和|2ndf|鍵.

例如：已知sinA=0.9816；cos3=0.8607；tanC=56.78,求NA,NB,ZC.

按鍵順序如下表.（多媒體演示）

按鍵順序

顯示結(jié)果回［3回

sinA=0.9816

|2ndf|sin

EEE0Hsin'0.9816

=78.99184039

cosB=0.860712ndf||cos|[o]PHl-8]

國0Hscos-'0.8607

=30.60473007

tanC=56.7812ndf|畫囪16M.i

00stan-'56.78

=88.99102049

K

上表的顯示結(jié)果是以“度”為單位的.再按朝叵通］鍵即可顯示以“度、分、

秒”為單位的結(jié)果.

（教學(xué)時(shí)，給學(xué)生以充分交流的時(shí)間和空間，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己使用的計(jì)算器，探

索具體操作步驟）

［師］你能求出上圖中/A的大小嗎？

［生］sinA=；=0.25.按鍵順序?yàn)楫嫽鼗乜冢莼啬咳?，顯示結(jié)果為

14.47751219°,再按巨畫|DMS|鍵可顯示14°28'39".所以乙4=14°28'39".

［師］很好.我們以后在用計(jì)算器求角度時(shí)如果無特別說明，結(jié)果精確到1"即可.

三、運(yùn)用新知，深化理解

例1已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角NA,NB的度數(shù)（結(jié)果精確到0.1°）：

（l）siM=0.7,sinB=0.01；

（2）cosA=0.15,cosB=0.8；

（3）tanA=2.4,tanB=0.5.

分析：熟練應(yīng)用計(jì)算器，對計(jì)算器給出的結(jié)果，根據(jù)題目要求用四舍五入取近似值.

解:⑴由sinA=0.7,得NAg44.4°；由sin8=0.01,得NB七0.6°；

（2）由cosA=0.15,得NA七81.4°；由cosB=0.8,得/8弋36.9°；

（3）由tanA=2.4,得NAg67.4°；由tanB=0.5,得NB七26.6°.

例2（1）通過計(jì)算（可用計(jì)算器），比較下列各對數(shù)的大小，并提出你的猜想：

①sin30°2sinl5°cos15°；

②sin36°2sinl80cosl80；

③sin45°2sin22.5°cos22.5°；

@sin60°2sin300cos30°；

⑤sin80°2sin40°cos40°.

猜想：已知0°Va<45°,則sin2a2sinacosa；

（2）如圖，在aABC中，AB=AC=\,NBAC=2a,請根據(jù)提示，利用面積方法驗(yàn)證（1）

中提出的猜想.

分析：（1）利用計(jì)算器分別計(jì)算①至⑤各式中左邊與右邊的值，比較大??；（2）通過計(jì)算

/XABC的面積來驗(yàn)證.

解：（1XD=；③=；@=；⑤=.猜想：=

（2）已知0°<a<45°,則sin2a=2sinacosa.

證明：SAABC=3AB,sin2a?AC,S；MBC=：X2A8sina?ACeosa,sin2a=2sinacos

a.

例3如圖，從A地到8地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC=10千米，/C4B=25°,Z

C8A=45°.因城市規(guī)劃的需要，將在A,B兩地之間修建一條筆直的公路.

（1）求改直后的公路A8的長；

（2）問公路改直后該段路程比原來縮短了多少千米（精確到0.1千米）？

分析：（1）過點(diǎn)C1作CD_L4B于。，根據(jù)AC=10千米，NCAB=25：求出CO,AD,

根據(jù)NCBA=45°,求出BD,BC,最后根據(jù)列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）可知

AC、8c的長度，即可得出公路改直后該段路程比原來縮短的路程.

解：（1）過點(diǎn)C作CQ_LAB于點(diǎn)Q,：AC=10千米，NCAB=25°,NAQC=90°,

CO=sin/C4B?AC=sin25°X10^0.42X10=4.2（千米），AO=cos/C4B?AC=cos25°X

CD42

10-0.91X10=9.1（千米）.'：ZCBA=45°,.?.B￡>=CD=4.2（千米），BC=?=一一黃丁

sin/CBAsin45

心5.9（千米），.?乂8=4。+8￡>=9.1+4.2=13.3（千米）.所以，改直后的公路AB的長約為13.3

千米；

（2）：AC=10千米，BC=5.9千米，，AC+BC—AB=10+5.9-13.3=2.6（千米）.所以，

公路改直后該段路程比原來縮短了約2.6千米.

四、課堂練習(xí)，鞏固提高

1.教材P14“隨堂練習(xí)”.

2.《探究在線?高效課堂》相關(guān)作業(yè).

五、反思小結(jié)，梳理新知

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用計(jì)算器由三角函數(shù)值求相應(yīng)的銳角的過程，進(jìn)一步體會三角函

數(shù)的意義，并且用計(jì)算器輔助解決含有三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題.

六、布置作業(yè)

1.《探究在線?高效課堂》相關(guān)作業(yè).

2.教材P15習(xí)題1.4第1?3題.

1.4解直角三角形

教學(xué)目標(biāo)

1.了解解直角三角形的概念，明確解直角三角形至少需要兩個(gè)條件（其中至少一個(gè)是邊）,

能用銳角三角函數(shù)解直角三角形.

2.能夠發(fā)現(xiàn)與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題中的邊角關(guān)系，并能夠運(yùn)用計(jì)算器輔助解決含

三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重占

利用直角三角形邊角關(guān)系解直角三角形.

難點(diǎn)

三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

I師］我們討論銳角三角函數(shù)，都是將銳角放到直角三角形中討論，又一次揭示了直角三

角形