專題10相交線（鞏固提升六大類型30題+能力培優(yōu)8題

+拓展突破8題+中考真題6題）

知識(shí)清單

1.相交線

（1）相交線的定義

兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線相交．相對(duì)的，我們稱這兩條直線為相交線．

（2）兩條相交線在形成的角中有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的有對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角兩類．

（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．

2.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角

（1）對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種位

置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．

（2）鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．

（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．

（4）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．

（5）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與

兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．

3.垂線

（1）垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做

另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．

（2）垂線的性質(zhì)

在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“過一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．

4.垂線段最短

（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．

（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)

與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．

（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這

兩個(gè)中去選擇．

5.點(diǎn)到直線的距離

（1）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．

1

（2）點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量

出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個(gè)圖形．

6.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直

線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．

（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直

線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．

（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條

直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．

（4）三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置

決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此

直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，

內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．

對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角

1．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）下面四個(gè)圖形中，與互為對(duì)頂角的是（）

∠1∠2

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】本題主要考查了對(duì)頂角的定義，如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，且角的兩邊互為反向延長線，那么這兩

個(gè)角互為對(duì)頂角，據(jù)此求解即可．

【詳解】解；根據(jù)對(duì)頂角的定義可知，四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)中的與互為對(duì)頂角，

故選：C．∠1∠2

2．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖是一把剪刀，在使用過程中，若增加，則（）

∠???20°∠???

A．減少B．增加C．不變D．增加

【答案】B20°20°40°

【分析】本題主要考查對(duì)頂角，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角的定義和性質(zhì)．根據(jù)對(duì)頂角相等即可得到答案．

2

【詳解】解：由題圖可得和互為對(duì)頂角，

所以，∠???∠???

所以當(dāng)∠???=增∠?加??時(shí)，也會(huì)增加．

故選B．∠???20°∠???20°

3．（2024七年級(jí)上·云南·專題練習(xí)）如圖，直線與相交于點(diǎn)，，，則

的度數(shù)是（）?????∠???=60°∠???=95°∠???

A．B．C．D．

【答案】35C°85°145°155°

【分析】本題考查鄰補(bǔ)角、角的和差，掌握鄰補(bǔ)角的定義是正確解答的前提．根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出

即可．∠???

【詳解】解：，，

∵∠???+∠??，?=180°∠???=95°

∴∠???=180°?95°=85°

∴∠???=∠???+∠???

=60°+，85°

=故選14：5°C．

4．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線、相交，，則.

??∠?+∠?=80°∠?=

【答案】/度

【分析】本40題°4考0查了對(duì)頂角相等，掌握其性質(zhì)，角度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)圖示可得，結(jié)合，即可求解．

【詳解】解：根∠?據(jù)=題∠意?可得∠?+∠，?=80°

∵，∠?=∠?

∴∠?+∠?=，80°

解得2∠，?=80°，

故答案為∠?：=40°．

5．（23-24七40年°級(jí)下·廣東茂名·單元測試）如圖，已知、、相交于點(diǎn)O，，，則

的度數(shù)是．??????∠1=35°∠3=100°

∠23

【答案】/45度

【分析】本45題°主要考查了對(duì)頂角相等，根據(jù)對(duì)頂角相等可得出，再根據(jù)平角的定義即可得出答

案．∠???=35°

【詳解】解：，

，∵∠1=∠???∠1=35°

∴∠???=35°，且，

∵∠???+∠2+∠3=180°∠3，=100°

∴故∠答2案=為18：0°?∠．????∠3=45°

6．（22-23七4年5°級(jí)下·山東菏澤·期中）如圖，直線，相交于點(diǎn)O，平分，若，則

的度數(shù)為．??????∠???∠???=50°∠???

【答案】

【分析】本11題5°考查了對(duì)頂角、角平分線的定義，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．利用

對(duì)頂角的性質(zhì)可得，利用角平分線的定義可得，由此得解．

1

【詳解】解：∠???=∠，???=50°∠???=2∠???=65°

∵∠???=50°，，

∴∠??平?分=180°?，∠???=180°?50°=130°∠???=∠???=50°

∵??∠???，

1

∴∠???=2∠???=65°．

∴故∠答?案??為=：∠???．+∠???=50°+65°=115°

7．（24-251七1年5°級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O在直線上，平分，，

1

，設(shè)，利用方程的思想，求得．????∠???∠???=3∠???

∠???=70°∠???=??=°

4

【答案】20

【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角，角平分線的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系，利用方程的思想是解題關(guān)鍵．設(shè)

，由題意可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)角平分線的定義，得到

∠???=，?最后根據(jù)∠???=4?，求∠出???即=可1．80°?4?∠???=

9【0詳°?解2】?解：設(shè)∠???，=∠???+∠????

∠?，??=?

1

∵∠???=3∠，???

∴∠???=3?∠???=4?，

∴∠??平?分=180°，?∠???=180°?4?

∵??∠???，

1

∴∠???=2∠?，??=90°?2?

∵∠???=70°，

∴∠???+，∠???=90°?2?+?=70°

∴故?答=案2為0°：20．

相交線的有關(guān)計(jì)算

8．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線、相交于點(diǎn)，．

?????∠???=90°

(1)若，求的度數(shù)．

(2)若∠???=40°，∠???平分，求的度數(shù)．

【答案∠?】?(?1)=2∠?????∠???∠???

(2)50°

【分15析0°】本題主要考查互補(bǔ)、互余的定義，角平分線的定義，對(duì)頂角相等，理解圖示，掌握角平分線的定

義，幾何中角度的和差計(jì)算即可求解．

（1）根據(jù)對(duì)頂角相等可得，根據(jù)互余的計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠???=∠??，?由=對(duì)40頂°角相等可得，根據(jù)角平分線的定義可

∠???=60°∠???=∠???=60°

5

得，再根據(jù)互補(bǔ)的定義即可求解．

1

【詳∠?解??】=（21∠）?解??：=∵30°，，

∴∠?，??=90°∠???=40，°

∴∠???=∠???=90°∠???=∠???=4．0°

（∠2）??解?：=∵∠????∠???=，90°?40°=50°，

∴∠?，??=2∠???∠???+∠???=180°

∴∠???=60°，

∵∠??平?分=∠??，?=60°

∴??∠???，

1

∴∠???=2∠???=30°．

9．∠（??23?-2=41七80年°級(jí)?下∠?·湖??北=宜1昌80·期°?末3）0°如=圖1，50直°線，相交于點(diǎn)，平分．

???????∠???

(1)若，求的度數(shù)；

(2)若∠???=86°∠?，??求的度數(shù)．

【答案∠?】?(?1:)∠???=4:5∠???

(2)．43°

【分40析°】本題考查了角平分線的定義、對(duì)頂角相等、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)

用是解此題的關(guān)鍵．

（1）先由角平分線的定義可得，再根據(jù)對(duì)頂角相等即可得解；

1

（2）設(shè)，∠???=，2根∠?據(jù)?題?=意4列3出°方程，解方程即可得解．

【詳解】∠（??1?）=解：4?∵°∠平?分??=5，?°

∴??，∠???

1

∠???=2∠???=43；°

∴（∠2）??解?：=∵∠???=43°，

∴設(shè)∠???:，∠???=4:5，

根據(jù)題∠?意??得=4?°∠???，=5?°

解得，4?+5?=180

∴?=20，

∴∠???=4?°=80°，

1

∠???=2∠???=40．°

∴∠???=∠???=40°

6

10．（24-25七年級(jí)上·陜西延安·期末）如圖，已知直線相交于點(diǎn)O，與互余，平分，

，求的度數(shù)．??,??∠???∠?????∠???

∠???=28°∠???

【答案】

【分析】此34題°考查了余角的定義，角的平分線，以及角的和差，關(guān)鍵是理清圖中角之間的關(guān)系，利用數(shù)形

結(jié)合的思想求解．先計(jì)算出的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)，即可求得的度數(shù)，由對(duì)頂角的定義

即可解答．∠???∠???∠???

【詳解】解：∵與互余，，

∴∠???∠??，?∠???=28°

∵∠??平?分=90°?，28°=62°

∴??∠???，

∴∠???=∠???=62°

∴∠???=∠????∠??．?=62°?28°=34°

11∠．?（??23=-24∠七??年?級(jí)=下34·河°南周口·階段練習(xí)）如圖，直線和相交于點(diǎn)O，把分成兩部分，且

，平分．??????∠???

∠???:∠???=3:5??∠???

(1)若，求．

(2)若∠???=72°∠???，求．

【答案∠?】?(?1)=2∠???+15°∠???

(2)153°

【分25析°】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，（1）利用了對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，（2）利用了角平分線的定

義，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)，角的和差．

（1）根據(jù)對(duì)頂角相等，可得的度數(shù)，根據(jù)，可得，根據(jù)鄰補(bǔ)角，可得答案；

（2）根據(jù)角平分線的定義，∠可?得??∠???:∠???=3:，5根據(jù)鄰∠補(bǔ)??角?的關(guān)系，可得關(guān)于的

方程，求出的度數(shù)，可得答∠案?．??=2∠???=4∠???+30°∠???

∠???

7

【詳解】（1）由對(duì)頂角相等，得，

由把分成兩部分且∠???=∠??，?得=72°，

3

由鄰??補(bǔ)角∠?，?得?∠???:∠???=3:5∠???；=∠???×8=27°

（2）平分∠???=，180°?∠???=180°?27°=153°

∵??∠???．

∴由∠鄰?補(bǔ)??角=，2得∠???=4∠???+30°，

即∠???+∠???=1，80°

解得4∠???+30°+．∠???=180°

∴∠???=3，0°，

∴∠???=50°∠???=∠．???=75°

12∠．?（??23=-2475七°?年5級(jí)0上°=·貴2州5°黔東南·期末）已知：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，．

??????∠???=110°

(1)如圖1，求的度數(shù)；

(2)如圖2，過點(diǎn)∠??作?射線，使，作的平分線，求的度數(shù)；

(3)如圖3，在（?2）的條件??下，作∠射??線?=，90若°∠?與??互余?，?求∠?的??度數(shù)．

【答案】(1)??∠???∠???∠???

(2)70°

(3)55°或

【分55析°】1本65題°考查了余角和補(bǔ)角，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合根據(jù)射線的位置分類討論是解題關(guān)鍵．

（1）根據(jù)平角的定義計(jì)算求值即可；??

（2）根據(jù)余角的定義可得，根據(jù)角平分線的定義可得，再計(jì)算角度和即可；

（3）由余角的定義可得∠???，分射線在內(nèi)部∠、??射?線在外部兩種情況，分別計(jì)算角

的差、和即可．∠???=55°??∠?????∠???

【詳解】（1）解：∵

∴∠???=1；10°

（∠2）??解?：=由18（01°）?得∠???=70°，

∵，∠???=70°

∴∠???=90°，

∵∠??是?=∠?的??平?分∠線??，?=20°

∴??∠???，

11

∠???=2∠???=2×70°=35°

8

∴；

（∠3）?解??：=由∠（??2）?得+∠???=35°，+20°=55°

∵與互余∠，???=35°

∴∠???∠???，

∴∠???+∠???=90°，

①∠當(dāng)??射?線=90在°?∠??內(nèi)?部=時(shí)9，0°如?圖35，°=55°

??∠???

；

②當(dāng)射線在外部時(shí)，∠如??圖?，=∠????∠???=110°?55°=55°

??∠???

．

綜上所述，的度數(shù)為∠?或??=∠．???+∠???=110°+55°=165°

∠???55°165°垂線與垂線段

13．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知，，所以與在同一條直線上的理由

是（）??⊥???⊥?????

A．兩點(diǎn)確定一條直線

B．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線

C．過一點(diǎn)只能作一條垂線

D．垂線段最短

【答案】B

【分析】本題考查了垂線的基本事實(shí)，根據(jù)垂線的基本事實(shí)結(jié)合圖形得出結(jié)論是解題關(guān)鍵．利用同一平面

內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直進(jìn)而得出答案即可．

【詳解】解：因?yàn)?，?/p>

??⊥???⊥?

9

所以直線與重合，

其理由是：??同一?平?面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，

故選：B．

14．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)O，射線，垂足為點(diǎn)O，若，

則的度數(shù)為（）???⊥?∠1=40°

∠2

A．B．C．D．

【答案】50C°120°130°140°

【分析】本題主要考查了垂直的定義，鄰補(bǔ)角的定義，求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義可求

的度數(shù)，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可．∠3

∠【3詳解】解：如圖，

∵，，

∴?⊥?∠1=40°，

∴∠3=90°?∠1=50°．

故選∠2：=C1．80°?∠3=130°

15．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是直線a外的一點(diǎn)，點(diǎn)、、在直線a上，且，

垂足為點(diǎn)，，則下列正確的語句是（）?????⊥?

???⊥??

A．線段的長是點(diǎn)P到直線a的距離B．、、三條線段中，最短

C．線段??的長是點(diǎn)A到直線的距離D．?線?段??的長??是點(diǎn)C到直線??的距離

【答案】B????????

【分析】此題主要考查了點(diǎn)到直線的距離及垂線段的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握垂線段的性質(zhì)，從直線外一

點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短．

10

根據(jù)“從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短”，“從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的

長度，叫做點(diǎn)到直線的距離”進(jìn)行判斷，即可解答．

【詳解】A．線段的長是點(diǎn)到的距離，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

B．、、三??條線段中，?依據(jù)??垂線段最短可知最短，原說法正確，故此選項(xiàng)符合題意；

C．線??段??的長??是點(diǎn)A到直線的距離，原說法錯(cuò)誤??，故此選項(xiàng)不符合題意；

D．線段??的長是點(diǎn)C到直線??的距離，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．

故選：B．????

16．（24-25七年級(jí)上·河南·期中）數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項(xiàng)中能用“兩點(diǎn)之間，線

段最短”來解釋的現(xiàn)象是（）

A．測量跳遠(yuǎn)成績B．木板上彈墨線C．彎曲河道改直D．兩釘子固定木條

【答案】C

【分析】本題主要考查了垂線段最短，兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，牢記兩點(diǎn)之間線

段最短是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)垂線段最短，兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間線段最短逐項(xiàng)判斷即可．

【詳解】解：A、測量跳遠(yuǎn)成績是求腳后跟到起跳線的距離，數(shù)學(xué)常識(shí)為垂線段最短，故選項(xiàng)不符合題意；

B、木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，數(shù)學(xué)常識(shí)為兩點(diǎn)確定一條直線，故選項(xiàng)不符合A題意；

C、彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數(shù)學(xué)常識(shí)為兩點(diǎn)之間，線段最短，故選項(xiàng)符合B題意；

D、兩釘子固定木條，數(shù)學(xué)常識(shí)為兩點(diǎn)確定一條直線，故選項(xiàng)不符合題意；C

故選：．D

17．（C23-24七年級(jí)下·湖北宜昌·期末）如圖，點(diǎn)A，B，C是直線l上的三點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l外，，

垂足為A，，，，則點(diǎn)P到直線l的距離是．??⊥?

??=4cm??=6cm??=5cmcm

【答案】4

【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義，直線外一點(diǎn)到直線的垂線段長

度叫做點(diǎn)到直線的距離，判斷是點(diǎn)P到直線l的距離即可．

【詳解】解：直線外一點(diǎn)到直?線?=的4垂cm線段長度叫做點(diǎn)到直線的距離，，垂足為A，，

點(diǎn)P到直線l∵的距離是，??⊥???=4cm

∴故答案為：4．4cm

18．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，P是直線l外一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)在直線l上，且于點(diǎn)B，

，若，，，，則點(diǎn)A到直線的距離是．??⊥?

12

∠???=90°??=4??=3??=5??=5??

11

【答案】4

【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離定義為從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長度，由

點(diǎn)到直線的距離的定義即可得解．

【詳解】解：由題意可知，的長即為點(diǎn)A到直線的距離．

因?yàn)椋????

所以點(diǎn)??A=到4直線的距離是4，

故答案為：．??

4垂線的有關(guān)作圖

19．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）利用網(wǎng)格畫圖：

(1)過點(diǎn)C畫的垂線，垂足為E；

(2)線段的?長?度是點(diǎn)C到直線_______的距離；

(3)連接??，在線段中，線段_______最短．

【答案】??(1,?)見?詳解??,??,??

(2)

(3)??

【分??析】本題主要垂線及其做圖，點(diǎn)到直線的距離概念，垂線段最短，注意作圖的準(zhǔn)確性．

（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，利用直線與網(wǎng)格的夾角的關(guān)系找出與垂直的格點(diǎn)；

（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離概念回答；??

（3）根據(jù)垂線段最短直接回答即可．

【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解：線段的長度是點(diǎn)C到直線的距離，

故答案為：；????

（3）解：連?接?，在線段中，線段最短，

??,????,??,????

12

理由：垂線段最短．

故答案為：．

20．（24-25?七?年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長為1．（請(qǐng)利用網(wǎng)格作

圖，畫出的線請(qǐng)用鉛筆描粗描黑）

(1)過點(diǎn)C畫的垂線，垂足為E；

(2)連接，??，則三角形的面積為_______．

【答案】??(1)見??解析???

(2)

【分9.5析】本題考查了網(wǎng)格作圖－垂線的畫法，網(wǎng)格中求三角形的面積．

（1）先確定以為斜邊的格點(diǎn)直角三角形，再找和這個(gè)直角三角形一樣的以為頂點(diǎn)的格點(diǎn)三角形即可；

（2）先確定以?、?、三點(diǎn)所在的格線圍成的長方形，用這個(gè)長方形的面積減?去多出的三個(gè)直角三角形的

面積，就是三角?形??的面積．

【詳解】（1）解：???就是所求作的垂線，

??

；

（2）解：，

111

?△???=5×4?2×5×1?2×3×4?2×1×4=9.5

13

故答案為：．

21．（22-239.七5年級(jí)上·全國·單元測試）如圖，點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，請(qǐng)過點(diǎn)畫出，的垂線，

分別交于點(diǎn)，，哪條線段的長度表示點(diǎn)到?直線∠???的距離?？??????

???????

【答案】作圖見詳解，線段表示點(diǎn)P到直線的距離

【分析】本題考查了點(diǎn)到直線??的距離，先根據(jù)題?意?畫出圖形，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義得出即可．能

熟記點(diǎn)到直線的距離的定義是解此題的關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖，

線段的長度表示點(diǎn)到直線的距離．

?????

垂線與角的有關(guān)計(jì)算

22．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線、相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)O，是

內(nèi)的一條射線．

??????⊥????∠???

14

(1)若，求的度數(shù)；

(2)若∠1=∠2，∠?求??的度數(shù)．

【答案∠?】?(?1)=4∠1∠???

(2)90°

【分60析°】本題考查幾何圖形中的角度計(jì)算，垂直的定義：

（1）根據(jù)可得，等量代換可得，再根據(jù)平角的定義

即可求解；??⊥??∠???=∠1+∠???=90°∠???+∠2=90°

（2）根據(jù)角的和差關(guān)系可得，根據(jù)垂直的定義可得，進(jìn)而可得

，則∠???．=∠????∠1=3∠1∠???=90°∠1=

3【0詳°解】∠（??1?）=解9：0°?∠1=60°，

∵??⊥?．?

∴∠???=，∠1+∠???=90°

∵∠1=∠2，

∴∠???+∠2=90°．

∴（∠2）??解?：=180°?90°=9，0°

∵∠???=4∠1．

∴∠???=，∠????∠1=3∠1

∵??⊥??，

∴∠???=，90°

∴∠1=30°．

∴23∠．?（??21=-2920七°?年∠級(jí)1上=·浙60江°麗水·期末）如圖，直線與直線相交于點(diǎn)O，且平分．

??????⊥????∠???

15

(1)若比大，求的度數(shù)．

(2)證∠明?：??是∠???的1平0°分線．∠???

【答案】(?1?)∠???

(2)證明見解析50°

【分析】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及角的計(jì)算，熟練掌握垂線的性質(zhì)，角平分線的性

質(zhì)及角的計(jì)算的方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)垂線的性質(zhì)可得，由，可得，即可算出

的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的∠?性?質(zhì)?可=得90°∠???+∠的??度?數(shù)=，9再0°根據(jù)∠???=∠???+10代°入計(jì)算即可∠得??出?

答案；∠???=∠???∠???=90°?∠???

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，由垂線的性質(zhì)可得，

即可得出∠???=∠???，即可得出∠答?案??．+∠???=∠???+∠???=90°

【詳解】（∠?1?）?解=：∠∵???,∠???，=∠???,∠???=∠???

∴??，⊥??

即∠???=∠???=90°，

∵∠???+∠???=90°，

∴∠???=∠??，?+10°

∵∠??平?分=40°，

∴??∠???，

∴∠???=∠???=40°；

（∠2）??解?：=∵90°?平∠分???=5，0°

∴??，∠???

∵∠???=，∠???

∴??⊥??，

∴∠???+∠???，=∠???+∠???=90°

∵∠???=∠???，

∴∠???=∠???，

∴∠?為??=∠?平??分線．

24?．?（2∠3?-2?4?七年級(jí)上·浙江杭州·期末）直線，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作．

??????⊥??

(1)如圖1，若，求的度數(shù)．

'

∠???=27°44∠???

16

(2)如圖2，作射線使，則是的平分線．請(qǐng)說明理由．

(3)在圖1上作??，∠?寫?出?=∠??與??的?數(shù)∠量?關(guān)??系，并說明理由．

【答案】(1)??⊥??∠???∠???

'

(2)見解析62°16

(3)或，理由見解析

【分∠?析?】?+（∠1）??根?據(jù)=垂18直0°的定∠?義?進(jìn)?行=計(jì)∠?算?即?可；

（2）根據(jù)垂直的定義，對(duì)頂角相等以及等角的余角相等可得答案；

（3）根據(jù)垂直的定義，平角的定義以及對(duì)頂角相等、同角的余角相等進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】（1）解：∵．

∴，即??⊥??，

∵∠???=90°∠???+，∠???=90°

'

∴∠???=27°44=∠???；

''

（∠2）??解?：=∵90°?27°4．4=62°16

∴??⊥??，即，

∵∠???=∠???，=90°∠???+∠???=∠???+∠???=90°

∴∠???=∠???，

又∠∵???=∠???，

∴∠???=∠??，?

即∠??是?=∠?的?平?分線；

（?3）?解∠：?如??圖11，，理由如下：

?∠???+∠???=180°

∵，

∴??⊥??，即，

∵∠???=．∠???=90°∠???+∠???=90°=∠???+∠???

∴??⊥??，即，

∵∠???=90°，∠???+∠???=90°

∴∠???=∠???

∵∠???=∠???，

∴∠???+∠???=180°．

如圖∠?1??2+，∠???=180°，理由如下：

?∠???=∠???

17

∵，

∴??⊥??，

∴∠???=90°=∠???，+∠???

∵∠???=，90°?∠???

∴??⊥??，

∴∠???=90°=∠???，+∠???

∴∠???=90°?．∠???

【點(diǎn)∠?睛??】=本∠題?考??查了垂線，角平分線，度分秒的計(jì)算以及對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、同角的余角相等，掌握垂直的

定義，角平分線的定義，度分秒的計(jì)算以及對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、同角的余角相等是正確解答的關(guān)鍵．

25．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知：直線與直線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作．

??????⊥??

(1)如圖1，，求的度數(shù)；

(2)如圖2，在∠?（?1?）=的2條∠?件?下?，過∠點(diǎn)??O?作，射線平分，在不添加任何輔助線的情況

下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有與互余的角?．?⊥????∠???

【答案】(1)∠???

(2)，，30°，

【分∠2析】∠4本題∠主5要∠考6查了幾何圖中角度的計(jì)算，求角的余角，角平分線的有關(guān)計(jì)算等知識(shí)．

（1）先利用平角的定義以及即可得出，進(jìn)而可求出，由垂直

的定義即可求出，∠?最?后?=根2據(jù)∠角??的?和差關(guān)系即3∠可?得??出=答1案80．°∠???=120°

（2）根據(jù)互余兩∠角??的?和=為909°0度一一計(jì)算即可得出答案．

18

【詳解】（1）解：∵，，

∴，∠???+???=180°∠???=2∠???

∴3∠???=18，0°

∴∠???=60°，

∵∠???=，120°

∴??⊥??，

∴∠???=90°

（∠2）??解?：=由∠（??1?）?知∠???=120°?90，°=30°

∵，∠???=∠1=60°∠???=∠2=30°

∴∠1+和∠2=互9余0．°

∵∠1∠2，，

∴??⊥????，⊥??，，

∴∠2+∠3=，90°∠4+∠5+∠6=90°∠3+∠4=90°

∴∠3=60°，

∴∠4=30°，

∵∠5+平∠分6=60°，

∴??∠???，

∴∠5=∠6=30°，，，

則∠4+和∠1=互9余0，°∠5和+∠1互=余9，0°∠和6+∠互1=余9，0°

綜上∠1：與∠4互余∠的1角∠有5，∠，1，∠6．

∠???∠2同位∠4角∠、5內(nèi)∠6錯(cuò)角與同旁內(nèi)角

26．（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．與是同旁內(nèi)角B．與是內(nèi)錯(cuò)角

C．∠2與∠4是同旁內(nèi)角D．∠3與∠4是同位角

【答案】∠5C∠6∠1∠5

【分析】此題主要考查了三線八角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的

邊構(gòu)成“U”形．

【詳解】A．與是同旁內(nèi)角，說法正確，不符合題意；

∠2∠4

19

B．與是內(nèi)錯(cuò)角，說法正確，不符合題意；

C．∠3與∠4不是兩條直線被第三條直線截成的角，說法錯(cuò)誤，符合題意；

D．∠5與∠6是同位角，說法正確，不符合題意．

故選∠：1C．∠5

27．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，下列結(jié)論正確的是（）

A．與是對(duì)頂角B．與是同位角

C．∠5與∠2是同旁內(nèi)角D．∠1與∠3是同旁內(nèi)角

【答案】∠2D∠3∠1∠2

【分析】本題主要考查了對(duì)頂角的定義，相交線及其所成的角等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵：

對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，且一個(gè)角的兩條邊分別是另一個(gè)角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個(gè)角就

①叫做對(duì)頂角；同位角：兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角；內(nèi)錯(cuò)角：

兩個(gè)角在截線②的異側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；同旁內(nèi)③角：兩個(gè)

角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．④

根據(jù)對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：根據(jù)對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行判斷，

A.與是對(duì)頂角，該結(jié)論錯(cuò)誤，故選項(xiàng)不符合題意；

B.∠5與∠2+∠3是同位角，該結(jié)論錯(cuò)誤，故選項(xiàng)A不符合題意；

C.∠1與∠3+沒∠有4處在兩條被截線之間，該結(jié)論錯(cuò)誤B，故選項(xiàng)不符合題意；

D.∠2與∠3是同旁內(nèi)角，該結(jié)論正確，故選項(xiàng)符合題意；C

故選∠1：∠．2D

28．（D23-24七年級(jí)下·甘肅武威·期中）如圖，直線與的邊相交．

??∠?????

(1)寫出圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．

(2)如果，那么與相等嗎？與互補(bǔ)嗎？為什么？

【答案】∠1(1=)∠4與是∠同1位角∠2；與∠是1內(nèi)錯(cuò)∠5角；與是同旁內(nèi)角

(2)與相∠1等，∠4與互補(bǔ)，∠1理由∠見2解析∠1∠5

∠1∠2∠1∠5

20

【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義以及對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，熟練掌握有關(guān)定義

和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

（1）由同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義容易得出結(jié)論；

（2）由對(duì)頂角相等和鄰補(bǔ)角互補(bǔ)等量代換即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）解：與是同位角；與是內(nèi)錯(cuò)角；與是同旁內(nèi)角；

（2）解：如果∠1，∠那4么與相∠1等，∠2與互補(bǔ)．∠1∠5

理由如下：∠1=∠4∠1∠2∠1∠5

∵，，，

∠1=∠4，∠4=∠2∠4+．∠5=180°

∴29∠．1（=2∠32-24∠七1年+級(jí)∠下5=·甘1肅80隴°南·階段練習(xí)）如圖，，相交于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，交于點(diǎn)C．

??????????

(1)指出，被所截形成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；

(2)指出??，??被??所截形成的內(nèi)錯(cuò)角；

(3)指出??，??被??所截形成的同旁內(nèi)角．

【答案】??(1)同??位角?：?和；內(nèi)錯(cuò)角：和；同旁內(nèi)角：和；

(2)和，∠??和?∠?；∠?∠???∠???∠?

(3)∠???和∠???，∠???和∠???．

【分∠?析?】?此∠題??考?查了∠?同?位?角∠、??內(nèi)?錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義：

（1）兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的

同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，

并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，

若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角，據(jù)此求解

即可；

（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義求解即可；

（3）根據(jù)同旁內(nèi)角的定義求解即可．

【詳解】（1）解：同位角：和；內(nèi)錯(cuò)角：和；同旁內(nèi)角：和；

（2）解：和，∠??和?∠?都是內(nèi)錯(cuò)角∠；?∠???∠???∠?

（3）解：∠???和∠???，∠???和∠???都是同旁內(nèi)角．

30．（23-2∠4?七??年級(jí)∠下??·全?國∠·課??后?作業(yè)∠?）??如圖，指出圖中直線，被直線所截形成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、

同旁內(nèi)角．（僅指用數(shù)字標(biāo)出的角）??????

21

【答案】見解析

【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義，同位角：在兩條直線被第三條直線所截的同側(cè)，

被截兩直線同側(cè)的兩個(gè)角稱為同位角；內(nèi)錯(cuò)角：在兩條直線被第三條直線所截的兩側(cè)，且夾在兩條被截直

線之間的一對(duì)角稱為內(nèi)錯(cuò)角；同旁內(nèi)角：在兩條直線被第三條直線所截的同旁，被截兩直線之間的兩個(gè)角

稱為同旁內(nèi)角；由此即可得出答案．

【詳解】解：由圖可得：

同位角：與，與；

內(nèi)錯(cuò)角：∠1與∠2，∠4與∠6；

同旁內(nèi)角：∠1∠與3∠，4∠與5．

∠3∠4∠1∠5

31．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，直線與相交于點(diǎn)，，，則

的度數(shù)是（）?????∠???=60°∠???=95°∠???

A．B．C．D．

【答案】35C°85°145°155°

【分析】本題考查鄰補(bǔ)角，掌握鄰補(bǔ)角的定義是正確解答的前提．根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，進(jìn)

而求解即可．∠???=85°

【詳解】因?yàn)?，?/p>

所以∠??，?+∠???=180°∠???=95°

所以∠???=85°．

故選∠C?．??=∠???+∠???=145°

32．（24-25七年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，E是直線上一點(diǎn)，，射線平分，，

則（）??∠???=40°??∠?????⊥??

∠???=

22

A．B．C．D．

【答案】10B°20°30°40°

【分析】本