23.5位似圖形第23章

圖形的相似【2025-2026學(xué)年華東師大版】數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********幻燈片1：封面標(biāo)題：23.5位似圖形副標(biāo)題：特殊的相似，獨(dú)特的對(duì)應(yīng)幻燈片2：情境引入展示圖片：用不同的縮放比例放大同一張照片，得到的一組圖片；用透視法繪制的街道兩旁的樹木、建筑物等。提問：這些圖形之間有什么關(guān)系？它們與一般的相似圖形相比，有什么特殊之處？引出主題：這些圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，它們是位似圖形?；脽羝?：位似圖形的定義定義：如果兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，并且對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心，對(duì)應(yīng)邊的比叫做位似比。關(guān)鍵詞解析：必須是相似圖形。對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)（位似中心）。對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一直線上。圖形示例：如圖，\(\triangleABC\)與\(\triangleA'B'C'\)相似，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)\(A\)與\(A'\)、\(B\)與\(B'\)、\(C\)與\(C'\)的連線交于點(diǎn)\(O\)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，則\(\triangleABC\)與\(\triangleA'B'C'\)是位似圖形，\(O\)是位似中心?；脽羝?：位似圖形的性質(zhì)性質(zhì)1：位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，周長(zhǎng)比等于位似比，面積比等于位似比的平方）。性質(zhì)2：位似圖形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于位似中心。性質(zhì)3：位似圖形對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上）。性質(zhì)4：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。示例：若\(\triangleABC\)與\(\triangleA'B'C'\)的位似比為\(k\)，位似中心為\(O\)，則\(\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}=k\)。幻燈片5：位似圖形與相似圖形的關(guān)系聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形，所有的位似圖形都相似。區(qū)別：位似圖形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線必須相交于一點(diǎn)（位似中心），而一般的相似圖形沒有這一要求。位似圖形對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一直線上，一般的相似圖形對(duì)應(yīng)邊不一定平行。圖示對(duì)比：展示一組位似圖形和一組非位似的相似圖形，直觀對(duì)比兩者的差異?；脽羝?：位似圖形的作圖作圖步驟（以放大圖形為例）：確定位似中心\(O\)。連接位似中心\(O\)與原圖形各頂點(diǎn)（如\(A\)、\(B\)、\(C\)），并延長(zhǎng)（或反向延長(zhǎng)）這些線段。根據(jù)位似比\(k\)（\(k>1\)為放大，\(0<k<1\)為縮?。?，在延長(zhǎng)線上截取\(OA'=k\cdotOA\)、\(OB'=k\cdotOB\)、\(OC'=k\cdotOC\)，得到對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)。順次連接\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，得到放大后的位似圖形\(\triangleA'B'C'\)。注意：位似中心可以在圖形內(nèi)部、外部或圖形的邊上?；脽羝?：例題1——判斷位似圖形題目：下列各組圖形中，是位似圖形的是（

）A.兩個(gè)全等的三角形B.兩個(gè)相似的等腰梯形，對(duì)應(yīng)邊平行，但對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線不相交于一點(diǎn)C.兩個(gè)相似的三角形，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行D.兩個(gè)相似的矩形，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，但對(duì)應(yīng)邊不平行解答過(guò)程：選項(xiàng)A：全等三角形是相似圖形，但對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線不一定相交于一點(diǎn)，不一定是位似圖形。選項(xiàng)B：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線不相交于一點(diǎn)，不符合位似圖形的定義，不是位似圖形。選項(xiàng)C：滿足相似、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線相交于一點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊平行，是位似圖形。選項(xiàng)D：對(duì)應(yīng)邊不平行，不符合位似圖形的定義，不是位似圖形。結(jié)論：答案選C?；脽羝?：例題2——利用位似圖形性質(zhì)求長(zhǎng)度題目：如圖，\(\triangleABC\)與\(\triangleA'B'C'\)是位似圖形，位似中心為\(O\)，位似比為\(2:3\)，若\(OA=4\)，求\(OA'\)的長(zhǎng)度；若\(BC=6\)，求\(B'C'\)的長(zhǎng)度。解答過(guò)程：因?yàn)槲凰茍D形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比，所以\(\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{3}\)。代入\(OA=4\)，得\(\frac{4}{OA'}=\frac{2}{3}\)，解得\(OA'=6\)。因?yàn)槲凰茍D形對(duì)應(yīng)邊的比等于位似比，所以\(\frac{BC}{B'C'}=\frac{2}{3}\)。代入\(BC=6\)，得\(\frac{6}{B'C'}=\frac{2}{3}\)，解得\(B'C'=9\)。結(jié)論：\(OA'=6\)，\(B'C'=9\)?；脽羝?：例題3——位似圖形的作圖與應(yīng)用題目：已知四邊形\(ABCD\)，以點(diǎn)\(O\)為位似中心，位似比為\(1:2\)，作出四邊形\(ABCD\)的位似圖形（縮小后的圖形）。作圖步驟：連接\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)、\(OD\)。分別取\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)、\(OD\)的中點(diǎn)\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)、\(D'\)（因?yàn)槲凰票葹閈(1:2\)，所以\(OA'=\frac{1}{2}OA\)，以此類推）。順次連接\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)、\(D'\)，得到四邊形\(A'B'C'D'\)，即為所求的位似圖形。驗(yàn)證：檢查對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線是否交于\(O\)，對(duì)應(yīng)邊是否平行，確認(rèn)符合位似圖形的定義?；脽羝?0：易錯(cuò)點(diǎn)分析混淆位似圖形與相似圖形：認(rèn)為所有的相似圖形都是位似圖形，忽略位似圖形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線交于一點(diǎn)和對(duì)應(yīng)邊平行的特殊條件。位似中心位置錯(cuò)誤：在判斷位似中心時(shí)，誤將對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)當(dāng)作位似中心，而實(shí)際上位似中心是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的交點(diǎn)。位似比應(yīng)用錯(cuò)誤：在計(jì)算對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離或?qū)?yīng)邊的長(zhǎng)度時(shí)，將位似比的順序弄反，例如位似比為\(2:3\)，卻按\(3:2\)進(jìn)行計(jì)算。作圖不規(guī)范：在作位似圖形時(shí)，未準(zhǔn)確連接位似中心與各頂點(diǎn)，或未按位似比截取對(duì)應(yīng)點(diǎn)，導(dǎo)致所作圖形不是原圖形的位似圖形?；脽羝?1：課堂練習(xí)1——基礎(chǔ)應(yīng)用題目：（1）位似圖形的位似中心一定在（

）A.圖形內(nèi)部B.圖形外部C.圖形邊上D.以上都有可能（2）若兩個(gè)位似圖形的位似比為\(1:4\)，則它們的面積比為______。答案：（1）D；（2）\(1:16\)?；脽羝?2：課堂練習(xí)2——綜合應(yīng)用題目：如圖，\(\triangleOAB\)與\(\triangleOCD\)是位似圖形，\(O\)是位似中心，\(OA:OC=2:3\)，\(AB=6\)，求\(CD\)的長(zhǎng)度；若\(\triangleOAB\)的面積為\(8\)，求\(\triangleOCD\)的面積。解答過(guò)程：因?yàn)閈(\triangleOAB\)與\(\triangleOCD\)是位似圖形，位似比為\(OA:OC=2:3\)。由對(duì)應(yīng)邊的比等于位似比，得\(\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3}\)，代入\(AB=6\)，得\(\frac{6}{CD}=\frac{2}{3}\)，解得\(CD=9\)。面積比等于位似比的平方，即\(\frac{S_{\triangleOAB}}{S_{\triangleOCD}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)。代入\(S_{\triangleOAB}=8\)，得\(\frac{8}{S_{\triangleOCD}}=\frac{4}{9}\)，解得\(S_{\triangleOCD}=18\)。結(jié)論：\(CD=9\)，\(\triangleOCD\)的面積為\(18\)?；脽羝?3：課堂小結(jié)位似圖形的定義：相似且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行的圖形。位似圖形的性質(zhì)：具有相似圖形的所有性質(zhì)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線過(guò)位似中心，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心距離比等于位似比等。與相似圖形的關(guān)系：位似圖形是特殊的相似圖形。作圖方法：確定位似中心，連接頂點(diǎn)與位似中心，按位似比截取對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到位似圖形。幻燈片14：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：判斷下列說(shuō)法是否正確：（1）位似圖形一定是相似圖形。（

）（2）相似圖形一定是位似圖形。（

）（3）兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)。（

）已知兩個(gè)位似圖形的位似比為\(3:5\)，其中一個(gè)圖形的周長(zhǎng)為\(21\)，求另一個(gè)圖形的周長(zhǎng)。提升作業(yè)：如圖，以點(diǎn)\(P\)為位似中心，將\(\triangleABC\)放大為原來(lái)的\(2\)倍，作出放大后的位似圖形。已知四邊形\(ABCD\)與四邊形\(A'B'C'D'\)是位似圖形，位似中心為\(O\)，位似比為\(2:1\)，若\(OA=6\)，求\(AA'\)的長(zhǎng)度（點(diǎn)\(A'\)在\(OA\)的延長(zhǎng)線上）。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入相似與軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)一樣，也是圖形之間的基本變換，它可以將一個(gè)圖形放大或縮小，并保持形狀不變.下面介紹一種特殊的畫相似多邊形的方法.推進(jìn)新課現(xiàn)在要把五邊形ABCDE

放大到1.5倍，也就是使所得的多邊形與原多邊形的相似比為1.5.步驟如下：1.任取一點(diǎn)O；2.以O(shè)為端點(diǎn)作射線OA、OB、OC、OD和OE；ABCDEABCDE3.分別在射線OA、OB、OC、OD和OE上取點(diǎn)A′、B′、C′、D′和E′，使OA′

:OA=OB′:

OB=OC′:OC=OD′:OD=OE′:OE=1.5；4.順次連結(jié)點(diǎn)A′、B′、C′、D′和E′，就得到所要畫的多邊形A′B′C′D′E′

.OA′B′C′D′E′探索用刻度尺和量角器量一量，看看上面的兩個(gè)多邊形是否相似？你能否用演繹推理說(shuō)明其中的理由？OABCDEA′B′C′D′E′OABCDEA′B′C′D′E′如圖，兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A

與A′、B

與B′、C

與C′……的連線都交于一點(diǎn)O，并且

這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，點(diǎn)O

叫做位似中心.利用位似的方法，可以把一個(gè)多邊形放大或縮小.B′A′D′C′DCBAO任取一點(diǎn)O，作直線OA、OB、OC、OD，在點(diǎn)O

的另一側(cè)取點(diǎn)A′、B′、C′、D′，使OA′

:OA=OB′:

OB=OC′:OC=OD′:OD=2，這樣就可以得到放大到2倍的四邊形A′B′C′D′.位似中心取在多邊形外A′B′C′D′E′F′ABCDEFO如果把位似中心取在多邊形內(nèi)，那么也可以把一個(gè)多邊形放大或縮小，而且比較簡(jiǎn)便.位似中心可以取在多邊形外、內(nèi)，也可以取在多邊形的一邊上、或頂點(diǎn).隨堂演練1.如圖，以O(shè)

為位似中心，將△ABC

放大為原來(lái)的兩倍.OABC2.如圖，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC

與△A1B1C1

是以點(diǎn)O

為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都是在小正方形的頂點(diǎn)上.①畫出位似中心點(diǎn)O；②求出△ABC

與△A1B1C1

的相似比；③以點(diǎn)O

為位似中心，再畫一個(gè)△A2B2C2，使它與△ABC

的相似比等于1.5.OA2B2C2解：①如圖.③如圖△A2B2C2

.D返回1.[2025鄭州期中]下列圖形中不是位似圖形的是(

)A返回2．[2025開封聯(lián)考]圖中的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是(

)A．點(diǎn)P

B．點(diǎn)O

C．點(diǎn)M

D．點(diǎn)NB返回3.如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，相似比為2∶3，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′.若AB＝6，則A′B′的長(zhǎng)為(

)A．8B．9C．10D．154．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．△ABC∽△A′B′C′

B．A，O，A′在同一直線上C．AB∥A′B′

D．BO∶BB′＝1∶2D返回5．[2025成都期中]如圖，三角板在手電筒的照射下形成了投影，三角板與其投影是位似圖形，相似比是2∶5，若三角板的面積是6cm2，則其投影的面積是________cm2.返回9返回6．如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，若OA∶AD＝1∶2，△ABC的周長(zhǎng)為3，則△DEF的周長(zhǎng)為________．7．如圖，已知△ABC與△A′B′C′是位似圖形，點(diǎn)A，B，A′，B′，O共線，點(diǎn)O為位似中心．(1)AC與A′C′平行嗎？為什么？解：AC與A′C′平行．理由如下：∵△ABC與△A′B′C′是位似圖形，點(diǎn)A，B，A′，B′，O共線，∴∠A＝∠A′，∴AC∥A′C′.返回(2)若AB＝2A′B′，OC′＝5，求CC′的長(zhǎng)．解：∵△ABC與△A′B′C′是位似圖形，AB＝2A′B′，OC′＝5，∴OC＝