梅州期末高中數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.若集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={1},則實數(shù)a的值為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.已知向量a=(3,4),b=(1,k),若a⊥b,則k的值為（）

A.12/4

B.-12/4

C.4/12

D.-4/12

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

5.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=5,公差d=2,則a?的值為（）

A.11

B.13

C.15

D.17

6.拋物線y2=4x的焦點坐標是（）

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(-1,0)

D.(0,-1)

7.在△ABC中,若角A=45°,角B=60°,邊BC=6,則邊AC的長度為（）

A.3√2

B.3√3

C.6√2

D.6√3

8.已知直線l?:2x-y+1=0與直線l?:x+2y-3=0,則l?與l?的夾角是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

9.已知函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性是（）

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先增后減

D.先減后增

10.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4,則圓C的圓心坐標是（）

A.(1,-2)

B.(-1,2)

C.(2,-1)

D.(-2,1)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=tan(x)

2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若f(1)=3,f(-1)=-1,且f(x)的圖像開口向上，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a>0

B.b=0

C.c=1

D.Δ=b2-4ac>0

3.在等比數(shù)列{a?}中,若a?=6,a?=54,則下列結(jié)論正確的有（）

A.公比q=3

B.首項a?=2

C.a?=432

D.數(shù)列的前n項和S?=2(3?-1)

4.已知直線l?:y=kx+b與直線l?:y=mx+c,若l?與l?相交于點P(1,2),則下列結(jié)論正確的有（）

A.k≠m

B.k+m=2

C.kb+mc=2(k+m)

D.2k+b=2m+c

5.已知圓C?的方程為(x-1)2+(y-1)2=1,圓C?的方程為(x+1)2+(y+1)2=4,則下列結(jié)論正確的有（）

A.圓C?的圓心坐標為(1,1)

B.圓C?的半徑為2

C.圓C?與圓C?相切

D.圓C?與圓C?相交

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域為[3,m],則實數(shù)m的值為_______.

2.在△ABC中,若角A=30°,角B=45°,邊AC=2√3,則邊BC的長度為_______.

3.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=10,a??=19,則該數(shù)列的通項公式a?=_______.

4.拋物線y2=-8x的焦點坐標為_______.

5.若向量a=(1,2),b=(x,1),且a?b=5,則實數(shù)x的值為_______.

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x.求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值.

2.已知向量a=(3,-1),b=(-2,4).求向量a+2b的坐標,以及向量a與向量b的夾角cosθ(結(jié)果保留兩位小數(shù)).

3.求函數(shù)f(x)=sin(2x-π/4)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間.

4.在△ABC中,已知角A=60°,角B=45°,邊AC=√6.求邊BC的長度和△ABC的面積.

5.已知圓C的方程為(x+1)2+(y-2)2=9.求過圓心C作一條斜率為2的直線l的方程.

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求x-1>0,即x>1.

2.C

解析：集合A={1,2},B={x|ax=1},A∩B={1}意味著1∈B,所以a*1=1,得a=1.

3.A

解析：向量a⊥b意味著a?b=0,即3*1+4*k=0,解得k=-12/4=-3.但選項為A,可能是題目或選項有誤,正確答案應為-3.

4.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π.

5.D

解析：等差數(shù)列{a?}中,a?=a?+4d=5+4*2=13.但選項為D,可能是題目或選項有誤,正確答案應為13.

6.A

解析：拋物線y2=4x的標準方程為y2=4px,焦點坐標為(p,0).這里4p=4,得p=1,焦點坐標為(1,0).

7.B

解析：由正弦定理,a/sinA=b/sinB=c/sinC.設AC=b,BC=a=6,AB=c.則6/sin60°=b/sin45°,b=6*(√3/2)/(√2/2)=3√2.但選項為B,可能是題目或選項有誤,正確答案應為3√2.

8.B

解析：直線l?的斜率k?=2,直線l?的斜率k?=-1/2.兩直線夾角θ的余弦值cosθ=|k?k?+1|/√(1+k?2)√(1+k?2)=|2*(-1/2)+1|/√(1+4)√(1+1/4)=|0|/√5*√5/2=0.兩直線垂直,夾角為90°.但選項為B,可能是題目或選項有誤,正確答案應為90°.

9.A

解析：函數(shù)f(x)=e^x-x的導數(shù)f'(x)=e^x-1.當x>0時,e^x>1,所以f'(x)>0.函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

10.A

解析：圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4,圓心坐標為(1,-2),半徑為2.

二、多項選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x).

A.f(x)=x3,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),是奇函數(shù).

B.f(x)=sin(x),f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x),是奇函數(shù).

C.f(x)=x2+1,f(-x)=(-x)2+1=x2+1≠-(x2+1)=-f(x),不是奇函數(shù).

D.f(x)=tan(x),f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x),是奇函數(shù).

2.A,B,D

解析：f(1)=a(1)2+b(1)+c=a+b+c=3.

f(-1)=a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=-1.

解方程組:

a+b+c=3(1)

a-b+c=-1(2)

(1)+(2):2a+2c=2=>a+c=1.

(1)-(2):2b=4=>b=2.

代入(1):a+2+c=3=>a+c=1.(與上面一致)

所以a+c=1.

由f(-1)=-1可得a-2+c=-1=>a+c=1.(與上面一致)

結(jié)合f(x)開口向上,得a>0.

由a+c=1,b=2,Δ=b2-4ac=22-4a(1-a)=4-4(a-a2)=4-4a+4a2=4(a2-a)+4=4(a(a-1))+4.

因為a>0,且a+c=1,所以0<a<1.

當0<a<1時,a(a-1)<0,所以4(a(a-1))<0,即Δ<4.但題目說Δ>0,所以這個推導有誤.

正確推導:由a+c=1,b=2,Δ=b2-4ac=4-4a(1-a)=4-4a+4a2=4(a2-a)+4=4(a(a-1))+4.

當a>0時,a(a-1)的符號取決于a是否在(0,1)或(1,+∞).

若0<a<1,則a(a-1)<0,Δ=4(a(a-1))+4<4+0=4.但題目條件是Δ>0,所以此時不滿足.

若a>1,則a(a-1)>0,Δ=4(a(a-1))+4>4>0.滿足條件.

所以必須a>1.

結(jié)論:a>0(由開口向上),b=2(已求出),Δ>0(由a>1).

選項A:a>0.正確.

選項B:b=2.正確.

選項C:c=1.錯誤.例如a=2,b=2,c=-1,滿足a+b+c=3,a-b+c=-1,a>0,b=2,Δ=4-4*2*(-1)=12>0.但c=-1≠1.

選項D:Δ>0.正確.(由a>1)

3.A,B,C,D

解析：等比數(shù)列{a?}中,a?=a?q=6,a?=a?q3=54.

q3=54/6=9=>q=2.

A.公比q=2.正確.

B.首項a?=a?/q=6/2=3.錯誤.正確答案應為3.

C.a?=a?q?=(a?q3)q3=54*23=54*8=432.正確.

D.數(shù)列的前n項和S?=a?(1-q?)/(1-q)=3(1-2?)/(1-2)=3(1-2?)/(-1)=-3(1-2?)=-3+3*2?=3*2?-3.正確.

注意：選項B有誤，但按題目要求選正確的選項。A,C,D均正確。

4.A,D

解析：向量a+2b=(3,-1)+2(-2,4)=(3-4,-1+8)=(-1,7).

向量a與向量b的夾角θ滿足cosθ=(a?b)/(|a||b|).

a?b=3*(-2)+(-1)*4=-6-4=-10.

|a|=√(32+(-1)2)=√10.

|b|=√((-2)2+42)=√(4+16)=√20=2√5.

cosθ=-10/(√10*2√5)=-10/(2√50)=-10/(2*5√2)=-10/(10√2)=-1/√2=-√2/2.(保留兩位小數(shù)約為-0.71)

A.k≠m.題目未給出k和m的具體值，僅說l?和l?相交于P(1,2)。兩條相交直線一般斜率不相等，否則為重合。若l?和l?垂直，則k*m=-1，此時k和m不相等。若l?和l?不垂直，則k≠m。因此該結(jié)論通常認為是正確的。

B.k+m=2.沒有依據(jù)。

C.kb+mc=2(k+m).沒有依據(jù)。

D.2k+b=2m+c.點P(1,2)在直線l?和l?上。

代入l?:2k+b=2(1)+c=>2k+b=2+c.

代入l?:2m+c=2(1)+b=>2m+c=2+b.

將兩式相加:(2k+b)+(2m+c)=(2+c)+(2+b)=>2k+2m+b+c=4+b+c.

消去b+c:2k+2m=4=>k+m=2.(這個推導似乎與題目條件無關(guān)，可能是題目或選項有誤)

更正D選項的推導:將2k+b=2+c和2m+c=2+b相減:(2k+b)-(2m+c)=(2+c)-(2+b)=>2k-2m+b-c=c-b=>2(k-m)=0=>k=m.這與相交矛盾，所以推導有問題。

另一種推導:2k+b=2m+c.點P(1,2)在l?:2x-y+1=0=>2(1)-2+1=0=>1=0.錯誤。

再試D:2k+b=2m+c.點P(1,2)在l?:2x-y+1=0=>2(1)-2+1=1≠0.錯誤。

無法直接從P點坐標得出D結(jié)論。

重新審視D:2k+b=2m+c.點P(1,2)在l?和l?上。

l?:2x-y+1=0=>2(1)-2+1=1≠0.錯誤。

可能題目或選項有誤。如果假設k=m,則2k+b=2k+c=>b=c.但l?和l?一般b≠c.

如果假設l?⊥l?,則2*(-1/2)+b=2*m+c=>-1+b=2m+c=>b-c=2m+1.也不能得到2k+b=2m+c。

結(jié)論：A和D無法從P點直接得出。如果題目有誤，可能A或D為干擾項。按參考思路，A通常認為是正確的。

B和C無依據(jù)。

如果必須選，A是最可能正確的。

5.A,B,C

解析：圓C?的方程為(x-1)2+(y-1)2=1.

圓心C?坐標為(1,1),半徑r?=√1=1.

圓C?的方程為(x+1)2+(y+1)2=4.

圓心C?坐標為(-1,-1),半徑r?=√4=2.

A.圓C?的圓心坐標為(1,1).正確.

B.圓C?的半徑為2.正確.

C.圓心距|C?C?|=√((1-(-1))2+(1-(-1))2)=√(22+22)=√8=2√2.

兩圓半徑之和r?+r?=1+2=3.

兩圓半徑之差|r?-r?|=|1-2|=1.

因為圓心距2√2在半徑之差1和半徑之和3之間(1<2√2<3),所以兩圓相交.

因此兩圓相切的說法錯誤。

D.兩圓相交，但題目問的是相切，錯誤。

三、填空題答案及解析

1.4

解析：函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域要求x-1≥0,即x≥1.題目給定定義域為[3,m],所以m≥3.又因為x≤m,所以3≤m.最小的m為4.

2.2√3

解析：由正弦定理,a/sinA=b/sinB=c/sinC.

在△ABC中,A=30°,B=45°,C=180°-30°-45°=105°.

邊BC=a,AC=b=2√3,角A=30°,角B=45°,角C=105°.

a/sin30°=2√3/sin45°

a/(1/2)=2√3/(√2/2)

2a=2√3*2/√2

2a=4√3/√2=4√(3/2)=4√(6/4)=4*√6/2=2√6

a=√6.但選項為2√3,可能是題目或選項有誤,正確答案應為√6.

3.a?=2n+3

解析：等差數(shù)列{a?}中,a?=a?+4d=10,a??=a?+9d=19.

解方程組:

a?+4d=10(1)

a?+9d=19(2)

(2)-(1):5d=9=>d=9/5.

代入(1):a?+4(9/5)=10=>a?+36/5=10=>a?=10-36/5=50/5-36/5=14/5.

通項公式a?=a?+(n-1)d=14/5+(n-1)(9/5)=14/5+9n/5-9/5=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5=9n/5+1=9/5*n+1.但選項為2n+3,可能是題目或選項有誤,正確答案應為(9/5)n+1.

4.(-2,0)

解析：拋物線y2=-8x的標準方程為y2=-4px,焦點坐標為(-p,0).

這里-4p=-8,得p=2.焦點坐標為(-2,0).

5.3

解析：向量a=(1,2),b=(x,1).向量a?b=1*x+2*1=x+2.

題目給定a?b=5,所以x+2=5=>x=3.

四、計算題答案及解析

1.最大值3,最小值-1

解析：f(x)=x3-3x2+2x.

求導數(shù)f'(x)=3x2-6x+2.

令f'(x)=0:3x2-6x+2=0.

x=[6±√((-6)2-4*3*2)]/(2*3)=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3.

求函數(shù)在端點和駐點的值:

f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2(-1)=-1-3-2=-6.

f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)

=(1-3√3/3+3(√3/3)2-(√3/3)3)-3(1-2√3/3+(√3/3)2)+2-2√3/3

=(1-√3+3/3-√33/27)-3(1-2√3/3+3/9)+2-2√3/3

=(1-√3+1-√27/27)-3(1-2√3/3+1/3)+2-2√3/3

=(2-√3-3√3/27)-3(1-2√3/3+1/3)+2-2√3/3

=(2-√3-√3/9)-3(1-2√3/3+1/3)+2-2√3/3

=(2-10√3/9)-3(3/3-2√3/3+1/3)+2-2√3/3

=(2-10√3/9)-3(3-2√3+1)/3+2-2√3/3

=(2-10√3/9)-(3-2√3+1)+2-2√3/3

=(2-10√3/9)-(4-2√3)+2-2√3/3

=2-10√3/9-4+2√3+2-2√3/3

=(2-4+2)-(10√3/9+2√3/3)

=0-(10√3/9+6√3/9)

=-16√3/9

f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)

=(1+3√3/3+3(√3/3)2+(√3/3)3)-3(1+2√3/3+(√3/3)2)+2+2√3/3

=(1+√3+3/3+√33/27)-3(1+2√3/3+3/9)+2+2√3/3

=(1+√3+1+√27/27)-3(1+2√3/3+1/3)+2+2√3/3

=(2+√3+√3/9)-3(1+2√3/3+1/3)+2+2√3/3

=(2+10√3/9)-3(3+2√3+1)/3+2+2√3/3

=(2+10√3/9)-(9+6√3+3)/3+2+2√3/3

=(2+10√3/9)-(12+6√3)/3+2+2√3/3

=(2+10√3/9)-4-2√3+2+2√3/3

=(2-4+2)+(10√3/9-2√3/3)

=0+(10√3/9-6√3/9)

=4√3/9

比較f(-1)=-6,f(1-√3/3)≈-16√3/9≈-9.24,f(1+√3/3)≈4√3/9≈2.31,f(3)=33-3*32+2*3=27-27+6=6.

最大值為max{f(1+√3/3),f(3)}=max{4√3/9,6}≈max{2.31,6}=6.

最小值為min{f(-1),f(1-√3/3)}=min{-6,-16√3/9}=-16√3/9.

但f(1-√3/3)計算復雜，且f(-1)=-6,f(3)=6,f(1+√3/3)≈2.31,看起來最大值在f(3)處，最小值在f(1-√3/3)處。

重新計算f'(x)=3x(x-2).令f'(x)=0,x=0或x=2.

f(0)=03-3*02+2*0=0.

f(2)=23-3*22+2*2=8-12+4=0.

端點x=-1,x=3:

f(-1)=-6.

f(3)=6.

駐點x=0,x=2:

f(0)=0.

f(2)=0.

比較f(-1)=-6,f(0)=0,f(2)=0,f(3)=6.最大值為6,最小值為-6.

之前的f(1±√3/3)計算有誤，重新計算f(1-√3/3):

f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)

=(1-√3+3/3-√27/27)-3(1-2√3/3+3/9)+2-2√3/3

=(1-√3+1-√3/9)-3(1-2√3/3+1/3)+2-2√3/3

=(2-√3-√3/9)-3(3/3-2√3/3+1/3)+2-2√3/3

=(2-10√3/9)-3(3-2√3+1)/3+2-2√3/3

=(2-10√3/9)-(9-6√3+3)/3+2-2√3/3

=(2-10√3/9)-(12-6√3)/3+2-2√3/3

=(2-10√3/9)-4+2√3+2-2√3/3

=(2-4+2)-(10√3/9+2√3/3)

=0-(10√3/9+6√3/9)

=-16√3/9

確認駐點f(0)=0,f(2)=0,端點f(-1)=-6,f(3)=6,駐點f(1±√3/3)≈-9.24和2.31.

最大值是6,最小值是-6.

最終答案：最大值3,最小值-1.看起來題目或參考答案有誤。根據(jù)計算，最大值應為6，最小值應為-6?？赡苁穷}目條件有誤。

按照題目要求的分數(shù)，若最大值填3，則最小值應為-1。這是不可能的?？赡苁穷}目中函數(shù)或區(qū)間有誤。如果題目是f(x)=x3-3x2+2x,區(qū)間[-1,3],則最大值6,最小值-6。如果題目是f(x)=x3-3x2+2x,區(qū)間[1,3],則最大值f(3)=6,最小值f(1)=0。如果題目是f(x)=x3-3x2+2x,區(qū)間[-1,1],則最大值f(1)=0,最小值f(-1)=-6。如果題目是f(x)=x3-3x2+2x,區(qū)間[0,3],則最大值f(3)=6,最小值f(0)=0。

假設題目意圖是求f(x)=x3-3x2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

最大值：f(3)=6,f(-1)=-6,f(0)=0,f(1)=0.最大值為6。

最小值：f(3)=6,f(-1)=-6,f(0)=0,f(1)=0.最小值為-6。

參考答案給出最大值3,最小值-1，這是錯誤的。

結(jié)論：最大值6，最小值-6。

2.(-1,7),-0.71

解析：向量a+2b=(3,-1)+2(-2,4)=(3-4,-1+8)=(-1,7).

向量a與向量b的夾角θ滿足cosθ=(a?b)/(|a||b|).

a?b=3*(-2)+(-1)*4=-6-4=-10.

|a|=√(32+(-1)2)=√(9+1)=√10.

|b|=√((-2)2+42)=√(4+16)=√20=2√5.

cosθ=-10/(√10*2√5)=-10/(2√50)=-10/(2*5√2)=-10/(10√2)=-1/√2=-√2/2.

θ=arccos(-√2/2)=3π/4(約125.26°)或135°.

cosθ≈-0.7071.保留兩位小數(shù)為-0.71.

3.[π/12,5π/12]和[7π/12,11π/12]

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π.

單位圓上，正弦函數(shù)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,π/2]和[π,3π/2].但我們需要找到f(x)=sin(2x-π/4)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間。

令g(x)=2x-π/4.則f(x)=sin(g(x)).

g(x)在[0,π]上的單調(diào)性:

g'(x)=2.g(x)在[0,π]上單調(diào)遞增。

sin(g(x))在[0,π]上的單調(diào)性取決于g(x)的范圍。

當0≤x≤π時,-π/4≤g(x)≤2π-π/4=7π/4.

在區(qū)間[-π/4,π/2]上，sin(u)單調(diào)遞增。

在區(qū)間[π/2,7π/4]上，sin(u)單調(diào)遞減。

所以f(x)=sin(2x-π/4)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間對應于2x-π/