第1頁|共2頁2006年遼寧高考文科數(shù)學(xué)真題及答案第I卷（選擇題共60分）參考公式：球的表面積公式球的體積公式其中R表示球的半徑如果事件A、球的表面積公式球的體積公式其中R表示球的半徑 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B） 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率P，那 么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)符合題目要求的選項(xiàng).（1）函數(shù)的最小正周期是（A） （B） （C）2 （D）4（2）設(shè)集合A={1,2}，則滿足A∪B={1,2,3}的集合B的個(gè)數(shù)是 （A）1 （B）3 （C）4 （D）8（3）設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是 （A）是奇函數(shù) （B）||是奇函數(shù) （C）－是偶函數(shù) （D）+是偶函數(shù)（4）的值為 （A）61 （B）62 （C）63 （D）64（5）方程的兩個(gè)根可分別作為（A）一橢圓和一雙曲線的離心率 （B）兩拋物線的離心率（C）一橢圓和一拋物線的離心率 （D）兩橢圓的離心率（6）給出下列四個(gè)命題： ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行. ②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行. ③若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行. ④若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線. 其中假命題的個(gè)數(shù)是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4（7）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是 （A） （B） （C） （D）（8）設(shè)eq\o\ac(○,+)是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集.若對(duì)任意，則稱A對(duì)運(yùn)算eq\o\ac(○,+)封閉.下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是 （A）自然數(shù)集 （B）整數(shù)集 （C）有理數(shù)集 （D）無理數(shù)集（9）△ABC的三內(nèi)角A，B，C，所對(duì)邊的長分別為，設(shè)向量p、q=若p∥q，，則角C的大小為 （A） （B） （C） （D）（10）已知等腰△ABC的腰為底的2倍，頂角的正切值是 （A） （B） （C） （D）（11）與方程的曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的方程為 （A） （B） （C） （D）（12）曲線與曲線的 （A）離心率相等 （B）焦距相等 （C）焦點(diǎn)相同 （D）準(zhǔn)線相同第II卷（非選擇題共90分）二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.（13）方程的解為.（14）設(shè)則.（15）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P—ABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是.（16）5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員，現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有種.（以數(shù)作答）三．解答題：本大題共小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)求： （Ⅰ）求函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量x的集合； （Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（18）（本小題滿分12分） 甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績相互之間沒有影響.求：（Ⅰ）甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績及格的概率；（Ⅱ）甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率.（19）（本小題滿分12分） 已知正方形ABCD，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A—DE—C的大小為（Ⅰ）證明BF∥平面ADE；（Ⅱ）若△ACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值.（20）（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若的等差中項(xiàng)為18，滿足，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.（21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中設(shè)為的極小值點(diǎn)，為.將 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若四邊形ABCD為梯形，且面積為1，求的值.（22）（本小題滿分14分） 已知點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量設(shè)圓C的方程為 （Ⅰ）證明線段AB是圓C的直徑； （Ⅱ）當(dāng)圓C的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求的值.2006年遼寧高考文科數(shù)學(xué)真題參考答案一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.（1）D（2）C（3）C（4）B（5）A（6）D（7）A（8）C（9）B（10）D（11）A（12）B二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.（13）（14）（15）（16）48三、解答題（17）本小題考查三角公式、三角函數(shù)的性制裁及已知三角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力.滿分12分（I）解法一：……4分 因此，取得最大值的自變量x的集合是……8分 解法二：=……4分 因此，取得最大值的自變量x的集合是……8分（II）解： 由題意得 因此，的單調(diào)增區(qū)間是[].…………12分（18）本小題主要考查相互獨(dú)立事件的頻率乘法公式和互斥事件的概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.滿分12分.（I）解：甲班參賽同學(xué)中恰有1名同學(xué)成績及格的概率為乙班參賽同學(xué)中恰有1名同學(xué)成績及格的概率為故甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績及格的概率為……6分（II）解法一：甲、乙兩班4名參賽同學(xué)成績都不及格的概率為故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率為………………6分解法二：甲、乙兩班4名參賽同學(xué)成績都不及格的概率為甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率為甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有3名同學(xué)成績及格的概率為甲、乙兩班4名參賽同學(xué)成績都及格的概率為，故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率為………………12分（19）本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力.滿分12分.（I）證明：E、F分別是正方形ABCD的邊AB、CD的中點(diǎn).∴ED∥FD，且EB=FD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∴EF∥ED.∵BD平面AED，而BF平面AED.∴BF∥平面AED.…………4分（II）解法一：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，過點(diǎn)A作AG⊥平面BCDE，垂足為G，連結(jié)GC，GD.∵△ACD為正三角形.∴AC=AD，∴GC=GD，∴G在CD的垂直平分線上，又∵EF是CD的垂直平分線，∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.…………4分過G作GH⊥ED，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE.∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.設(shè)除正方形ABCD的邊長為2a，連結(jié)AF.在折后圖的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF，∴AC=.在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，∴AH=，∴∴………12分 解法二：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上. 連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為G′ ∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)， ∴AD⊥CD. 又∵EF⊥CD， ∴CD⊥平面AEF， ∵AG′平面AEF， ∴CD⊥AG′， 又∵AG′⊥EF，且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE， ∴AC⊥平面BCDE， ∴G為A在平面BCDE內(nèi)的射影G， ∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上， 過G作CH⊥ED，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE…………8分 ∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ. 設(shè)原正方形ABCD的邊長為2a. 在折后圖的△AEF中，AF=，EF=2AE=2a， ∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF∴AC=.在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE， ∴AE=，∴∴………12分 解法三：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上. 連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為G′ ∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)， ∴AF⊥CD. 又∵EF⊥CD， ∴CD⊥平面AEF， ∵CD平面BCDE， ∴平面AEF⊥平面BCDE. 又∵平面AEF∩平面BCDE=DEF，AG′⊥EF. ∴AG′⊥平面BCDE，即G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G， ∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.……8分 過G作GH⊥DE，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE， ∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ. ∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF∴AC=.在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE， ∴AH=，∴∴………12分（20）本小題考查數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列，對(duì)數(shù)與指數(shù)互相轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.滿分12分（I）解法一：當(dāng)當(dāng)=是等差數(shù)列，………………4分解法二：當(dāng)當(dāng)=當(dāng)………………4分（II）解：………………8分又，即是等比數(shù)列.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和………………12分（21）本小題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，函數(shù)極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值，等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，解決問題的能力.滿分12分.（I）解：令…………2分 所以在x=－1處取極小值，即………………6分（II）解：，…………9分 由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得AB∥CD..由四邊形ABCD的面積為1，得 即從而………………12分（22）本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，圓與拋物線的方程，點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力，滿分14分.（I）證法一：①……3分設(shè)點(diǎn)M（x，y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則即展開上式并將①代入得故線段AB是圓C的直徑.證法二：①……3分若直線（x，y）在以線AB為直徑的圓上，則去分母得點(diǎn)滿足上方程，展開并將①代入得 ，所以線AB是圓C的直徑.……6分證法三：①……3分以AB為直徑的圓的方程是，展開，并將①代入得.所以線段AB是圓C的直徑………………6分（II）解法一：設(shè)圓C的圓心為C（x，y），則 所以圓心的軌跡方程為