專升本極限題庫及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小2.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x}\)的值為（）A.0B.1C.3D.\(\infty\)3.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x=a\)處（）A.一定有定義B.一定無定義C.不一定有定義D.以上都不對4.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值是（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在5.當(dāng)\(x\to0\)時，與\(x\)等價的無窮小是（）A.\(1-\cosx\)B.\(\sin2x\)C.\(\tanx\)D.\(x^2\)6.\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)等于（）A.0B.1C.2D.不存在7.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的水平漸近線是（）A.\(x=1\)B.\(y=1\)C.\(y=0\)D.不存在8.\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)等于（）A.0B.1C.\(e\)D.\(\infty\)9.若\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\)，則當(dāng)\(x\)充分大時，\(f(x)\)與\(A\)的關(guān)系是（）A.\(f(x)>A\)B.\(f(x)<A\)C.\(|f(x)-A|\)可以任意小D.\(f(x)=A\)10.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(e\)D.不存在多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)2.當(dāng)\(x\to0\)時，下列哪些是無窮小量（）A.\(x\)B.\(x^2\)C.\(\sinx\)D.\(\cosx-1\)3.極限\(\lim\limits_{x\toa}f(x)\)存在的充要條件是（）A.\(\lim\limits_{x\toa^+}f(x)\)存在B.\(\lim\limits_{x\toa^-}f(x)\)存在C.\(\lim\limits_{x\toa^+}f(x)=\lim\limits_{x\toa^-}f(x)\)D.\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)4.下列函數(shù)中，當(dāng)\(x\to\infty\)時，極限為0的有（）A.\(y=\frac{1}{x^2}\)B.\(y=\frac{\sinx}{x}\)C.\(y=\frac{1}{x+1}\)D.\(y=e^{-x}\)5.關(guān)于等價無窮小，以下說法正確的是（）A.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x\sim\sinx\)B.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x\sim\tanx\)C.等價無窮小在極限運算中可互相替換D.等價無窮小替換只能在乘除運算中使用6.以下哪些是極限的運算法則（）A.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)+\lim\limits_{x\toa}g(x)\)B.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)\cdot\lim\limits_{x\toa}g(x)\)C.\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\toa}f(x)}{\lim\limits_{x\toa}g(x)}(\lim\limits_{x\toa}g(x)\neq0)\)D.\(\lim\limits_{x\toa}kf(x)=k\lim\limits_{x\toa}f(x)\)（\(k\)為常數(shù)）7.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處極限存在的情況有（）A.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處有定義B.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處無定義C.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處左右極限存在且相等D.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處左右極限都不存在8.下列極限值為1的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)9.當(dāng)\(x\to\infty\)時，下列函數(shù)有水平漸近線的是（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\frac{1}{x^2}\)C.\(y=2+\frac{1}{x}\)D.\(y=x+\frac{1}{x}\)10.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x\toa}g(x)=B\)，則（）A.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]=A-B\)B.\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=AB\)C.\(\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\neq0)\)D.\(\lim\limits_{x\toa}[kf(x)]=kA\)（\(k\)為常數(shù)）判斷題（每題2分，共10題）1.無窮小量就是很小很小的數(shù)。（）2.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)\)存在，\(\lim\limits_{x\toa}g(x)\)不存在，則\(\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（）3.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^3\)是比\(x^2\)高階的無窮小。（）4.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處極限存在。（）5.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0\)。（）6.等價無窮小在任何極限運算中都能直接替換。（）7.若\(\lim\limits_{x\toa}f(x)=A\)，則\(f(a)=A\)。（）8.函數(shù)\(y=x\sin\frac{1}{x}\)當(dāng)\(x\to0\)時極限為0。（）9.水平漸近線與\(x\)軸一定平行。（）10.\(\lim\limits_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=e^2\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述無窮小量的性質(zhì)。答：無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量；有限個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量。2.求極限\(\lim\limits_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}\)的值并說明步驟。答：先對分子因式分解，\(x^2-9=(x+3)(x-3)\)，則原式變?yōu)閈(\lim\limits_{x\to3}\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=\lim\limits_{x\to3}(x+3)\)，將\(x=3\)代入得\(3+3=6\)。3.說明極限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x}{x^2+1}\)的求解思路。答：分子分母同時除以\(x^2\)，原式變?yōu)閈(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}\)，當(dāng)\(x\to\infty\)時，\(\frac{2}{x}\to0\)，\(\frac{1}{x^2}\to0\)，所以極限值為3。4.什么是函數(shù)的漸近線？答：若當(dāng)\(x\to\infty\)或\(x\tox_0\)時，函數(shù)\(y=f(x)\)的圖形與直線\(y=Ax+B\)無限接近，則稱直線\(y=Ax+B\)為函數(shù)\(y=f(x)\)的漸近線，當(dāng)\(A=0\)時為水平漸近線，當(dāng)\(x\tox_0\)時\(y\to\infty\)則\(x=x_0\)為垂直漸近線。討論題（每題5分，共4題）1.討論等價無窮小在極限運算中的應(yīng)用及注意事項。答：等價無窮小在乘除極限運算中可直接替換，能簡化計算。但要注意只能在乘除中用，在加減運算中一般不能隨意替換，否則可能得出錯誤結(jié)果。例如求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}\)，不能直接將\(\sinx\)換為\(x\)。2.探討極限概念在數(shù)學(xué)及實際生活中的意義。答：在數(shù)學(xué)中，極限是微積分的基礎(chǔ)，用于定義導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念。在實際生活中，可用于描述物體運動的瞬時速度、化學(xué)反應(yīng)的速率變化等，幫助我們精確分析和解決實際問題。3.分析函數(shù)極限存在與函數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系。答：函數(shù)在某點連續(xù)，則該點極限一定存在且等于該點函數(shù)值；但函數(shù)在某點極限存在，函數(shù)在該點不一定連續(xù)，可能無定義或極限值不等于函數(shù)值。如\(y=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處極限存在但不連續(xù)。4.討論如何判斷函數(shù)在某點處極限是否存在。答：可通過判斷函數(shù)在該點的左右極限是否都存在且相等來確定。若左右極限都存在且相等，則函數(shù)在該點極限存在；若左右極限有一個不存在或不相等，則函數(shù)在該點極限不存在