3.4.2代入消元法第3章

一次方程與方程組【2025-2026學(xué)年】2024滬科版

數(shù)學(xué)

七年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********3.4.2代入消元法匯報人：[教師姓名]匯報班級：[具體班級]知識回顧上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二元一次方程、二元一次方程組以及它們的解的概念。知道了二元一次方程組是由幾個含有相同未知數(shù)的二元一次方程組成的，其解是方程組中所有方程的公共解。那么，如何求出二元一次方程組的解呢？今天我們就來學(xué)習(xí)一種解二元一次方程組的基本方法——代入消元法。學(xué)習(xí)目標(biāo)理解代入消元法的思想，掌握用代入消元法解二元一次方程組的步驟。能熟練運用代入消元法解簡單的二元一次方程組。經(jīng)歷用代入消元法將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程的過程，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。提高分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。課堂導(dǎo)入我們來看一個二元一次方程組：\(\begin{cases}x+y=8\\2x+3y=21\end{cases}\)。這個方程組我們在前面的課堂導(dǎo)入中見過，是關(guān)于買筆和筆記本的問題。我們知道這個方程組的解是\(\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}\)，但當(dāng)時只是通過嘗試得到的。如果方程組比較復(fù)雜，嘗試法就很難奏效了。那有沒有一種更通用、更有效的方法呢？我們知道一元一次方程我們已經(jīng)會解了，如果能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，問題就解決了。如何轉(zhuǎn)化呢？觀察方程組中的第一個方程\(x+y=8\)，我們可以把它變形為\(x=8-y\)，這樣就用含\(y\)的式子表示出了\(x\)。然后把\(x=8-y\)代入第二個方程\(2x+3y=21\)中，就可以得到一個只含有\(zhòng)(y\)的一元一次方程，解這個方程就能求出\(y\)的值，再把\(y\)的值代入\(x=8-y\)中，就能求出\(x\)的值。這種方法就是我們今天要學(xué)習(xí)的代入消元法。知識點：代入消元法的概念和思想概念代入消元法是指將二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解的方法。思想代入消元法的核心思想是“消元”，即把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，將陌生的二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程來求解。知識點：用代入消元法解二元一次方程組的步驟變形：從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來。例如，對于方程組\(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)，如果選擇第一個方程，可將其變形為\(x=\frac{c_1-b_1y}{a_1}\)（或\(y=\frac{c_1-a_1x}{b_1}\)）。代入：將變形后的方程代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。求解：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值?；卮簩⑶蟪龅奈粗獢?shù)的值代入變形后的方程中，求出另一個未知數(shù)的值。檢驗：把求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的兩個方程，檢驗是否都是方程的解。寫出答案：用大括號“\(\begin{cases}\end{cases}\)”把兩個未知數(shù)的值括起來，作為方程組的解。例題解析例1：用代入消元法解方程組\(\begin{cases}x+y=8\\2x+3y=21\end{cases}\)。解：變形：由方程①\(x+y=8\)，得\(x=8-y\)③。代入：把③代入方程②\(2x+3y=21\)，得：\(2(8-y)+3y=21\)求解：解這個一元一次方程：\(\begin{align*}16-2y+3y&=21\\16+y&=21\\y&=5\end{align*}\)回代：把\(y=5\)代入③，得\(x=8-5=3\)。檢驗：把\(x=3\)，\(y=5\)代入原方程組：方程①：左邊\(=3+5=8\)，右邊\(=8\)，左邊=右邊；方程②：左邊\(=2??3+3??5=6+15=21\)，右邊\(=21\)，左邊=右邊。所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}\)。例2：用代入消元法解方程組\(\begin{cases}3x-y=5\\5x+2y=15\end{cases}\)。解：變形：由方程①\(3x-y=5\)，得\(y=3x-5\)③。代入：把③代入方程②\(5x+2y=15\)，得：\(5x+2(3x-5)=15\)求解：解這個一元一次方程：\(\begin{align*}5x+6x-10&=15\\11x&=25\\x&=\frac{25}{11}\end{align*}\)回代：把\(x=\frac{25}{11}\)代入③，得\(y=3??\frac{25}{11}-5=\frac{75}{11}-\frac{55}{11}=\frac{20}{11}\)。檢驗：把\(x=\frac{25}{11}\)，\(y=\frac{20}{11}\)代入原方程組：方程①：左邊\(=3??\frac{25}{11}-\frac{20}{11}=\frac{75}{11}-\frac{20}{11}=\frac{55}{11}=5\)，右邊\(=5\)，左邊=右邊；方程②：左邊\(=5??\frac{25}{11}+2??\frac{20}{11}=\frac{125}{11}+\frac{40}{11}=\frac{165}{11}=15\)，右邊\(=15\)，左邊=右邊。所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x=\frac{25}{11}\\y=\frac{20}{11}\end{cases}\)。例3：用代入消元法解方程組\(\begin{cases}2x+3y=16\\x+4y=13\end{cases}\)。解：變形：由方程②\(x+4y=13\)，得\(x=13-4y\)③。代入：把③代入方程①\(2x+3y=16\)，得：\(2(13-4y)+3y=16\)求解：解這個一元一次方程：\(\begin{align*}26-8y+3y&=16\\26-5y&=16\\-5y&=-10\\y&=2\end{align*}\)回代：把\(y=2\)代入③，得\(x=13-4??2=13-8=5\)。檢驗：把\(x=5\)，\(y=2\)代入原方程組：方程①：左邊\(=2??5+3??2=10+6=16\)，右邊\(=16\)，左邊=右邊；方程②：左邊\(=5+4??2=5+8=13\)，右邊\(=13\)，左邊=右邊。所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}\)。例4：用代入消元法解方程組\(\begin{cases}3x+2y=5\\y=1-x\end{cases}\)。解：代入：把方程②\(y=1-x\)代入方程①\(3x+2y=5\)，得：\(3x+2(1-x)=5\)求解：解這個一元一次方程：\(\begin{align*}3x+2-2x&=5\\x+2&=5\\x&=3\end{align*}\)回代：把\(x=3\)代入方程②，得\(y=1-3=-2\)。檢驗：把\(x=3\)，\(y=-2\)代入原方程組：方程①：左邊\(=3??3+2??(-2)=9-4=5\)，右邊\(=5\)，左邊=右邊；方程②：左邊\(=-2\)，右邊\(=1-3=-2\)，左邊=右邊。所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}\)。小練習(xí)用代入消元法解下列方程組：（1）\(\begin{cases}x=2y\\x+y=3\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}y=x-1\\2x+y=5\end{cases}\)；（3）\(\begin{cases}2x+y=7\\3x-4y=5\end{cases}\)；（4）\(\begin{cases}3x+4y=16\\5x-6y=33\end{cases}\)。已知方程組\(\begin{cases}ax+by=4\\bx+ay=5\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)，求\(a+b\)的值。若\(\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}\)是方程組\(\begin{cases}mx+ny=1\\nx-my=7\end{cases}\)的解，求\(m\)，\(n\)的值。思考討論用代入消元法解二元一次方程組時，選擇哪個方程進行變形以及用哪個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)有什么技巧？選擇方程時，應(yīng)選擇系數(shù)比較簡單的方程，這樣變形起來更簡便。用哪個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，要看哪個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值比較小，一般選擇系數(shù)的絕對值為1的未知數(shù)，這樣可以避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，使計算更簡單。例如，方程組\(\begin{cases}x+2y=5\\3x-y=1\end{cases}\)中，第二個方程\(3x-y=1\)中\(zhòng)(y\)的系數(shù)是\(-1\)，所以選擇用\(x\)表示\(y\)，即\(y=3x-1\)。代入消元法的關(guān)鍵是什么？在代入過程中容易出現(xiàn)哪些錯誤？代入消元法的關(guān)鍵是“消元”，即通過代入將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。在代入過程中，容易出現(xiàn)的錯誤有：變形后的方程代入時，漏乘系數(shù)或符號錯誤；回代時，代入的不是變形后的方程，而是原方程，導(dǎo)致計算復(fù)雜或出錯；忘記檢驗，導(dǎo)致求出的解不是原方程組的解。課堂小結(jié)代入消元法的概念：將二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得方程組的解的方法。代入消元法的思想：消元，將二元轉(zhuǎn)化為一元。用代入消元法解二元一次方程組的步驟：變形、代入、求解、回代、檢驗、寫出答案。運用代入消元法時，要注意選擇合適的方程進行變形，代入時要仔細計算，避免出現(xiàn)錯誤，最后一定要檢驗所求的解是否正確。課后作業(yè)用代入消元法解下列方程組：（1）\(\begin{cases}y=2x-3\\3x+2y=8\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}2x-y=5\\3x+4y=2\end{cases}\)；（3）\(\begin{cases}3x+2y=19\\2x-y=1\end{cases}\)；（4）\(\begin{cases}4x+7y=10\\6x-11y+28=0\end{cases}\)。已知\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)是方程組\(\begin{cases}2x+(m-1)y=2\\nx+y=1\end{cases}\)的解，求\(m+n\)的值。甲、乙兩人共同解方程組\(\begin{cases}ax+5y=15\\4x-by=-2\end{cases}\)，由于甲看錯了方程中的\(a\)，得到方程組的解為\(\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}\)；乙看錯了方程中的\(b\)，得到方程組的解為\(\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}\)。試計算\(a^{2023}+\left(-\frac{1}{10}b\right)^{2024}\)的值。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解情境導(dǎo)入根據(jù)已知的x或y的值，求另一個未知數(shù)的值，并填入下表.x+y=10x…-20258…y…1210852…y-2x=4x…-20258…y…0481420…二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值.二元一次方程有無數(shù)組解！x+y=10x…-20258…y…1210852…y-2x=4x…-20258…y…0481420…觀察表格可知，同時滿足兩個二元一次方程.所以是此二元一次方程組的解.使二元一次方程組中每個方程都成立的兩個未知數(shù)的值.探索新知思考：問題1（“雞兔同籠”）中，我們得到方程組x+y=35①②怎樣求出其中x，y的值呢？解：設(shè)雞有x只，則兔有(35-x)只.2x+4(35-x)=942x+4y=94x+y=352x+4y=94①②由①，得y=35-x，③把③代入②，得2x+4(35-x)=94，解方程，得x=23.把x=23代入③，得y=12.所以這個二元一次方程組的解是.二元一次方程組一元一次方程代入消元轉(zhuǎn)化代入消元法二元一次方程組一元一次方程代入消元轉(zhuǎn)化代入消元法：從一個方程中求出某一個未知數(shù)的表達式，再把它“代入”另一個方程，進行求解，這種方法叫作代入消元法，簡稱代入法.代入消元法例1：解方程組.2x+3y=-7，①②x+2y=3.解：由②，得x=3-2y，③把③代入①，得2(3-2y)+3y=-7.-y=-13.y=13.把y=13代入③，得x=3-2×13.x=-23.所以變形代入求解回代寫解可以用x表示y嗎?試試看.解題步驟：變代解回寫【教材P110例1】例1：解方程組.2x+3y=-7，①②x+2y=3.解：由②，得y=(3-x)，③把③代入①，得2x+(3-x)=-7.x=.x=-23.把x=-23代入③，得y=(3+23).y=13.所以用代入消元法解二元一次方程組：練一練（1）（2）①②（1）解：把①代入②，得3x+2(2x-3)=8.x=2.把x=2代入①，得y=2×2-3=1.所以用代入消元法解二元一次方程組：練一練（1）（2）①②（2）解：由①，得x=2y-1，③把③代入②，得2(2y-1)+y=3.y=1.把y=1代入③，得x=1.所以隨堂練習(xí)1.把下列方程寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式：（1）3x-2y=4；

（2）5x-y=5；

（3）5x+2y+1=0.【教材P111練習(xí)第1題】解：（1）；（3）.（2）y=5x-5；（1）（2）2.用代入法解下列方程組：（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）【教材P111練習(xí)第2題】3.已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為求a，b的值.【教材P111練習(xí)第3