南京市南京市行知實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求直線AC及拋物線的解析式，并求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線1∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？3．某數(shù)學(xué)興趣小組在探究函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象和性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了以下探究過(guò)程：（1）列表（完成下列表格）．x…﹣3﹣2﹣1﹣0123…y…632236…（2）描點(diǎn)并在圖中畫出函數(shù)的大致圖象；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，完成以下問(wèn)題：①觀察函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象，以下說(shuō)法正確的有（填寫正確的序號(hào)）A．對(duì)稱軸是直線x＝1；B．函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象有兩個(gè)最低點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是（﹣1，2）、（1，2）；C．當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大；D．當(dāng)函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向下平移3個(gè)單位時(shí)，圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)；E．函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的圖象，可以看作是函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向右平移2個(gè)單位得到．②結(jié)合圖象探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)m滿足時(shí)，方程x2﹣2|x|+3＝m有四個(gè)解．③設(shè)函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象與其對(duì)稱軸相交于P點(diǎn)，當(dāng)直線y＝n和函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，且這兩個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)P所構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．4．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，分別以AC，BC為邊向外側(cè)作正方形ACDE和正方形BCFG．（1）△ABC和△DCF面積的關(guān)系是______________；（請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫“相等”或“不等”）（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖2給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，且AC與BD的和為10，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外側(cè)作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI，正方形DALK，運(yùn)用（2）的結(jié)論，圖中陰影部分的面積和是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最大值，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1圖2圖35．如圖1，點(diǎn)EF在直線l的同一側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)K，使KE與KF的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)E關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接FE′交直線L于點(diǎn)K，則點(diǎn)K即為所求．（1）（實(shí)踐運(yùn)用）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如圖2．①求該拋物線的解析式；②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA+PC的最小值．（2）（知識(shí)拓展）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．6．已知拋物線有最低點(diǎn)為F．（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（-1，3）時(shí)，①求拋物線的解析式；②點(diǎn)M是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線，與直線交于點(diǎn)N，求線段長(zhǎng)度的最大值；（2）將拋物線G向右平移m個(gè)單位得到拋物線．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x之間存在一個(gè)函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）記（2）所求的函數(shù)為H，拋物線G與函數(shù)H的交點(diǎn)為P，請(qǐng)結(jié)合圖象求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BC交于點(diǎn)E，求的最大值；（3）如圖2，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作直線l∥BC，點(diǎn)P，Q分別為直線l和拋物線上的點(diǎn)．試探究：在第四象限內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BPQ∽△CAB．若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．根據(jù)我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程與方法，對(duì)函數(shù)y＝x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|的圖像和性質(zhì)進(jìn)行探究，已知該函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)（﹣1，﹣2）與（2，1）兩點(diǎn)，（1）該函數(shù)的解析式為，補(bǔ)全下表：x?﹣4﹣3﹣2﹣1123?y?2﹣1﹣2212?（2）描點(diǎn)、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，寫出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)：．（3）結(jié)合你所畫的圖象與函數(shù)y＝x的圖象，直接寫出x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|≤x的解集．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+3經(jīng)過(guò)A(1，0)、B(－3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線BC經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及對(duì)稱軸；（2）將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B1，請(qǐng)?zhí)骄吭谄揭频倪^(guò)程中是否存在點(diǎn)O1落在拋物線上的情形，若存在，求出點(diǎn)O1的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；（3）如圖2，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連結(jié)AC，請(qǐng)?zhí)骄吭趻佄锞€上是否存在一點(diǎn)F，使直線EF∥AC，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．10．綜合與探究如圖，已知直線與拋物線分別相交于、兩點(diǎn)，，，點(diǎn)是拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．（1）求拋物線的解析式及直線的解析式；（2）求的面積；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)，使周長(zhǎng)最短？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）如果對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)構(gòu)成矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由二、中考幾何壓軸題11．定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)．已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，若AM＝1，MN＝2，則BN＝．（1）（類比探究）如圖2，DE是△ABC的中位線，M、N是AB邊的勾股點(diǎn)（AM＜MN＜NB），連接CM、CN分別交DE于點(diǎn)G、H．求證：G、H是線段DE的勾股點(diǎn)．（2）（知識(shí)遷移）如圖3，C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，以CD為直徑畫⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，連結(jié)PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度數(shù)．（3）（拓展應(yīng)用）如圖4，點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)（x＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D，且交線段AB于E、F．證明：E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．12．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．13．如圖1所示，邊長(zhǎng)為4的正方形與邊長(zhǎng)為的正方形的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)在對(duì)角線上．（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖1所示，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；（類比探究）如圖2所示，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)上述結(jié)論是否還成立？如成立寫出推理過(guò)程，如不成立，說(shuō)明理由；（拓展延伸）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且在正方形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，有點(diǎn)、、在一條直線上，直接寫出此時(shí)線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_______14．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接CF交線段AB于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H、連接EG．特例分析:(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，“智敏”小組提出如下問(wèn)題，請(qǐng)你解答：①求證：AF=CD；②用等式表示線段CG與EG之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；拓展探究:(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，且DE=AD時(shí)，“博?！毙〗M發(fā)現(xiàn)CF=2EG．請(qǐng)你證明；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，且AE=AB時(shí)，的值為_(kāi)______；推廣應(yīng)用:(4)當(dāng)點(diǎn)E在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，則的值為_(kāi)_____用含m.n的式子表示)．15．如圖1，在菱形ABCD中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AB上的點(diǎn)，且，猜想：①的值是_______；②直線DE與直線CF所成的角中較小的角的度數(shù)是_______．（2）類比探究：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中結(jié)論是否成立，就圖2的情形說(shuō)明理由．（3）拓展延伸：在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．16．（性質(zhì)探究）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說(shuō)明理由．（2）求證：BF=2OG．（遷移應(yīng)用）（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求的值．（拓展延伸）（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F，（性質(zhì)探究）中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠BAE的值．17．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到ED，ED交直線AB于點(diǎn)O，連接BE．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，α＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，猜想：①AF與BE的數(shù)量關(guān)系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如圖2，0°＜α＜90°，點(diǎn)D在邊BC上，請(qǐng)判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠ABE的度數(shù)，并給予證明．（3）解決問(wèn)題如圖3，90°＜α＜180°，點(diǎn)D在射線BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)．18．△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°，得到線段AE，連接BE．（1）（特例感知）如圖1，若α=90，則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比探究）如圖2，若α=120，試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）（拓展延伸）如圖3，若α=120，AB=AC=4，BD=，Q為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，將QD繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段QE，DE⊥BC，求AQ的長(zhǎng)．19．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們結(jié)合下述情境，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，四邊形BEDF是矩形．探究展示：“興趣小組”提出的問(wèn)題是：“如圖2，連接CE．求證：AE⊥CE．”并展示了如下的證明方法：證明：如圖3，分別連接AC，BD，EF，AF．設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，且AC=BD．又∵四邊形BEDF是矩形，∴EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∴OE=OF=EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四邊形AECF是平行四邊形．（依據(jù)1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四邊形AECF是矩形．（依據(jù)2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述證明過(guò)程中“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是什么？拓展再探：（2）“創(chuàng)新小組”受到“興趣小組”的啟發(fā)，提出的問(wèn)題是：“如圖4，分別延長(zhǎng)AE，F(xiàn)B交于點(diǎn)P，求證：EB=PB．”請(qǐng)你幫助他們寫出該問(wèn)題的證明過(guò)程．（3）“智慧小組”提出的問(wèn)題是：若∠BAP=30°，AE=，求正方形ABCD的面積．請(qǐng)你解決“智慧小組”提出的問(wèn)題．20．在中，，點(diǎn)D?E分別是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，連接．觀察猜想（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，填空：①______________；②直線所夾銳角為_(kāi)___________；類比探究（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，試判斷的值及直線所夾銳角的度數(shù)，并說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用（3）在（2）的條件下，若，將繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在射線AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．D解析：（1）y=3x+3，y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）四邊形PMAC的面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．【分析】（1）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線AC及拋物線的解析式，把拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p，然后根據(jù)S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC即可得出S四邊形PMAC與p的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）由題意得PQ∥AC且PQ=AC，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出x，進(jìn)而可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，同樣的方法求解即可．【詳解】（1）∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C(0，3)，設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1(k1≠0)．∵點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)C(0，3)，∴，解得：，∴直線AC的解析式為y=3x+3．∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b．∵點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)D(1，4)，∴，得，∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6．∵P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，﹣2p+6)．∵OA=1，OC=3，OM=p，PM=﹣2p+6，∴S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC=﹣p2p=﹣(p)2，∵1＜p＜3，∴當(dāng)p時(shí)，四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）∵直線l∥AC，以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴PQ∥AC且PQ=AC．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，由A(﹣1，0)，C(0，3)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，此時(shí)，﹣(x+1)2+2(x+1)+3=3，解得：x1=﹣1(舍去)，x2=1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，此時(shí)，﹣(x﹣1)2+2(x﹣1)+3=﹣3，整理得：x2﹣4x﹣3=0，解得：x1=2，x2=2，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，﹣3)或(1，﹣3)，綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和一元二次方程的解法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)、具有一定的難度，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．A解析：（1）（2）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（1，3）或（，）；（3）PN＝﹣（m﹣2）2+，當(dāng)m＝2時(shí)，PN的最大值為．【分析】（1）由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式，即可求解；（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三種情況，利用方程或方程組求解即可得到答案；（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到：PN=PQsin∠PQN=即可求解．【詳解】解：（1）拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，設(shè)即：﹣12a＝4，解得：則拋物線的表達(dá)式為（2）存在，理由：點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），則AC＝5，AB＝7，BC＝，∠OBC＝∠OCB＝45°，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直線AC的表達(dá)式為：，①當(dāng)AC＝AQ時(shí)，如圖1，則AC＝AQ＝5，設(shè)：QM＝MB＝n，則AM＝7﹣n，由勾股定理得：解得：n＝3或4（舍去4），故點(diǎn)Q（1，3）；②當(dāng)AC＝CQ時(shí)，如圖1，CQ＝5，則BQ＝BC﹣CQ＝則QM＝MB＝，故點(diǎn)Q（，）；③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)，則在的垂直平分線上，設(shè)直線AC的中點(diǎn)為K（，2），過(guò)點(diǎn)與CA垂直直線的表達(dá)式中的k值為，直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②并解得：（舍去）；故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（1，3）或（，）；（3）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQsin∠PQN＝∵∴PN有最大值，當(dāng)m＝2時(shí)，PN的最大值為：．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和等腰三角形的存在性問(wèn)題，線段長(zhǎng)度的最值問(wèn)題，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)．3．B解析：（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）①B、D、E；②2＜m＜3；③n＝2或6．【分析】（1）把x＝﹣，0，分別代入函數(shù)表達(dá)式即可求解；（2）描點(diǎn)確定函數(shù)圖象；（3）①結(jié)合圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)即可求解；②根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可解答；③如圖，當(dāng)直線y＝n處于直線m或m′的位置時(shí)，由此即可求解．【詳解】（1）把x＝﹣，0，分別代入函數(shù)表達(dá)式得：y＝，3，；故答案為，3，；（2）描點(diǎn)確定函數(shù)圖象如下：（3）①A．對(duì)稱軸是直線x＝0，故錯(cuò)誤；B．函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象有兩個(gè)最低點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是（﹣1，2）、（1，2），故正確；C．當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，函數(shù)在y軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，故錯(cuò)誤；D．當(dāng)函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向下平移3個(gè)單位時(shí)，圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，正確；E．函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的圖象，可以看作是函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向右平移2個(gè)單位得到，正確；故答案為：B、D、E；②從圖象看，2＜m＜3時(shí)，方程x2﹣2|x|+3＝m有四個(gè)解；③如圖，當(dāng)直線y＝n處于直線m或m′的位置時(shí)，點(diǎn)P和圖象上的點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，即n＝2或6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．B解析：（1）相等；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）陰影部分的面積和有最大值,最大值為25【解析】解：（1）相等；（2）成立；理由如下：如圖，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四邊形ACDE、四邊形BCFG均為正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，∴S△ABC=S△DFC.（3）圖中陰影部分的面積和有最大值理由：由（2）的結(jié)論可知：設(shè)AC=m,則BD=10-m,∵AC⊥BD.∴.∴∴陰影部分的面積和有最大值,最大值為255．A解析：（1）①y=x2﹣2x﹣3，②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2），PA+PC的最小值為3；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．【詳解】分析：（1）①由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可將拋物線的解析式變形為交點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求出a值，此題得解；②由點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱可得出連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，根據(jù)拋物線的解析式可求出其對(duì)稱軸為直線x=1，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)B、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出線段BC的長(zhǎng)即可；（2）連接AC并延長(zhǎng)AC交拋物線對(duì)稱軸與點(diǎn)Q，此時(shí)|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長(zhǎng)（三角形兩邊之差小于第三邊），由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)A、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，此題得解．詳解：（1）①∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0）、B（3，0），∴拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a，∴a=1，∴該拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．②∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，如圖3所示．∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1．利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)B、C的直線為y=x﹣3，當(dāng)x=1時(shí)，y=x﹣3=1﹣3=﹣2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2），PA+PC的最小值為BC==3．（2）連接AC并延長(zhǎng)AC交拋物線對(duì)稱軸與點(diǎn)Q，此時(shí)|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長(zhǎng)，如圖4所示．利用待定系數(shù)法可求出過(guò)點(diǎn)A、C的直線為y=﹣3x﹣3，當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣3x﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)的綜合題．考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的三種形式以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；②由點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，找出當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)點(diǎn)P的位置；（2）利用三角形的三邊關(guān)系找出使|QA﹣QC|的值最大時(shí)點(diǎn)Q的位置．6．E解析：（1）①；②2；（2）；（3）【分析】（1）①把點(diǎn)E（-1，3）代入求出m的值即可；②先求出直線EF的解析式，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，得到MN的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）寫出拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)平移規(guī)律即可得到的頂點(diǎn)式，進(jìn)而得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即，消去，得到與的函數(shù)關(guān)系式，再由即可求得的取值范圍；（3）求出拋物線怛過(guò)點(diǎn)A（2，-3），函數(shù)H的圖象恒過(guò)點(diǎn)B（2，-4），從圖象可知兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)P應(yīng)在A，B之間，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)在A，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間，從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（-1，3）∴∴∴拋物線的解析式為：②如圖，∵點(diǎn)F為拋物線的最低點(diǎn)，∴∴設(shè)直線EF的解析式為：把E（-1，3），F(xiàn)（1，-5）代入得，解得，∴直線EF的解析式為：設(shè)，則∴∵∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值，最大值為2；（2）∵拋物線∴平移后的拋物線∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為∴∴∴∵∴∴∴與的函數(shù)關(guān)系式為：（3）如圖，函數(shù)的圖象為射線，時(shí)，；時(shí)，∴函數(shù)H的圖象恒過(guò)點(diǎn)（2，-4）∵拋物線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴拋物線G恒過(guò)點(diǎn)A（2，-3）由圖象可知，若拋物線G與函數(shù)H的圖象有交點(diǎn)P，則有∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．7．A解析：（1）；（2）的最大值為；（3）或【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）構(gòu)造出△AGE∽△DEH，可得，而DE和AG都可以用含自變量的式子表示，最后用二次函數(shù)最大值的方法求值．（3）先發(fā)現(xiàn)△ABC是兩直角邊比為2：1的直角三角形，由△BPQ∽△CAB，構(gòu)造出△BPQ，表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求解即可．【詳解】解：（1）分別將C（0，1）、A（﹣，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+c中得，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）過(guò)A作AG∥y軸交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DH∥y軸交BC于點(diǎn)H，∵B（2，0）C（0，1），∴直線BC：y＝x+1，∵A（-，0），∴G（-，），設(shè)D（），則H（），∴DH＝（）﹣（），＝﹣m2+2m，∴AG=，∵AG∥DH，∴，∴當(dāng)m＝1時(shí)，的最大值為．（3）符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或（）．∵l∥BC，∴直線l的解析式為：y＝-x，設(shè)P（n，-n），∵A（-，0），B（2，0），C（0，1），∴AC2＝，BC2＝5，AB2＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∵△BPQ∽△CAB，∴，分兩種情況說(shuō)明：①如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M．∵∠PNB＝∠BMQ＝90°，∠NBP+∠MBQ＝90°，∠MQB+∠MBQ＝90°，∴∠NBP＝∠MQB．∴△NBP∽△MQB，∴，∵，∴，∴BN＝2﹣n，∴BM＝2PN＝n，QM＝2BN＝4﹣2n，∴OM＝OB+BM＝2+n，∴Q（2+n，2n﹣4），將Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，2n2+9n﹣8＝0，解得：∴P()．②如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M．∵△PNB∽△BMQ，又∵△BPQ∽△CAB，∴，∵，∴Q（2﹣n，4﹣2n），將Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，化簡(jiǎn)得：2n2﹣9n+8＝0，解得：，∴P()．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線分線段成比例，利用二次函數(shù)求線段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定與性質(zhì)，拋物線與一元二次方程，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線分線段成比例，利用二次函數(shù)求線段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定與性質(zhì)，拋物線與一元二次方程的關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．(1)y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，補(bǔ)全表格見(jiàn)解析，(2)函數(shù)圖像見(jiàn)解析，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-2；(3)≤x≤或≤x≤．【分析】（1）將點(diǎn)（﹣1，﹣2）與（2，1）代入解析式即可；（2）畫出函數(shù)圖象，觀察圖象得到一條性質(zhì)即可（3）根據(jù)圖象，求出兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)觀察可確定解解集．【詳解】解：（1）∵該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，﹣2）與（2，1）兩點(diǎn)，∴，∴，∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，故答案為：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|；當(dāng)x=-4時(shí)，y=7；當(dāng)x=0時(shí)，y=-1；補(bǔ)全表格如圖，x?﹣4﹣3﹣2﹣10123?y?72﹣1﹣2-1212?（2）函數(shù)圖像如圖所示，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-2；（3）當(dāng)x≥1時(shí)，x2﹣x+2﹣3x+3=x，解得，，，觀察圖象可知不等式的解集為：≤x≤；當(dāng)x＜1時(shí)，x2﹣x+2+3x﹣3=x，解得，，，觀察圖象可知不等式的解集為：≤x≤；∴不等式x2+bx+2﹣c|x﹣1|≤x的解集為≤x≤或≤x≤．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系；掌握描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合解不等式是解題的關(guān)鍵．9．F解析：（1），；（2）O1(,)或（，）；（3）滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1(-2，3)，F(xiàn)2(3，-12)．【分析】（1）把A（1，0），B（-3，0）代入y=ax2+bx+3即可求解；（2）先求出直線OO1的解析式為，再根據(jù)，求解即可或是根據(jù)得出x的值，再根據(jù)直線OO1的解析式為求解；（3）先求出直線EF解析式為，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：（1）將點(diǎn)A（1,0），B（-3,0）代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+bx+3得：解得：∴拋物線解析式為∴∴（2）∵點(diǎn)C為與軸的交點(diǎn)∴C（0，3）∵B(－3，0)∴OB＝OC∴∠CBO=45°∵將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B1∴直線OO1∥BC∴∠O1OA=45°∴直線OO1的解析式為根據(jù)題意得整理得解得∴O1(,)或)（，）解法2∵點(diǎn)C為與軸的交點(diǎn)∴C（0，3）∴OC=3∵將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B101C1=3∴整理得解得∵B(－3，0)∴OB＝OC∴∠CBO=45°∵將△COB沿直線BC平移，得到△C1O1B1∴直線OO1∥BC∴∠O1OA=45°∴直線OO1的解析式為y=x∴O1(,)或（，）(3)∵拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(-1,0),過(guò)點(diǎn)C作CF∥x軸根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得F的坐標(biāo)為F(-2,3)∴AE=CF=2∵CF∥AE∴四邊形CFEA為平行四邊形∴EF∥CA設(shè)直線EF的解析式為得：解得：∴直線EF解析式為根據(jù)題意得解得滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1(-2，3)，F(xiàn)2(3，-12)．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．10．A解析：（1），；（2）6；（3）存在點(diǎn)M使周長(zhǎng)最短，其坐標(biāo)為；（4）存在，，，，【分析】（1）把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線和直線中，解之即可；（2）由圖可知，，所以只需求出AC，OB的長(zhǎng)即可，因?yàn)镃點(diǎn)為拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，令y=0即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知可得A點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到AC的長(zhǎng)，根據(jù)已知得到B點(diǎn)坐標(biāo)，可得OB的長(zhǎng)，從而求出的面積；（3）由題意知，A、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則可知，故當(dāng)、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，則即為滿足條件的點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將B，C的坐標(biāo)代入即可求出該解析式，令x=-1，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（4）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)構(gòu)成矩形，求N點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，需分情況討論，當(dāng)HB⊥AB時(shí)，根據(jù)互相垂直的兩直線的斜率之積為-1，互相平行的兩直線的斜率相等求出直線HB，直線HN，直線AN的解析式，根據(jù)N點(diǎn)為直線HN和直線AN的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組解之即可；同理可得當(dāng)HA⊥AB時(shí)，N點(diǎn)的坐標(biāo)；而當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，可得HA⊥AB，從而可求出直線AH的解析式，設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)△AHB為直角三角形，利用勾股定理求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，然后在利用互相垂直的兩直線的斜率之積為-1，互相平行的兩直線的斜率相等求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得，解得，拋物線解析式為．把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得，解得，直線的解析式為．（2）由（1）得，拋物線解析式為，令得，解得，，，∵，∴，∵，∴OB=3，；（3），拋物線的對(duì)稱軸為，、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，則即為滿足條件的點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，直線過(guò)點(diǎn)，，，解得，直線的解析式，當(dāng)時(shí)，，，存在點(diǎn)使周長(zhǎng)最短，其坐標(biāo)為．（4）存在，①當(dāng)HB⊥AB時(shí)，如圖所示由（1）得直線AB的解析式為，∵HB⊥AB，∴設(shè)直線HB的解析式為，將B(0,-3)代入得，∴直線HB的解析式為，當(dāng)x=-1時(shí)，y=×(-1)-3=，∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵四邊形ABHN為矩形，∴HN∥AB，AN∥HB，∴設(shè)直線HN的解析式為y=3x+m，把H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得3×(-1)+m=，解得m=,∴直線HN的解析式為y=3x+,∴設(shè)直線AN的解析式為，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得n=,∴設(shè)直線AN的解析式為，∵N點(diǎn)為直線HN和直線AN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為．②當(dāng)HA⊥AB時(shí)，如圖由（1）得直線AB的解析式為，∵HA⊥AB，∴設(shè)直線HA的解析式為，將A(1，0)代入得+b=0，解得b=，∴直線HA的解析式為，當(dāng)x=-1時(shí)，，∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵四邊形ABNH是矩形，∴AB∥NH，BN∥AH，∴設(shè)直線HN的解析式為y=3x+m，把H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得m=，∴設(shè)直線HN的解析式為y=3x+，∴設(shè)直線BN的解析式為，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得n=-3，∴設(shè)直線BN的解析式為，∵N點(diǎn)為直線HN和直線BN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為．③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，如圖設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)為，∵四邊形AHBN為矩形，∴△AHB為直角三角形，∠AHB=90°，∴AH2+BH2=AB2，即，解得，∴H點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)，(-1,-2)，（a）當(dāng)H點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)時(shí)，設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，把A，H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得，∴直線AH的解析式為，∵AH∥BN，∴設(shè)直線BN的解析式為，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得b=-3，∴直線BN的解析式為，∵AN⊥BN，∴設(shè)直線AN的解析式為y=-2x+m，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-2+m=0，解得m=2，∴直線AN的解析式為y=-2x+2，∵N點(diǎn)為直線AN與BN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2);（b）當(dāng)H點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2)時(shí)，設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，把A，H點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得，∴直線AH的解析式為y=x-1，∵AH∥BN，∴設(shè)直線BN的解析式為y=x+n，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得n=-3，∴直線BN的解析式為y=x-3，∵AN⊥BN，∴設(shè)直線AN的解析式為y=-x+m，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得-1+m=0，解得m=1，∴直線AN的解析式為y=-x+1，∵N點(diǎn)為直線AN與BN的交點(diǎn)，∴解得，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)．綜上所述，存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)構(gòu)成矩形，N點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及待定系數(shù)法，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)．在（2）中求得點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，在（4）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．二、中考幾何壓軸題11．BN=或；（1）見(jiàn)解析；（2）∠B＝15°；（3）見(jiàn)解析．【分析】定義：根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長(zhǎng)；（1）根據(jù)已知條件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝B解析：BN=或；（1）見(jiàn)解析；（2）∠B＝15°；（3）見(jiàn)解析．【分析】定義：根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長(zhǎng)；（1）根據(jù)已知條件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，根據(jù)條件求出（BN）2＝（MN）2+（AM）2，即可得到結(jié)果；（2）連接PD，根據(jù)已知條件可得PC2+BD2＝CD2，進(jìn)而求出∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，得到2∠A+∠A＝90°，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)已知條件先求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，），即可求得BF、EF，根據(jù)已知條件可得BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，即可求得結(jié)果；【詳解】定義：∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，∴或，∴BN=．（1）如圖，∵CD＝DA，CE＝EB，∴DE∥AB，∴CG＝GM，CH＝HN，∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，∵BN2＝MN2+AM2，∴BN2＝MN2+AM2，∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，∴EH2＝GH2+DG2，∴G、H是線段DE的勾股點(diǎn)．(2)如圖所示，連接PD，∵AC＝PC，∴∠A＝∠APC，∴∠PCD＝2∠A，∵C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，∴AC2+BD2＝CD2，∴PC2+BD2＝CD2，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CPD＝90°，∴PC2+PD2＝CD2，∴PD＝BD，∴∠PDC＝2∠B，∵∠A＝2∠B，∴∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，∴2∠A+∠A＝90°，解得∠A＝30°，則∠B＝∠A＝15°．（3）∵點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，∴b＝．∵直線y＝﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）；當(dāng)x＝a時(shí)，y＝﹣x+2＝2﹣a，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，2﹣a）；當(dāng)y＝時(shí)，有﹣x+2＝，解得：x＝2﹣，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，）．∴BF＝＝（2﹣），EF＝,＝|2﹣a﹣|，AE＝＝（2﹣a）．∵BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，∴以BF、AE、EF為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，∴E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的擴(kuò)展應(yīng)用，結(jié)合中位線定理、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)解題是關(guān)鍵．12．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見(jiàn)解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見(jiàn)解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出位置關(guān)系；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出結(jié)論；（3）方法1：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，進(jìn)而求出，，即可得出最大，最后用面積公式即可得出結(jié)論．方法2：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，而最大是，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大時(shí)，的面積最大，且在頂點(diǎn)上面，最大，連接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時(shí)，面積最大，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出，，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是判斷出最大時(shí)，的面積最大．13．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】；【類比探究】上述結(jié)論還成立，理由見(jiàn)解析；【拓展延伸】或．【分析】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即解析：【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】；【類比探究】上述結(jié)論還成立，理由見(jiàn)解析；【拓展延伸】或．【分析】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即可的結(jié)論；拓展延伸：分兩種情況，連接CE交GF于H，由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，GH=HF=HE=HC，得出CF=BC=2，GF=CE=2，HF=HE=HC=，由勾股定理求出AH==，即可得出答案．【詳解】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：AE=BF，理由如下：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，CE=CF，，∴，∴，∴AE=BF；故答案為：AE=BF；類比探究：上述結(jié)論還成立，理由如下：連接，如圖2所示：∵，∴，在和中，CE=CF，CA=CB，∴，∴，∴，∴AE=BF；拓展延伸：分兩種情況：①如圖3所示：連接交于，∵四邊形和四邊形是正方形，∴，AC=AB=4，GF=CE=CF，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=，∴∴AG=AH+HG=；②如圖4所示：連接交于，同①得：GH=HF=HE=HC=，∴，∴AG=AH-HG=；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．14．(1)①見(jiàn)解析；②CG=2EG；(2)見(jiàn)解析；(3)；(4)【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結(jié)論；②根據(jù)①得到BC=2AF，F(xiàn)G=GD，解析：(1)①見(jiàn)解析；②CG=2EG；(2)見(jiàn)解析；(3)；(4)【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結(jié)論；②根據(jù)①得到BC=2AF，F(xiàn)G=GD，再證明△AFG△BCG，即可得到CG=2EG；(2)先證得四邊形ABEC為正方形，同理得△AFG△AEG和△AFG△BCG，即可得證；(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，證得△AFG△BCG，即可求解；(4)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=2AD，繼而得到，由△AFG△BCG，即可求解．【詳解】(1)①△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD=BD=CD=BC，∠BAD=∠CAD=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AD，∠DAF=90°，∴∠GAF=∠GAD=45°，在△AFG和△ADG中，，∴△AFG△ADG，∴AF=AD，∴AF=CD；②CG=2EG，理由如下：由①得：∠GAF=∠B=45°，AF=BC，∴AF∥BC，2AF=BC，∴△AFG△BCG，∴，∴CG=2FG，∵△AFG△ADG，∴FG=DG，即FG=EG，∴CG=2EG；(2)連接EB、EC，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE=AD，∴DE=AD＝BD=CD，且AE⊥BC，∠BAC=90°，∴四邊形ABEC為正方形，∴BC=AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AE，∠EAF=90°，∴∠GAF=∠GAE=45°，在△AFG和△AEG中，，∴△AFG△AEG，∴AF=AE=BC，F(xiàn)G=EG，在△AFG和△BCG中，，∴△AFG△BCG，∴FG=CG，∴FG=CG=EG，∴CF=2EG；(3)同理得：FG=EG，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴，即，同理得：△AFG△BCG，∴，∴，∴，∴；(4)同理可得：FG=EG，BC=2AD，AF=AE，∵，∴，同理可得：△AFG△BCG，∴，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（1）①；②30度；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）或，理由見(jiàn)解析．【分析】①由得;②延長(zhǎng)DE、CF交于K，由得，再由可得（2）連接BD交AC于點(diǎn)G,先證明可得，再利用“8”字型可得；（3解析：（1）①；②30度；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）或，理由見(jiàn)解析．【分析】①由得;②延長(zhǎng)DE、CF交于K，由得，再由可得（2）連接BD交AC于點(diǎn)G,先證明可得，再利用“8”字型可得；（3）過(guò)點(diǎn)A作，交直線DE于M,再結(jié)合（2）中相似分類討論即可；【詳解】（1）①∵菱形ABCD中，∴,∵∴∴∴;②如解題圖1，延長(zhǎng)DE、CF交于K，∵∴，∵∴∴∴∴（2）成立，理由如下如解題圖2，連接BD交AC于點(diǎn)G,∵四邊形ABCD是菱形，∴,,即直線DE與CF夾角所成的較小角的度數(shù)是30度（3）或理由如下：（1）過(guò)點(diǎn)A作，交直線DE于M,如解題圖3：當(dāng)D,E,F三點(diǎn)共線時(shí),由（2）得,(2)如解題圖4，過(guò)點(diǎn)A作,當(dāng)D,E,F三點(diǎn)共線時(shí),由（2）得【點(diǎn)睛】本題綜合考察相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵16．（1）等腰三角形，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG解析：（1）等腰三角形，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．首先證明OG=OL，再證明BF=2OL即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（4）設(shè)OG=a，AG=k．分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF=AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）證明：如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF，∵∠AGF=∠OGL，∴∠OGL=∠OLG，∴OG=OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=2OD，∴BF=2OL，∴BF=2OG．（3）解：如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵S1=?OG?DK，S2=?BF?AD，又∵BF=2OG，，∴，設(shè)CD=2x，AC=3x，則AD=，∴．（4）解：設(shè)OG=a，AG=k．①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2（k+a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k+2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=，∴BE==，AB=4a，∴tan∠BAE=．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k﹣2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2﹣4ka，∴k=，∴AD=，∴，AB=，∴tan∠BAE=，綜上所述，tan∠BAE的值為或．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要涉及到等腰三角形的判定及其性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)到的相關(guān)知識(shí)．17．（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見(jiàn)解析；（3）BE的長(zhǎng)為2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝解析：（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由見(jiàn)解析；（3）BE的長(zhǎng)為2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得：∠ABC＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠FDB＝∠C＝90°，進(jìn)而可得由等角對(duì)等邊可得DF＝DB，由旋轉(zhuǎn)可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，繼而可知△ADF≌△EDB，繼而即可知AF＝BE；②由全等三角形的性質(zhì)可知∠DAF＝∠E，繼而由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等邊對(duì)等角可得∠ABC＝∠CAB，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊可得DB＝DF，再根據(jù)全等三角形的判定方法證得△ADF≌△EDB，進(jìn)而可得求證AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；（3）分兩種情況考慮：①如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，②如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由平行線分線段成比例定理可得、，代入數(shù)據(jù)求解即可；【詳解】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1中，設(shè)AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案為：①AF＝BE，②90°．（2）拓展探究：結(jié)論：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解決問(wèn)題①如圖（3）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如圖（4）中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵AC∥DF，∴，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的長(zhǎng)為2或4．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角的性質(zhì)和等角對(duì)等邊的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線分線段成比例定理