89.解析幾何中的面積轉化策略研究解析幾何中面積計算的八種常見問題題型1.三角形面積公式及應用題型2.四邊形面積計算題型3.等高求底型面積問題題型4.等底求高型面積問題題型5.等角轉化為腰長題型6.某邊過定點的三角形面積計算題型7.某邊過定點的四邊形面積計算題型8.以面積（面積比）為情境綜合其他二級結論一.基本原理直線與圓錐曲線相交，弦和某個定點所構成的三角形的面積，處理方法：1.一般方法：（其中為弦長，為頂點到直線AB的距離），設直線為斜截式.進一步，==2.特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著軸或者軸拆分成兩個三角形，不過在拆分的時候給定的頂點一般在軸或者軸上，此時，便于找到兩個三角形的底邊長.3.坐標法.設，則.4.面積比的轉化.三角形的面積比及其轉化有一定的技巧性，一般的思路就是將面積比轉化為可以利用設線法完成的線段之比或者設點法解決的坐標形式，通常有以下類型：①兩個三角形同底，則面積之比轉化為高之比，進一步轉化為點到直線距離之比②兩個三角形等高，則面積之比轉化為底之比，進一步轉化為長度（弦長之比）③利用三角形面積計算的正弦形式，若等角轉化為腰長之比④面積的割補和轉化5.四邊形的面積計算在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見的情況是四邊形的兩對角線相互垂直，此時我們借助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對角線長度乘積的一半；當然也有一些其他的情況，此時可以拆分成兩個三角形，借助三角形面積公式求解.6.注意某條邊過定點的三角形和四邊形當三角形或者四邊形某條邊過定點時，我們就可以把三角形，四邊形某個定頂點和該定點為邊，這樣就轉化成定底邊的情形，最終可以簡化運算.當然，你需要把握住一些常見的定點結論，才能察覺出問題的關鍵.二．典例分析★題型1.三角形面積公式及應用例1．已知過點（0，1）的直線與橢圓交于、兩點，三角形面積的最大值是（

）A． B． C． D．1解析：顯然直線斜率存在，設過的直線方程為：，聯(lián)立方程組消去，并整理得，設，，則恒成立,，，，O到直線的距離為，，令，則，當時等號成立.故選:.例2.（2022新高考1卷）已知點在雙曲線上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．解析：（1）故雙曲線方程為．．（2）由，得，不妨設直線的傾斜角為銳角且為，當均在雙曲線的左支時，，得到，此時與漸近線平行，與雙曲線左支無交點。當均在雙曲線的右支時，由，得，即，聯(lián)立及得，進而解出：，，代入直線得，故，，而，，由，故.★題型2.四邊形面積計算例3．已知拋物線，點為上一點，且到的準線的距離等于其到坐標原點的距離.（1）求的方程；（2）設為圓的一條不垂直于軸的直徑，分別延長交于兩點，求四邊形面積的最小值.解析：（1）故拋物線的標準方程為.（2）由題意，直線斜率存在且不為0，設直線的方程為：，設點，，聯(lián)立得：，由，得，聯(lián)立得：，由，得因為，用代替，得.故四邊形面積.令.設函數(shù)，故單調(diào)遞增.故當，即時，取到最小值16，所以四邊形面積的最小值是16.★題型3.等高求底型面積問題例4．已知橢圓：，以橢圓的右焦點為焦點的拋物線的頂點為原點，點是拋物線的準線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線、，其中、為切點，設直線，的斜率分別為，.（1）求拋物線的方程及的值；（2）求證：直線過定點，并求出這個定點的坐標；（3）若直線交橢圓于、兩點，分別是、的面積，求的最小值.解析：（1）依題意橢圓：的右焦點為，可得拋物線的焦點坐標為，所以拋物線的方程為..（2）直線恒過定點.（3）設點到直線的距離為，則，因為直線恒過定點，且斜率不為零，故設直線的方程為.聯(lián)立,得，，則，則；聯(lián)立，得，，設，，則，則，，故當時，有最小值.★題型4.等底求高型面積問題例5．如圖，已知橢圓E：的離心率為，A，B是橢圓的左右頂點，P是橢圓E上異于A，B的一個動點，直線過點B且垂直于x軸，直線AP與交于點Q，圓C以BQ為直徑.當點P在橢圓短軸端點時，圓C的面積為.（1）求橢圓E的標準方程；（2）設圓C與PB的另一交點為點R，記△AQR的面積為，△BQR的面積為，試判斷是否為定值，若是定值，求出這個定值，若不是定值，求的取值范圍.解析：（1）橢圓的標準方程為：；（2）設，則①.A，B的坐標分別為(-2，0)，(2，0)，直線AP；，令，則，又，點R在圓上，所以QR⊥BR，因此，所以直線RQ的方程為：，即，由①式得到，代入直線RQ的方程，化簡為：，設A，B兩點到直線RQ的距離分別為，則，為定值.★題型5.等角轉化為腰長例6．已知圓心在x軸上移動的圓經(jīng)過點A（-4，0），且與x軸、y軸分別交于點B（x，0），C（0，y）兩個動點，記點D（x，y）的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點F（1，0）的直線l與曲線交于P，Q兩點，直線OP，OQ與圓的另一交點分別為M，N（其中O為坐標原點），求△OMN與△OPQ的面積之比的最大值.解析：（1）的方程為；（2）設過F點的直線方程為，顯然m是存在的，聯(lián)立方程：，得，①，②設，代入①②得…③則直線OP的方程為，直線OQ的方程為，聯(lián)立方程：，解得，同理，，，，④，由③得，代入④得：，顯然當m=0時最大，最大值為；綜上，的方程為，與的面積之比的最大值為.★題型6.某邊過定點的三角形面積計算例7.已知橢圓C：經(jīng)過點，其右頂點為.（1）求橢圓C的方程；（2）若點P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為.求面積的最大值.解析：（1）橢圓C的方程為．(2)結合，可找到的關系，從而可知直線PQ經(jīng)過定點，于是△APQ面積等于，即可求出其最大值．易知直線AP與AQ的斜率同號，所以直線不垂直于軸，故可設，，，由可得，，所以，，，而，即，化簡可得，①，因為，所以，令可得，②，令可得：把②③代入①得，，化簡得，所以，或，所以直線或，因為直線不經(jīng)過點，所以直線經(jīng)過定點．設定點，所以，，因為，所以，設，所以，當且僅當即時取等號，即△APQ面積的最大值為．★題型7.某邊過定點的四邊形面積計算例8.在平面直角坐標系xOy中，已知，，動點P滿足.（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）若軌跡C的左，右頂點分別為，，點為軌跡C上異于，的一個動點，直線，分別與直線相交于S，T兩點，以ST為直徑的圓與x軸交于M，N兩點，求四邊形SMTN面積的最小值.解析：（1）由動點P滿足，得動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，且，所以，所以，故動點P的軌跡C方程為：；（2）由（2）知，，所以直線的方程為，即，與直線的交點S的坐標為，直線的方程為，即，與直線的交點T的坐標為，設以ST為直徑的圓的方程為，令，則，所以，，令，則，設，則，所以，又點在雙曲線上，所以，故，又，所以，當且僅當即時等號成立，所以四邊形面積的最小值為6.★題型8.以面積（面積比）為情境綜合其他二級結論例9（2023屆廣州一模T21）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.（1）求C的方程；（2）直線：與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，直線OP的斜率為（O為坐標原點），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.分析：（1）（2）如圖，設點，其到線段的距離為，那么，代入到.于是由上述基本原理可知：，而，故可得：，此題中，.解析：（1）由橢圓的離心率為得：，即有，由以C的短軸為直徑的圓與直線相切得：，聯(lián)立解得，所以C的方程是.（2）為定值，且.因為，則，因此，而，有，于是平分，直線的斜率互為相反數(shù)，即，設，由得，，即有，而，則，即于是，化簡得：，且又因為在橢圓上，即，即，，從而，，又因為不在直線上，則有，即，所以為定值，且.例10．（2024年新高考2卷）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構造點，過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.（1）若，求；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設為的面積，證明：對任意的正整數(shù)，.解析：（1）由已知有，故的方程為.當時，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點為，該點顯然在的左支上.故，從而，.方法1.逐步翻譯，暴力運算（2）由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達定理，另一根，相應的.所以該直線與的不同于的交點為，而注意到的橫坐標亦可通過韋達定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（3）由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對任意的正整數(shù)，都有.這就得到，以及.兩式相減，即得.移項得到.故.而，.所以和平行，這就得到，即.方法2.合理轉化，多想少算（2）由于關于軸的對稱點是，而，而共線且，則.都在雙曲線上，則有，作差可得而①，②，兩式做差可得：，故，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.凌晨講數(shù)學（3）要證，注意到兩個三角形的關系，只需證明點到直線的距離相等即可，即證明，即證.記，則.故，而則.于是可得得證！例11．（2024年九省聯(lián)考）已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，過與垂直的直線交于兩點，其中在軸上方，分別為的中點．（1）證明：直線過定點；（2）設為直線與直線的交點，求面積的最小值．解析：（1）由，故，由直線與直線垂直，故兩只直線斜率都存在且不為，設直線、分別為、，有，、、、，聯(lián)立與直線，即有，消去可得，，故、，則，故，，即，同理可得，當時，則，即，由，即，故時，有，此時過定點，且該定點為，當時，即時，由，即時，有，亦過定點，故直線過定點，且該定點為；方法1.逐步翻譯，暴力運算（2）由、、、，則，由、，故凌晨講數(shù)學，同理可得，聯(lián)立兩直線，即，有，即，有，由，同理，故，故，過點作軸，交直線于點，則，由、，故，當且僅當時，等號成立，下證：由拋物線的對稱性，不妨設，則，當時，有，則點在軸上方，點亦在軸上方，由直線過定點，此時，同理，當時，有點在軸下方，點亦在軸下方，有，故此時，當且僅當時，，故恒成立，且時，等號成立，故，方法2.面積轉化，多想少算（2）設為的中點,為直線與的交點.由分別為的中點知,所以,故.設為直線與的交點,同理可得.所以，由（1）中的法2可得，同理可得．所以，當且僅當時等號成立．因此的面積的最小值為8．三．習題演練1.已知過點的直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，當直線垂直于軸時，的面積為.（1）求拋物線的方程；（2）若為的重心，直線分別交軸于點，記的面積分別為，求的取值范圍.解析：（1）由題意可知，，所以，所以拋物線的方程為（2）設，因為為的重心，所以；因為，且；所以；設，與聯(lián)立得：，所以，所以，則；所以的取值范圍為2已知拋物線的焦點為，直線過點交于兩點，在兩點的切線相交于點的中點為，且交于點．當?shù)男甭蕿?時，．（1）求的方程；（2）若點的橫坐標為2，求；（3）設在點處的切線與分別交于點，求四邊形面積的最小值．解析：（1）由題意，直線的斜率必存在.設直線的方程為，聯(lián)立得，所以當時，，此時，所以，即.所以的方程為.（2）由(1)知，，則，代入直線得，則中點.因為，所以，則直線方程為，即，同理，直線方程為，所以，，所以.因為，即，此時，所以直凌晨講數(shù)學線的方程為，代入，得，所以，所以.（3）由（2）知，所以直線方程為，代入，得，所以，所以為的中點.因為在處的切線斜率，所以在處的切線平行于，又因為為的中點，所以.由(1)中式得，所以，因為直線方程為，所以.又到直線的距離，所以，(當且僅當時取“”)所以，所以四邊形的面積的最小值為3.凌晨講數(shù)學3．已知橢圓C：，過右焦點F的直線l交C于A，B兩點，過點F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點．當軸時