第1頁|共2頁2002年北京高考文科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）滿足條件，2，的集合的個(gè)數(shù)是A．4 B．3 C．2 D．12．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，則的值是A． B． C． D．13．（5分）下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間，上為減函數(shù)的是A． B． C． D．4．（5分）在下列四個(gè)正方體中，能得出的是A． B． C． D．5．（5分）64個(gè)直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；一個(gè)直徑為的球，記其體積為，表面積為，則A．且 B．且 C．且 D．且6．（5分）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍A． B． C． D．7．（5分）等于A． B． C． D．168．（5分）若，則的值為A． B． C． D．9．（5分）5本不同的書，全部分給四個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為A．480 B．240 C．120 D．9610．（5分）已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．11．（5分）已知的定義在上的函數(shù)，的圖象如圖所示，那么不等式的解集是A．，， B． C． D．，，12．（5分）如圖所示，，，，是定義在，上的四個(gè)函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對(duì)，中任意的和，恒成立”的只有A．， B． C．， D．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）從小到大的順序是．14．（4分）等差數(shù)列中，，公差不為零，且，，恰好是某等比數(shù)列的前三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列公比的值等于．15．（4分）關(guān)于直角在定平面內(nèi)的射影有如下判斷：①可能是的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角；⑤可能是的角．其中正確判斷的序號(hào)是（注把你認(rèn)為是正確判斷的序號(hào)都填上）．16．（4分）圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為．三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）解不等式．18．（12分）如圖，在多面體中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長后相交于，兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長、寬分別為，與，，且，，兩底面間的距離為．（Ⅰ）求側(cè)面與底面所成二面角的大??；（Ⅱ）證明：面．19．（12分）數(shù)列由下列條件確定：，，．（Ⅰ）證明：對(duì)，總有；（Ⅱ）證明：對(duì)，總有；（Ⅲ）若數(shù)列的極限存在，且大于零，求的值．20．在研究并行計(jì)算的基本算法時(shí)，有以下簡單模型問題：用計(jì)算機(jī)求個(gè)不同的數(shù)的和，計(jì)算開始前，個(gè)數(shù)存貯在臺(tái)由網(wǎng)絡(luò)連接的計(jì)算機(jī)中，每臺(tái)機(jī)器存一個(gè)數(shù)．計(jì)算開始后，在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，每臺(tái)機(jī)器至多到一臺(tái)其他機(jī)器中讀數(shù)據(jù)，并與自己原有數(shù)據(jù)相加得到新的數(shù)據(jù)，各臺(tái)機(jī)器可同時(shí)完成上述工作．為了用盡可能少的單位時(shí)間，即可完成計(jì)算，方法可用下表表示：機(jī)器號(hào)初始時(shí)第一單位時(shí)間第二單位時(shí)間第三單位時(shí)間被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果1221（1）當(dāng)時(shí)，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算？把你設(shè)計(jì)的方法填入下表機(jī)器號(hào)初始時(shí)第一單位時(shí)間第二單位時(shí)間第三單位時(shí)間被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果1234（2）當(dāng)時(shí)，要使所有機(jī)器都得到，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算？（結(jié)論不要求證明）21．（13分）已知，，是的三個(gè)頂點(diǎn)．（Ⅰ）寫出的重心，外心，垂心的坐標(biāo)，并證明，，三點(diǎn)共線；（Ⅱ）當(dāng)直線與平行時(shí)，求頂點(diǎn)的軌跡．22．（13分）已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的，都滿足：（b）（a）．（1）求及（1）的值；（2）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（3）若（2），，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．

參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）滿足條件，2，的集合的個(gè)數(shù)是A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：，2，，或，2，故選：．2．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，則的值是A． B． C． D．1【解答】解：，，．故選：．3．（5分）下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間，上為減函數(shù)的是A． B． C． D．【解答】解：由題意考察選項(xiàng)，的周期不是，所以不正確；由于在區(qū)間，上為增函數(shù)，選項(xiàng)不正確；以為最小正周期，且在區(qū)間，上為減函數(shù)，正確；且在區(qū)間，上為增函數(shù)，錯(cuò)誤；故選：．4．（5分）在下列四個(gè)正方體中，能得出的是A． B． C． D．【解答】解：在中，，，，平面，又平面，，故正確；在中，與成角，故錯(cuò)誤；在中，與成角，故錯(cuò)誤；在中，與所成角的正切值為，故錯(cuò)誤．故選：．5．（5分）64個(gè)直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；一個(gè)直徑為的球，記其體積為，表面積為，則A．且 B．且 C．且 D．且【解答】解：64個(gè)直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；一個(gè)直徑為的球，記其體積為，表面積為；所以且故選：．6．（5分）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍A． B． C． D．【解答】解：聯(lián)立兩直線方程得：，將①代入②得：③，把③代入①，求得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以得到，由①解得：；由②解得或，所以不等式的解集為：，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，．方法二、直線恒過定點(diǎn)，作出兩直線的圖象．，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．從圖中看出，斜率，即，故直線的傾斜角的取值范圍應(yīng)為，．故選：．7．（5分）等于A． B． C． D．16【解答】解：故選：．8．（5分）若，則的值為A． B． C． D．【解答】解：由，得到，則．故選：．9．（5分）5本不同的書，全部分給四個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為A．480 B．240 C．120 D．96【解答】解：由題意知先把5本書中的兩本捆起來看做一個(gè)元素共有，這一個(gè)元素和其他的三個(gè)元素在四個(gè)位置全排列共有，分法種數(shù)為．故選：．10．（5分）已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．【解答】解：橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，整理得，雙曲線的漸近線方程為故選：．11．（5分）已知的定義在上的函數(shù)，的圖象如圖所示，那么不等式的解集是A．，， B． C． D．，，【解答】解：由函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而中的，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，則，可化為：或即或，解得：或，所以所求不等式的解集為：，，，故選：．12．（5分）如圖所示，，，，是定義在，上的四個(gè)函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對(duì)，中任意的和，恒成立”的只有A．， B． C．， D．【解答】解：由題意可知：函數(shù)滿足性質(zhì)：“對(duì)，中任意的和，恒成立”．函數(shù)圖象在，上為下凹函數(shù)，有所給圖象可知：：為上凸函數(shù)、為線性函數(shù)、為先凹后凸的函數(shù)；故全部不符合題意．從而只有適合下凹的性質(zhì)．故選：．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）從小到大的順序是．【解答】解：，，，，，綜上，，故答案為：．14．（4分）等差數(shù)列中，，公差不為零，且，，恰好是某等比數(shù)列的前三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列公比的值等于4．【解答】解：設(shè)，，成等比，公比為，則，．又是等差數(shù)列，，．故答案為415．（4分）關(guān)于直角在定平面內(nèi)的射影有如下判斷：①可能是的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角；⑤可能是的角．其中正確判斷的序號(hào)是①②③④⑤（注把你認(rèn)為是正確判斷的序號(hào)都填上）．【解答】解：直角在定平面內(nèi)的射影有下列幾種情況：當(dāng)角所在的平面與平面垂直時(shí)，直角的射影可能是的角，可能是的角，故①⑤正確，當(dāng)角所在的平面與平面平行時(shí)，直角的射影可能是直角，故③正確，當(dāng)角所在的平面與平面不平行也不垂直時(shí)，平面轉(zhuǎn)到一定角度，直角的射影可能是銳角或鈍角，故②④正確故答案為：①②③④⑤16．（4分）圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為2．【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得：，所以圓心，圓的半徑，則圓心到直線的距離，所以動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為故答案為：2三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）解不等式．【解答】解：原不等式的解集是下面不等式組（1）及（2）的解集的并集：（1）或（2）解不等式組（1）得解集解不等式組（2）得解集所以原不等式的解集為18．（12分）如圖，在多面體中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長后相交于，兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長、寬分別為，與，，且，，兩底面間的距離為．（Ⅰ）求側(cè)面與底面所成二面角的大??；（Ⅱ）證明：面．【解答】解：（Ⅰ）過作底面的垂直平面，交底面于，過作，垂足為．平面平面，，．為所求二面角的平面角．過作，垂足為．由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形為等腰梯形．，又，，，即所求二面角的大小為．（Ⅱ）證明：，是矩形的一組對(duì)邊，有，又是面與面的交線，面．是面與面的交線，．是平面內(nèi)的一條直線，在平面外，面．19．（12分）數(shù)列由下列條件確定：，，．（Ⅰ）證明：對(duì)，總有；（Ⅱ）證明：對(duì)，總有；（Ⅲ）若數(shù)列的極限存在，且大于零，求的值．【解答】證明：（Ⅰ）由，及，可歸納證明．從而有，所以，當(dāng)時(shí)，成立．（Ⅱ）證法一：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，成立．證法二：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，故?dāng)時(shí)，成立．（Ⅲ）解：記，則，且．由，得．由，解得，故．20．（12分）在研究并行計(jì)算的基本算法時(shí)，有以下簡單模型問題：用計(jì)算機(jī)求個(gè)不同的數(shù)，，，的和．計(jì)算開始前，個(gè)數(shù)存貯在臺(tái)由網(wǎng)絡(luò)連接的計(jì)算機(jī)中，每臺(tái)機(jī)器存一個(gè)數(shù)，計(jì)算開始后，在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，每臺(tái)機(jī)器至多到一臺(tái)其他機(jī)器中讀數(shù)據(jù)，并與自己原有數(shù)據(jù)相加得到新的數(shù)據(jù)，各臺(tái)機(jī)器可同時(shí)完成上述工作．為了用盡可能少的單位時(shí)間，使各臺(tái)機(jī)器都得到這個(gè)數(shù)的和，需要設(shè)計(jì)一種讀和加的方法．比如時(shí)，一個(gè)單位時(shí)間即可完成計(jì)算，方法可用下表表示：機(jī)器號(hào)初始時(shí)第一單位時(shí)間第二單位時(shí)間第三單位時(shí)間被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果1221（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算？把你設(shè)計(jì)的方法填入下表機(jī)器號(hào)初始時(shí)第一單位時(shí)間第二單位時(shí)間第三單位時(shí)間被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果1234（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，要使所有機(jī)器都得到，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算？（結(jié)論不要求證明）【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，只用2個(gè)單位時(shí)間即可完成計(jì)算．方法之一如下：機(jī)器號(hào)初始時(shí)第一單位時(shí)間第二單位時(shí)間第三單位時(shí)間被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果被讀機(jī)號(hào)結(jié)果123214341432（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，至少需要7個(gè)單位時(shí)間才能完成計(jì)算．21．（13分）已知，，是的三個(gè)頂點(diǎn)．（Ⅰ）寫出的重心，外心，垂心的坐標(biāo)，并證明，，三點(diǎn)共線；（Ⅱ）當(dāng)直線與平行時(shí)，求頂點(diǎn)的軌跡．【解答】解：（Ⅰ）由三頂點(diǎn)坐標(biāo)，，，，可求得重心，外心，垂心．當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，故三點(diǎn)共線；當(dāng)時(shí)，設(shè)，所在直線的斜率為，，所在直線的斜率為．因?yàn)?，，所以，，，，三點(diǎn)共線．綜上可得，，，三點(diǎn)共線．（Ⅱ）解