試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)山東省2024-2025高一數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬卷（3）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________（三角函數(shù)與解三角形、平面向量、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)、復(fù)數(shù)）一、單選題1．已知，則（

）A．1 B． C． D．22．如圖，用三種不同元件連接成系統(tǒng)，每個(gè)元件是否正常工作不受其它元件的影響．當(dāng)元件都正常工作或正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作．已知元件正常工作的概率分別為，則系統(tǒng)正常工作的概率為（

）A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.9563．已知向量滿足：.則的最大值為（

）A．3 B． C．4 D．54．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，三棱錐各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，則該三棱錐側(cè)視圖的面積為（

）A．9 B．8 C．7 D．65．已知，則（

）A． B． C． D．6．從五棱錐的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取4個(gè)，則這4個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．7．已知平面向量滿足，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．38．在中，為的三等分點(diǎn)，則A． B． C． D．二、多選題9．對(duì)任意復(fù)數(shù)，，定義，其中是的共軛復(fù)數(shù)，對(duì)任意復(fù)數(shù)，，，下列命題為真命題的是（

）A． B．C． D．10．已知事件滿足，則下列判斷可能正確的是（

）A．獨(dú)立 B．對(duì)立C． D．11．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，分別為的中點(diǎn)，是線段（含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)到平面的距離為定值B．平面截正方體所得的截面為六邊形C．若，且，則為線段的中點(diǎn)D．直線與平面所成角的正切值的取值范圍為三、填空題12．一只青蛙在正方體的頂點(diǎn)A處，每次等概率的跳躍到相鄰三個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，那么六次跳躍后回到頂點(diǎn)A的概率為．13．以點(diǎn)O為球心，半徑為的球的表面與以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，棱長(zhǎng)為6的正四面體表面的交線為P，則P的總長(zhǎng)度為．14．在中，，，在邊上存在一點(diǎn)，滿足，作，為垂足，若角，則的取值范圍是．四、解答題15．已知四邊形是平行四邊形，且，，.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求平行四邊形的面積.16．象棋是中華民族優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化遺產(chǎn)，為弘揚(yáng)棋類運(yùn)動(dòng)精神，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，豐富校園文化生活，培養(yǎng)學(xué)生良好的心態(tài)和認(rèn)真謹(jǐn)慎的生活觀，某學(xué)校高一年級(jí)舉辦象棋比賽.比賽分為初賽和決賽.初賽采用線上知識(shí)能力競(jìng)賽，共有500名學(xué)生參加，從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成5組：，并整理得到如圖頻率分布直方圖：(1)根據(jù)直方圖，求的值，并估計(jì)這次知識(shí)能力競(jìng)賽的平均數(shù)；(2)決賽環(huán)節(jié)學(xué)校決定從知識(shí)能力競(jìng)賽中抽出成績(jī)最好的兩個(gè)同學(xué)甲和乙進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)棋藝比拼，比賽采取三局兩勝制.若甲每局比賽獲勝的概率均為，且各輪比賽結(jié)果相互獨(dú)立.求甲最終獲勝的概率.17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，分別是棱的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)證明：平面．18．在中，.（1）若，求的值；（2）設(shè)向量，，且，求的值.19．借助三角函數(shù)定義及向量知識(shí)，可以方便地討論平面上點(diǎn)及圖象的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題.試解答下列問(wèn)題.（1）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到點(diǎn)，如果終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的角記為，那么終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的角記為.試用三角函數(shù)定義，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，設(shè)向量，把向量按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得向量，試用h、k、θ表示向量的坐標(biāo)；（3）設(shè)、為不重合的兩定點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得點(diǎn)C.判斷C是不能夠落在直線上，若能，請(qǐng)求出θ的三角函數(shù)值（正弦、余弦、正切不限），若不能，說(shuō)明理由.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《山東省2024-2025高一數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬卷（3）》參考答案題號(hào)12345678910答案BDBADCCBABAC題號(hào)11答案ACD1．B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則求得，進(jìn)而可求.【詳解】由，可得，所以.故選：B.2．D【分析】利用對(duì)立事件的概率公式將目標(biāo)事件合理轉(zhuǎn)化，再結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式求解即可.【詳解】由題意得，，，且系統(tǒng)正常工作的對(duì)立事件為系統(tǒng)不都正常工作且也不正常工作，而每個(gè)元件是否正常工作不受其它元件的影響，則相互獨(dú)立，可得不都正常工作的概率為，故系統(tǒng)不正常工作的概率為，由對(duì)立事件的概率公式得系統(tǒng)正常工作的概率為，故D正確.故選：D3．B【分析】根據(jù)條件及不等式求最大值即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：B4．A【分析】由題意，畫出三棱錐的側(cè)視圖，利用割補(bǔ)法即可求解側(cè)視圖的面積.【詳解】解：由題意，該三棱錐側(cè)視圖為如圖所示的四邊形及對(duì)角線（實(shí)線）和（虛線），過(guò)作垂直于軸，過(guò)作垂直于軸，所以側(cè)視圖的面積為，故選：A.5．D【分析】由二倍角的余弦公式及弦切互化可得結(jié)果.【詳解】.故選：D．6．C【分析】計(jì)算出所有可能情況及符合要求的情況即可得.【詳解】從五棱錐的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取4個(gè)的不同選取方法有種，其中選取的4個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)的不同選取方法有種，則所求概率．故選：C.7．C【分析】根據(jù)向量加減法的平行四邊形法則作圖，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最值，利用外接圓數(shù)形結(jié)合可求最值.【詳解】設(shè)，如圖，

由題意，即在平行四邊形中，，，求的最大值.延長(zhǎng)至，使，則，由正弦定理，三點(diǎn)所在外接圓的直徑，所以，設(shè)圓心為，如圖，

所以可知，又，所以由余弦定理可得，則由圖象可知，故選：C8．B【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以，即，即．所以，故?yīng)選．考點(diǎn)：1、平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用．9．AB【分析】利用新定義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【詳解】對(duì)任意復(fù)數(shù)，，定義，其中是的共軛復(fù)數(shù)，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，則，，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10．AC【分析】根據(jù)事件獨(dú)立、對(duì)立的概念和公式進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若獨(dú)立，則，在范圍內(nèi)，所以A可能正確.對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以不?duì)立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，.若，則，所以，解得.當(dāng)獨(dú)立時(shí)，，C可能正確.對(duì)于選項(xiàng)D：，解得，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11．ACD【分析】由正方體及線面平行的性質(zhì)判斷A；由平面的基本性質(zhì)直接判斷B；由空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義用表示出，即可判斷C；根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合確定線面角正弦值范圍，進(jìn)而得到正切值范圍判斷D.【詳解】由題意，，面，面，可得面，又，故點(diǎn)到平面的距離為定值，A對(duì)；由，則平面截正方體所得為四邊形，B錯(cuò)；由圖，令且，所以，即為線段的中點(diǎn)，C對(duì)；由A分析及題設(shè)知，點(diǎn)到平面的距離，即為點(diǎn)到平面的距離，即點(diǎn)到線段的距離，故所求距離，而，若直線與平面所成角為，則，所以，D對(duì).故選：ACD12．【分析】移動(dòng)偶數(shù)次返回的路徑數(shù)，考慮從出發(fā)移動(dòng)次后所在點(diǎn)，再分類探討得遞推公式，利用累加法求出，進(jìn)而求出概率即可得解.【詳解】由點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)偶數(shù)次移動(dòng)只能到達(dá)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)奇數(shù)次移動(dòng)后只能到達(dá)，考慮移動(dòng)（為偶數(shù)）次返回到的路徑數(shù)為，顯然；由于移動(dòng)次后只能位于點(diǎn)，其中位于再移動(dòng)1次可回到，則考慮移動(dòng)次后所在點(diǎn)，把這4個(gè)點(diǎn)分成兩類，點(diǎn)和點(diǎn)，若在點(diǎn)，路徑數(shù)為，再移動(dòng)2次返回到只有3種折返路徑；若在（路徑數(shù)為）中的一個(gè)，再移動(dòng)2次返回路徑數(shù)，每個(gè)點(diǎn)處都有2條路徑（），因此移動(dòng)（為偶數(shù)）次返回到的路徑數(shù)，即，累加得，總路徑數(shù)為，因此青蛙跳躍（為偶數(shù)）次后恰好回到的概率，所以六次跳躍后回到頂點(diǎn)A的概率為故答案為：13．【分析】先在正四面體中求出高，判斷出底面與球相交，交線是一個(gè)圓，進(jìn)而求出底面圓的半徑為，即可求出球與底面相交的交線長(zhǎng)；然后在側(cè)面在三個(gè)側(cè)面等邊三角形中，求出到對(duì)邊中點(diǎn)的距離都是，即可得知每個(gè)側(cè)面與球的交線是以為圓心，以為半徑，圓心角為的圓弧，算出三個(gè)側(cè)面與球相交的總弧長(zhǎng)，即可求出交線P的總長(zhǎng)度.【詳解】

如圖所示的正四面體，棱長(zhǎng)為6，設(shè)底面中心為，在等邊中，為邊的中點(diǎn)，可知，所以在中，求得正四面體的高，所以正四面體的底面與球相交，交線是一個(gè)圓，圓心恰為，設(shè)底面圓的半徑為，則，所以球與底面交線的周長(zhǎng)為.在三個(gè)側(cè)面等邊三角形中，到對(duì)邊中點(diǎn)的距離都是，例如，所以每個(gè)側(cè)面與球的交線是以為圓心，以為半徑，圓心角為的圓弧，所以弧長(zhǎng)為，所以三個(gè)側(cè)面的總弧長(zhǎng)為.所以交線P的總長(zhǎng)度為.故答案為：14．【詳解】由題意可得，由正弦定理，，所以，填．15．(1)(2)12【分析】（1）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)題意，先求出的夾角余弦值，進(jìn)而得到其正弦值，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．由題意得，．因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（2）由，，則，，，則，所以，則平行四邊形的面積為.16．(1)，78(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖各組頻率之和等于1求出，由頻率分布直方圖估算平均數(shù)計(jì)算得解；（2）由題，甲最終獲勝，比分可能是，，分別求出概率，再根據(jù)互斥事件的概率公式求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，的頻率為的頻率為的頻率為0.42，的頻率為0.08，所以的頻率為，所以，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，估計(jì)這次知識(shí)能力測(cè)評(píng)的平均數(shù)：分.（2）因?yàn)榧鬃罱K獲勝，比分可能是，，設(shè)甲獲勝為事件A，獲勝為事件，若甲獲勝，則概率為，若甲獲勝，則概率為，又A，B兩個(gè)事件互斥，則甲最終獲勝的概率為.17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先證和，再由線線垂直證明線面垂直，易得；（2）取的中點(diǎn)，易證，得到，則得，由線線平行即得線面平行.【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，由四邊形是正方形，可得，

因平面，平面，則，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，由分別是棱的中點(diǎn)．可得，又，則，即得，所以因平面，平面，所以平面．18．（1）；（2）.【分析】(1)先由推出，再由向量數(shù)量積條件得出，最后利用等式求出的值.(2)由向量平行條件推出，再用求值.【詳解】因?yàn)樵谥校?，所以?(1)若，則，，.，解得或.若，則，，，，不符合題意，舍去.所以.(2)因?yàn)?，所以，，所以?.19．(1)；(2)；(3)能，【分析】（1）計(jì)算出以及、的值，利用兩角和的正弦和余弦公