第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧二中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=3?i，則|z|=(

)A.10 B.10 C.252.已知向量a=(2,m),b=(m,3)，若a?bA.?2 B.0 C.1 3.不等式(x?2)(1?2x)≥0的解集為(

)A.{x|x>12} B.{x|12≤x≤2}

C.4.將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向左平移π4個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)=g(x)的圖象，則g(x)=(

)A.?3cos2x B.3cos2x C.?3sin(2x+π4)5.已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為30π，則該圓臺(tái)的體積V=(

)A.29π B.31π C.87π D.93π7.一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其中黑球有兩個(gè)，編號(hào)為1，2；紅球有兩個(gè)，編號(hào)為3，4.從盒中不放回的依次取出兩個(gè)球，A表示事件“第一次取出的是紅球”；B表示事件“取出的兩球同色”，C表示事件“取出的兩球不同色”，則下列說法正確的是(

)A.A與B互斥 B.A與C互斥 C.P(A∪B)=56 8.古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯(T?eaetetus，公元前417—公元前369年)詳細(xì)地討論了無理數(shù)的理論，他通過如圖來構(gòu)造無理數(shù)2,3,A.26+3315B.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率為14，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是12，從兩袋各摸出一個(gè)球.下列結(jié)論正確的是(

)A.2個(gè)球都是紅球的概率為18 B.2個(gè)球不都是紅球的概率為38

C.至少有1個(gè)紅球的概率為58 D.2個(gè)球中恰有10.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為8，9，11，10，12，和a，8，9，10，15，若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則(

)A.甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10 B.乙組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.5

C.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同 D.甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差11.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，其中a=2，c=1，則下列結(jié)論正確的是(

)A.b>2 B.sinA=2sinC

C.若B=60°，則△ABC為直角三角形 D.若B=150°，則△ABC面積為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知一個(gè)正方形的所有項(xiàng)點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為24，則這個(gè)球的表面積為______，13.在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為170和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為160和17，則估計(jì)出總樣本的方差為______．14.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，且f(0)=12．

(1)求φ的值；

(2)設(shè)16.(本小題15分)

為調(diào)查學(xué)生體能狀況，現(xiàn)從某校高一年級(jí)參加體能測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的體能測試成績，這組數(shù)據(jù)均在區(qū)間[40,100]，其頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求m的值；

(2)用組中值估計(jì)該校高一學(xué)生的平均體能測試成績；

(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從區(qū)間[40,50)，[80,90)，[90,100]抽取5人，再從抽取的5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人體能測試成績?cè)赱80,90)的概率．17.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別為A1B、AC的中點(diǎn)．

(1)證明：MN//平面18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，DA=AB=PD=2，DC=4，E，F(xiàn)分別為棱CD，PD的中點(diǎn)．

(1)求證：AE⊥平面PBD；

(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離．19.(本小題17分)

已知△ABC的面積為S，三邊分別為a，b，c，且AB?AC=233S．

(1)求cosA；

(2)若b=2，c=3，求三角形ABC外接圓半徑．答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的模長，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求解．【解答】

解：由題意，|z|=32+(?1)2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)橄蛄縜=(2,m),b=(m,3)，

所以a?b=2m+3m=5m=5，解得m=1．

故選：3.【答案】B

【解析】解：不等式(x?2)(1?2x)≥0即為(x?2)(2x?1)≤0，

解得12≤x≤2，

故原不等式的解集為{x|12≤x≤2}．

故選：B4.【答案】B

【解析】解：將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向左平移π4個(gè)單位，

可得y=sin2(x+π4)=sin(2x+π2)=cos2x的圖象；

再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍可得g(x)=3cos2x5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查線面垂直、面面垂直問題以及充要條件問題，屬基礎(chǔ)題．

由m⊥β，m為平面α內(nèi)的一條直線，可得α⊥β；反之，α⊥β時(shí)，若m平行于α和β的交線，則m//β，所以不一定能得到m⊥β．

【解答】

解：由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面α內(nèi)的一條直線，且m⊥β，則α⊥β，

反之，α⊥β時(shí)，若m平行于α和β的交線，

則m//β，所以不一定能得到m⊥β，

所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．

故選：B．6.【答案】B

【解析】解：設(shè)該圓臺(tái)的母線長為l，

根據(jù)題意可得π(1+5)l=30π，

解得l=5，

所以該圓臺(tái)的高為52?(5?1)2=3，

則V=π3×3×(7.【答案】D

【解析】解：由題意可知，事件A={(3,4)，(3,1)，(3,2)，(4,3)，(4,1)，(4,2)}，共6種情況，

事件B={(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)}，共4種情況，

事件C={(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，共8種情況，

對(duì)于A，因?yàn)锳∩B={(3,4)，(4,3)}，所以A與B不互斥，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)锳∩C={(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，所以A與C不互斥，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)锳∪B={(3,4)，(3,1)，(3,2)，(4,3)，(4,1)，(4,2)，(1,2)，(2,1)}，共8種情況，

所以P(A∪B)=813C41C=23，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，因?yàn)锳∩C={(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，共4種情況，

所以P(AC)=4138.【答案】B

【解析】解：由題意可知sin∠CAD=13,cos∠CAD=23,sin∠DAE=25,9.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，2個(gè)球都是紅球的概率P1=14×12=18，A正確；

對(duì)于B，2個(gè)球不都是紅球的概率P2=1?P1=78，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，2個(gè)球都不是紅球的概率為(1?14)×(1?12)=38，至少有110.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)題意，甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為8，9，11，10，12，和a，8，9，10，15，

甲組的平均數(shù)8+9+11+10+125=10，

而甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，故乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為10，故得8+9+10+15+a5=10，解可得：a=8；

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，甲組共有5個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大排列后，10為中間數(shù)字，所以甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10，A正確；

對(duì)于B，乙組有5個(gè)數(shù)據(jù)，而5×0.75=3.75，乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為8，8，9，10，15，

所以乙組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為10，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，易知甲組數(shù)據(jù)極差為4，乙組數(shù)據(jù)極差為7，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D，兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，乙組數(shù)據(jù)離散程度更大，方差更大，D選項(xiàng)正確，

故選：AD．

根據(jù)題意，利用平均數(shù)相同求出a的值，后利用平均數(shù)，中位數(shù)，極差，方差的計(jì)算公式依次分析選項(xiàng)，即可得答案．11.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)閍=2，c=1，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得邊b的范圍為1<b<3，所以b可能小于2，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)閍=2，c=1，所以根據(jù)正弦定理asinA=csinC?2sinA=1sinC?sinA=2sinC，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)B=60°時(shí)，由余弦定理得b2=a2+c2?2accosB=22+12?2×2×1×12=3，

此時(shí)a2=4，b2+c2=3+1=412.【答案】12π

【解析】解：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，則正方體的表面積為6a2=24，得a=2，

所以，2R=3a=23，則R=3，

因此，這個(gè)球的表面積為4πR2=12π．

13.【答案】39

【解析】解：因?yàn)槌槿×四猩?0人，其平均數(shù)和方差分別為170和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為160和17，

所以總平均數(shù)x?=170×20+160×3050=164，

則總樣本方差s2=2020+3014.【答案】2【解析】解：設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，

則BD=DC1=BC1=2a，CD=BC=CC1=a，

取BD的中點(diǎn)O，連接OC1，OC，則∠COC1就是二面角C1?BD?C的平面角，

∵CO=115.【答案】π3；

值域：[?3,3【解析】f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，且f(0)=12，

(1)由已知得f(0)=cosφ=12，結(jié)合0≤φ<π，

所以φ=π3；

(2)由(1)知：f(x)=cos(2x+π3)，所以f(x?π6)=cos2x，

所以g(x)=

f(x)+f(x?π6)=cos2xcosπ3?sin2xsinπ3+cos2x

=32cos2x?32sin2x=3[cos2xcosπ6?sin2xsinπ6]

=3cos(2x+π6)，16.【答案】m=0.012；

67.8；

310．【解析】(1)由題意可得10(0.004×2+0.20×2+m+0.40)=1，解得m=0.012；

(2)平均數(shù)為45×0.004×10+55×0.020×10+65×0.040×10+75×0.020×10+85×0.012×10+95×0.004×10=67.8，

故該校高一學(xué)生的平均體能測試成績?yōu)?7.8；

(3)[40,50)，[80,90)，[90,100]的頻率分別為0.04，0.12，0.04，故之比為1：3：1，

所以從[40,50)，[80,90)，[90,100]抽取5個(gè)人，

所以需要從[40,50)，[80,90)，[90,100]分別抽取的人數(shù)為1，3，1，

設(shè)[40,50)的1個(gè)人為A，[80,90)的3個(gè)人為a，b，c，[90,100]的1一個(gè)人為B，

因此樣本空間為Ω={(Aa),(Ab),(Ac),(AB),(ab),(ac),(aB),(bc),(bB),(cB)}，共有10個(gè)，

則2人體能測試成績?cè)赱80,90)的樣本點(diǎn)有{(ab),(ac),(bc)}共有3個(gè)，

故2人體能測試成績?cè)赱80,90)的概率為310．

(1)根據(jù)頻率之和為1即可求解，

(2)根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解，

(3)列舉樣本點(diǎn)，即可根據(jù)古典概型的概率公式即可求解．

17.【答案】證明見解析；

30°．

【解析】(1)證明：

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，分別取BC，BB1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，EN，F(xiàn)M，

因?yàn)镸、N分別為A1B、AC的中點(diǎn)，所以MF//A1B1，

且MF=12A1B1，NE//AB且NE=12AB，

又因?yàn)锳B/?/A1B1且AB=A1B1，

所以MF/?/NE且MF=NE，

即四邊形MNEF是平行四邊形，故MN/?/EF，

因?yàn)镸N?平面BCC1B1，EF?平面BCC1B1，

所以MN/?/平面BCC1B1．

(2)連接BC1，交B1C于點(diǎn)O，連接A1O，

因?yàn)锳1B1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，故A?1B1⊥BC1，

又因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是正方形，則BC1⊥B1C，

而A1B1∩B1C=B18.【答案】證明見解析；

23【解析】(1)證明：如圖，連接BE，

因點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，且AB//DC，AD⊥DC，DA=AB=2，DC=4，

所以DE=AB，易知四邊形ABED是正方形，所以AE⊥BD，

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以AE⊥PD，

又因?yàn)锽D∩PD=D，BD，PD?平面PBD，

所以AE⊥平面PBD．

(2)在Rt△PCD中，PC=PD2+DC2=