第九章第50講數(shù)據(jù)分析——一元線性回歸模型及其應(yīng)用統(tǒng)計(jì)第2課時非線性回歸模型與回歸效果分析研題型·能力養(yǎng)成01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程視角1對數(shù)型經(jīng)驗(yàn)回歸方程

(2024·臺州二模節(jié)選)臺州是全國三大電動車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的設(shè)計(jì)優(yōu)勢．某電動車公司為了搶占更多的市場份額，計(jì)劃加大廣告投入，該公司近5年的年廣告費(fèi)xi(單位：百萬元)和年銷售量yi(單位：百萬輛)關(guān)系如圖所示．1－1令vi＝lnxi(i＝1,2，…，5)，數(shù)據(jù)經(jīng)過初步處理得：(1)請從樣本相關(guān)系數(shù)的角度分析哪一個模型擬合程度更好；【解答】(2)根據(jù)(1)的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測年廣告費(fèi)為6百萬元時，產(chǎn)品的年銷售量是多少？【解答】視角2指數(shù)型經(jīng)驗(yàn)回歸方程云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長．從中國信息通信研究院發(fā)布的《云計(jì)算白皮書(2022年)》可知，我國2017年至2021年云計(jì)算市場規(guī)模數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：1－2年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼x12345云計(jì)算市場規(guī)模y/億元692962133420913229【解答】求非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的常見轉(zhuǎn)化類型：(1)對數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a的處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b．(3)冪函數(shù)型y＝axb(a＞0)可作變換Y＝lny，m＝lna，t＝lnx，則有Y＝m＋bt．(4)指數(shù)函數(shù)型y＝kabx(a＞0且a≠1，k＞0)可作變換Y＝lny，m＝lnk，則有Y＝m＋(blna)x．目標(biāo)2回歸效果分析視角1殘差分析假定產(chǎn)品產(chǎn)量x(單位：千件)與單位成本y(單位：元/件)之間存在相關(guān)關(guān)系．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：2－1x234345y737271736968注：保留兩位小數(shù)．(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，作出散點(diǎn)圖；【解答】散點(diǎn)圖如圖所示．假定產(chǎn)品產(chǎn)量x(單位：千件)與單位成本y(單位：元/件)之間存在相關(guān)關(guān)系．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：2－1x234345y737271736968注：保留兩位小數(shù)．(2)求y與x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)單位成本為70元/件時，預(yù)報產(chǎn)量為多少？【解答】假定產(chǎn)品產(chǎn)量x(單位：千件)與單位成本y(單位：元/件)之間存在相關(guān)關(guān)系．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：2－1x234345y737271736968注：保留兩位小數(shù)．(3)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和．【解答】視角2決定系數(shù)如圖是某企業(yè)2018年至2024年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖．

注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2018～2024．2－2(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y和t的關(guān)系，請建立y關(guān)于t的回歸方程，并預(yù)測2027年該企業(yè)的污水凈化量；【解答】如圖是某企業(yè)2018年至2024年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖．

注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2018～2024．2－2(2)請用決定系數(shù)說明回歸方程預(yù)報的效果．【解答】刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．(3)決定系數(shù)法：R2越接近1，表明擬合效果越好．1．下列四幅殘差分析與一元線性回歸模型擬合精度最高的是 (

)【解析】

由圖知D中殘差均勻分布在橫軸附近，故D中圖象與一元線性回歸模型擬合精度最高．D

A

B

C

D2．經(jīng)驗(yàn)表明，樹高y與胸徑x具有線性關(guān)系，為了解回歸方程的擬合效果，利用下列數(shù)據(jù)計(jì)算殘差，用來繪制殘差圖．【解析】

由表可得，各組數(shù)據(jù)的殘差分別為18.9－18.6＝0.3,19.4－19.3＝0.1,20.8－21.5＝－0.7,22.8－23＝－0.2,24.8－24.4＝0.4，故殘差最大值為0.4，最小值為－0.7．則殘差的最大值和最小值分別是 (

)A．0.4，－1.8 B．1.8，－0.4C．0.4，－0.7 D．0.7，－0.4C【解析】A4．(2024·張家口一模)(多選)下表是某地從2019年至2023年能源消費(fèi)總量近似值y(單位：千萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的數(shù)據(jù)表：年份20192020202120222023年份代號x12345能源消費(fèi)總量近似值y(單位：千萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤)44.244.646.247.850.8【解析】【答案】ABD配套精練02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題A組夯基精練一、單項(xiàng)選擇題1．兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，其中擬合效果最好的是 (

)A．模型1的決定系數(shù)R2＝0.05 B．模型2的決定系數(shù)R2＝0.49C．模型3的決定系數(shù)R2＝0.89 D．模型4的決定系數(shù)R2＝0.98【解析】

決定系數(shù)R2越大(接近1)，模型的擬合效果越好；決定系數(shù)R2越小，模型的擬合效果越差．模型4的決定系數(shù)最大、最接近1，其擬合效果最好．D2．研究變量x，y得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，以下說法錯誤的是 (

)A．若變量x和y之間的樣本相關(guān)系數(shù)為r＝－0.992，則變量x和y之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng)B．用決定系數(shù)R2來比較兩個模型擬合效果，R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好【解析】D【解析】【答案】C4．某興趣小組研究光照時長x(單位：h)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y(單位：顆)之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作出如圖所示的散點(diǎn)圖．若去掉D(10，2)后，則下列說法正確的是 (

)A．樣本相關(guān)系數(shù)r變小B．決定系數(shù)R2變小C．殘差平方和變大D．解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強(qiáng)【解析】從圖中可以看出D(10,2)較其他點(diǎn)偏離直線遠(yuǎn)，故去掉D(10,2)后，回歸效果更好．對于A，y與x正相關(guān)，r＞0，樣本相關(guān)系數(shù)r越接近于1，模型的擬合效果越好，去掉D(10，2)后，樣本相關(guān)系數(shù)r變大，故A錯誤；對于B，決定系數(shù)R2越接近于1，模型的擬合效果越好，去掉D(10,2)后，決定系數(shù)R2變大，故B錯誤；對于C，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，去掉D(10，2)后，殘差平方和變小，故C錯誤；對于D，去掉D(10，2)后，解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，故D正確．【答案】D【解析】【答案】ABD6．(2024·邢臺二模)下列命題為真命題的是 (

)A．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差為2，則數(shù)據(jù)3x1－1,3x2－1,3x3－1,3x4－1,3x5－1,3x6－1的方差為17B．一組數(shù)據(jù)8,9,10,11,12的第80百分位數(shù)是11.5C．用決定系數(shù)R2比較兩個模型的擬合效果時，若R2越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好【解析】【答案】

BCD7．如圖是根據(jù)一組觀測數(shù)據(jù)得到海拔6～15千米的大氣壓強(qiáng)散點(diǎn)圖，根據(jù)一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y1＝－4.0x＋68.5，決定系數(shù)為R＝0.99；根據(jù)非線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y2＝132.9e－0.163x，決定系數(shù)為R＝0.99，則下列說法正確的是 (

)A．由散點(diǎn)圖可知，大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)B．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大氣壓強(qiáng)必定降低4.0kPaC．由方程y1＝－4.0x＋68.5可知，樣本點(diǎn)(11,22.6)的殘差為－1.9D．對比兩個回歸模型，結(jié)合實(shí)際情況，方程y2＝132.9e－0.163x的預(yù)報效果更好【解析】【答案】

ACD【解析】0.3e－4【解析】【答案】

－0.3

0.98四、解答題10．已知x與y之間的數(shù)據(jù)如下表：x23456y2.23.85.56.57.0(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；【解答】10．已知x與y之間的數(shù)據(jù)如下表：x23456y2.23.85.56.57.0(2)完成下面的殘差表，并判斷(1)中經(jīng)驗(yàn)回歸方程的回歸效果是否良好(若R2＞0.9，則認(rèn)為回歸效果良好)．【解答】11．(2024·益陽5月模擬)近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤(單位：億元)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中2019年至2023年對應(yīng)的年份代碼依次為1,2,3,4,5．【解答】

由散點(diǎn)圖的變化趨勢，知y＝c＋dx2適宜作為企業(yè)利潤y(單位：億元)關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一個適宜作為企業(yè)利潤y(單位：億元)關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)11．(2024·益陽5月模擬)近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤(單位：億元)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中2019年至2023年對應(yīng)的年份代碼依次為1,2,3,4,5．(2)根據(jù)(1)中的判斷結(jié)果，