1學習空間幾何體要“三會”一、會辨別例1下列說法：①一個幾何體有五個面，則該幾何體可能是球、棱錐、棱臺、棱柱；②若一個幾何體有兩個面平行，且其余各面均為梯形，則它一定是棱臺；③直角三角形繞其任意一條邊旋轉一周都可以圍成圓錐．其中說法正確的個數(shù)為________．分析可根據(jù)柱體、錐體、臺體和球體的概念進行判斷．解析一個幾何體有五個面，可能是四棱錐、三棱臺，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以①錯；由于棱臺的側棱是原棱錐側棱的一部分，所以棱臺的各側棱的延長線相交于一點，而②中的幾何體其側棱延長線并不一定會交于一點，所以②錯；③中如繞直角邊旋轉可以形成圓錐，但繞斜邊旋轉形成的是由兩個圓錐組成的組合體，所以③錯．故填0.答案0評注要準確辨別各種幾何體，可從軸、側面、底面、母線、平行于底面的截面等方面入手，當然掌握定義是大前提．二、會折展例2紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“Δ”的面的方位是________．分析將平面展開圖按要求折疊成正方體，根據(jù)方位判斷即可．解析將平面展開圖折疊成正方體，如圖所示，標“Δ”的面的方位應為北．故填北．答案北評注將空間幾何體展開成平面圖形，或將展開圖折疊成空間幾何體，在后面的計算或證明中經常用到，應引起重視．解決這類問題的關鍵是充分發(fā)揮空間想象能力或親自動手制作模型進行實踐．三、會割補例3如圖所示是一個三棱臺ABC－A1B1C1.試用一個平面把這個三棱臺分成一個三棱柱和一個多面體，并用字母表示．分析三棱柱要求兩個底面為平行且全等的三角形，其余三個面為四邊形，且相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行．解作A1D∥BB1，C1E∥BB1，連接DE，則三棱柱為A1B1C1－DBE，多面體為ADECC1A1(如圖所示)．2三視圖易錯點剖析一、棱錐的視圖易出錯我們在畫正三棱錐、正四棱錐時要注意從不同角度得到的三視圖．實際上，在上述幾何體的三視圖中，左視圖最容易出錯，在畫這些常見錐體的三視圖時，可做出幾何體的高線，有了高線的襯托，自然就可以得到正確的三視圖．如圖，對于正三棱錐P－ABC來說，它的主視圖中，從前面向后面看，點B到了點D的位置，點P到了點P′的位置，故主視圖為等腰三角形P′AC(包含高線P′D)，從左側向右側看，點A到了點D的位置，故左視圖為三角形PBD，從上面向下面看，俯視圖中，點P到了點O的位置，故俯視圖為等邊三角形ABC(外加三條線段OA、OB、OC)．如圖，對于正四棱錐P－ABCD來說，它的主視圖和左視圖分別為等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯視圖為正方形ABCD(包含兩條對角線AC和BD)．對于此三視圖，左視圖和主視圖易出錯，但有了高線PO的襯托，便可降低出錯率．二、畫三視圖時，沒有把不可見的輪廓線用虛線表示而出錯作幾何體的三視圖的過程中，可見的邊界輪廓線用實線表示，不可見的邊界輪廓線用虛線表示．這一點不能忽視，否則易出錯．例1畫出如圖所示零件的三視圖．錯解如圖零件可看作是一個半圓柱、一個柱體、一個圓柱的組合，其三視圖如圖所示．剖析錯誤原因是圖中各視圖都沒有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時應畫出其交線．正解三、不能由三視圖還原正確的直觀圖而出錯當已知幾何體的三視圖，而需要我們去還原成直觀圖時，要充分關注圖形中關鍵點的投影，重要的垂直關系等，綜合三個視圖，想象出直觀圖，然后畫出直觀圖，再通過已知的三視圖驗證直觀圖的正確性．例2如圖，通過三視圖還原物體的直觀圖．解通過三視圖可以畫出直觀圖，如圖所示：注其中PC為垂直于底面ABCD的直線．跟蹤訓練由下面的三視圖還原物體的直觀圖．解通過三視圖可以看出直觀圖如圖所示：3直觀圖與原圖形的互化知多少在高考中常借助于求平面圖或直觀圖的面積來考查斜二測畫法中角度和長度的變化，也實現(xiàn)了原圖形與直觀圖的互化．關于兩者的互化，關鍵是要抓住它們之間的轉化規(guī)則——“斜”和“二測”．“斜”也即是直角坐標系到斜45°坐標系之間的相互轉化，“二測”也即是兩者在轉化時，要做到“水平長不變，垂直倍半化”．現(xiàn)通過例題講述一下兩者之間的具體轉化策略．一、原圖形到直觀圖的轉化例1已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2分析先根據(jù)題意，在原圖形中建立平面直角坐標系(以AB所在直線為x軸，以AB邊上的高所在直線為y軸)，然后完成由原圖形到直觀圖的轉化，然后根據(jù)直觀圖△A′B′C′的邊長及夾角求解．解析根據(jù)題意，建立如圖①所示的平面直角坐標系，再按照斜二測畫法畫出其直觀圖，如圖②所示．易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.作C′D′⊥A′B′于點D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.答案D評注通過斜二測畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積與實物圖的面積之比為eq\f(\r(2),4)∶1.在求解中注意面積中的水平方向與垂直方向的選擇與定位．二、直觀圖到原圖形的轉化例2用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形，得到一個邊長為1的正方體，則原來圖形的形狀是()解析由直觀圖知，原圖形在y軸上的對角線長應為2eq\r(2).答案A評注當由直觀圖向原圖形轉化時，關鍵是在直觀圖中建立斜45°坐標系，有了斜45°坐標系，便可按“二測”的畫圖規(guī)則逆推回去，而在正方形中建立45°坐標系是很容易的(正方形的對角線與任一邊所成的角均為45°)，從而實現(xiàn)了由直觀圖向原幾何圖形的轉化．例3如圖所示，四邊形ABCD是一平面圖形水平放置的斜二測直觀圖，在斜二測直觀圖中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC與y軸平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，則這個平面圖形的實際面積是________．分析由∠BCx＝45°，先計算BC的長度．解析由斜二測直觀圖畫法規(guī)則知該平面圖形是梯形，且AB與CD的長度不變，仍為6和4，高為4eq\r(2)，故平面圖形的實際面積為eq\f(1,2)×(6＋4)×4eq\r(2)＝20eq\r(2).答案20eq\r(2)4柱、錐、臺的表面積求法精析由于柱、錐、臺的表面積是各個面的面積之和，因此計算的關鍵在于對幾何體各個面的正確認識以及對表面積公式的正確運用．一、錐體的表面積例1正三棱錐的底面邊長為4cm，它的側棱與高所成的角為45°，求正三棱錐的表面積．分析本題的關鍵在于求正三棱錐的斜高．解如圖所示，過S點作SO⊥平面ABC于O點，則O為△ABC的中心，連接AO并延長與BC相交于D點．由正三角形的性質得D為BC的中點，連接SD，則SD為正三棱錐的斜高．在Rt△ASO中，∠ASO＝45°，AO＝eq\f(\r(3),3)×4＝eq\f(4\r(3),3)(cm)，∴SO＝AO＝eq\f(4\r(3),3)(cm)．在Rt△SOD中，OD＝eq\f(\r(3),6)×4＝eq\f(2\r(3),3)(cm)，故SD＝eq\r(SO2＋OD2)＝eq\r(\f(16,3)＋\f(4,3))＝eq\r(\f(20,3))＝eq\f(2\r(15),3)(cm)．根據(jù)正棱錐的側面積公式：S側＝eq\f(1,2)×3×4×eq\f(2\r(15),3)＝4eq\r(15)(cm2)，又△ABC的面積為4eq\r(3)cm2，故正三棱錐的表面積為(4eq\r(15)＋4eq\r(3))cm2.評注有關棱錐、棱臺的表面積問題，常常涉及到側棱、高、斜高、邊心距和底面外接圓半徑五個量之間的關系．解決問題時，往往把它們轉化為平面圖形，即由側棱、高、底面外接圓半徑所組成的直角三角形或由高、斜高、邊心距所組成的直角三角形，求出所需要的量，從而使問題得以解決．二、柱體的表面積例2如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，其底面是等腰直角三角形，且AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝A1A＝2.(1)求該幾何體的表面積；(2)若把兩個這樣的直三棱柱拼成一個大棱柱，求拼得的棱柱表面積的最小值．解(1)該幾何體有5個面，兩個底面的面積和為2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝2，三個側面面積和為2×(eq\r(2)＋eq\r(2)＋2)＝4(eq\r(2)＋1)，故其表面積S＝6＋4eq\r(2).(2)設兩個這樣的直三棱柱重合的面的面積為S1，則組合后的直棱柱的表面積為2S－2S1，故當且僅當重合的面的面積最大時，拼得的棱柱的表面積最?。謧让鍭A1C1C的面積最大，此時拼得的棱柱的表面積最小值為2S－2S四邊形AA1C1C＝4＋8eq\r(2).評注本例中(1)的關鍵在于準確識別幾何體的各個面的形狀；(2)的關鍵在于找到影響拼合后的面積變化量，當然也可以分類討論，列舉出各種拼合的辦法，一一計算表面積，再進行比較．三、臺體的表面積例3已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為20cm和30cm，且其側面積等于兩底面面積之和，求棱臺的高．分析求棱臺的側面積要注意利用公式及正棱臺中的特殊直角梯形，轉化為平面問題來求解所需的幾何元素．解如圖所示，正三棱臺ABC－A1B1C1中，O，O1分別為兩底面中心，D，D1分別為BC和B1C1中點，則DD1為棱臺的斜高．由A1B1＝20cm，AB＝30cm，則O1D1＝eq\f(10\r(3),3)cm，OD＝5eq\r(3)cm，由S側＝S上＋S下，得eq\f(1,2)(20＋30)×3×DD1＝eq\f(\r(3),4)(202＋302)，∴DD1＝eq\f(13\r(3),3)cm.∴棱臺的斜高為eq\f(13\r(3),3)cm.在直角梯形O1ODD1中，O1O＝eq\r(DD\o\al(2,1)－OD－O1D12)＝4eq\r(3)(cm)．∴棱臺的高為4eq\r(3)cm.評注本題的關鍵是找到正棱臺中的特殊直角梯形．5空間幾何體體積的求解“三法”空間幾何體的體積公式在實際生活中有著廣泛的應用，但在具體求解過程中，僅僅記住公式是遠遠不夠的，還要把握圖形的內在因素，掌握一些常見的求解策略，靈活選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行求解．一、直接用公式求解根據(jù)柱體、錐體、臺體、球體的體積公式，明確公式中各幾何量的值，把未知的逐個求出，再代入公式進行求解．例1已知圓錐的表面積為15πcm2，側面展開圖的圓心角為60°，求該圓錐的體積．分析根據(jù)錐體的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h，知應分別求出圓錐的底面半徑和高，代入公式計算．解設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，根據(jù)題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πr2＋πrl＝15π，,2πr＝\f(60×πl(wèi),180).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝\r(\f(15,7))，,l＝6r.))所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(6r2－r2)＝eq\r(35r2)＝eq\r(35)r＝eq\r(35)×eq\r(\f(15,7))＝5eq\r(3).所以V＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7))))2×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π(cm3)．評注直接利用幾何體的體積公式求體積時，需牢固掌握公式，明確各幾何量之間的關系，準確進行計算．二、分割補形求解當給出的幾何體比較復雜，有關的計算公式無法運用時，可以采用“分割”或“補形”的方法，化復雜的幾何體為簡單的幾何體(柱、錐、臺、球)，利用各簡單幾何體的體積和或差求解．例2如圖所示，在三棱臺ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1－ABC、三棱錐B－A1B1C、三棱錐C－A1B1C1的體積之比．分析如圖，三棱錐B－A1B1C可以看作棱臺減去三棱錐A1－ABC和三棱錐C－A1B1C1后剩余的幾何體，然后相比即可．解設三棱臺的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.評注三棱柱、三棱臺可以分割成三個三棱錐，分割后可由錐體的體積求柱體和臺體的體積．在立體幾何中，通過分割或補形，將原幾何體割成或補成較易計算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積，這是求體積的重要思路與方法．三、等積轉換求解對于一個幾何體，可以從不同的角度去看待它，通過改變頂點和底面，利用體積不變的原理，求原幾何體的體積．例3如圖所示的三棱錐O－ABC為長方體的一角，其中OA，OB，OC兩兩垂直，三個側面OAB，OAC，OBC的面積分別為1.5cm2，1cm2,3cm2，求三棱錐O－ABC的體積．分析三棱錐O－ABC的底面和高不易求解，可以轉換視角，將三棱錐O－ABC看作C為頂點，△OAB為底面．由三棱錐C－OAB的體積得出三棱錐O－ABC的體積．解設OA，OB，OC的長分別為xcm，ycm，zcm，則由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)xy＝1.5，,\f(1,2)xz＝1，,\f(1,2)yz＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，,z＝2.))于是V三棱錐O－ABC＝V三棱錐C－OAB＝eq\f(1,3)S△OAB×OC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×3×2＝1(cm3)．6“三共”問題的證法精析一、證明點共線例1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設線段A1C與平面ABC1D1交于Q.求證：B、Q、D1共線．證明∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C?平面A1D1CB，∴Q∈平面A1D1CB；而Q∈平面ABC1D1.∴Q在兩平面的交線BD1上，∴B、Q、D1共線．評注證明點共線的問題，一般可轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，這樣可根據(jù)公理3證明這些點同在兩平面的交線上．二、證明線共點例2如圖，△ABC與△A1B1C1三條邊對應平行，且兩個三角形不全等，求證：三對對應頂點的連線相交于一點．分析要證三線共點，可證其中兩條直線有交點，且該交點在第三條直線上．證明由A1B1∥AB，知A1B1與AB可確定平面α.同理C1B1，CB和A1C1，AC可分別確定平面β和γ.又△ABC與△A1B1C1不全等，則A1B1≠AB.若AA1，BB1的交點為P，則P∈AA1，且P∈BB1.又β∩γ＝CC1，BB1?β，則P∈β；AA1?γ，則P∈γ.所以點P在β∩γ的交線上，即P∈CC1，這樣點P在AA1，BB1，CC1上，即三對對應頂點的連線相交于一點．評注解決此類問題的一般方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證該點也在其他直線上．三、證明線共面例3求證：兩兩相交但不過同一點的四條直線共面．分析四條直線不共點，但有可能三線共點，或沒有三線共點，所以應分兩種情況加以證明．證明分兩種情況證明：①有三條直線過同一點，如圖，因為A?l4，所以過A，l4可確定平面α.因為B，C，D∈l4，所以B，C，D∈α.所以AB?α，AC?α，AD?α.因此四條直線l1，l2，l3，l4共面．②任意三條直線都不過同一點，如圖．因為l1∩l2＝A，所以過l1，l2可以確定平面α.又因為D，E∈l2，B，C∈l1，所以D，E，B，C∈α.由E∈α，B∈α，可得BE?α，即l3?α.同理可證，l4?α.因此四條直線l1，l2，l3，l4共面．評注證明線共面問題，一般有兩種方法：一是先由兩條直線確定一個平面，再證明第三條直線在這個平面內；二是由其中兩條直線確定一個平面α，另兩條直線確定一個平面β，再證α，β重合，從而三線共面．7平行問題證明的三個突破口一、由中點聯(lián)想三角形的中位線，尋找平行關系例1如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E是CD1的中點，求證：AD1∥平面BDE.分析要在平面BDE內尋找與AD1平行的直線，由條件E是CD1的中點，易想到利用三角形的中位線來尋找．由于底面ABCD是平行四邊形，其對角線的交點就是AC的中點，這樣就找到了中位線，從而問題就解決了．證明連接AC，與BD交于點O.因為底面ABCD是平行四邊形，所以O是AC的中點．連接OE，由于E是CD1的中點，所以OE是△AD1C的中位線．所以OE∥AD1.又OE?平面BDE，AD1?平面BDE，所以AD1∥平面BDE.評注運用直線與平面平行的判定定理證明線面平行時，不能忽視限制條件：一條直線在平面內，一條直線在平面外，如本題中OE?平面BDE，AD1?平面BDE，否則證明不完善．二、由平行四邊形尋找平行關系例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN，求證：MN∥平面ABB1A1.分析要在平面ABB1A1內找一條直線與MN平行，可根據(jù)平行關系作ME∥BC，NF∥AD來構造平行四邊形，從而找到與MN平行的直線．證明作ME∥BC交BB1于點E，作NF∥AD交AB于點F，連接EF.因為AD∥BC，所以NF∥ME.因為CM＝DN，BD＝B1C，所以B1M＝BN.因為eq\f(ME,BC)＝eq\f(B1M,B1C)，eq\f(NF,AD)＝eq\f(BN,BD)，所以ME＝NF.所以四邊形MEFN為平行四邊形．所以MN∥EF.又MN?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.評注構造平行四邊形的關鍵在于抓住條件特征，合理引入平行線．一定要注意平行四邊形的一條邊在要證的平面內，其對邊為待證直線，如本題中直線EF與MN.三、由對應線段成比例尋找平行關系例3如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分別是PA，BD上的點，且eq\f(PM,MA)＝eq\f(BN,ND)，求證：MN∥平面PBC.分析條件中給出一個比例關系，由此想到運用比例線段在平面PBC內尋找一條直線與MN平行．證明連接AN并延長，交BC于點E，連接PE.在正方形ABCD內，BC∥AD，所以eq\f(BN,ND)＝eq\f(NE,AN).因為eq\f(PM,MA)＝eq\f(BN,ND)，所以eq\f(PM,MA)＝eq\f(NE,AN).所以MN∥PE.又PE?平面PBC，MN?平面PBC，8轉化中證明空間垂直關系空間中的各種垂直關系是高中數(shù)學的重要內容．在高考中著重考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的證明，這就需要利用線面垂直、面面垂直的判定定理及其性質，運用三者之間的轉化關系．一、證明線面垂直證明線面垂直通常有兩種方法：一是利用線面垂直的判定定理，由線線垂直得到線面垂直；二是利用面面垂直的性質定理，由面面垂直得到線面垂直．例1如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點，AN⊥PM，垂足為點N.求證：AN⊥平面PBM.證明因為PA垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BM.因為M是圓周上一點，所以BM⊥AM.又因為PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.所以BM⊥AN.又因為AN⊥PM，PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM.評注本題是考查線面垂直很好的載體，它融合了初中所學的圓的特征，在求解時要注意線線、線面垂直關系的轉化．二、證明面面垂直證明面面垂直一般有兩種方法：一是利用面面垂直的定義，通過求二面角的平面角為直角而得到，這種方法在證明面面垂直時應用較少；二是利用面面垂直的判定定理由線面垂直得到面面垂直．例2如圖，△ABC為等邊三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中點．(1)求證：DE＝DA；(2)求證：平面BDM⊥平面ECA.證明(1)如圖，取EC的中點F，連接DF，易知DF∥BC.因為EC⊥BC，所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，因為EF＝eq\f(1,2)EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA.所以DE＝DA.(2)如圖，取CA的中點N，連接MN，BN，則MN∥EC，且MN＝eq\f(1,2)EC.又EC∥BD，且BD＝eq\f(1,2)EC，所以MN∥BD，且MN＝BD.所以四邊形BDMN是平行四邊形．所以點N在平面BDM內．因為EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN.又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.因為BN?平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA.評注在證明面面垂直時通常轉化為證明線面垂直的問題．三、證明線線垂直證明線線垂直，往往根據(jù)線面垂直的性質，即如果一條直線垂直于一個平面，那么它和這個平面內的任意一條直線垂直．例3如圖，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分別為A，B，求證：CD⊥AB.證明因為EA⊥α，CD?α，所以CD⊥EA.又因為EB⊥β，CD?β，所以EB⊥CD.又因為EA∩EB＝E，所以CD⊥平面ABE.因為AB?平面ABE，CD?平面ABE，所以CD⊥AB.評注證明空間中的垂直關系的問題時，經常要用到化歸與轉化的數(shù)學思想，主要體現(xiàn)在線線垂直、線面垂直、面面垂直證明的相互轉化過程之中．其轉化關系如下：線線垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質定理))線面垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質定理))面面垂直9空間中垂直關系的探索型問題隨著新課程的普及，創(chuàng)新型問題越來越受到高考命題者的青睞，并且滲透到各個章節(jié)之中，下面就直線與空間中垂直關系的開放探索型問題列舉兩例，供同學們學習．例1如圖，設△ABC內接于⊙O，PA垂直于⊙O所在的平面．(1)請指出圖中互相垂直的平面；(要求：列出所有的情形，但不要求證明)(2)若要使互