專題九計數(shù)原理

9.1計數(shù)原理、排列與組合

考點計數(shù)原理、排列與組合

1.(2023新課標Ⅱ,3,5分,易)某學校為了解學生參加體育運動的情況,用比例分配的分層

隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生,已知該校初中部

和高中部分別有400名和200名學生,則不同的抽樣結(jié)果共有()

A.·種B.·種

45152040

C.C400·C200種D.C400·C200種

30304020

答C案400DC200根據(jù)分層隨機抽C4樣00方C2法00,易知從初中部和高中部分別抽取40名和20名學生,

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,得不同的抽樣結(jié)果共有·種.故選D.

4020

C400C200

2.(2023全國乙理,7,5分,中)甲、乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人

選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()

A.30種B.60種C.120種D.240種

答案C第一步:甲、乙兩位同學從6種課外讀物中選出1種相同的有=6種選法;第

1

二步:從剩下的5種課外讀物中選2種分給甲、乙有=20種選法.所以符C6合要求的選法

2

共有6×20=120種,故選C.A5

一題多解(排除法)甲、乙兩位同學分別從6種課外讀物中選出2種有=225種選

22

法,其中甲、乙選2種讀物完全相同有=15種選法,完全不相同有=9C06C種6選法.所以

222

兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的C6選法共有225-15-90=120種C,故6C選4C.

3.(2023全國甲理,9,5分,中)現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動,在某一星期的星期六、

星期日兩天,每天從這5人中安排2人參加公益活動,則恰有1人在這兩天都參加的不同

安排方式共有()

A.120種B.60種C.30種D.20種

答案B先從5人中選出1人兩天都參加,有種選擇,然后從其余4人中選2人分別

1

安排在周六和周日,C5

有種方式,所以恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有=60種,故選B.

212

A4C5A4

4.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學只去1個場館,甲場館安排1名,

乙場館安排2名,丙場館安排3名,則不同的安排方法共有()

A.120種B.90種C.60種D.30種

答案C解題思路:第一步:安排甲場館的志愿者,則甲場館的安排方法有=6種,第二步:安排乙場館

1

C6

的志愿者,則乙場館的安排方法有=10種,第三步:安排丙場館的志愿者,則丙場館的安排方法有=1種.

23

53

所以共有6×10×1=60種不同的安排C方法.故選C(易錯:注意分配到每個場館的志愿者是不分順序的C,所以不

用全排列).

5.(2022新高考Ⅱ,5,5分,應(yīng)用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙

和丁相鄰,則不同的排列方式共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

答案B丙和丁相鄰共有種站法,甲站在兩端且丙和丁相鄰共有種站法,所以甲不站在兩

24123

A2·A4C2·A2·A3

端且丙和丁相鄰共有=24種站法,故選B.

24123

24223

6.(2021全國乙理,6,5A分·A)將?5C名·A北·A京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行

培訓,每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有()

A.60種B.120種C.240種D.480種

答案C先將5人分為4組,其中一組有2人,另外三組各1人,共有=10種分法,然后將4個項目全排

2

C5

列,共有=24種排法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到不同的分配方案共有=240種,故選C.

424

454

易錯警示A本題容易出現(xiàn)將5人分為4組,共有分法=60種的錯誤C結(jié)·A果.

211

532

7.(2016四川理,4,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重C復·C數(shù)·C字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為()

A.24B.48C.60D.72

答案D奇數(shù)的個數(shù)為=72.

14

34

8.(2015四川理,6,5分)用C數(shù)A字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有

()

A.144個B.120個C.96個D.72個

答案B數(shù)字0,1,2,3,4,5中僅有0,2,4三個偶數(shù),比40000大的偶數(shù)為以4開頭與以5開頭的數(shù).其中

以4開頭的偶數(shù)又分以0結(jié)尾與以2結(jié)尾,有2=48個;同理,以5開頭的有3=72個.于是共有48+72=120

33

44

個,故選B.AA

評析本題考查了分類與分步計數(shù)原理、排列數(shù)的知識.

考查學生分析問題、解決問題的能力.

9.(2014大綱全國理,5,5分)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小

組.則不同的選法共有()

A.60種B.70種C.75種D.150種

答案C從6名男醫(yī)生中選出2名有種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有種選法,由分步乘法計數(shù)原理

21

65

得不同的選法共有·=75種.故選CC.C

21

65

10.(2014遼寧理,6C,5分C)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()

A.144B.120C.72D.24

答案D先把三把椅子隔開擺好,它們之間和兩端有4個位置,再把三人帶椅子插放在四個位置,共有

=24種放法,故選D.

3

4

1A1.(2014四川理,6,5分)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法

共有()

A.192種B.216種C.240種D.288種

答案B若最左端排甲,其他位置共有=120種排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個位置

5

5

有=24種排法,所以共有120+4×24=21A6種排法.

4

4

12.A(2014重慶理,9,5分)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順

序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()

A.72B.120C.144D.168

答案B先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有·=144種,再剔除小品類

33

34

節(jié)目相鄰的情況,共有··=24種,于是符合題意的排法共有144-24=1A20種A.

322

322

13.(2013山東理,10,5A分)用A0,A1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()

A.243B.252C.261D.279

答案B由分步乘法計數(shù)原理知:用0,1,…,9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復數(shù)字)的個數(shù)為9×10×

10=900,組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9×9×8=648,則組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為

900-648=252,故選B.

評析本題考查分步乘法計數(shù)原理,考查學生的推理運算能力.

14.(2012課標理,2,5分)將2名教師,4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每

個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有()

A.12種B.10種C.9種D.8種

答案A2名教師各在1個小組,給其中1名教師選2名學生,有種選法,另2名學生分配給另1名教師,

2

4

然后將2個小組安排到甲、乙兩地,有種方案,故不同的安排方案C共有=12種,選A.

222

242

評析本題考查了排列組合的實際應(yīng)用A,考查了先分組再分配的方法.CA

15.(2012遼寧理,5,5分)一排9個座位坐了3個三口之家.若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為()

A.3×3!B.3×(3!)3

C.(3!)4D.9!

答案C第1步:3個家庭的全排列,方法數(shù)為3!;

第2步:家庭內(nèi)部3個人全排列,方法數(shù)為3!,共3個家庭,方法數(shù)為(3!)3,∴總數(shù)為(3!)×(3!)3=(3!)4,故選

C.

評析本題主要考查計數(shù)原理的基礎(chǔ)知識,考查學生分析、解決問題的能力.

16.(2012安徽理,10,5分)6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換,任意兩位同學之間最多交換一次,

進行交換的兩位同學互贈一份紀念品.已知6位同學之間共進行了13次交換,則收到4份紀念品的同學人數(shù)

為()

A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4

答案D由題意及=15知只需少交換2次.記6位同學為A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨討論①A1少交換2

2

C6

次,如A1未與A2、A3交換,則收到4份紀念品的同學僅為A2、A32人;②A1、A2各少交換1次,如A1與A3未交

換,A2與A4未交換,則收到4份紀念品的同學有4人,為A1、A2、A3、A4.故選D.

17.(2016課標Ⅱ,5,5分)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓

參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()

A.24B.18C.12D.9

答案B分兩步,第一步,從E→F,有6條可以選擇的最短路徑;第二步,從F→G,有3條可以選擇的最短路

徑.由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3=18條可以選擇的最短路徑.故選B.

思路分析小明到老年公寓,需分兩步進行,先從E到F,再從F到G,分別求各步的最短路徑條數(shù),再利用分

步乘法計數(shù)原理即可得結(jié)果.

18.(2016課標Ⅲ,12,5分)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意

k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()

A.18個B.16個C.14個D.12個

答案C當m=4時,數(shù)列{an}共有8項,其中4項為0,4項為1,要滿足對任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)

不少于1的個數(shù),則必有a1=0,a8=1,a2可為0,也可為1.(1)當a2=0時,分以下3種情況:①若a3=0,則

a4,a5,a6,a7中任意一個為0均可,則有=4種情況;②若a3=1,a4=0,則a5,a6,a7中任意一個為0均可,有=3

11

C4C3

種情況;③若a3=1,a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有=2種情況;(2)當a2=1時,必有a3=0,分以

1

C2

下2種情況:①若a4=0,則a5,a6,a7中任一個為0均可,有=3種情況;②若a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個

1

3

為0均可,有=2種情況.綜上所述,不同的“規(guī)范01數(shù)C列”共有4+3+2+3+2=14個,故選C.

1

C2

思路分析根據(jù)題意可知a1=0,a8=1,進而對a2,a3,a4取不同值進行分類討論(分類要做到不重不漏),從而利

用分類加法計數(shù)原理求出不同的“規(guī)范01數(shù)列”的個數(shù).

19.（2023新課標I，13）某學校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學生需從這8門課中選

修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．

【答案】64

（）當從門課中選修門，則不同的選課方案共有11種；

【解析】182C4C416

（2）當從8門課中選修3門，

①若體育類選修課門，則不同的選課方案共有12種；

1C4C424

②若體育類選修課門，則不同的選課方案共有21種；

2C4C424

綜上所述：不同的選課方案共有16242464種.

20.(2024新課標Ⅱ,14,5分,難)在下圖的4×4的方格表中選4個方格,要求每行和每列均恰有一個

方格被選中,則共有種選法.在所有符合上述要求的選法中,選中方格中的4個數(shù)之和的最大值

是.

答案24;112

14

解析第一列有4種選擇,第二列有3種選擇,第3列有2種選擇,第4列有1種選擇,∴共有

4×3×2×1=24種選法.

由題圖知,每一列中最下面的數(shù)最大,現(xiàn)將前三行中每一個數(shù)與該列最大數(shù)的差的絕對值算出來,

如下表.

要想選中的4個數(shù)之和最大,差的絕對值就要最小,故選中的4個數(shù)從上到下分別為21,33,43和

15,和為112,故最大值為112.

21.(2018浙江,16,4分)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成

個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)

答案1260

解析本小題考查排列、組合及其運用,考查分類討論思想.

含有數(shù)字0的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有=540個,不含有數(shù)字0的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有

2113

5333

=720個,故一共可以組成540+720=C1C26A0個A沒有重復數(shù)字的四位數(shù).

224

534

易C錯C警A示數(shù)字排成數(shù)時,容易出錯的地方:

(1)數(shù)字是否可以重復;

(2)數(shù)字0不能排首位.

22.(2015廣東理,12,5分)某高三畢業(yè)班有40人,同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共

寫了條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)

答案1560

解析∵同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,且全班共有40人,∴全班共寫了40×39=1560條畢業(yè)

留言.

23.(2013北京理,12,5分)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張.如果分給同

一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是.

答案96

解析5張參觀券分成4份,1份2張,另外3份各1張,且2張參觀券連號,則有4種分法,把這4份參觀券

分給4人,則不同的分法種數(shù)是4=96.

4

4

24.(2013大綱全國理,14,5分)6個A人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.(用數(shù)

字作答)

答案480

解析先將除甲、乙兩人以外的4人排成一行,有=24種排法,再將甲、乙插入有=20種,所以6人排成

42

4