微專題10重構(gòu)數(shù)列問(wèn)題第六章數(shù)列202X/01/01匯報(bào)人：視角1公共項(xiàng)問(wèn)題(1)(2024·漳州三檢)將數(shù)列{3n－1}與{2n}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則a20＝ (

)A.237 B.238

C.239 D.2401【解析】數(shù)列{2n}中的項(xiàng)為2，4，8，16，32，64，128，256，…，經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)列{2n}中的奇數(shù)項(xiàng)都是數(shù)列{3n－1}中的項(xiàng)，即2，8，32，128，…可以寫成3n－1的形式，觀察歸納可得an＝22n-1，所以a20＝22×20-1＝239.C(2)(2024·汕頭二模)已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，202及2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為 (

)A.1678 B.1666

C.1472 D.1460【解析】B處理兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題的兩種方法(1)不定方程法：列出兩個(gè)項(xiàng)相等的不定方程，利用數(shù)論中的整除知識(shí)，求出符合條件的項(xiàng)，并解出相應(yīng)的通項(xiàng)公式．(2)周期法：即尋找下一項(xiàng)，通過(guò)觀察找到首項(xiàng)后，從首項(xiàng)開(kāi)始向后，逐項(xiàng)判斷變化較大(如公差的絕對(duì)值大)的數(shù)列中的項(xiàng)是否為另一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，并找到規(guī)律(周期)，分析相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到通項(xiàng)公式．視角2增項(xiàng)問(wèn)題(2024·濱州二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4＝7，S5＝25.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；2【解答】因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，則S5＝5a3＝25，即a3＝5，可得d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2024·濱州二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4＝7，S5＝25.(2)保持?jǐn)?shù)列{an}中各項(xiàng)先后順序不變，在ak與ak＋1(k＝1，2，…)之間插入2k-1個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn}，求{bn}的前150項(xiàng)和T150.【解答】【解析】B(2025·溫州一模)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，在其相鄰兩項(xiàng)ak，ak＋1之間插入2k個(gè)3(k∈N*)，得到新的數(shù)列{bn}．記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn≥100成立的n的最小值為 (

)A.28 B.29

C.30 D.31變式2

視角3已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋r，其中r為常數(shù)．(1)求r的值；3【解答】減項(xiàng)問(wèn)題已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋r，其中r為常數(shù)．(2)設(shè)bn＝2(1＋log2an)，若數(shù)列{bn}中去掉與數(shù)列{an}相同的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成數(shù)列{cn}，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值．【解答】對(duì)于增加項(xiàng)或減少項(xiàng)數(shù)列問(wèn)題，弄清插入(或減少)的項(xiàng)數(shù)及插入(或減少)的項(xiàng)的規(guī)律是解題關(guān)鍵，然后再利用分組求和法可解決此類問(wèn)題．視角4計(jì)數(shù)數(shù)列4【解析】745【解答】變式4

【解答】配套精練01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題【解析】D2.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＝1，對(duì)于任意的n∈N*，均有an＋1＝2an＋1，bn＝2log2(1＋an)－1.若在數(shù)列{bn}中去掉{an}的項(xiàng)，余下的項(xiàng)組成數(shù)列{cn}，則c1＋c2＋…＋c20＝ (

)A.599

B.569

C.554

D.568【解析】D【解析】【答案】BC4.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}：5，8，11，…與{bn}：3，7，11，…，它們的公共項(xiàng)組成數(shù)列{cn}，則數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝_________；若數(shù)列{an}和{bn}的項(xiàng)數(shù)均為100，則{cn}的項(xiàng)數(shù)是_____．【解析】12n－1255.已知公差大于0的等差數(shù)列{an}滿足a2a4＝a11，a3＝5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；【解答】設(shè){an}的公差為d(d＞0).由題意得(5－d)(5＋d)＝5＋8d，化簡(jiǎn)得d2＋8d－20＝0，解得d＝2或d＝－10(舍去)，所以an＝a3＋(n－3)d＝5＋2n－6＝2n－1.5.已知公差大于0的等差數(shù)列{an}滿足a2a4＝a11，a3＝5.(2)在an與an＋1之間插入2n個(gè)2，構(gòu)成新數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的前110項(xiàng)和S110.【解答】由(1)知在2n－1與2n＋1之間插入2n個(gè)2，an＋1前共有n＋21＋22＋…＋2n＝n＋2n+1－2項(xiàng)．當(dāng)n＝5時(shí)，有67項(xiàng)；當(dāng)n＝6時(shí)，有132項(xiàng)，所以b110應(yīng)該介于a6和a7之間，即數(shù)列{bn}的前110項(xiàng)中共有104個(gè)2和{an}中的前6項(xiàng)，所以S110＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋104×2＝244.【解答】【解答】7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝3an－3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；【解答】在2Sn＝3an－3中，令n＝1，得a1＝3.因?yàn)?Sn＝3an－3，所以當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝3an－1－3，兩式相減得2an＝3an－3an－1，所以an＝3an－1，所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an＝3n.7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝3an－3.(2)已知數(shù)列{bn}滿足bn＝3n，在數(shù)列{bn}中剔除掉屬于數(shù)列{an}的項(xiàng)，并且把剩余的項(xiàng)從小到大排列，構(gòu)成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)和T100.【解答】因?yàn)閎n＝3n，所以數(shù)列{an}中的項(xiàng)都在數(shù)列{bn}中．?dāng)?shù)列{an}的前5項(xiàng)：3，9，27，81，243都在數(shù)列{bn}的前105項(xiàng)中，這五項(xiàng)和為363，數(shù)列{bn}的前105項(xiàng)為3