高三數(shù)學(xué)等差數(shù)列多選題專項(xiàng)訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題及答案一、等差數(shù)列多選題1．記為等差數(shù)列前項(xiàng)和，若且，則下列關(guān)于數(shù)列的描述正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列中最大值的項(xiàng)是C．公差 D．?dāng)?shù)列也是等差數(shù)列解析：AB【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，然后結(jié)合等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，等差數(shù)列中，即，.對(duì)于A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，令得，由于是正整數(shù)，所以，所以數(shù)列中最大值的項(xiàng)是，所以B選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由上述分析可知，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且.所以數(shù)列的前項(xiàng)遞減，第項(xiàng)后面遞增，不是等差數(shù)列，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】等差數(shù)列有關(guān)知識(shí)的題目，主要把握住基本元的思想.要求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，可以令或來(lái)求解.2．已知數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于數(shù)列說(shuō)法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列為周期數(shù)列 D．解析：ABD【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】得，∴，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，得，由二次函數(shù)的性質(zhì)得數(shù)列為遞增數(shù)列，所以易知ABD正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過(guò)遞推式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)通項(xiàng)公式研究數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題.3．在下列四個(gè)式子確定數(shù)列是等差數(shù)列的條件是（）A．（，為常數(shù)，）； B．（為常數(shù)，）；C．； D．的前項(xiàng)和（）.解析：AC【分析】直接利用等差數(shù)列的定義性質(zhì)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列．【詳解】A選項(xiàng)中（，為常數(shù)，），數(shù)列的關(guān)系式符合一次函數(shù)的形式，所以是等差數(shù)列，故正確，B選項(xiàng)中（為常數(shù)，），不符合從第二項(xiàng)起，相鄰項(xiàng)的差為同一個(gè)常數(shù)，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，對(duì)于數(shù)列符合等差中項(xiàng)的形式，所以是等差數(shù)列，故正確；D選項(xiàng)的前項(xiàng)和（），不符合，所以不為等差數(shù)列．故錯(cuò)誤．故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義的應(yīng)用，如何去判斷數(shù)列為等差數(shù)列，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，，則（）A． B．C． D．解析：AC【分析】由求出，再由可得公差為，從而可求得其通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式【詳解】由題可知，，即，所以等差數(shù)列的公差，所以，.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，考查運(yùn)算求解能力.5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，，是與的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值 D．當(dāng)時(shí)，n的最小值為22解析：AD【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，可判斷A，B；由二次函數(shù)的配方法，結(jié)合n為正整數(shù)，可判斷C；由解不等式可判斷D．【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，由，可得，即，①由是與的等比中項(xiàng)，得，即，化為，②由①②解得，，則，，由，可得或11時(shí)，取得最大值110；由，解得，則n的最小值為22.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為則下列說(shuō)法正確的是（）A．為等差數(shù)列 B．C．最小值為 D．為單調(diào)遞增數(shù)列解析：AD【分析】利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可對(duì)A，B，D進(jìn)行判斷，對(duì)進(jìn)行配方可對(duì)C進(jìn)行判斷【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，由于，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)楣畲笥诹?，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，所以A，D正確，B錯(cuò)誤，由于，而，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，且最小值為，所以C錯(cuò)誤，故選：AD【點(diǎn)睛】此題考查的關(guān)系，考查由遞推式求通項(xiàng)并判斷等差數(shù)列，考查等差數(shù)列的單調(diào)性和前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題7．設(shè)d為正項(xiàng)等差數(shù)列的公差，若，，則（）A． B． C． D．解析：ABC【分析】由已知求得公差的范圍：，把各選項(xiàng)中的項(xiàng)全部用表示，并根據(jù)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題知，只需，，A正確；，B正確；，C正確；，所以，D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，解題方法是由已知確定的范圍，由通項(xiàng)公式寫出各項(xiàng)（用表示）后，可判斷．8．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）A．（d為常數(shù)） B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．是與的等差中項(xiàng)解析：ABD【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)直接判斷AD選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項(xiàng).【詳解】A.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；C.，不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；D.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以是與的等差中項(xiàng)，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題型.9．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．解析：ABD【分析】先根據(jù)題意可知前9項(xiàng)的和最小，判斷出正確；根據(jù)題意可知數(shù)列為遞減數(shù)列，則，又，進(jìn)而可知，判斷出不正確；利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)和求和公式可知，，故正確.【詳解】根據(jù)題意可知數(shù)列為遞增數(shù)列，，，前9項(xiàng)的和最小，故正確；，故正確；，故正確；，，，故不正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.10．已知等差數(shù)列的公差不為，其前項(xiàng)和為，且、、成等差數(shù)列，則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（）A． B． C．最小 D．解析：BD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)條件、、成等差數(shù)列可求得與的等量關(guān)系，可得出、的表達(dá)式，進(jìn)而可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，因?yàn)?、、成等差?shù)列，則，即，解得，，.對(duì)于A選項(xiàng)，，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，.若，則或最??；若，則或最大.C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過(guò)建立方程（組）獲得解，另外在求解等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值時(shí)，一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)或者數(shù)列的單調(diào)性來(lái)求解.11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列解析：ABC【分析】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，時(shí)，，進(jìn)而求出．【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，∴，化為：，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，∴，可得，∴時(shí)，，，對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析可得，A，B，C三個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，解題關(guān)鍵是將已知遞推式變形為，進(jìn)而求得其它性質(zhì)，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}12．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國(guó)乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問(wèn)題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問(wèn)題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問(wèn)題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．4 B．5 C．7 D．8解析：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差為，設(shè)一共放層，則總得根數(shù)為：整理得，因?yàn)椋詾?00的因數(shù)，且為偶數(shù)，驗(yàn)證可知滿足題意.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意，把題目信息轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值解析：AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差，進(jìn)而計(jì)算即可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本計(jì)算，前項(xiàng)和的最值問(wèn)題，是中檔題.等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值得求解常見一下兩種情況：（1）當(dāng)時(shí)，有最大值，可以通過(guò)的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過(guò)求滿足且的的取值范圍確定；（2）當(dāng)時(shí)，有最小值，可以通過(guò)的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過(guò)求滿足且的的取值范圍確定；14．已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為（）A． B．C． D．解析：BD【分析】根據(jù)選項(xiàng)求出數(shù)列的前項(xiàng)，逐一判斷即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，選項(xiàng)A：不符合題設(shè)；選項(xiàng)B：，符合題設(shè)；選項(xiàng)C：，不符合題設(shè)；選項(xiàng)D：，符合題設(shè).故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的問(wèn)題，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15．題目文件丟失！16．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，關(guān)于數(shù)列，下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B．若(，為常數(shù)，)，則是等差數(shù)列C．若，則是等比數(shù)列D．若是等差數(shù)列，則，，也成等差數(shù)列解析：BCD【分析】利用等差等比數(shù)列的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)判斷得解.【詳解】選項(xiàng)A:,得是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)不是等比數(shù)列，故錯(cuò);選項(xiàng)B:,,得是等差數(shù)列，故對(duì);選項(xiàng)C:,,當(dāng)時(shí)也成立，是等比數(shù)列，故對(duì);選項(xiàng)D:是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)得，，是等差數(shù)列，故對(duì);故選：BCD【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、前項(xiàng)和公式是解題關(guān)鍵.17．已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的有（）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，解析：ABC【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由可得，利用通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為和即可判斷選項(xiàng)A；利用前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B；利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)C；由可得且，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，前項(xiàng)和為，由得：，即，即，對(duì)于選項(xiàng)A：由得，可得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，若，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以，，所以，故選項(xiàng)D不正確，故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是由得出，熟記等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)即可.18．已知Sn是等差數(shù)列(n∈N*)的前n項(xiàng)和，且S5>S6>S4，以下有四個(gè)命題，其中正確的有（）A．?dāng)?shù)列的公差d<0 B．?dāng)?shù)列中Sn的最大項(xiàng)為S10C．S10>0 D．S11>0解析：AC【分析】由，可得，且，然后逐個(gè)分析判斷即可得答案【詳解】解：因?yàn)?，所以，且，所以?shù)列的公差，且數(shù)列中Sn的最大項(xiàng)為S5，所以A正確，B錯(cuò)誤，所以，，所以C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC19．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，….，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．解析：ABCD【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)可得正確答案.【詳解】對(duì)A，寫出數(shù)列的前6項(xiàng)為，故A正確；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，由，，，……，，可得：.故是斐波那契數(shù)