第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年甘肅省張掖二中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（B卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=xex，則f′(3)=(

)A.3e3 B.4e3 C.2.已知空間中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(1?x,2?x,x)，B(3,4?x,x).則|AB|的最小值為(

)A.2 B.4 C.3 D.63.曲線y=x?1x+1在點(diǎn)(0,?1)處的切線斜率為(

)A.2 B.1 C.12 D.4.已知點(diǎn)A(2,1,1)在平面α內(nèi)，點(diǎn)B(9,8,5)在平面α外，且平面α的一個(gè)法向量為a=(1,1,1)，則點(diǎn)B到平面α的距離為(

)A.63 B.62 C.5.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，OA=(?1,2,1)，OB=(1,1,2)，OP=(2,1,1)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則QA?A.?32 B.?23 C.6.已知某班級(jí)中，喜歡科幻小說(shuō)的學(xué)生占80%，喜歡科幻小說(shuō)且喜歡推理小說(shuō)的學(xué)生占60%，若從這個(gè)班級(jí)的學(xué)生中任意抽取一人，則在抽到的學(xué)生喜歡科幻小說(shuō)的條件下，該學(xué)生也喜歡推理小說(shuō)的概率為(

)A.22.5% B.30% C.40% D.75%7.如圖，在四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AA.24 B.C.62 8.在三棱錐P?ABC中，M是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且9PM=8PA+tPBA.12 B.1 C.2 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.今年“五一”假期，各大商業(yè)綜合體、超市等紛紛抓住節(jié)日商機(jī)，積極開展各類促銷活動(dòng).在某超市購(gòu)買80元以上商品的顧客可以參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，若顧客小王中獎(jiǎng)的概率為0.4，顧客小張中將的概率為0.2，則(

)A.小王和小張都中獎(jiǎng)的概率為0.08

B.小王和小張都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率為0.46

C.小王和小張中只有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為0.44

D.小王和小張中至多有一個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為0.9210.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f′(x)的圖象如圖，則以下結(jié)論正確的有(

)A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上單調(diào)遞減 B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減

C.當(dāng)x=?12時(shí)，函數(shù)f′(x)有極大值 D.當(dāng)x=?2時(shí)，函數(shù)11.如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)D處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)C處，測(cè)得從D，C到水庫(kù)底面與水壩斜面的交線AB的距離分別為DA=12m，DA=12m，CB=12m.又測(cè)得AB的長(zhǎng)為10m，CD的長(zhǎng)為105m，則A.水庫(kù)底面與水壩斜面所成的二面角的余弦值為?13

B.水庫(kù)底面與水壩斜面所成的二面角的余弦值為?718

C.直線CD與水庫(kù)底面所成角的正弦值為5515

三、填空題：本題共3小題，共15分。12.已知向量a=(1,2,5)，b=(2,x,?1)，且a?b=213.已知函數(shù)f(x)=2x2+lnx?ax在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a14.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的曲率K=|f″(x)|(1+(f′(x))2)32.曲線y=e2x?x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=ax2?2x?lnx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行．

(1)求a；

(2)16.(本小題15分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=AD=BD=AA1=2．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2x3?ax2+b．

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求f(x)的極值；

(2)若a>0，求f(x)18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥AB，PC⊥CD，BC//AD，∠BAD=2π3，PA=AB=BC=12AD，PD=3PM．

(1)證明：CD⊥PA．

(2)證明：PB//平面MAC．19.(本小題17分)

帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)f(x)在x=0處的[m,n]階帕德近似定義為：R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+?+bnxn且滿足：f(0)=R(0)，f′(0)=R′(0)，f″(0)=R″(0)，…，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．

注：f″(x)=[f′(x)]′，f′″(x)=[f″(x)]′，f(4)(x)=[f′″(x)]′，f(5)(x)=[f(4)(x)]′，…．

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)參考答案1.B

2.A

3.A

4.A

5.C

6.D

7.A

8.B

9.ACD

10.ACD

11.BC

12.5213.(?∞,4]

14.2

415.解：(1)f′(x)=2ax?2?1x，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2?2x?lnx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行，

則f′(1)=2a?3=0，解得a=32．

(2)將a=32代入得f(x)=32x2?2x?lnx，定義域?yàn)?0,+∞)．

求導(dǎo)得f′(x)=3x?2?1，令f′(x)=3x?2?1x=0?3x2?2x?1=0，解得x=1(舍去負(fù)根16.解：(1)連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接A1C1，B1D1相交于點(diǎn)O1，

由AB=AD=BD=2，知△ABD為等邊三角形，

因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，所以AC⊥BD，且AO=3，OB=OD=1，

又AO=OC，A1O1=O1C1，所以O(shè)O1//AA1，

因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，所以O(shè)O1⊥平面ABCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OO1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,1,0)，D1(0,?1,2)，B1(0,1,2)，

(1)OA=(3,0,0)，OD1=(0,?1,2)，BD1=(0,?2,2)，

設(shè)平面ACD1的法向量為m17.解：(1)當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)f(x)=2x3?3x2+b的定義域?yàn)镽，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)=6x2?6x=6x(x?1)，

因此當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<0或x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

因此函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值f(0)=b，在x=1處取得極小值f(1)=b?1．

(2)根據(jù)題意，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=6x2?2ax=2x(3x?a)，

令f′(x)=0，解得x=0或x=a3．

由于a>0，因此當(dāng)x<0或x>a3時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0；

當(dāng)0<x<a3時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．

因此當(dāng)0<a3<1即0<a<3時(shí)，f(x)在(0,a3)上單調(diào)遞減，在(a3,1)上單調(diào)遞增，

那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[?2,?1]，[0,1]的最小值為f(a3)=?a327+b．

當(dāng)a3≥1即a≥3時(shí)，函數(shù)f(x)在[?2,?1]18.(1)證明：由BC//AD,∠BAD=2π3，

得∠ABC=π3，又AB=BC，

則△ABC是正三角形，

即∠CAD=π3，

在△ACD中，AD=2AC，CD2=AC2+AD2?2AC?ADcosπ3=3AC2，

即AC2+CD2=AD2，于是AC⊥CD，

又PC⊥CD，PC∩AC=C，PC，AC?平面PAC，

則CD⊥平面PAC，而PA?平面PAC，

所以CD⊥PA．

(2)證明：連接BD∩AC=N，連接MN，由BC//AD，

得BNDN=BCAD=12，

由=12AD,PD=3PM，

得PMDM=12=BNDN，

于是MN//PB，而MN?平面MAC，PB?平面MAC，

所以PB//平面MAC．

(3)由(1)知，PA⊥CD，而PA⊥AB，四邊形ABCD是梯形，即AB，CD相交，

因此PA⊥平面ABCD，在平面ABCD內(nèi)作Az⊥AD，則直線Az，AD，AP兩兩垂直，

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線Az，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

令A(yù)D=12，

則A(0,0,0),B(33,?3,0),C(33,3,0),P(0,0,6),M(0,4,4)，

AC=(33,3,0),AM=(0,4,4),AB=(33,?3,0),AP=(0,0,6)，