第1頁(yè)|共2頁(yè)2004年天津市高考理科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿(mǎn)分60分）1．（5分）是虛數(shù)單位，A． B． C． D．2．（5分）若不等式的解集為A．， B．， C．， D．，3．（5分）若平面向量與向量的夾角是，且，則A． B． C． D．4．（5分）設(shè)是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，該雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是，，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若，則等于A(yíng)．2 B．18 C．2或18 D．165．（5分）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是最小值的3倍，則等于A(yíng)． B． C． D．6．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是底面的中心，、分別是、的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)和所成的角的余弦值等于A(yíng)． B． C． D．7．（5分）點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為A． B． C． D．8．（5分）已知數(shù)列，那么“對(duì)任意的，點(diǎn)都在直線(xiàn)上”是“為等差數(shù)列”的A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（5分）函數(shù)，，為增函數(shù)的區(qū)間是A．， B．， C．， D．，10．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別過(guò)、的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三部分，其體積分別記為，．若，則截面的面積為A． B． C． D．1611．（5分）函數(shù)的反函數(shù)是A． B． C． D．12．（5分）定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)．若的最小正周期是，且當(dāng)，時(shí)，，則的值為A． B． C． D．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿(mǎn)分16分）13．（4分）某工廠(chǎng)生產(chǎn)、、三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為的樣本，樣本中種型號(hào)產(chǎn)品有16件．那么此樣本的容量．14．（4分）如果過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．（4分）若，則．（用數(shù)字作答）16．（4分）從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有個(gè)．（用數(shù)字作答）三、解答題（共6小題，滿(mǎn)分74分）17．（12分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)．（1）求的分布列和的數(shù)學(xué)期望；（2）求“所選3人中女生人數(shù)”的概率．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）證明平面；（2）證明平面；（3）求二面角的大小．20．（12分）已知函數(shù)在處取得極值．（Ⅰ）討論（1）和是函數(shù)的極大值還是極小值；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求此切線(xiàn)方程．21．（12分）擲一個(gè)骰子，觀(guān)察向上一面的點(diǎn)數(shù)，求下列事件的概率：（1）點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)；（2）點(diǎn)數(shù)大于2且小于5．22．（14分）橢圓的中心是原點(diǎn)，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)，的準(zhǔn)線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線(xiàn)的方程；（3）設(shè)，過(guò)點(diǎn)且平行于準(zhǔn)線(xiàn)的直線(xiàn)與橢圓相交于另一點(diǎn)，證明．

2004年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿(mǎn)分60分）1．（5分）是虛數(shù)單位，A． B． C． D．【解答】解：，故選：．2．（5分）若不等式的解集為A．， B．， C．， D．，【解答】解：故選：．3．（5分）若平面向量與向量的夾角是，且，則A． B． C． D．【解答】解向量與向量的夾角是，向量與向量反向，令（則，又，解得故故選：．4．（5分）設(shè)是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，該雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是，，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若，則等于A(yíng)．2 B．18 C．2或18 D．16【解答】解：整理準(zhǔn)線(xiàn)方程得，，，或或18，故選：．5．（5分）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是最小值的3倍，則等于A(yíng)． B． C． D．【解答】解：，是減函數(shù)．．．．．．故選：．6．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是底面的中心，、分別是、的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)和所成的角的余弦值等于A(yíng)． B． C． D．【解答】解：取的中點(diǎn)．連接，再取的中點(diǎn)，連接、，則為異面直線(xiàn)所成的角．在中，，，．由余弦定理，可得．故選：．7．（5分）點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為A． B． C． D．【解答】解：是圓的弦，圓心為設(shè)的中點(diǎn)是滿(mǎn)足因此，的斜率可得直線(xiàn)的方程是，化簡(jiǎn)得故選：．8．（5分）已知數(shù)列，那么“對(duì)任意的，點(diǎn)都在直線(xiàn)上”是“為等差數(shù)列”的A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：點(diǎn)都在直線(xiàn)上，“為等差數(shù)列，若“為等差數(shù)列，可設(shè)，則點(diǎn)都不在直線(xiàn)上，對(duì)任意的，點(diǎn)都在直線(xiàn)上”是“為等差數(shù)列”的充分而不必要條件，故選：．9．（5分）函數(shù)，，為增函數(shù)的區(qū)間是A．， B．， C．， D．，【解答】解：由其增區(qū)間可由的減區(qū)間得到，即，，．令，，故選：．10．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別過(guò)、的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三部分，其體積分別記為，．若，則截面的面積為A． B． C． D．16【解答】解：由題意知，在長(zhǎng)方體中，平面平面，截面是一個(gè)矩形，并且長(zhǎng)方體的體積，，，則，解得，在直角中，，故截面的面積是，故選：．11．（5分）函數(shù)的反函數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)，可得，，所以函數(shù)的反函數(shù)是：故選：．12．（5分）定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)．若的最小正周期是，且當(dāng)，時(shí)，，則的值為A． B． C． D．【解答】解：的最小正周期是函數(shù)是偶函數(shù)．故選：．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿(mǎn)分16分）13．（4分）某工廠(chǎng)生產(chǎn)、、三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為的樣本，樣本中種型號(hào)產(chǎn)品有16件．那么此樣本的容量80．【解答】解：故答案是8014．（4分）如果過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：過(guò)、兩點(diǎn)的直線(xiàn)為：與拋物線(xiàn)聯(lián)立得：．因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，則方程無(wú)解．即△，解之得．故答案為：15．（4分）若，則2004．（用數(shù)字作答）【解答】解：令，得；令，得，故．故答案為：200416．（4分）從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有300個(gè)．（用數(shù)字作答）【解答】解：①四位數(shù)中包含5和0的情況：．②四位數(shù)中包含5，不含0的情況：．③四位數(shù)中包含0，不含5的情況：．四位數(shù)總數(shù)為．故答案為：300．三、解答題（共6小題，滿(mǎn)分74分）17．（12分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）解：，由，有，解得；（Ⅱ）解法一：．解法二：由（1），，得，于是，代入得．18．（12分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)．（1）求的分布列和的數(shù)學(xué)期望；（2）求“所選3人中女生人數(shù)”的概率．【解答】解：（1）由題意知本題是一個(gè)超幾何分步，隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)，可能取的值為0，1，2．．的分布列為012的數(shù)學(xué)期望為（2）由（1）知“所選3人中女生人數(shù)”的概率為19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）證明平面；（2）證明平面；（3）求二面角的大?。窘獯稹拷猓悍椒ㄒ唬海?）證明：連接，交于，連接．底面是正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)在中，是中位線(xiàn)，而平面且平面，所以，平面（2）證明：底面且底面，，可知是等腰直角三角形，而是斜邊的中線(xiàn)，．①同樣由底面，得．底面是正方形，有，平面．而平面，．②由①和②推得平面．而平面，又且，所以平面．（3）解：由（2）知，，故是二面角的平面角．由（2）知，，．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，．在中，．在中，，．所以，二面角的大小為．方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)．（1）證明：連接，交于，連接．依題意得．底面是正方形，是此正方形的中心，故點(diǎn)的坐標(biāo)為且．，這表明．而平面且平面，平面．（2）證明；依題意得，，，．又，故．．由已知，且，所以平面．（3）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，則，，，，．從而，，．所以．由條件知，，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，即，故是二面角的平面角．，且，，．．所以，二面角的大小為．20．（12分）已知函數(shù)在處取得極值．（Ⅰ）討論（1）和是函數(shù)的極大值還是極小值；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求此切線(xiàn)方程．【解答】（Ⅰ）解：，依題意，（1），即解得，．，．令，得，．若，，，則，故在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)．若，則，故在上是減函數(shù)．所以，是極大值；（1）是極小值．（Ⅱ）解：曲線(xiàn)方程為，點(diǎn)不在曲線(xiàn)上．設(shè)切點(diǎn)為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足．因，故切線(xiàn)的方程為注意到點(diǎn)在切線(xiàn)上，有化簡(jiǎn)得，解得．所以，切點(diǎn)為，切線(xiàn)方程為．21．（12分）擲一個(gè)骰子，觀(guān)察向上一面的點(diǎn)數(shù)，求下列事件的概率：（1）點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)；（2）點(diǎn)數(shù)大于2且小于5．【解答】解：擲一個(gè)骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6，共6種．這些點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性相等．（1）點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)有3種可能，即點(diǎn)數(shù)為2，4，6，（點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)）；（3分）（2）點(diǎn)數(shù)大于2且小于5有2種可能，即點(diǎn)數(shù)為3，4，（點(diǎn)數(shù)大于2且小于．（6分）22．（14分）橢圓的中心是原點(diǎn)，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)，的準(zhǔn)線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩