第1頁|共2頁2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（全國卷Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，則?U（M∪N）=（）A．{5，7} B．{2，4} C．{2，4，8} D．{1，3，5，6，7} 【考點】1H：交、并、補集的混合運算．【專題】11：計算題．【分析】先求集合M∪N，后求它的補集即可，注意全集的范圍．【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，∴M∪N={1，3，5，6，7}，∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴?U（M∪N）={2，4，8}故選：C．【點評】本題考查集合運算能力，本題是比較常規(guī)的集合題，屬于基礎題．2．（5分）函數(shù)y=（x≤0）的反函數(shù)是（）A．y=x2（x≥0） B．y=﹣x2（x≥0） C．y=x2（x≤0） D．y=﹣x2（x≤0） 【考點】4R：反函數(shù)．【專題】11：計算題．【分析】直接利用反函數(shù)的定義，求出函數(shù)的反函數(shù)，注意函數(shù)的定義域和函數(shù)的值域．【解答】解：由原函數(shù)定義域x≤0可知A、C錯，原函數(shù)的值域y≥0可知D錯，故選：B．【點評】本題考查反函數(shù)的求法，反函數(shù)概念，考查邏輯推理能力，是基礎題．3．（5分）函數(shù)y=log2的圖象（）A．關于直線y=﹣x對稱 B．關于原點對稱 C．關于y軸對稱 D．關于直線y=x對稱 【考點】3K：函數(shù)奇偶性的性質與判斷；3M：奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【專題】31：數(shù)形結合．【分析】先看函數(shù)的定義域，再看f（﹣x）與f（x）的關系，判斷出此函數(shù)是個奇函數(shù)，所以，圖象關于原點對稱．【解答】解：由于定義域為（﹣2，2）關于原點對稱，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故選：B．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷以及利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)圖象的對稱性．4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，則cosA=（）A． B． C． D． 【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關系．【專題】11：計算題．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系cosA轉化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的關系式，進而與sin2A+cos2A=1聯(lián)立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A為鈍角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故選：D．【點評】本題考查同角三角函數(shù)基本關系的運用．主要是利用了同角三角函數(shù)中的平方關系和商數(shù)關系．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為（）A． B． C． D． 【考點】LM：異面直線及其所成的角．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結合；44：數(shù)形結合法；5G：空間角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是異面直線BE與CD1所形成角，由此能求出異面直線BE與CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1中點，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是異面直線BE與CD1所形成角，設AA1=2AB=2，則A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為．故選：C．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，則||=（）A． B． C．5 D．25 【考點】91：向量的概念與向量的模；9O：平面向量數(shù)量積的性質及其運算．【專題】5A：平面向量及應用．【分析】根據所給的向量的數(shù)量積和模長，對|a+b|=兩邊平方，變化為有模長和數(shù)量積的形式，代入所給的條件，等式變?yōu)殛P于要求向量的模長的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故選：C．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積運算和性質，根據所給的向量表示出要求模的向量，用求模長的公式寫出關于變量的方程，解方程即可，解題過程中注意對于變量的應用．7．（5分）設a=lge，b=（lge）2，c=lg，則（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 【考點】4M：對數(shù)值大小的比較；4O：對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點．【分析】因為10＞1，所以y=lgx單調遞增，又因為1＜e＜10，所以0＜lge＜1，即可得到答案．【解答】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴l(xiāng)ge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故選：C．【點評】本題主要考查對數(shù)的單調性．即底數(shù)大于1時單調遞增，底數(shù)大于0小于1時單調遞減．8．（5分）雙曲線﹣=1的漸近線與圓（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，則r=（）A． B．2 C．3 D．6 【考點】IT：點到直線的距離公式；KC：雙曲線的性質．【專題】11：計算題．【分析】求出漸近線方程，再求出圓心到漸近線的距離，根據此距離和圓的半徑相等，求出r．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為y=±x，即x±y=0，圓心（3，0）到直線的距離d==，∴r=．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的性質、點到直線的距離公式．9．（5分）若將函數(shù)y=tan（ωx+）（ω＞0）的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)y=tan（ωx+）的圖象重合，則ω的最小值為（）A． B． C． D． 【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】11：計算題．【分析】根據圖象的平移求出平移后的函數(shù)解析式，與函數(shù)y=tan（ωx+）的圖象重合，比較系數(shù)，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移個單位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故選：D．【點評】本題是基礎題，考查三角函數(shù)的圖象的平移，待定系數(shù)法的應用，考查計算能力，是?？碱}．10．（5分）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．30種 【考點】D5：組合及組合數(shù)公式．【專題】11：計算題．【分析】根據題意，分兩步，①先求所有兩人各選修2門的種數(shù)，②再求兩人所選兩門都相同與都不同的種數(shù)，進而由事件間的相互關系，分析可得答案．【解答】解：根據題意，分兩步，①由題意可得，所有兩人各選修2門的種數(shù)C42C42=36，②兩人所選兩門都相同的有為C42=6種，都不同的種數(shù)為C42=6，故選：C．【點評】本題考查組合公式的運用，解題時注意事件之間的關系，選用直接法或間接法．11．（5分）已知直線y=k（x+2）（k＞0）與拋物線C：y2=8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=（）A． B． C． D． 【考點】K8：拋物線的性質．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】根據直線方程可知直線恒過定點，如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根據|FA|=2|FB|，推斷出|AM|=2|BN|，點B為AP的中點、連接OB，進而可知，進而推斷出|OB|=|BF|，進而求得點B的橫坐標，則點B的坐標可得，最后利用直線上的兩點求得直線的斜率．【解答】解：設拋物線C：y2=8x的準線為l：x=﹣2直線y=k（x+2）（k＞0）恒過定點P（﹣2，0）如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，點B為AP的中點、連接OB，則，∴|OB|=|BF|，點B的橫坐標為1，故點B的坐標為，故選：D．【點評】本題主要考查了拋物線的簡單性質．考查了對拋物線的基礎知識的靈活運用．12．（5分）紙制的正方體的六個面根據其方位分別標記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“△”的面的方位（）A．南 B．北 C．西 D．下 【考點】LC：空間幾何體的直觀圖．【專題】16：壓軸題．【分析】本題考查多面體展開圖；正方體的展開圖有多種形式，結合題目，首先滿足上和東所在正方體的方位，“△”的面就好確定．【解答】解：如圖所示．故選B【點評】本題主要考查多面體的展開圖的復原，屬于基本知識基本能力的考查．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若a1=1，S6=4S3，則a4=3．【考點】87：等比數(shù)列的性質；89：等比數(shù)列的前n項和．【專題】11：計算題．【分析】根據S6=4S3可求得q3，進而根據等比數(shù)列的通項公式，得到答案．【解答】解：設等比數(shù)列的公比為q，則由S6=4S3知q≠1，∴S6==．∴q3=3．∴a1q3=3．故答案為：3【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和問題．屬基礎題．14．（5分）（x﹣y）4的展開式中x3y3的系數(shù)為6．【考點】DA：二項式定理．【分析】先化簡代數(shù)式，再利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x，y的指數(shù)都為1求出x3y3的系數(shù)【解答】解：，只需求展開式中的含xy項的系數(shù)．∵的展開式的通項為令得r=2∴展開式中x3y3的系數(shù)為C42=6故答案為6．【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．15．（5分）已知圓O：x2+y2=5和點A（1，2），則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積=．【考點】J7：圓的切線方程．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】判斷點A在圓上，用點斜式寫出切線方程，求出切線在坐標軸上的截距，從而求出直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積．【解答】解：由題意知，點A在圓上，切線斜率為==﹣，用點斜式可直接求出切線方程為：y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0，從而求出在兩坐標軸上的截距分別是5和，所以，所求面積為．【點評】本題考查求圓的切線方程的方法，以及求直線與坐標軸圍成的三角形的面積．16．（5分）設OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C．若圓C的面積等于，則球O的表面積等于8π．【考點】LG：球的體積和表面積．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】本題可以設出球和圓的半徑，利用題目的關系，求解出具體的值，即可得到答案．【解答】解：設球半徑為R，圓C的半徑為r，．因為．由得R2=2故球O的表面積等于8π故答案為：8π，【點評】本題考查學生對空間想象能力，以及球的面積體積公式的利用，是基礎題．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）已知等差數(shù)列{an}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{an}前n項和sn．【考點】84：等差數(shù)列的通項公式；85：等差數(shù)列的前n項和．【專題】34：方程思想．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式，結合已知條件列出關于a1，d的方程組，求出a1、d，進而代入等差數(shù)列的前n項和公式求解即可．【解答】解：設{an}的公差為d，則，即，解得，因此Sn=﹣8n+n（n﹣1）=n（n﹣9），或Sn=8n﹣n（n﹣1）=﹣n（n﹣9）．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解．18．（12分）設△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關系；HP：正弦定理．【專題】11：計算題．【分析】本題考查三角函數(shù)化簡及解三角形的能力，關鍵是注意角的范圍對角的三角函數(shù)值的制約，并利用正弦定理得到sinB=（負值舍掉），從而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【點評】三角函數(shù)給值求值問題的關鍵就是分析已知角與未知角的關系，然后通過角的關系，選擇恰當?shù)墓剑矗喝绻桥c角相等，則使用同角三角函數(shù)關系；如果角與角之間的和或差是直角的整數(shù)倍，則使用誘導公式；如果角與角之間存在和差關系，則我們用和差角公式；如果角與角存在倍數(shù)關系，則使用倍角公式．19．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）證明：AB=AC；（Ⅱ）設二面角A﹣BD﹣C為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小．【考點】LQ：平面與平面之間的位置關系．【專題】11：計算題；14：證明題．【分析】（1）連接BE，可根據射影相等的兩條斜線段相等證得BD=DC，再根據相等的斜線段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C與平面BCD所成的線面角，只需求點B1到面BDC的距離即可，作AG⊥BD于G，連GC，∠AGC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如圖（I）連接BE，∵ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E為B1C的中點，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的兩條斜線段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜線段的射影相等）．（II）求B1C與平面BCD所成的線面角，只需求點B1到面BDC的距離即可．作AG⊥BD于G，連GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨設，則AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD?AB=BD?AG，易得設點B1到面BDC的距離為h，B1C與平面BCD所成的角為α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C與平面BCD所成的角為30°．【點評】本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．20．（12分）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有10名工人，其中有6名女工人．現(xiàn)采用分層抽樣（層內采用不放回簡單隨即抽樣）從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核．（1）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（2）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【考點】B3：分層抽樣方法；C6：等可能事件和等可能事件的概率．【專題】11：計算題．【分析】（1）根據分層抽樣原理，要從甲、乙兩組各10人中共抽取4名工人，則從每組各抽取2名工人．（2）從甲組抽取2人的結果有C102種，恰有1名女工人的結果有C41C61種，代入等可能事件的概率公式即可（3）從甲乙各10人蟲各抽2人的結果有C102C102種，而4名工人中恰有2名男工人的情況分①兩名男工都來自甲，有C62C62②甲乙各抽1名男工C61C41C41C61③兩名男工都來自乙有C42C42種結果【解答】解：（1）由于甲、乙兩組各有10名工人，根據分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核，則從每組各抽取2名工人．（2）記A表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則（3）Ai表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2Bj表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．Ai與Bj獨立，i，j=0，1，2，且B=A0?B2+A1?B1+A2?B0故P（B）=P（A0?B2+A1?B1+A2?B0）=P（A0）?P（B2）+P（A1）?P（B1）+P（A2）?P（B0）==【點評】本題考查概率統(tǒng)計知識，要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類原理處理事件概率的能力，第一問直接利用分層統(tǒng)計原理即可得人數(shù)，第二問注意要用組合公式得出概率，第三問關鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義，從而正確分類求概率．21．（12分）設函數(shù)f（x）=x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常數(shù)a＞1，（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）若當x≥0時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．【考點】3R：函數(shù)恒成立問題；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【專題】15：綜合題；16：壓軸題．【分析】（1）先對函數(shù)進行求導，根據導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減可確定函數(shù)的單調性．（2）先將問題轉化為求函數(shù)在x≥0時的最小值問題，再結合（1）中的單調性可確定f（x）在x=2a或x=0處取得最小值，求出最小值，即可得到a的范圍．【解答】解：（1）f'（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a）由a＞1知，當x＜2時，f'（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（﹣∞，2）是增函數(shù)；當2＜x＜2a時，f'（x）＜0，故f（x）在區(qū)間（2，2a）是減函數(shù)；當x＞2a時，f'（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（2a，+∞）是增函數(shù)．綜上，當a＞1時，f（x）在區(qū)間（﹣∞，2）和（2a，+∞）是增函數(shù)，在區(qū)間（2，2a）是減函數(shù)．（2）由（1）知，當x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．=，f（0）=24a由假設知即解得1＜a＜6故a的取值范圍是（1，6）【點評】本題考查導數(shù)與函數(shù)的綜合運用能力，涉及利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性．22．（12分）已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．【考點】K4：