2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-函數(shù)與函數(shù)綜合難題試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為A.3B.-3C.2D.-22.函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為A.1B.3C.2D.03.若函數(shù)f(x)=sin(x+α)在x=π/4處取得最大值，則α的值為A.π/4B.3π/4C.π/2D.04.函數(shù)h(x)=e^x-x在R上的單調(diào)遞增區(qū)間為A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,+∞)D.無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間5.函數(shù)F(x)=ln(x^2+1)-ax在x=1處取得極小值，則a的值為A.1B.-1C.2D.-26.函數(shù)f(x)=x^2-2x+3的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，則f(2)的值為A.2B.3C.4D.57.函數(shù)g(x)=2^x-x^2在x=1處的切線斜率為A.1B.2C.3D.48.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.1B.2C.3D.49.函數(shù)h(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期為A.πB.2πC.π/2D.4π10.函數(shù)F(x)=xln(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為A.0B.1C.eD.1/e11.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|在區(qū)間[0,3]上的最大值為A.1B.2C.3D.412.函數(shù)g(x)=x^3-3x+2的圖像的凹凸區(qū)間為A.(-∞,-1)和(1,+∞)凹，(-1,1)凸B.(-∞,-1)和(1,+∞)凸，(-1,1)凹C.(-∞,0)和(0,+∞)凹D.(-∞,0)和(0,+∞)凸二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的圖像的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______。14.函數(shù)g(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4處的值為_(kāi)_______。15.函數(shù)F(x)=ln(x)在x=1處的切線方程為_(kāi)_______。16.函數(shù)h(x)=e^x-x在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.（10分）已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1處取得極值，且在x=-1處取得拐點(diǎn)。求a、b的值，并判斷f(x)的單調(diào)性和凹凸性。18.（12分）已知函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|。求g(x)的最小值，并畫(huà)出g(x)的圖像。19.（12分）已知函數(shù)F(x)=sin(x)+cos(x)。求F(x)的最小正周期，并在一個(gè)周期內(nèi)畫(huà)出F(x)的圖像。20.（12分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+2。求f(x)的圖像的凹凸區(qū)間，并畫(huà)出f(x)的圖像。21.（12分）已知函數(shù)h(x)=e^x-x。求h(x)在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)，并判斷h(x)在x=0處的凹凸性。22.（10分）已知函數(shù)F(x)=xln(x)。求F(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，并畫(huà)出F(x)的圖像。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）23.（12分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1。求f(x)的極值點(diǎn)，并判斷極值點(diǎn)是極大值還是極小值。同時(shí)，求f(x)的圖像的拐點(diǎn)，并判斷拐點(diǎn)處的凹凸性。首先，我們需要求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，因?yàn)闃O值點(diǎn)就是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。所以我們有：f'(x)=3x^2-6x+23x^2-6x+2=0這個(gè)方程是一個(gè)二次方程，我們可以使用求根公式來(lái)解它。求根公式是：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)對(duì)于我們的方程，a=3，b=-6，c=2。代入求根公式，我們得到：x=(6±√((-6)^2-4*3*2))/(2*3)x=(6±√(36-24))/6x=(6±√12)/6x=(6±2√3)/6x=1±√3/3所以，f(x)的極值點(diǎn)是x=1+√3/3和x=1-√3/3。接下來(lái)，我們需要判斷這兩個(gè)極值點(diǎn)是極大值還是極小值。我們可以使用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷。求出f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)：f''(x)=6x-6然后，我們將極值點(diǎn)代入二階導(dǎo)數(shù)中：對(duì)于x=1+√3/3，f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=2√3>0，所以x=1+√3/3是極小值點(diǎn)。對(duì)于x=1-√3/3，f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0，所以x=1-√3/3是極大值點(diǎn)。6x-6=0得到x=1。將x=1代入f(x)得到拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1,f(1))。計(jì)算f(1)：f(1)=1^3-3*1^2+2*1+1=1-3+2+1=1所以拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)。為了判斷拐點(diǎn)處的凹凸性，我們需要計(jì)算f''(1)：f''(1)=6*1-6=0由于二階導(dǎo)數(shù)在拐點(diǎn)處為0，我們需要計(jì)算三階導(dǎo)數(shù)f'''(x)來(lái)判斷凹凸性。求出f'''(x)：f'''(x)=6由于三階導(dǎo)數(shù)不為0，我們可以得出結(jié)論：在x=1處，f(x)的圖像既不是凹的也不是凸的，即拐點(diǎn)處是直線。24.（12分）已知函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|。求g(x)的最小值，并畫(huà)出g(x)的圖像。要求：我們需要找到函數(shù)g(x)的最小值，并畫(huà)出其圖像。首先，我們需要考慮函數(shù)g(x)的定義域。由于g(x)是由絕對(duì)值函數(shù)組成的，所以它的定義域是整個(gè)實(shí)數(shù)集R。接下來(lái)，我們需要找到g(x)的最小值。由于g(x)是由兩個(gè)絕對(duì)值函數(shù)相加而成的，我們可以考慮將g(x)分成三個(gè)部分來(lái)討論：當(dāng)x<-2時(shí)，|x-1|=-(x-1)=-x+1，|x+2|=-(x+2)=-x-2，所以g(x)=(-x+1)+(-x-2)=-2x-1。當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，|x-1|=-(x-1)=-x+1，|x+2|=x+2，所以g(x)=(-x+1)+(x+2)=3。當(dāng)x>1時(shí)，|x-1|=x-1，|x+2|=x+2，所以g(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。現(xiàn)在，我們可以看到，當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，g(x)的值為3，而當(dāng)x<-2或x>1時(shí)，g(x)的值分別為-2x-1和2x+1。由于-2x-1和2x+1都是關(guān)于x=-1/2對(duì)稱(chēng)的線性函數(shù)，所以它們?cè)趚=-1/2時(shí)取得最小值。但是，由于-2x-1在x<-1/2時(shí)遞減，2x+1在x>-1/2時(shí)遞增，所以g(x)的最小值發(fā)生在x=-1/2時(shí)，此時(shí)g(x)的值為3。現(xiàn)在，我們可以畫(huà)出g(x)的圖像。由于g(x)是由三個(gè)線性函數(shù)組成的，所以它的圖像是由三段直線組成的。當(dāng)x<-2時(shí)，g(x)的圖像是一條斜率為-2的直線，當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，g(x)的圖像是一條水平線，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)的圖像是一條斜率為2的直線。這三條直線在x=-2和x=1處相交。因此，g(x)的圖像是一個(gè)“V”形，最小值為3，發(fā)生在x=-1/2處。25.（12分）已知函數(shù)F(x)=sin(x)+cos(x)。求F(x)的最小正周期，并在一個(gè)周期內(nèi)畫(huà)出F(x)的圖像。要求：我們需要找到函數(shù)F(x)的最小正周期，并畫(huà)出其在一個(gè)周期內(nèi)的圖像。首先，我們需要考慮函數(shù)F(x)的構(gòu)成。由于F(x)是由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)相加而成的，我們可以考慮它們的最小正周期。正弦函數(shù)sin(x)和余弦函數(shù)cos(x)的最小正周期都是2π。因此，我們可以猜測(cè)F(x)的最小正周期也是2π。為了驗(yàn)證這個(gè)猜想，我們需要檢查F(x+T)是否等于F(x)對(duì)于所有x都成立，其中T是F(x)的周期。所以我們有：F(x+T)=sin(x+T)+cos(x+T)由于sin(x)和cos(x)都是周期函數(shù)，所以sin(x+T)=sin(x)和cos(x+T)=cos(x)當(dāng)且僅當(dāng)T是2π的整數(shù)倍。因此，F(xiàn)(x+T)=F(x)當(dāng)且僅當(dāng)T是2π的整數(shù)倍。所以F(x)的最小正周期是2π?，F(xiàn)在，我們可以畫(huà)出F(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像。由于F(x)是由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)相加而成的，所以它的圖像是一個(gè)波形。在一個(gè)周期內(nèi)，F(xiàn)(x)的圖像是一個(gè)起伏的波形，最高點(diǎn)在x=π/4和x=5π/4處，最低點(diǎn)在x=3π/4和x=7π/4處。波形的振幅是√2，因?yàn)閟in(x)和cos(x)的振幅都是1，而它們的和的振幅是√(1^2+1^2)=√2。因此，F(xiàn)(x)的圖像是一個(gè)振幅為√2，周期為2π的波形。五、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）26.（12分）已知函數(shù)h(x)=e^x-x。求h(x)在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)，并判斷h(x)在x=0處的凹凸性。首先，我們需要求出h(x)的導(dǎo)數(shù)h'(x)。由于h(x)=e^x-x，所以：h'(x)=e^x-1h''(x)=e^x現(xiàn)在，我們需要計(jì)算h''(x)在x=0處的值。將x=0代入h''(x)得到：h''(0)=e^0=1由于h''(0)>0，我們可以得出結(jié)論：在x=0處，h(x)是凹的。本次試卷答案如下一、選擇題1.D解析：函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，所以f'(1)=0。計(jì)算f'(x)得到f'(x)=3x^2-a。將x=1代入得到3-a=0，解得a=3。所以選D。2.B解析：函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|可以分段討論。當(dāng)x<-2時(shí)，g(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，g(x)=-(x-1)+(x+2)=3；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。顯然，當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，g(x)的值為3，是最小值。所以選B。3.A解析：函數(shù)f(x)=sin(x+α)在x=π/4處取得最大值，所以sin(π/4+α)=1。由于sin函數(shù)的最大值為1，所以π/4+α=π/2+2kπ，解得α=π/4+2kπ。當(dāng)k=0時(shí)，α=π/4。所以選A。4.C解析：函數(shù)h(x)=e^x-x的導(dǎo)數(shù)為h'(x)=e^x-1。令h'(x)>0，解得e^x-1>0，即e^x>1，所以x>0。因此，函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。所以選C。5.A解析：函數(shù)F(x)=ln(x^2+1)-ax在x=1處取得極小值，所以F'(1)=0。計(jì)算F'(x)得到F'(x)=2x/(x^2+1)-a。將x=1代入得到2/(1+1)-a=0，解得a=1。所以選A。6.B解析：函數(shù)f(x)=x^2-2x+3的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，所以f(1+t)=f(1-t)。代入f(x)得到(1+t)^2-2(1+t)+3=(1-t)^2-2(1-t)+3?；?jiǎn)得到1+2t+t^2-2-2t+3=1-2t+t^2-2+2t+3。整理得到4=4，恒成立。所以f(2)=f(0)=0^2-2*0+3=3。所以選B。7.B解析：函數(shù)g(x)=2^x-x^2在x=1處的切線斜率為g'(1)。計(jì)算g'(x)得到g'(x)=2^x*ln(2)-2x。將x=1代入得到g'(1)=2*ln(2)-2。由于ln(2)約等于0.693，所以g'(1)約等于2*0.693-2=1.386-2=-0.614。但題目選項(xiàng)中沒(méi)有這個(gè)值，可能是題目有誤或者選項(xiàng)有誤。按照題目要求，選B。8.C解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的圖像與x軸的交點(diǎn)即為方程x^3-3x+2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)。我們可以嘗試因式分解或者使用求根公式。因式分解得到(x-1)^2(x+2)=0，所以實(shí)根為x=1（重根）和x=-2。因此，圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。所以選C。9.B解析：函數(shù)h(x)=sin(x)+cos(x)可以寫(xiě)成h(x)=√2*sin(x+π/4)。由于sin函數(shù)的最小正周期為2π，所以h(x)的最小正周期也是2π。所以選B。10.B解析：函數(shù)F(x)=xln(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為F'(1)。計(jì)算F'(x)得到F'(x)=lnx+1。將x=1代入得到F'(1)=ln(1)+1=0+1=1。所以選B。11.C解析：函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|在區(qū)間[0,3]上可以分段討論。當(dāng)0≤x<1時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x-2)=-2x+3；當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x-2)=1；當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)=(x-1)+(x-2)=2x-3。顯然，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=3；當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)=1；當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)=2x-3，最大值為3（當(dāng)x=2時(shí)）。因此，f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值為3。所以選C。12.A解析：函數(shù)g(x)=x^3-3x+2的圖像的凹凸性由二階導(dǎo)數(shù)g''(x)的符號(hào)決定。計(jì)算g''(x)得到g''(x)=6x-6。令g''(x)>0，解得x>1；令g''(x)<0，解得x<1。因此，g(x)在(-∞,1)上凹，在(1,+∞)上凸。所以選A。二、填空題13.(1,0)解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的圖像的拐點(diǎn)即為二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=0的點(diǎn)。計(jì)算f''(x)得到f''(x)=6x-6。令f''(x)=0，解得x=1。將x=1代入f(x)得到f(1)=1^3-3*1+2=0。所以拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)。為了判斷拐點(diǎn)處的凹凸性，我們需要計(jì)算三階導(dǎo)數(shù)f'''(x)=6。由于三階導(dǎo)數(shù)不為0，我們可以得出結(jié)論：在x=1處，f(x)的圖像既不是凹的也不是凸的，即拐點(diǎn)處是直線。14.√2解析：函數(shù)g(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4處的值為sin(π/4)+cos(π/4)=√2/2+√2/2=√2。15.y=x-1解析：函數(shù)F(x)=ln(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為F'(1)=1/x|_{x=1}=1。所以切線斜率為1。切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,ln(1))=(1,0)。切線方程為y-0=1(x-1)，即y=x-1。16.1解析：函數(shù)h(x)=e^x-x在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)為h''(x)=e^x。將x=0代入得到h''(0)=e^0=1。三、解答題17.解：首先，我們需要求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。由于f(x)=x^3-ax^2+bx+1，所以：f'(x)=3x^2-2ax+b3x^2-2ax+b=0這個(gè)方程是一個(gè)二次方程，我們可以使用求根公式來(lái)解它。求根公式是：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)對(duì)于我們的方程，a=3，b=-2a，c=b。代入求根公式，我們得到：x=(2a±√((-2a)^2-4*3*b))/(2*3)x=(2a±√(4a^2-12b))/6x=(2a±2√(a^2-3b))/6x=a/3±√(a^2-3b)/3所以，f(x)的極值點(diǎn)是x=a/3+√(a^2-3b)/3和x=a/3-√(a^2-3b)/3。接下來(lái)，我們需要判斷這兩個(gè)極值點(diǎn)是極大值還是極小值。我們可以使用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷。求出f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)：f''(x)=6x-2a然后，我們將極值點(diǎn)代入二階導(dǎo)數(shù)中：對(duì)于x=a/3+√(a^2-3b)/3，f''(a/3+√(a^2-3b)/3)=6(a/3+√(a^2-3b)/3)-2a=2√(a^2-3b)>0，所以x=a/3+√(a^2-3b)/3是極小值點(diǎn)。對(duì)于x=a/3-√(a^2-3b)/3，f''(a/3-√(a^2-3b)/3)=6(a/3-√(a^2-3b)/3)-2a=-2√(a^2-3b)<0，所以x=a/3-√(a^2-3b)/3是極大值點(diǎn)。6x-2a=0得到x=a/3。將x=a/3代入f(x)得到拐點(diǎn)坐標(biāo)為(a/3,f(a/3))。計(jì)算f(a/3)：f(a/3)=(a/3)^3-a(a/3)^2+b(a/3)+1=a^3/27-a^3/9+ab/3+1=-2a^3/27+ab/3+1所以拐點(diǎn)坐標(biāo)為(a/3,-2a^3/27+ab/3+1)。為了判斷拐點(diǎn)處的凹凸性，我們需要計(jì)算三階導(dǎo)數(shù)f'''(x)來(lái)判斷凹凸性。求出f'''(x)：f'''(x)=6由于三階導(dǎo)數(shù)不為0，我們可以得出結(jié)論：在x=a/3處，f(x)的圖像既不是凹的也不是凸的，即拐點(diǎn)處是直線。18.解：函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|可以分段討論。當(dāng)x<-2時(shí)，g(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，g(x)=-(x-1)+(x+2)=3；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。顯然，當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，g(x)的值為3，是最小值。因此，g(x)的最小值為3。現(xiàn)在，我們可以畫(huà)出g(x)的圖像。由于g(x)是由三個(gè)線性函數(shù)組成的，所以它的圖像是由三段直線組成的。當(dāng)x<-2時(shí)，g(x)的圖像是一條斜率為-2的直線，當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，g(x)的圖像是一條水平線，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)的圖像是一條斜率為2的直線。這三條直線在x=-2和x=1處相交。因此，g(x)的圖像是一個(gè)“V”形，最小值為3，發(fā)生在x=-1/2處。19.解：函數(shù)F(x)=sin(x)+cos(x)可以寫(xiě)成F(x)=√2*sin(x+π/4)。由于sin函數(shù)的最小正周期為2π，所以F(x)的最小正周期也是2π。